5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.

GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.
Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C de ecuación
implícita g ( x, y ) = 0, es decir, C := {( x, y ) ∈ \ 2 : g ( x, y ) = 0} . Se trata de un conjunto cerrado y su-
pongamos que es un conjunto acotado. Si f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \, con C ⊆ U , es una
función suficientemente regular (en particular continua) entonces alcanza el máximo y el mínimo
absolutos en C. Sin embargo, ningún punto de la curva es necesariamente un punto crítico de la
función f , luego las técnicas estudiadas en la sección anterior no son válidas en este caso. Sin embargo, si C : t ∈ I ⊆ \ → C (t ) := ( x(t ), y (t )) ∈ \ 2 , siendo x = x(t ) e y = y (t ) funciones suficientemente regulares, es una parametrización de la curva C , y consideramos la función de una variable
h : t ∈ I ⊆ \ → h(t ) := f ( x(t ), y (t )) ∈ \, se verifica que: f alcanza un máximo (mínimo) absoluto
en el punto ( x0 , y0 ) = C (t0 ) ∈ C si y sólo si h alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto
t0 ∈ I . Por tanto, el problema de obtener los extremos de la función f en C se reduce a obtener los
extremos absolutos de la función h en I . A veces no es posible determinar una parametrización de
la curva C , hecho que ocurre generalmente cuando la curva está definida implícitamente por la
ecuación g ( x, y ) = 0. En este caso se acude al método de los multiplicadores de Lagrange que exponemos a continuación.
Multiplicadores de Lagrange para funciones de dos variables. Antes de enunciar el resultado
central de esta sección vamos a presentar un ejemplo que ilustrará el camino a seguir.
EJEMPLO. Consideremos la circunferencia C de ecuación x 2 + y 2 = 2 y la función f ( x, y ) = x + y.
Queremos determinar los puntos de donde la función f alcanza el máximo y el mínimo absolutos.
Observa que estos puntos existen puesto que C es un conjunto cerrado y acotado y f es una función continua. Consideremos las rectas x + y = c, siendo c ∈ \. En los puntos ( x, y ) donde esta
recta corta a C , tenemos que f ( x, y ) = c. Si hacemos variar c ∈ \, obtenemos un haz de rectas paralelas. El valor máximo (o mínimo) de c en puntos de la curva C se obtiene cuando la recta correspondiente es tangente a C. En dichos puntos, la función f alcanza los extremos absolutos. Observa que en dichos puntos, los vectores normales a la curva C , esto es ( 2 x, 2 y ) , y el vector normal a la recta, esto es (1,1) , deben ser proporcionales. Por tanto, existirá λ ∈ \ tal que 2 x = λ y
2 y = λ. En consecuencia x = y y los puntos son (1,1) , donde se alcanza el máximo absoluto y
( −1, −1) ,
donde se alcanza el mínimo absoluto.
DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \ una función y sea C ⊆ U una curva de ecuación implícita g ( x, y ) = 0. Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción g ( x, y ) = 0, si existe un disco D centrado en ( x0 , y0 ) tal que
f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x, y ) para todo ( x, y ) ∈ D ∩ C ( ( x, y ) ∈ D y g ( x, y ) = 0 ).
Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción
g ( x, y ) = 0, si existe un disco D centrado en ( x0 , y0 ) tal que
1
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x, y ) para todo ( x, y ) ∈ D ∩ C ( ( x, y ) ∈ D y g ( x, y ) = 0 ).
En ambos casos decimos que f alcanza en ( x0 , y0 ) ∈ C un extremo relativo sujeto (condicionado)
a la restricción g ( x, y ) = 0.
Observa que los extremos absolutos de la función f en C se alcanzan en puntos donde la función
f alcanza extremos relativos condicionados a g ( x, y ) = 0.
TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos
que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0 , y0 ) sujeto a la restricción g ( x, y ) = 0 y que las
funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en un disco D centrado en ( x0 , y0 ). Si
Dg ( x0 , y0 ) ≠ 0, entonces existe un número λ ∈ \ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que
⎧ f x ( x0 , y0 ) = λ g x ( x0 , y0 ),
Df ( x0 , y0 ) = λ ⋅ Dg ( x0 , y0 ), es decir, se verifica que ⎨
⎩ f y ( x0 , y0 ) = λ g y ( x0 , y0 ).
DEM. Puesto que g tienen derivadas parciales continuas, g ( x0 , y0 ) = 0 y Dg ( x0 , y0 ) ≠ 0, la función
g verifica las hipótesis del teorema de la función implícita. Por tanto, podemos despejar una de las
variables en función de la otra. Supongamos que existe una función y = y ( x), definida en el intervalo ( x0 − δ , x0 + δ ), tal que y ( x0 ) = y0 y g ( x, y ( x)) = 0 para todo x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ). Derivando
implicitamente en el punto x0 obtenemos que g x ( x0 , y0 ) + g y ( x0 , y0 ) y′( x0 ) = 0. Consideremos la
función una variable h( x) = f ( x, y ( x)), definida para x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ). Se trata de una función
derivable con derivada continua. Puesto que g ( x, y ( x)) = 0 y la función f alcanza un extremo relativo sujeto a la restricción g ( x, y ) = 0, la función h( x) = f ( x, y ( x)) alcanza un extremo relativo en
x0 . Por consiguiente, h′( x0 ) = 0. Por otro lado sabemos que h′( x) = f x ( x, y ( x)) + f y ( x, y ( x)) y′( x)
para todo x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ). En particular, 0 = h′( x0 ) = f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 ) y′( x0 ). Por tanto, los
vectores ( g x ( x0 , y0 ), g y ( x0 , y0 ) ) y ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) ) son ortogonales al vector (1, y′( x0 ) ) y, por
consiguiente, son paralelos. Luego, teniendo en cuenta que Dg ( x0 , y0 ) ≠ 0, debe existir un número
λ tal que Df ( x0 , y0 ) = λ ⋅ Dg ( x0 , y0 ).
EJEMPLO. En el resultado anterior, el hecho de que Dg ( x0 , y0 ) ≠ 0 se ha usado para poder aplicar el
teorema de la función implícita. Sin embargo, como muestra este ejemplo, es necesario exigir tal
restricción. Consideremos la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 y la curva g ( x, y ) = ( x − 1)3 − y 2 = 0. Es claro que el mínimo de f restringido a g ( x, y ) = 0 se alcanza en el punto P = (1, 0), puesto que la
función f expresa el cuadrado de la distancia del punto ( x, y ) al origen de coordenadas. Sin embargo, Df (1, 0) = (2, 0) y Dg (1, 0) = (0, 0) con lo que no existe λ tal que Df (1, 0) = λ ⋅ Dg (1, 0).
OBSERVACIÓN. Los posibles extremos relativos de la función f restringidos a g ( x, y ) = 0 se encuentran entre las soluciones del siguiente sistema (no lineal) de tres ecuaciones con tres incógnitas
( x, y y λ )
2
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
⎧ g ( x, y ) = 0,
⎪
⎨ f x ( x, y ) = λ g x ( x, y ),
⎪ f ( x, y ) = λ g ( x, y ).
y
⎩ y
También es necesario analizar los puntos de la curva g ( x, y ) = 0 de forma que Dg ( x, y ) = 0.
EJEMPLO. Vamos a calcular los extremos absolutos del campo escalar f : ( x, y ) ∈ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \
definido por f ( x, y ) = y 3 + x 2 y + 2 x 2 + 2 y 2 − 4 y − 8 en el conjunto U := {( x, y ) ∈ \ 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} .
Observa que al ser la función f continua y U un conjunto cerrado y acotado, los valores máximos
y mínimos se alcanzan en puntos del conjunto U , que pueden estar en su interior o en su frontera.
Los que se encuentren en su interior, necesariamente serán puntos críticos de f . Por tanto, determinaremos los puntos críticos de f y analizaremos qué información proporciona el criterio de las derivadas segundas sobre cada uno de dichos puntos críticos. Como sabemos, los puntos críticos son
aquellos donde se anulan simultáneamente las derivadas parciales de la función f ( x, y ), es decir,
⎧⎪ f x ( x, y ) = 2 xy + 4 x = 2 x( y + 2) = 0,
De la primera ecuación deducimos que o bien x = 0 o bien
⎨
2
2
⎪⎩ f y ( x, y ) = 3 y + x + 4 y − 4 = 0.
2
y = −2. Si x = 0, entonces 3 y 2 + 4 y − 4 = 0. Es decir, y = o y = −2. Por otro lado, si y = −2,
3
2
entonces f y ( x, −2) = 12 + x − 8 − 4 = 0. Por tanto, x = 0. Resumiendo, hay solamente dos puntos
⎛ 2⎞
críticos: P1 = ⎜ 0, ⎟ y P2 = ( 0, −2 ) . Observa que P2 ∉ U . Para aplicar el criterio de las derivadas se⎝ 3⎠
2x ⎤
⎡2 y + 4
gúndas calculamos la matriz diferencial segunda, esto es, D 2 f ( x, y ) = ⎢
y, por tan6 y + 4 ⎥⎦
⎣ 2x
⎡16
⎤
0⎥
⎛ 2⎞
⎢
, que es definida positiva. En consecuencia, en el punto P1 = ⎜ 0, ⎟ la funto, D f ( P1 ) = 3
⎢
⎥
⎝ 3⎠
⎢⎣ 0 8 ⎥⎦
ción alcanza un mínimo relativo. Ahora usaremos el teorema de los multiplicadores de Lagrange
para buscar los puntos de la frontera de U , es decir puntos que verifican x 2 + y 2 = 1, en los que la
función f alcanza extremos relativos condicionados. Llamemos g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1. Si el punto
( x, y ) es un extremo relativo de f ( x, y ) sujeto a g ( x, y ) = 0, entonces existe un número real λ tal
2 x( y + 2) = λ 2 x,
⎧
que Df ( x, y ) = λ ⋅ Dg ( x, y ), es decir, ⎨ 2
Distinguimos dos casos. Si x = 0,
2
⎩3 y + x + 4 y − 4 = λ 2 y.
la primera ecuación se verifica y de g (0, y ) = y 2 − 1 = 0 obtenemos los puntos P3 = (0,1) y
P4 = (0, −1) son dos candidatos a ser extremos relativos. Para ambos la segunda ecuación tiene solu2
ción. Si x ≠ 0, entonces y + 2 = λ . Por tanto, 3 y 2 + x 2 + 4 y − 4 = ( y + 2)2 y. Simplificando esta
ecuación obtenemos que x 2 + y 2 = 4. Esto contradice que g ( x, y ) = 0. Por tanto, no hay extremos
relativos condicionados tales que x ≠ 0. Por el teorema de Weierstrass, la función f ( x, y ) alcanza
el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el conjunto de puntos que verifican x 2 + y 2 = 1 (ya que
3
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
este conjunto es cerrado y acotado). Puesto que estos extremos absolutos deben ser extremos relativos condicionados, necesariamente son P3 = (0,1) y P4 = (0, −1) . Para determinar en cuál se alcanza
el máximo absoluto evaluaremos la función f ( x, y ) en dichos puntos: f ( P3 ) = −9 y f ( P4 ) = −3.
Es decir, P3 = (0,1) es el punto donde la función alcanza el mínimo absoluto y P4 = (0, −1) es el
punto donde alcanza el máximo absoluto. Finalmente, determinaremos los puntos donde el campo
f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en U . El único punto crítico del interior es P1
256
y f ( P1 ) = −
. En cuanto a los segundos ya los hemos calculado en el apartado anterior. Por tan27
⎛ 2⎞
to, el máximo absoluto se alcanza en P4 = (0, −1) y el mínimo absoluto en P1 = ⎜ 0, ⎟ .
⎝ 3⎠
Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una superficie. En el caso tridimensional, el método funciona de forma análoga en el caso de una restricción g ( x, y, z ) = 0, lo
que corresponde a considerar los valores máximo o mínimo absolutos de una función f ( x, y, z ) de
tres variables sobre la superficie S := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : g ( x, y, z ) = 0} .
DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → f ( x, y, z ) ∈ \ una función y sea S ⊆ U una superficie de
ecuación implícita g ( x, y, z ) = 0. Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ S un máximo relativo sujeto (condicionado) a la restricción g ( x, y, z ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0 , y0 , z0 ) tal
que f ( x0 , y0 , z0 ) ≥ f ( x, y, z ) para todo ( x, y, z ) ∈ B ∩ S (o sea, ( x, y, z ) ∈ B y g ( x, y, z ) = 0 ). Se
dice que f alcanza en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ S un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción
g ( x, y, z ) = 0, si existe una bola B centrado en ( x0 , y0 , z0 ) tal que f ( x0 , y0 , z0 ) ≤ f ( x, y, z ) para
todo ( x, y, z ) ∈ B ∩ S (o sea, ( x, y, z ) ∈ B y g ( x, y, z ) = 0 ). En ambos casos decimos que f alcanza
en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ S un extremo relativo sujeto (condicionado) a la restricción g ( x, y, z ) = 0.
TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos
que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0 , y0 , z0 ) sujeto a la restricción g ( x, y, z ) = 0 y
las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en una bola B centrada en ( x0 , y0 , z0 ). Si
Dg ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, entonces existe un número λ ∈ \ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que
⎧ f x ( x0 , y0 , z0 ) = λ g x ( x0 , y0 , z0 ),
⎪
Df ( x0 , y0 , z0 ) = λ ⋅ Dg ( x0 , y0 , z0 ), es decir ⎨ f y ( x0 , y0 , z0 ) = λ g y ( x0 , y0 , z0 ),
⎪
⎩ f z ( x0 , y0 , z0 ) = λ g z ( x0 , y0 , z0 ).
EJEMPLO. Supongamos que entre todas las cajas rectangulares con área constante e igual a 10 m 2
hay una caja de mayor volumen posible. Vamos a hallar sus dimensiones. Llamemos x , y y z a
las longitudes de los lados de la caja. Su volumen es xyz y el área de la superficie de la caja viene
dada por 2( xy + xz + yz ). Por tanto, el problema es calcular el máximo de f ( x, y, z ) = xyz sujeto a
la restricción g ( x, y, z ) = xy + xz + yz − 5 = 0. Además, observemos que puesto que x , y y z repre-
4
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
sentan longitudes, estos valores deben ser positivos: x > 0, y > 0 y z > 0. El punto solución debe
⎧ g ( x, y, z ) = 0,
⎪ f ( x, y, z ) = λ g ( x, y, z ),
⎪ x
x
satisfacer las ecuaciones ⎨
para un cierto número λ . En nuestro caso, tene⎪ f y ( x, y, z ) = λ g y ( x, y, z ),
⎪ f ( x, y, z ) = λ g ( x, y, z ),
z
⎩ z
⎧ 0 = xy + xz + yz − 5,
⎪ yz = λ ( y + z ),
⎪
mos que ⎨
Puesto que estamos interesados solamente en soluciones del primer
xz
x
z
λ
(
),
=
+
⎪
⎪⎩ xy = λ ( x + y ).
octante, tenemos que la suma de cualesquiera dos coordenadas es no nula. Por tanto, de la segunda
yz
xz
=
, lo que implica que yx + yz = xy + xz. Es
y tercera ecuaciones anteriores se sigue que
y+z x+ z
decir, x = y. Análogamente, se obtiene que x = z. Sustituyendo en la ecuación xy + xz + yz = 5,
concluimos que x 2 =
5
5
y así x =
. Luego la solución es la caja con todos los lados iguales a
3
3
5
. Observemos que no hemos probado que ésta caja tenga volumen máximo. Lo que hemos obte3
nido es que si existe tal caja esa es la que hemos obtenido. Usualmente llegados a este punto se hace
uso de otros argumentos para concluir que la solución obtenida es la que optimiza.
Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una curva en. También puede
que estemos interesados en obtener los extremos de una función f ( x, y, z ) = 0 definida sobre una
curva C := S1 ∩ S2 dada por la intersección de las superficies S1 := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : g ( x, y, z ) = 0} y
S 2 := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : h( x, y, z ) = 0} .
DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y, z ) ∈ U ⊆ \ 3 → f ( x, y, z ) ∈ \ una función y sea C := S1 ∩ S2 ⊆ U una
curva intersección de dos superficies de ecuaciones implícitas g ( x, y, z ) = 0 y h( x, y, z ) = 0, respectivamente. Se dice que f alcanza en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ C un máximo relativo sujeto (condicionado) a
las restricciones g ( x, y, z ) = 0 y h( x, y, z ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0 , y0 , z0 ) tal que
f ( x0 , y0 , z0 ) ≥ f ( x, y, z ) para todo ( x, y, z ) ∈ B ∩ C ( ( x, y, z ) ∈ B y g ( x, y, z ) = h( x, y, z ) = 0 ). Se
dice que f alcanza en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones
g ( x, y, z ) = 0 y h( x, y, z ) = 0, si existe una bola B centrada en ( x0 , y0 , z0 ) tal que
f ( x0 , y0 , z0 ) ≤ f ( x, y, z ) para todo ( x, y, z ) ∈ B ∩ C ( ( x, y, z ) ∈ B y g ( x, y, z ) = h( x, y, z ) = 0 ). En
ambos casos decimos que f alcanza en ( x0 , y0 , z0 ) ∈ C un extremo relativo sujeto (condicionado) a
las restricciones g ( x, y, z ) = 0 y h( x, y, z ) = 0.
En este contexto se verifica el siguiente resultado.
5
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos
que f alcanza un extremo relativo en el punto ( x0 , y0 , z0 ) sujeto a las restricciones g ( x, y, z ) = 0 y
h( x, y, z ) = 0 y que las funciones f , g y h tienen derivadas parciales continuas en una bola B
centrada en ( x0 , y0 , z0 ). Si Dg ( x0 , y0 , z0 ) y Dh( x0 , y0 , z0 ) son linealmente independientes entonces
existen dos números λ , μ ∈ \ (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que
Df ( x0 , y0 , z0 ) = λ ⋅ Dg ( x0 , y0 , z0 ) + μ ⋅ Dh( x0 , y0 , z0 ),
es decir
⎧ f x ( x0 , y0 , z0 ) = λ g x ( x0 , y0 , z0 ) + μ hx ( x0 , y0 , z0 ),
⎪
⎨ f y ( x0 , y0 , z0 ) = λ g y ( x0 , y0 , z0 ) + μ hy ( x0 , y0 , z0 ),
⎪
⎩ f z ( x0 , y0 , z0 ) = λ g z ( x0 , y0 , z0 ) + μ hz ( x0 , y0 , z0 ).
DEM. La demostración es análoga a la del teorema de los multiplicadores de Lagrange para una curva en el plano. En este caso usaremos el teorema de la función implícita con tres incógnitas y dos
ecuaciones. Puesto que los vectores Dg ( x0 , y0 , z0 ) y Dh( x0 , y0 , z0 ) son linealmente independientes,
⎡ g x ( x0 , y0 , z0 ) g y ( x0 , y0 , z0 ) g z ( x0 , y0 , z0 ) ⎤
la matriz ⎢
⎥ tiene rango dos. De esta forma hay dos co⎣ hx ( x0 , y0 , z0 ) hy ( x0 , y0 , z0 ) hz ( x0 , y0 , z0 ) ⎦
lumnas que son linealmente independientes. Supongamos que son las dos últimas (de forma análoga
se hace en las otras dos posibilidades). Por el teorema de la función implícita, existen un intervalo
I ⊆ \ centrado en el punto x0 y dos únicas funciones escalares y y z derivables con derivadas
continuas en I tales que y ( x0 ) = y0 , z ( x0 ) = z0 y ( x, y ( x), z ( x)) es una solución del sistema de
⎧ g ( x, y, z ) = 0,
ecuaciones ⎨
para cada x ∈ I . Es decir, la curva C , alrededor del punto ( x0 , y0 , z0 ), se
⎩ h( x, y, z ) = 0,
parametriza mediante la aplicación C ( x) = ( x, y ( x), z ( x)), con x ∈ I . Además, derivando en el sistema de ecuaciones anterior obtenemos que
⎧⎪ g x ( x0 , y0 , z0 ) + g y ( x0 , y0 , z0 ) y′( x0 ) + g z ( x0 , y0 , z0 ) z ′( x0 ) = 0,
⎨
⎪⎩ hx ( x0 , y0 , z0 ) + hy ( x0 , y0 , z0 ) y′( x0 ) + hz ( x0 , y0 , z0 ) z ′( x0 ) = 0.
Es decir, el vector C ′( x0 ) = (1, y′( x0 ), z ′( x0 ) ) es normal al plano generado por Dg ( x0 , y0 , z0 ) y
Dh( x0 , y0 , z0 ). Por otro lado, la función ϕ ( x) := f ( x, y ( x), z ( x)) tiene un extremo relativo en el punto x0 . De esta forma, ϕ ′( x0 ) = 0. Si aplicamos la regla de la cadena obtenemos que
ϕ ′( x) = f x ( x, y ( x), z ( x)) + f y ( x, y ( x), z ( x)) y′( x) + f z ( x, y ( x), z ( x)) z′( x) = Df ( x, y ( x), z ( x)) ⋅ C ′( x).
En particular, obtenemos que Df ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ C ′( x0 ) = 0 y Df ( x0 , y0 , z0 ) es ortogonal a C ′( x0 ). De
esta forma comprobamos que el vector Df ( x0 , y0 , z0 ) pertenece al plano generado por los vectores
Dg ( x0 , y0 , z0 ) y Dh( x0 , y0 , z0 ). Por consiguiente, existen dos escalares λ y μ tales que
Df ( x0 , y0 , z0 ) = λ Dg ( x0 , y0 , z0 ) + μ Dh( x0 , y0 , z0 ).
6
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
EJEMPLO. Vamos a calcular la distancia de un punto arbitrario, pero fijo, digamos P = ( x0 , y0 , z0 ) a
⎧ y = 2,
la recta r ≡ ⎨
usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Para ello planteamos
⎩x + z = 2
el problema como un problema de mínima distancia. Dado un punto genérico ( x, y, z ) ∈ \ 3 , su distancia a P = ( x0 , y0 , z0 ) viene dada por la expresión
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 . Dicha distan-
cia es máxima o mínima cuando su cuadrado lo sea. Por tanto, nuestra función objetivo es
f ( x, y, z ) = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 .
Calcularemos, a continuación, el mínimo de la función f ( x, y, z ) sujeto a las restricciones
⎧ g ( x, y, z ) = y − 2 = 0,
que son las ecuaciones de la recta. Por el teorema de los multiplicadores
⎨
⎩ h( x, y, z ) = x + z − 2 = 0,
de Lagrange, si ( x, y , z ) es el punto donde se alcanza dicho mínimo, deben existir dos números λ y
μ tales que Df ( x, y, z ) = λ ⋅ Dg ( x, y, z ) + μ ⋅ Dh( x, y, z ). En este caso, estas ecuaciones quedan co⎧2( x − x0 ) = μ ,
⎪
mo ⎨2( y − y0 ) = λ , De la primera y tercera ecuación deducimos que x − z = x0 − z0 . Esto, junto con
⎪2( z − z ) = μ .
0
⎩
x −z
z −x
el hecho de que h( x, y, z ) = x + z − 2 = 0, implica que x = 1 + 0 0 y z = 1 + 0 0 . Por otro lado,
2
2
la restricción g ( x, y, z ) = y − 2 = 0 fuerza a que y = 2. Es decir, el punto de la recta donde la distanz −x ⎞
⎛ x −z
cia es mínima es ⎜1 + 0 0 , 2,1 + 0 0 ⎟ . En particular, dicha distancia es
2
2 ⎠
⎝
2
2
⎛ x0 − z0
⎞
⎛ z −x
⎞
⎛ x +z ⎞
− x0 ⎟ + ( 2 − y0 ) + ⎜1 + 0 0 − z0 ⎟ = 2 ⎜1 − 0 0 ⎟ + ( 2 − y0 ) .
⎜1 +
2
2
2 ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
2
2
2
Ahora vamos a calcular los puntos más cercano y más lejano del elipsoide x 2 +
y2 z2
+ = 1 a la re2
3
⎧ y = 2,
cta r ≡ ⎨
Una vez que tenemos la expresión de la distancia de un punto arbitrario P a la
⎩ x + z = 2.
recta r tenemos que calcular cuándo esta función alcanza un mínimo o máximo suponiendo que el
y2 z2
2
P
=
(
x
,
y
,
z
)
pertenece
al
elipsoide
de
ecuación
x
+
+ = 1. De nuevo podemos considepunto
2
3
rar como función objetivo el cuadrado de la distancia. Es decir, queremos buscar el mínimo y el má2
⎛ x+ z⎞
ximo de la función f ( x, y, z ) = 2 ⎜1 −
⎟ + ( 2 − y ) sujeto a la restricción definida por la fun2 ⎠
⎝
2
2
y
z
ción g ( x, y, z ) := x 2 + + − 1 = 0. Por el teorema de los multiplicadores de Lagrange, los puntos
2
3
2
7
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
⎧ f x ( x, y, z ) = λ g x ( x, y, z ),
⎪
donde dichos mínimos y máximos se alcancen deben verificar que ⎨ f y ( x, y, z ) = λ g y ( x, y, z ), para
⎪
⎩ f z ( x , y , z ) = λ g z ( x, y , z )
⎧
⎪ −2 + x + z = λ 2 x,
⎪
Si λ = 0, entonces
un cierto número real λ . En nuestro caso tenemos que ⎨−2 ( 2 − y ) = λ y,
⎪
⎪ −2 + x + z = λ 2 Z .
⎪⎩
3
2
2
y
z
z2
2
2
y = 2 y x + z = 2. Sustituyendo en x + + = 1 obtenemos que ( 2 − z ) + 2 + = 1. Puesto
2
3
3
que el término de la izquierda es mayor que 2, ésta ecuación no tiene solución. Por consiguiente,
1
λ ≠ 0. De la primera y tercera ecuación deducimos que λ x = λ z. Por tanto, 3x = z. Despejando
3
ahora λ en la primera y segunda ecuación se obtiene que 4 x = y. Por tanto, x 2 + 8 x 2 + 3 x 2 = 1. Es
⎛ 3 2 3 3⎞
3
. De esta forma, obtenemos las dos soluciones: una es P1 = ⎜⎜
,
,
⎟ y la
6
3
2 ⎟⎠
⎝ 6
⎛
3 2 3
3⎞
,−
,−
otra es P2 = ⎜⎜ −
⎟ . Evaluamos ahora la función f ( x, y, z ) en estos puntos y obte3
2 ⎟⎠
⎝ 6
nemos por una parte f ( P1 ) = 8 − 4 3 y, por otra, f ( P2 ) = 8 + 4 3. Por tanto, la distancia mínima se
decir, x = ±
alcanza en el punto P1 y dicha distancia vale
to P2 y vale
8 − 4 3 y la distancia máxima se alcanza en el pun-
8 + 4 3.
EJERCICIO 1. Considera la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 + x 2 y 2 .
(1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función f .
(2) Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción 4 x 2 + y 2 = 4.
(3) Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f
en el conjunto {( x, y ) ∈ \ 2 : 4 x 2 + y 2 ≤ 4} .
EJERCICIO 2. Considera la función f ( x, y ) = e x − y ( x 2 + y 2 ) .
(1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función f .
(2) Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción x 2 + y 2 = 1.
(3) Enuncia el teorema de Weierstrass para funciones de dos variables.
(4) Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f
en el círculo x 2 + y 2 ≤ 1.
8
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
EJERCICIO 3. Usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, encuentra el máximo de la
función f ( x, y ) = x 2 / 3 y1/ 3 en el segmento que une los puntos (1, 0) y (0,1).
EJERCICIO 4. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la curva xy = 1, siendo
x > 0 e y > 0.
EJERCICIO 5. Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia
de radio R. Calcula también las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de
semiejes a > 0 y b > 0, cuyos lados son paralelos a los ejes de la elipse.
EJERCICIO 6. Calcula las dimensiones de los paralelepípedos de mayor área y de mayor volumen
inscritos en una esfera de radio R.
EJERCICIO 7. Estrategia para dibujar el mapa del escondite donde el pirata Morgan tiene guardado
el supuesto tesoro de la isla del tesoro. La figura representa el contorno de la isla en la que el pirata
Morgan escondió el tesoro.
N
Fijado un sistema de coordenadas cartesianas en el que las abscisas representan la longitud y las ordenadas la latitud (como es habitual en los mapas), el contorno de la isla es la curva de ecuación implícita x 4 − 4 x + 4 y 2 + y 4 = 2. Para encontrar el tesoro debes ejecutar los siguientes pasos:
(1) Halla las coordenadas del punto N más septentrional de la isla.
(2) Comprueba que en dicho punto la curva define la latitud y como función de la longitud x y
obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de dicha función definida implícitamente.
(3) Se sabe que el tesoro está en el punto T de la isla en el que la gráfica de dicho polinomio corta
el eje de abscisas. Calcula las coordenadas del punto T .
(4) Dibuja la localización aproximada de los ejes coordenados, los puntos N y T y la gráfica del
polinomio de Taylor mencionado.
9
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.
MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II
Lección 1. Aplicaciones de la derivación parcial.
EJERCICIO 8. Calcula las dimensiones de la pirámide recta de base cuadrada y máximo volumen
que puede construirse con un alambre de longitud L.
EJERCICIO 9. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la superficie xyz = 1,
siendo x > 0, y > 0 y z > 0.
EJERCICIO 10. Calcula el máximo y el mínimo absolutos de la función
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z
sobre el conjunto U := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, y + z = 1} .
EJERCICIO 11. Sea f ( x, y, z ) = 3 x 2 + 4 xy + z 3 . Calcula los extremos absolutos de f en el sólido
cilíndrico U := {( x, y, z ) ∈ \ 3 : x 2 + y 2 ≤ 1, − 2 ≤ z ≤ 2} .
⎧ x 2 + y 2 + z 2 = 36,
EJERCICIO 12. Calcula las coordenadas del punto más alto de la curva ⎨
⎩2 x + y − z = 2.
⎧ x 2 + z 2 = 2,
EJERCICIO 13. Calcula las coordenadas del punto de la elipse ⎨
más próximo al origen
⎩ x + y = 1,
de coordenadas.
EJERCICIO 14. Sea S la superficie dada en \ 3 por la ecuación implícita
z 3 + zx 3 + zy 4 + y 2 + 2 xy − 2 x − 4 y + 3 = 0.
(1) Prueba que en un entorno del punto P = (1,1, 0) puede obtenerse la coordenada z de los puntos
de S como una función explícita z = z ( x, y ) de las otras dos coordenadas.
(2) Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de z en el punto (1,1).
(3) Prueba que (1,1) es un punto crítico de z y clasifícalo.
(4) Sea C la intersección de la superficie S con el plano OXY . Sea g ( x, y ) = x( y − 1). Queremos
hallar los extremos relativos de g sujetos a la restricción C. ¿Cuáles son los puntos candidatos a
extremos relativos que proporciona el teorema de los multiplicadores de Lagrange para este caso?
(5) Halla los extremos absolutos de g sujetos a la restricción C.
EJERCICIO 16. Sea la ecuación F ( x, y, z ) = z 3 + x 2 z + y 2 z + xy − 8 = 0.
(1) Prueba que en un entorno del punto P = (0, 0, 2) puede definirse la variable z como función
z = z ( x, y ) de las otras dos variables x e y.
(2) Prueba que (0, 0) es un punto crítico de z ( x, y ) y clasifícalo.
(3) Sea C la curva intersección de la superficie de ecuación F ( x, y, z ) = 0 con el plano de ecuación
z = 1 y sea f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Halla los extremos relativos de f sujetos a la restricción C.
10