Un satélite artificial describe una órbita elíptica, con el centro de la
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www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 10.Un satélite artificial describe una órbita elíptica, con el centro de la Tierra en uno de sus focos. a) En el movimiento orbital del satélite, ¿se conserva su energía mecánica? ¿Y su momento angular respecto al centro de la Tierra? ¿Por qué? b) Supón que conocemos las distancias máxima y mínima del satélite al centro de la Tierra (apogeo y perigeo). RA y RP respectivamente. Plantea razonadamente. sin resolverlas. las ecuaciones necesarias para determinar las velocidades orbitales del satélite en el apogeo y en el perigeo, VA y VP. Datos: constante de gravitación universal. G. Masa de la Tierra. M. Zaragoza Septiembre 97 S solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 1 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 15.Una sonda espacial se encuentra "estacionada" en una órbita circular terrestre a una altura sobre la superficie terrestre de 2,26 RT, donde RT es el radio de la Tierra. a) Calcular la velocidad de la sonda en la órbita de estacionamiento. b) Comprobar que la velocidad que la sonda necesita, a esa altura, para escapar de la atracción de la Tierra es aproximadamente 6,2 km/s Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra g = 9,81 ms–2 Radio medio Terrestre RT = 6370 km . Madrid 97 4378,2 m/s ; 6,2 103 m/s solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 2 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 35.La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determina: a) La velocidad lineal de la nave y el periodo del movimiento. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita. Datos: Constante de gravitación: G =6,67 10–11 N m2 kg–2; Masa de la Luna: ML = 7,36 1022 kg ; Radio medio lunar: RL = 1740 km (2ptos) 1633,4 m/s ; 7078 s ; 2310 m/s Mm v2 = m r r2 7 , 36 1022 6,67 10 −11 = v 2 ; v= 1633,4 m/s (1740 + 100) ⋅ 103 F =G v = ω ⋅r = 2π 2π ; 1633,4 = ; T= 7078 s T T b) Aplicando la conservación de la energía: 1 2 ⎛ Mm ⎞ mv + ⎜ − G ⎟ = 0+0 2 r ⎠ ⎝ 1 2 ⎛⎜ − 6,67 ⋅ 10−11 ⎞⎟ v + = 0 + 0 ; v= 2310 m/s ⎜ (1740 + 100 ) ⋅ 103 ⎟ 2 ⎝ ⎠ solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 3 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 36.Un satélite de 1000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria (es decir, la vertical del satélite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre).Calcula: a) Su velocidad angular. b) El módulo de su aceleración. c) Su energía total. Dato: radio de la Tierra = 6 370 km. Murcia 98. 7,272 10–5 rad/s: 0,22 ms–2 ; –4,71 109 J a) G Mm r2 M g0 = G ω= = mω 2 r RT2 ; GM = g 0 RT2 2π 2π = = 7,27 ⋅10 −5 Rad / s T 24 ⋅ 3600 r=3 G M ω2 b) ET = Cómo G g 0 RT2 = 3 ω2 ( 9,8 6370 ⋅10 3 = 3 ⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⋅ 3600 ⎠ ) 2 2 = 42,21 ⋅10 6 m 1 Mm ⎞ ⎛ mv 2 + ⎜ − G ⎟ 2 r ⎠ ⎝ Mm r2 =m v2 Mm ; mv 2 = G r r ( ) 2 6370 ⋅10 3 ⋅1000 Mm Mm 1 Mm 1 m 1 ET = G −G = −G = − g 0 RT2 = − 9,8 = −4,71 ⋅10 9 J r r r 2 2 r 2 42,21 ⋅10 6 solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 4 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 38.Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular situada en el plano del ecuador y con un radio igual al doble del terrestre. Calcula: a) Energía que hay que comunicar al satélite y velocidad orbital de éste. b) Energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. Datos: G = 6,67 10–11 . N m2 kg–2 RT= 6,37 106 m M7 = 5,98 1024 kg País Vasco 98. 2,35 109 J ; 5595 m/s; 7,82 108 J −G 1 Mm Mm 1 M + mG =− G 2 2 r r r La velocidad orbital se obtiene: Mm v2 M F =G 2 =m ; v= G = 5595 m / s r r r Aplicando la conservación de la energía entre las dos posiciones y recordando que la energía total en una órbita es: Mm 1 2 ET = E potencial + Ecinética = −G + mv = r 2 −G 1 Mm Mm 1 M + mG =− G 2 2 r r r Ec − G Mm 1 Mm =− G R 2 2R ⎛ 1 ⎞ Mm 3 Mm Ec = ⎜ − + 1⎟G = G = 2,35 ⋅ 109 J 4 R ⎝ 4 ⎠ R 1 Mm 1 Mm + E = 0+0 ; E = G = 7,82 ⋅ 108 J b) Aplicando la conservación de la energía: − G 2 2R 4 R solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 5 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 40.Un satélite artificial de masa m = 300 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra. Sabiendo su velocidad orbital es v = 6,3 km/s, que la masa de la Tierra es MT = 5,97 1024 kg y que la constante de gravitación es G = 6,67 10–11 N m2 kg–2, determina: a) El radio de la órbita de satélite. b) La energía mecánica. c) El momento angular respecto al centro de la Tierra del satélite. Zaragoza Septiembre 97 a) La fuerza de atracción gravitatoria vale: F = G y por ser normal a la trayectoria es igual = m Despejando r: r = GM , y sustituyendo: r = Mm r2 Mm v2 v2 ; G 2 =m r r r 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,97 ⋅ 10 24 (6300) v b) La energía mecánica es la suma de la energía cinética y potencial: 1 Mm ⎞ ⎛ Emecánica = Ec + E p = mv 2 + ⎜ − G ⎟ ; sustituyendo 2 r ⎠ ⎝ 2 2 = 10,03 ⋅ 106 m 1 5,97 ⋅10 24 ⋅ 300 300 ⋅ 6300 2 − 6,67 ⋅10 −11 = −5,9535 ⋅10 9 J 6 2 10,03 ⋅10 r r r r c) El momento angular por definición: L = r × mv ; en módulo: L = r ⋅ m ⋅ v ⋅ sen 90 Emecánica = y sustituyendo: 10,03 ⋅10 6 ⋅ 300 ⋅ 6300 = 1,896 1013 kg m2 s–1 solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 6 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 41.Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. (1 p.) b) La Tierra tarda un año en realizar su órbita en tomo al Sol. Esta órbita es aproximadamente circular con radio R = 1,49 1011 m. Sabiendo que G = 6,67 10–11 N m2 kg–2, calcula la masa de Sol. (1 p.) Zaragoza Junio 98 Mm r2 1 2 . y por ser normal a la trayectoria es igual = m ⋅ ω ⋅ r G b) La fuerza de atracción gravitatoria vale: F = G 2π 1 ⎞ ⎛ Despejando la masa del Sol M = ω r y sustituyendo: M = ⎜ 1,49 ⋅ 1011 ⎟ −11 ⎝ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⎠ 6,67 ⋅ 10 2 2 3 ( ) 3 = 1,97 1030 kg solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 7 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 43.Imagina un planeta sin atmósfera, perfectamente esférico, de radio R= 5000 km y masa M = 5 1024 kg. Desde su superficie, se dispara horizontalmente un proyectil. G = 6,67 10–11 N m2 kg–2. a ) Calcula la velocidad con que debe dispararse el proyectil para que describa una órbita circular rasante a la superficie del planeta b) Explica qué es la "velocidad de escape" y calcúlala en nuestro caso. Mm a) La fuerza de atracción gravitatoria vale: F = G 2 r 2 v , y por ser normal a la trayectoria es igual = m r siendo v la velocidad con la que se mueve el proyectil en la órbita de radio r. 24 M −11 5 ⋅ 10 Despejando v: v = G ; v = 8167 m/s = 6,67 ⋅ 10 r 5 ⋅ 10 6 2 b) Es la velocidad con la que hay que lanzar un proyectil para que escape de la atracción del planeta: Aplicando la conservación de la energía entre la superficie del planeta y este punto: 1 2 Mm GM = 11549,9 m/s mvesc − G = 0 + 0 ; despejando la velocidad de escape: vesc = 2 2 R R solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 8 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 44.Compara las fuerzas de atracción que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo de masa m que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿A qué conclusión llegas? b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 kp. ¿Cuál sería el peso de ese mismo cuerpo en la superficie de la Luna? Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres. El radio de la Luna es de 0,27 veces el radio de la Tierra. Madrid 97 La distancia que hay entre el cuerpo y la Tierra es RT La Fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo colocado en su superficie vale FT = G como la masa de la Tierra es igual a 81 veces la masa lunar. FT = G MT m RT 2 , 81M L m RT 2 La distancia que hay entre el cuerpo y la Luna es 60RT – RT Y la fuerza que la Luna ejerce sobre la masa vale: FL = G Dividiendo las dos expresiones: M Lm (60 RT − RT ) 2 FT = 81 ⋅ 59 2 = 281961 FL La fuerza que la Luna hace sobre el cuerpo es despreciable frente a la que hace la Tierra. b) El peso de un cuerpo en la Tierra son 100 kp , luego su masa (que es lo que permanece invariable en la Luna y en la Tierra) son 100 kg. O bien como 1 kp = 9,8 N el cuerpo pesa 100· 9,8 N; luego su masa es de 100 kg MT 1 ML 81 = GM T 81 = 0,169 g La intensidad de campo gravitatorio en la Luna vale: g L = G 2 = T RL (0,27 RT )2 RT2 (0,27) 2 y el peso en la luna mgL = 100·0,169·9,8 = 166 N Otra forma de resolverlo es calculando la fuerza de atracción que hace la Tierra y la Luna sobre el objeto de 100 kg. M ⋅ 100 En la Tierra 100 ⋅ 9,8 = G T 2 RT En la Luna: peso Luna = G El cociente: 100 ⋅ 9,8 = peso Luna luego el peso Luna solcagra.doc M L ⋅ 100 R L2 G G MT =G ⋅ 100 81 (0,27 RT )2 M T ⋅ 100 RT2 M T ⋅ 100 = 81 ⋅ (0,27) 2 1 81 ⋅ (0,27) 2 ⋅ RT2 100 ⋅ 9,8 = = 166 N 81 ⋅ (0,27) 2 Luis Ortiz de Orruño pg 9 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 46.a) Enuncia las leyes de Kepler. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Neptuno en tomo al sol es 30 veces mayor que el de la Tierra. ¿cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? Zaragoza Junio 97 3 2 Tnep ⎛ 30 RTierra ⎞ T12 R13 2 2 ⎜ ⎟ De acuerdo con la 3ª ley de Kepler 2 = 3 ; ; TNep = TTierra ⋅ 27000 ; =⎜ 2 ⎟ T2 R2 TTierra ⎝ RTierra ⎠ TNep = TTierra ⋅ 164,32 solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 10 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 47.La luna es aproximadamente esférica, con radio R = 1,74.106 m y masa M = 7,35 1022 kg. a) Calcula la aceleración de la gravedad en la superficie lunar. (0,5 p.) b) Si se deja caer una piedra desde una altura de 2 m sobre la superficie lunar, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? (1 p.) G = 6,67 10–11 N m2 kg–2. Zaragoza Junio 99 a) La intensidad de campo gravitatorio g = G M R 2 = 6,67 ⋅10 −11 7,35 ⋅10 22 (1,74 ⋅10 ) 6 2 = 1,62 ms − 2 b) Aplicando las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado: v 2 = v 02 + 2a ⋅ e = 2 ⋅1,62 ⋅ 2 ; v = 2,55 ms–1 solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 11 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 48.- a) Enuncia la tercera ley de Kepler y comprueba que se cumple para órbitas circulares en torno a un planeta esférico de masa M. (1,5 p.) b) Los satélites de comunicaciones geoestacionarios describen órbitas circulares en el plano ecuatorial de la Tierra. El periodo de estas órbitas coincide con el de rotación de la Tierra (un día), de forma que cada satélite geoestacionario se encuentra siempre sobre el mismo punto del ecuador. Calcula el radio de esta órbita. (1 p.) G = 6,67 10–11 N m2 kg–2 ; MT = 5,98 1024 kg. Zaragoza Junio 99 Mm M 4π F = G 2 = mω 2 r , simplificando G 3 = 2 ; r r T La tercera ley de Kepler queda: T2 r b) G Mm r2 3 = 4π = cte GM = mω 2 r ; un satélite geoestacionario da una vuelta a la tierra en 24 horas, ω = GM r3 2 2π 24 ⋅ 3600 2 ⎛ 2π ⎞ ⎛ 24 ⋅ 3600 ⎞ 7 =⎜ ⎟ GM = 4,22 ⋅10 m ⎟ ; r=3 ⎜ ⎝ 2π ⎠ ⎝ 24 ⋅ 3600 ⎠ solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 12 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 49.- solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 13 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 50.- solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 14 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 56.Se lanza desde el ecuador un satélite artificial de masa 100 kg que se sitúa en una órbita circular geoestacionaria. Se desea saber: a) El valor de la altura h sobre la superficie terrestre de la órbita del satélite. b) La energía que habrá que comunicar al satélite para colocarlo en esa órbita, despreciando el rozamiento con la atmósfera. c) El suplemento de energía que habría que aportar al satélite para, una vez en órbita, sacarlo del campo gravitatorio terrestre. Datos: go = 9,8 m/s2; radio de la Tierra = 6 370 km Cantabria 99 S Decimos de un satélite que es geoestacionario cuando su periodo de rotación coincide con el de la 2π Tierra. ω = Rad / s 24 ⋅ 3600 Mm Como la fuerza gravitatoria según Newton vale Fgra v = G 2 y es normal a la trayectoria r Mm GM G 2 = mω 2 r ; r 3 = 2 ω r GM ; GM = 9,8 6370 ⋅10 3 En la superficie de la Tierra: g 0 = 9,8 = 6370 ⋅10 3 ( r3 = ( 9,8 6370 ⋅10 3 ) ) ; r = 4,22 ⋅10 7 m π 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 24 ⋅ 3600 ⎠ La altura sobre la superficie terrestre: h = r–R = 4,22 107 – 6370 103 = 3,58 107 m b) Aplicando la conservación de la energía entre la superficie de la Tierra y la órbita: E p + E sup Tierra = E p + E c órbita ( 2 ) ( ) Mm Mm 1 2 + E = −G + mvórbita R r 2 La relación entre la Ep y la Ec en una misma órbita será: −G Como debido a la atracción gravitatoria Fgra v = G Mm r 2 =m v2 r ; mv 2 = G Mm r 1 1 Mm mv 2 = G 2 2 r Mm Mm 1 Mm 1 Mm −G + E = −G + G =− G r r r R 2 2 Mm 1 Mm ⎛1 1 ⎞ E =G − G = GMm⎜ − ⎟ = 5,77 ⋅ 10 9 J R 2 r ⎝ R 2r ⎠ c) Aplicando la conservación de la energía entre la Tierra y fuera de la atracción terrestre: E p + E ' sup Tierra = E p + E c ∞ La E c = ( ) ( ) ( ) 2 Mm 9,8 6370 ⋅ 10 3 ⋅ 100 −G + E' = 0 + 0 ; E' = = 6,24 ⋅ 10 9 J 3 2 R 6370 ⋅ 10 ( ) Restando E' – E = 4,73 108 J solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 15 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 64.En la superficie de un planeta de 2000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 3 m s-2. Calcula: a) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. b) La masa del planeta. Dato: G = 6,67 10-11 N m2 kg–2 Canarias 99 En la superficie de la Tierra la intensidad de campo vale: g =G M R2 ; 3 = 6,67 ⋅ 10−11 M (2000 ⋅10 ) 3 2 ; M = 1,80 ⋅ 1023 kg b) Aplicando la conservación de la energía entre la superficie de la Tierra y el infinito. −G Mm 1 2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 1,80 ⋅ 10 23 2 = 3465 m / s + mv escape = 0 + 0 ; v escape R 2 2000 ⋅ 10 3 solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 16 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 72.a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. (1 p.) b) Calcula el radio de la órbita de Neptuno en tomo al Sol, supuesta circular, sabiendo que tarda 165 años terrestres en recorrerla. (1,5 p.) G = 6,67 10-11 N m2 kg-2; Msol = 1,99 1030 kg. Zaragoza Junio 2000 ; 5,71 1038 m b) La fuerza que actúa es la de la gravitación universal y como es perpendicular a la trayectoria será igual a la masa por la aceleración normal Fgra v = G solcagra.doc Mm r2 = mω 2 r ; despejando r r=3 GM ω2 6,67 ⋅10 −11 ⋅1,99 ⋅10 30 = 3 2π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 165 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 ⎠ Luis Ortiz de Orruño 2 = 4,49 ⋅1012 m pg 17 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 73.a) La intensidad media del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es g = 9,81 N/kg. Calcula la masa de la Tierra. (1 p.) b) ¿A qué altura sobre la superficie se reduce g a la mitad del valor indicado? (1 p.) G = 6,67 1011 N m2 kg2 ; radio de la Tierra: R = 6,37 106 m Zaragoza Junio 2000 ; 5,97 1024 kg ; 2,64 106 m a) La intensidad de campo gravitatorio vale: g = G en nuestro caso 9,81 = 6,67 ⋅10 −11 M (6,37 ⋅10 ) 6 2 M R2 ; ; M = 5,97 1024 kg 9,81 M = 6,67 ⋅10 −11 2 ; 2 r M G 2 9,81 Dividiendo las dos ecuaciones: = R ; 9,81 M 2 G 2 r b) Si g vale la mitad 2= r2 R2 ; r=R 2 Cuando r (Distancia al centro de la Tierra)= R 2 ( ) La altura h será h = r − R = R 2 − R = R 2 − 1 = 2,64 ⋅10 6 m solcagra.doc Luis Ortiz de Orruño pg 18 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 83.Una de las lunas de Júpiter, Io, describe una trayectoria de radio medio r = 4,22 108 m y período T = 1,53 105 s. Se pide: a) El radio medio de la órbita de otra luna de Júpiter, Calisto, sabiendo que su período es 1,44 106 s b) Conocido el valor de G, encontrar la masa de Júpiter. Dato: G = 6,67 10-11 unidades S.I. Cantabria 2000; 1,88 109 m; 1,90 1027 kg Aplicando la tercera ley de Kepler: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas, es proporcional a los cubos de los radios medios de las órbitas T2 = k r3 (1,53 ⋅ 10 ) (1,44 ⋅ 10 ) ( 5 2 = k 4,22 ⋅ 108 6 2 = k (rm )3 ) 3 2 ( ) 3 8 ⎛ 1,53 ⋅ 105 ⎞ ⎟ = 4,22 ⋅ 10 Dividiendo las dos ecuaciones: ⎜ ; rm = 1,88 109 m 3 ⎜ 1,44 ⋅ 106 ⎟ r m ⎝ ⎠ MJMI es igual a la masa por la aceleración normal La fuerza de atracción entre Júpiter y Io FJ I = G 2 rJO M I ω I2 rJI G MJMI rJI2 solcagra.doc ⎛ 2π = M I ⎜⎜ ⎝ TI ⎛ 2π = M I ⎜⎜ ⎝ TI 2 ⎞ ⎟⎟ rJI ⎠ 2 ( ) 3 ⎞ 6,71 ⋅10 8 ⋅ 4π 2 4π 2 ⎟⎟ rJI ; Despejado M J = rJI3 = = 1,90 ⋅10 27 kg 2 2 −11 T I ⋅ G (3,55 ⋅ 24 ⋅ 3600 ) ⋅ 6,67 ⋅10 ⎠ Luis Ortiz de Orruño pg 19 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 88.a) Enuncia las Leyes de Kepler. (1 p.) b) Europa es un satélite de Júpiter que tarda 3,55 días en recorrer su órbita, de 6,71 108 m de radio medio, en torno a dicho planeta. Otro satélite de Júpiter, Ganímedes, tiene un periodo orbital de 7,15 días. Calcula el radio medio de la órbita de Ganímedes y la masa de Júpiter. (1,5 p.) Constante de gravitación: G = 6,67 10-11 N m2 kg–2. Zaragoza Junio 2001; 1,07 109 m; 1,90 1027 Kg Aplicando la tercera ley de Kepler: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas, es proporcional a los cubos de los radios medios de las órbitas T2 = k r3 (3,55)2 = k (6,71 ⋅ 10 8 ) (7,15)2 = k (rm )3 3 2 ( 6,71 ⋅ 10 8 ⎛ 3,55 ⎞ Dividiendo las dos ecuaciones: ⎜⎜ ⎟⎟ = rm3 ⎝ 7,15 ⎠ ) 3 La fuerza de atracción entre Júpiter y Europa FJ E = G M E ω E2 rJE G MJME 2 rJE solcagra.doc ; rm = 1,07 109 m MJME 2 rJE es igual a la masa por la aceleración normal 2 ⎛ 2π = M E ⎜⎜ ⎝ TE ⎞ ⎟⎟ rJE ⎠ ⎛ 2π = M E ⎜⎜ ⎝ TE ⎞ 4π 2 6,71 ⋅ 10 8 ⋅ 4π 2 3 ⎟⎟ rJE ; Despejado M J = rJE = = 1,90 ⋅ 10 27 kg 2 2 −11 TE ⋅ G (3,55 ⋅ 24 ⋅ 3600) ⋅ 6,67 ⋅ 10 ⎠ 2 ( Luis Ortiz de Orruño ) 3 pg 20 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 89.a) Explica el concepto de campo gravitatorio creado por una o varias partículas. (1,5 p.) b) Dos partículas de masas M1 y M2 = 4M1 están separadas una distancia d = 3 m. En el punto P, situado entre ellas, el campo gravitatorio total creado por estas partículas es nulo. Calcula la distancia x entre P y M1. (1 p.) Zaragoza Junio 2001; 1 m r r 4M M b) g1 = G 2 ; g 2 = G x (3 − x )2 Igualando las intensidades de campo G M x Simplificando: 1 x2 = =G 4M (3 − x )2 4 (3 − x )2 Sacando la raíz cuadrada: solcagra.doc 2 1 2 = ;x=1m x (3 − x ) Luis Ortiz de Orruño pg 21 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 102.a) Calcula la intensidad de campo gravitatorio, g, en la superficie de Júpiter. ¿A qué altura sobre la superficie de Júpiter, h, se reduce g al valor superficial terrestre de 9,81 N/kg G=6,67 10–11 Nm2kg–2; MJ=1,90 1027 kg; RJ=6,98 107 m b) El periodo de oscilación de un péndulo simple en la superficie de la Tierra es T= 1,2 s. ¿Cuál sería su periodo de oscilación en la superficie de Júpiter? (2ptos) , 26 ms–2; 4,4 107 m; 0,74 s g =G MJ RJ2 = 6,67 ⋅ 10−11 9,81 = 6,67 ⋅ 10 −11 b) T = 2π solcagra.doc 1,90 ⋅ 10 27 (6,98 ⋅10 ) 1,90 ⋅ 1027 r2 7 2 = 26 ms − 2 ; r = 1,14 108 m ; h = r-RJ = 1,14 108 –6,98 107 = 4,4 107 m l l l ; 1,2 = 2π ; TJ = 2π ; TJ = 0,74 s g 26 9,8 Luis Ortiz de Orruño pg 22 de 23 www.lortizdeo.tk mailto:lortizdeo@hotmail.com I.E.S. Francisco Grande Covián 27/01/2005 Campo Gravitatorio Física 2ªBachiller 110.Sabemos que el cometa Halley tiene un período T = 76 años. Durante su última visita a las proximidades del Sol, en 1986, se midió la distancia al Sol en el perihelio: d1 = 8,8 107 km. a) ¿Cuál es la distancia al Sol en el afelio? b) ¿En qué punto de su órbita alcanza el cometa su máxima velocidad y cuánto vale esta? Datos: G = 6,67 10–11 N; Masa del Sol: MS= 2 1030 kg Cantabria 2002; rafelio=5,37 1012 m; vperihelio=21514 m/s El radio medio de la órbita teniendo en cuenta la ley de gravitación universal, vale: Mm F = G 2 = mω 2 r r Despejando r: r = 3 solcagra.doc GM ω 2 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 2 ⋅ 1030 = 3 2 ⋅π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ 76 365 24 3600 ⎝ ⎠ 2 = 2,687 ⋅ 1012 m Luis Ortiz de Orruño pg 23 de 23
