EXTREMOS DE UNA FUNCION

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Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado”
Decanato de Agronomía
Programa Ingeniería Agroindustrial
Departamento de Gerencia y Estudios Generales
Matemática I
Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Definición de Valores Extremos
Definición (Valores Extremos)
Sea f definida en un intervalo I conteniendo a c.
1.
f (c) es el mínimo de f en I sí f (c)  f ( x) para todo x en I.
2.
f (c) es el máximo de f en I sí f (c)  f ( x) para todo x en I.
El mínimo y el máximo de una función se llaman valores extremos o extremos de la función
en ese intervalo.
Observaciones
1. A los valores extremos, se les llama mínimo y máximo absolutos si se cumple la
desigualdad correspondiente para todo x en el dominio de f.
2. ¿Tiene f un valor máximo o mínimo en I?. Una función puede no tener mínimo o máximo
en un intervalo, de hecho, puede carecer de ambos.
Ejemplo
(2,4) Máximo
4
3
3
f(x) = x2
2
1
-1
No Máximo
4
f(x) = x2
2
1
1
2
3
(0,0) Mínimo
4
-1
1
2
3
4
(0,0) Mínimo
Comparando los dos primeros gráficos vemos que se pierde un máximo al
cambiar el intervalo cerrado [-1,2] por el abierto (-1,2)
Profesora. Marisol Cuicas Avila
2
(2,4) Máximo
4
3
x2 sí x  0
2 sí x = 0
f(x) =
2
1
-1
1
2
3
No Máximo
4
4
3
x2 sí x  0
2 sí x = 0
f(x) =
2
1
1
-1
No Mínimo
2
3
4
No Mínimo
En los gráficos, observamos que una discontinuidad (x = 0) puede afectar la existencia
de extremos sobre un intervalo cerrado o abierto.
El siguiente enunciado se trata de un teorema de existencia, pues asegura que
existe el máximo y el mínimo pero no dice cómo calcularlos.
Teorema de Valores Extremos
Teorema de Valor Extremo. Si f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene
máximo y mínimo en el intervalo.
Por lo general una función que queremos maximizar o minimizar tiene como dominio un
intervalo I. Pero este intervalo puede ser, abierto, cerrado, semi-abierto e infinito. Algunos de
ellos contienen sus puntos frontera, otros no. Por ejemplo:

[a, b] contiene a sus puntos frontera.

[a, b) contiene sólo al punto frontera de la izquierda.

(a, b] contiene sólo al punto frontera de la derecha.

(a, b) no contiene puntos frontera.
A menudo los extremos de las funciones definidas en intervalos cerrados se presentan en
puntos frontera. Si c es un punto para el cual f ' (c)  0 , lo llamamos punto estacionario.
Los valores extremos con frecuencia se presentan en puntos estacionarios. Si c es un punto
interior a I en el que no existe f´, lo llamamos punto singular. Es un punto en que la gráfica
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de f tiene un vértice agudo, una tangente vertical, o tal vez da un salto. Los valores extremos
pueden darse en puntos singulares. Estas tres clases de puntos, son la clave de la teoría de
máximos y mínimos. Cualquier punto del dominio de f que sea uno de estos tres tipos se
llama punto crítico de f.
Números Críticos
Definición de Número Crítico. Si f está definida en un intervalo I que contiene al punto c. Si
f(c) es un valor extremo entonces c debe ser un punto crítico de f; es decir, tendrá que ser
uno de los tres casos siguientes: (a) un punto frontera, (b) un punto estacionario de f
( f ' (c)  0 ) y (c) un punto singular de f en el que f ' (c) no exista.
f´(c) no está definida
f´(c) = 0 (tangente horizontal)
c
f(a) = 0
f(b) = 0
f(a) = 0
c
f(b) = 0
Extremos Relativos
En la figura siguiente observamos que los valores extremos pueden ocurrir en puntos
interiores o terminales (fronteras) de un intervalo. Estos últimos se llaman extremos
terminales y los que ocurren en puntos interiores se llaman extremos relativos.
Definición de Extremos Relativos. Sea f una función y c Domf se dice que f tiene:
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1. Un máximo relativo (o máximo local) en el punto c si existe un  > 0 tal que f(c)  f(x),
para todo x (c-, c+).
2. Un mínimo relativo (o mínimo local) en un punto c si existe un  > 0 tal que f(c)  f(x),
para todo x (c-, c+).
Los máximos y mínimos relativos de f reciben el nombre común de extremos relativos de f.
Ejemplo
Máximo
Absoluto
Máximo
Local
Máximo
Local
Máximo
Local
Mínimo
local
Mínimo
Local
Mínimo
Local
Mínimo
Absoluto
En la gráfica vemos que f tiene un máximo en algunos puntos respecto a ciertos intervalos y
no respecto de otros. Análogamente sucede con el mínimo. Además parece que la manera
de obligar a esos puntos a ser extremos es escoger intervalos suficientemente pequeños
para producir una colina local o un valle. Esta es la idea esencial de la definición anterior. La
colina más alta corresponde al máximo absoluto de f y el valle más profundo corresponde al
mínimo absoluto. Las otras colinas y los otros valles corresponden a los máximos locales.
Un máximo local o un mínimo local, son un máximo o un mínimo, sólo para una parte del
dominio de la función.
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Teorema (Teorema del punto crítico para extremos locales).
Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.
Guía para Hallar Extremos de un Intervalo Cerrado.
Para hallar los extremos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b], se
sugiere:
1. Evaluar f en cada punto crítico que tenga en (a, b).
2. Evaluar f en los puntos a y b.
3. El menor de tales valores es el mínimo; el mayor es el máximo.
Funciones Crecientes y Decrecientes
Definiciones
1. Una función f se dice que es creciente en un intervalo I si y solo si para todo par de
números x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2).
2. Una función f se dice decreciente en un intervalo I si y solo si para todo par de números
x1 y x2 en el intervalo, x1 < x2 implica f(x1) > f(x2).
3. Una función f es estrictamente monótona sobre el intervalo I si y solo si es creciente o
decreciente sobre I.
x=a
De esta definición vemos que f es creciente si
su gráfica asciende al mover x hacia la
derecha y es decreciente si desciende al
mover x hacia la derecha.
x=b
La derivada va a determinar cuando una
función es creciente, pues como lo indica la
figura:
• Una
derivada
positiva indica
pendiente de la gráfica asciende.
Decreciente
que
la
Creciente
• Una derivada negativa produce pendiente en
Constante
descenso.
• Una derivada nula implica que la función es
f´(x) < 0
f´(x) = 0
f´(x) > 0
constante.
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Teorema (Criterio para funciones crecientes y decrecientes).
Sea f una función derivable en el intervalo (a, b).
1. Si f ' ( x)  0 para todo x en (a, b) entonces f es creciente en (a, b).
2. Si f ' ( x)  0 para todo x en (a, b) entonces f es decreciente en (a, b).
3. Si f ' ( x)  0 para todo x en (a, b) entonces f es constante en (a, b).
Para ver cómo aplicar el teorema anterior, notemos que para f continua, f ' ( x) solo
puede cambia de signo en los números críticos. Luego para determinar los intervalos donde f
es creciente o decreciente se sugieren los siguientes pasos:
1. Localizar los números críticos de f.
2. Mirar el signo de f´ en un punto de cada intervalo determinado por dos números críticos
consecutivos.
3. Decidir, mediante el teorema anterior, si f es creciente o decreciente en cada uno de esos
intervalos de prueba.
Una vez determinados los intervalos donde f es creciente o decreciente es fácil
localizar sus extremos relativos, basta aplicar el siguiente teorema:
Teorema (Criterio de la primera derivada).
Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c.
Si f es derivable en el intervalo I, excepto a lo sumo en c entonces f(c) puede clasificarse
como sigue:
1. Si f´ cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un mínimo relativo de f.
2. Si f´ cambia de positiva a negativa en c, f (c) es un máximo relativo de f.
3. Si f´ no cambia su signo en c, f(c) no es mínimo ni máximo relativo.
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f´(x) > 0
f´(x) < 0
a
f´(x) < 0
c
f´(x) > 0
f´(x) > 0
f´(x) > 0
a
b
Mínimo Relativo
c
b
Máximo Relativo
c
a
b
Ni máximo ni mínimo Relativo
Determinar los intervalos donde f es creciente o decreciente es útil para hallar su
gráfica. Sin embargo, localizando los intervalos donde f´ crece o decrece, podemos
determinar donde se curva hacia arriba o hacia abajo la gráfica de f.
Concavidad y Puntos de Inflexión
Definición de Concavidad.
Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es
cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es
decreciente en el intervalo.
Interpretación Gráfica de la Concavidad
Cóncava hacia arriba.
f´ creciente
Cóncava hacia abajo.
f´ decreciente
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De la figura anterior, se puede deducir la siguiente interpretación gráfica de la
concavidad.
1. Si una curva está por encima de sus rectas tangentes, es cóncava hacia arriba.
2. Si una curva está por debajo de las rectas tangentes es cóncava hacia abajo.
Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f, podemos usar la siguiente
derivada para distinguir donde crece o decrece f´. Bastará con tener en mente que la
segunda derivada de f es la primera de f´. Por lo tanto, f´ es creciente si f´´ es positiva y
decreciente si f´´ es negativa.
Teorema (Criterio de concavidad).
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I: a) Si f ' ' ( x)  0 para
todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba, y b) Si f ' ' ( x)  0 para todo x en I, la
gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Definición. Si la gráfica de una función continua posee recta tangente en un punto donde la
concavidad cambia de sentido, llamamos a ese punto de inflexión.
Punto de
Inflexión
Punto de
Inflexión
Cóncava
hacia abajo
Cóncava
hacia arriba
Cóncava
hacia
abajo
Cóncava
hacia
arriba
Cóncava
hacia
arriba
Cóncava
hacia
arriba
Cóncava
hacia
abajo
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Como se puede suponer, los puntos donde f ' ' ( x)  0 o donde f ' ' ( x) no existe son
candidatos viables para ser puntos de inflexión, ya que para concluir que hay un punto de
inflexión en algún x donde f ' ' ( x)  0 , hay que asegurarse de que la concavidad cambia de
sentido.
Teorema (Criterio de la Segunda Derivada)
Sea f una función tal que f´(c) = 0 y tal que f´´ exista en un intervalo abierto que contenga a c.
1. Si f ' ' (c)  0 , entonces f(c) es un mínimo relativo.
2. Si f ' ' (c)  0 , entonces f(c) es un máximo relativo.
3. Si f ' ' (c)  0 , entonces el criterio no decide
Observaciones
1. El criterio de la segunda derivadas sólo puede ser aplicado sí: a) f es dos veces derivable
en un intervalo abierto que contenga a c, b) f ' ' (c)  0 y c) f ' ' (c)  0
2. Si el criterio de la segunda derivada no es aplicable, hay que recurrir a la primera
derivada.
Sobre la base de todo lo que hemos estudiado, ya está en condiciones de esbozar con
mucha precisión el gráfico de una función. La técnica puede resumirse en el siguiente
cuadro:
Pasos
¿Qué debo estudiar?
Explicación
1
Simetría
Determinar si tiene simetría con respecto al eje Y o respecto al
origen. En caso afirmativo el trabajo se reduce a la mitad. Sólo
es necesario graficar los puntos con abscisa x  0. Recordar
que: a) la gráfica de f es simétrica respecto al eje Y sí y solo sí
f ( x)  f ( x) , b) la gráfica de f es simétrica respecto al origen
sí y solo sí f ( x)   f ( x) .
2
Intersecciones con los
ejes
La intersección con el eje Y se encuentra haciendo x = 0. La
intersección con el eje X se encuentra haciendo y = 0.
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Pasos
¿Qué debo estudiar?
Explicación
3
Dominio, continuidad
y asíntotas
Hallar el dominio de la función, las discontinuidades y los
intervalos de continuidad. Calcular los límites unilaterales en
los extremos de estos intervalos de continuidad. Estos límites
nos proporcionan las asíntotas verticales y de existir los límites
al infinito estos nos dan las asíntotas horizontales
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Estudiar la primera
derivada
Estudiar la derivada f´ en los intervalos particionados por los
puntos críticos y los posibles puntos de inflexión. Para así
obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función aparte de los máximos y mínimos de esta.
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Estudiar la segunda
derivada
Estudiar la segunda derivada (f´´) en los intervalos obtenidos
en el paso 4. Estudiar el signo de esta para obtener la
concavidad y puntos de inflexión de f.
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Graficar
Esbozar el gráfico de f con la información encontrada en los
pasos anteriores. Si es necesario calcular algunos puntos
extra.
Actividades de Autoevalución
1. Responda con verdadero o falso cada uno de los siguientes enunciados. Justifique su
respuesta.
a. Una función continua definida en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor máximo
en ese intervalo.
b. Si una función diferenciable f alcanza un valor máximo en un intervalo c de su
dominio, entonces f´(c) = 0.
c. Es posible que una función tenga un número infinito de puntos críticos.
d. Sí f(x) = 3x6 + 4x4 + 2x2. La gráfica de f es cóncava hacia arriba en todo el eje real.
e. Si f´(x) > 0 para todo x en I, entonces f es creciente en I.
f. Si f´´(x) = 0, entonces f tiene un punto de inflexión (c,f(c)).
g. Si f´(x) > 0 para todo x en [a,b] entonces f alcanza su máximo valor en b (de [a,b]).
h. Si f´(x) = 0 para todo x en [a,b], entonces f es constante en el intervalo.
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i. La gráfica de y = senx tiene un número infinito de puntos de inflexión.
2. Use los pasos para trazar las gráficas de las ecuaciones dadas.
1 3
1 2
x 
x  2x 1
3
2
2
3
b) y 
( x 2  1) 3
4
c ) y  x  senx,
0  x  2
a) y 
2
d ) y  2 x  3x 3
2
5
e) y  x 3 (  x )
2
f ) y  x 8  x2
x3
g) y 
3x 2  1
h) y  sen | x |,
 2  x  2
i) y  x 2  2 x  1
Referencias
Edwards, C. y PENNEY, D. (1996). Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición.
México: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Fleming, W. y Verberg, D. (1999). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.
Tercera edición. México: PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Leithold, L. (1990). El Cálculo con Geometría Analítica. Sexta Edición. México: Harla.
Purcell, E. y Verberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición. México:
PRINTICE HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Sáenz, J. (1995). Calculo diferencial para ciencias e ingeniería. Lara, Venezuela:
HIPOTENUSA.
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Swokowski, E. (1988). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Segunda
edición. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
“Dos alas para volar en este mundo: coraje y entusiasmo La vida no tiene
sentido y parece gris y sin valor, si no hay entusiasmo.
El entusiasmo da color y belleza a nuestra vida.
El coraje es lo que permite que el vuelo suceda, que el pájaro avance y no
retroceda.
Puede que haya vientos fuertes, pero el coraje permite superar los obstáculos,
yendo hacia una meta muy definida"
Autor Desconocido
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