Pauta auxiliar 5 Profesor: Jorge San Martín Auxiliares: Francisco Jiménez - Ramiro Villagra P1 Z a2 dx + x2 cambio de variable x = au ⇒ dx = adu 1 = a Z xdx 1 + x2 cambio de variable x2 dx = 1 + x2 Z x 1 du = +C arctan 1 + u2 a a u = x2 ⇒ du = 2xdx 1 2 = Z Z Z du 1 = ln 1 + x2 + C 1+u 2 Z dx = x − arctan(x) + C 1 + x2 Z Z Z √ 3 xdx 2 1+x dx √ √ √ = dx − = (1 + x) 2 − 2 1 + x + C 3 1+x 1+x 1+x Z x2 dx √ cambio de variable u = 1 + x ⇒ du = dx, ademas x = u − 1 1+x Z 2 Z Z Z √ 3 1 1 5 2 u − 2u + 1 2 4 2 2 √ du = u du − 2 u du + u− 2 du = (1 + x) 2 − (1 + x) 3 + 2 1 + x + C 5 3 u dx − P2 Z sen(x)cos(x)dx p 1 + sen(x) cambio de variable u = sen(x) ⇒ du = cos(x)dx Z udu √ 1+u = cambio de variable Z = v = 1 + u ⇒ dv = du Z Z p 1 1 3 v−1 2 √ dv = v 2 dv − v − 2 dv = (1 + sen(x)) 2 − 2 1 + sen(x) + C 3 v √ Z p x √ dx 1+ x cambio de variable u= √ x ⇒ du = Z =2 cambio de variable dx 2x u2 1+u v = 1 + u ⇒ dv = du Z 2 q √ 5 √ 3 √ v − 2v + 1 4 8 √ =2 = (1 + x) 2 − (1 + x) 2 + 4 1 + x + C 5 3 v 1 P3 Z cos(ln(x)) cambio de variable y = ln(x) ⇒ dx x Z I= integracion por partes integracion por partes notar que x = ey cos(y)ey dy u = cos(y) ⇒ du = −sen(y)dy, dv = ey dy ⇒ v = ey Z I = cos(y)ey + ey sen(y)dy u = sen(y) ⇒ du = cos(y)dy, dv = ey dy ⇒ v = ey I = cos(y)ey + sen(y)ey − I ⇒ 2I = ey (cos(y) + sen(y)) + C ⇒ I = P4 I = Z sen2 (x)dx integracion por partes x(cos(ln(x)) + sen(ln(x))) +C 2 u = sen(x) ⇒ du = cos(x)dx, dv = sen(x)dx ⇒ v = −cos(x) Z I = −sen(x)cos(x) + ⇒I= Z 2 cos (x)dx = −sen(x)cos(x) + dx − I x − sen(x)cos(x) +C 2 P5 Z f (x)dx = f (x)/ Z d f 0 (x) f 0 (x) ⇒ f (x) = f 0 (x) ⇒ =1 =1⇒ dx f (x) f (x) f 0 (x)dx = x + C ⇒ ln(f (x)) = x + C ⇒ f (x) = ex+C f (x) 2 Z f 0 (x) dx = f (x) Z dx = x + C