1 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica TEMA 4 ESTUDIO DE ONDAS PLANAS HOMOGÉNEAS Miguel Ángel Solano Vérez Electrodinámica Tema 4: ondas planas 2 TEMA 4: ESTUDIO DE ONDAS PLANAS HOMOGÉNEAS 4.1 Introducción En el capítulo 3 se han desarrollado la ecuaciones de onda para el campo electromagnético correspondiente a medios con y sin pérdidas. Asimismo, se han obtenido sus soluciones en los sistemas de coordenadas rectangulares y cilíndrico utilizando el método de separación de variables. En este capítulo, vamos a considerar las soluciones del campo electromagnético para campos con variación armónica temporal que viajan por un medio infinito tanto en el caso sin pérdidas como con pérdidas. En particular, veremos que las soluciones de este caso son ondas (o modos) electromagnéticas de tipo TEM, o transversales electromagnéticas que significa que el campo electromagnético no tiene ninguna componente en la dirección en la que se propaga la energía. Se introducirán conceptos como impedancia de onda, velocidades de fase y grupo y razón de onda estacionaria. También se verá el concepto de polarización. 4.2 Modos transversales electromagnéticos (TEM) Un modo es una configuración particular de un campo. Para un problema electromagnético dado, sometido a unas ciertas condiciones de contorno, existen muchas distribuciones del campo que satisfacen las ecuaciones de ondas, o lo que es lo mismo, las ecuaciones de Maxwell junto con esas condiciones de contorno. Todas esas diferentes configuraciones (soluciones) del campo se llaman habitualmente modos. Un modo TEM es una de esas configuraciones de campo en la que tanto el campo eléctrico como el campo magnético en cada punto del espacio está contenido en un plano local, llamado plano de igual fase, y que es independiente del tiempo. En general, la orientación de esos planos locales asociados con una onda o modo TEM son diferentes en las diferentes posiciones del espacio. En otras palabras, en un punto dado (x1,y1,z1) todos las componentes del campo están contenidos en un plano. En otro punto (x2,y2,z2) de nuevo todos las componentes del campo están contenidas en otro plano. Sin embargo, en una onda TEM esos dos planos no tiene porque ser paralelos, como puede verse en la figura 4.1. Si la orientación de los planos para un modo TEM es la misma, es decir, los planos de igual fase son paralelos, como muestra la figura 4.1b, entonces los 3 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica campos forman una onda plana. En otras palabras, las superficies de igual fase son superficies planas paralelas entre sí. Si además, en los planos de igual fase la amplitud del campo es constante, entonces se denominan ondas planas uniformes. Esto significa que el campo no es función de las coordenadas que forman los planos de igual fase y de igual amplitud. Figura 4.1- Onda TEM (a) y onda plana (b). 4.3 Ondas planas en el vacío El campo eléctrico es solución de la ecuación de Helmholtz homogénea 2 G ∇ E G G G G G ∂2 E ∂2 E ∂ 2 E + k02 E = 0 ⇒ + + + k02 E = 0 2 2 2 x y z Esta ecuación es válida para cada componente del campo eléctrico, luego Electrodinámica 4 Tema 4: ondas planas ∂ 2 Ei ∂ 2 Ei ∂ 2 Ei ∇ Ei + k Ei = 0 ⇒ 2 + 2 + 2 + k02 Ei = 0 i = x, y, z x y z 2 2 0 cuya solución se obtiene mediante el método de separación de variables ya conocido. Así, para la componente Ex tendremos Ex ( x , y , x ) = A e − jkx x − jky y − jkz z (4.1) donde kx2 + ky2 + kz2 = k02 ; 2 ω ⎞2 ⎛ 2 πf ⎞ 2 ⎟ = ω ε0 µ0 ⎟ =⎜ c ⎝c ⎠ ⎝ ⎠ k02 = ⎛⎜ La ecuación (4.1) se interpreta como la componente x del campo eléctrico correspondiente a una onda que se propaga en la dirección dada por el vector de G onda k que es G G G G k = ax kx + a y ky + az kz (4.2) G ya que el producto escalar de k por el vector de posición G G G G r = a x x + a y y + az z es kxx+ kyy+ kzz y es k0 veces la distancia perpendicular desde el origen a un plano G G G G normal al vector k . El vector k se puede escribir también como k = n k0 , donde G G n es el vector unitario en la dirección de propagación y k0 es el módulo de k (ver figura 4.2) G G Figura 4.2.- Esquema de un plano normal al vector k = n k0 5 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Soluciones similares se pueden encontrar para el resto de las componentes del campo eléctrico que, además, no son independientes ya que deben cumplir la G relación ∇.B = 0 . Esto significa que solamente dos de las tres componentes pueden tener amplitudes arbitrarias. Sin embargo, para que la divergencia del campo eléctrico se anule, es necesario que todas las componentes tengan la misma dependencia espacial E y (x , y , x ) = B e − jkx x − jky y − jkz z ; E y (x , y , x ) = B e − jkx x − jky y − jkz z (4.3) G G G G donde B y C son las amplitudes. Si definimos el vector E 0 = ax A + a y B + az B , el campo eléctrico se puede poner como G G E ( x , y , x ) = E0 e − jkx x − jk y y − jkz z G G G = E e − jk .r (4.4) La condición de la divergencia produce G G G G G G G G G G − jk .r − jk .r ∇. E ( x , y , x ) = E0 ∇ e = − j k . E0 e = 0 ⇒ k . E0 = 0 G lo que implica que el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación de la energía. La solución dada por (4.4) se denomina onda plana uniforme porque G G las superficies de fase constante dadas por k . r = constante son planos y el campo eléctrico no varía sobre un plano de fase constante. La solución para el campo magnético se obtiene de la ley de Faraday G G ∇x E = − j ω µ0 H de forma que despejando queda G G G G 1 ∇x E0 e − jk .r = H =− j ω µ0 = donde Y0 = G G G G G 1 1 G G − jk .rG = E0 x ∇ e − jk .r = k x E0 e j ω µ0 ω µ0 (4.5) G G ε G G k0 G G n x E = 0 n x E = Y0 n x E µ0 ω µ0 ε0 tiene dimensiones de admitancia y se llama admitancia intrínseca µ0 1 se llama impedancia intrínseca del vacío. Notemos Y0 G G G G G que H es perpendicular a E y a n , por lo que tanto H como E descansan en un del vacío. Su inverso Z0 = plano de fase constante. Por esta razón a este tipo de ondas se les denomina ondas o modos transversales electromagnéticos (TEM), como muestra la figura 4.3. Electrodinámica 6 Tema 4: ondas planas G G G Figura 4.3.- Relación espacial entre E , H y n en una onda TEM. El campo eléctrico físico (real) correspondiente a la representación fasorial (4.4) es G G G G G G ( G G ξ ( r ,t ) = ℜe ⎧⎨E0 e − jk .r`+ jωt ⎫⎬ = E0 cos ωt − k .r ⎩ ⎭ ) (4.6) G donde, por simplicidad, hemos asumido E0 real. La longitud de onda λ0 es la distancia que debe viajar la onda para que la fase cambie en 2π radianes. Es decir, G ω 2π k λ0 = k0 λ0 = 2 π ⇒ k0 = ω ε0 µ0 = = c λ0 (4.7) Este resultado es la relación conocida entre la longitud de onda λ0, la frecuencia f=ω/2π y la velocidad c en el vacío. También se puede definir una longitud de onda en otra dirección que no sea la de propagación. Por ejemplo, la longitud de onda en la dirección x es λx = 2π kx y, ya que kx es menor o igual que k0, λx es mayor o igual que λ0. La velocidad de fase es la velocidad a la que se debería de mover un observador para ver la fase constante. De la ecuación (4.6), se ve que la fase del campo eléctrico es constante G G G G siempre que ωt − k .r lo sea. Si el ángulo que forman k y r es θ, entonces G G ωt − k .r = k0 r cos θ − ωt . Diferenciando la relación ( ) 7 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica k0 r cos θ − ωt = const da dr ω =vp = dt k0 cos θ (4.8) G para la velocidad de fase en la dirección r . A lo largo de la dirección de propagación cos θ = 1 y vp=ω/k0=c. En otras direcciones, la velocidad de fase es mayor que la velocidad de la luz c en el vacío. Este resultado puede entenderse mejor examinando la figura XXX. Cuando la onda se mueva una distancia λ0 a lo largo de la dirección de propagación la intersección del plano de fase constante con el eje u se ha movido una distancia λu=λ0 sec θ, como muestra la figura 4.4. Por esta razón, la longitud de onda y la velocidad de fase a lo largo de la dirección u son mayores por un factor sec θ que las correspondientes medidas a lo largo de la dirección de propagación. Figura 4.4.- Propagación de una onda a lo largo de una dirección oblicua al eje u. 4.4 Ondas planas en medios dieléctricos con pérdidas Supongamos ahora que la onda plana se propaga por un medio dieléctrico con pérdidas caracterizado por su permitividad εr y por una conductividad finita σ. El Electrodinámica 8 Tema 4: ondas planas proceso es el similar al realizado para el vacío, pero ahora la constante de fase es un número complejo que denominamos constante de propagación; así G G G G γ = a x γ x + a y γ y + az γ z G G ; γ = γ0 n (4.9) G donde n el vector unitario en la dirección de propagación y γ0 es el módulo de la constante de propagación γ02 = (α + jβ )2 = γ x2 + γ y2 + γ z2 = jωµσ − ω 2 εµ Igualando parte real e imaginaria queda α 2 − β 2 = − ω 2 εµ y 2 α β =ω ε σ y despejando 1 ⎧ ⎪1 α =ω µε ⎨ ⎪2 ⎩ ⎡ ⎤⎫ 2 2 ⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ − 1 ⎥ ⎪ ⎜ω ε ⎟ ⎢ ⎥⎬ ⎝ ⎠ ⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎭ ⎧ ⎪1 β =ω µε ⎨ ⎪2 ⎩ ⎡ ⎤⎫ 2 2 ⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ + 1 ⎥ ⎪ ⎜ω ε ⎟ ⎢ ⎥⎬ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭ (4.10) 1 En un medio con pérdidas, la onda plana se propaga a la vez que se atenúa de acuerdo con el valor de la constante de atenuación α, cuyas unidades son Np/m o simplemente m-1. Es muy común expresar la constante de atenuación α en dB/m. La relación entre se obtiene a partir de α ( dB ) = 20 log e −αz = −20 α z log e = −8 ,686 α z y si z=1 metro, entonces α ( dB / m ) = 8 ,686 α ( Np / m ) El campo eléctrico es entonces G G G G G E ( x , y , x ) = E0 e −γ .r = E0 e −γ x x −γ y y −γ z z (4.11) 9 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica De la misma manera que antes, el campo magnético se obtiene a partir de la ley de Faraday G H =− G G G G G G G 1 1 E0 x ∇ e −γ .r = ∇x E0 e −γ .r = j ω µ0 j ω µ0 G G G G G − jk .rG γ0 1 γ x E0 e = = n xE j ω µ0 j ω µ0 donde ahora se puede definir la admitancia intrínseca (o su inverso la impedancia intrínseca) como Yω = Z ω−1 = γ0 = jωµ jωµ (σ + jωε ) σ + jωε = jωµ jωµ (4.12) Como vemos, la impedancia intrínseca es el cociente (en magnitud) entre el campo eléctrico y el magnético correspondiente a una onda plana que se propaga por un medio infinito. A ese cociente se le llama impedancia de onda, por tanto, la impedancia intrínseca de un medio es la impedancia de onda de una onda plana que se propague por ese medio infinito. La impedancia intrínseca es un número complejo cuando el medio tiene pérdidas. Si no las tiene será un número real. Se define la profundidad por efecto piel δ (skin) como el inverso de la constante de atenuación. Si una onda plana se propaga por un medio sin pérdidas cuando haya recorrido un longitud igual a δ se habrá atenuado en una cantidad igual al inverso del número “e” lo que significa una cantidad cercana al 38%. 4.4.1 Buenos dieléctricos que Un medio con pérdidas se dice que es un buen dieléctrico cuando se cumple 2 ⎛ σ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ω ε ⎟ ⎝ ⎠ << 1 entonces, aplicando la aproximación (1 + x )n ≈ 1 + nx + n (n + 1 ) 2 x + ... 2! si x << 1 , Electrodinámica ⎧ ⎪1 α =ω µε ⎨ ⎪2 ⎩ 1 2 ⎡ ⎤⎫ 2 ⎢ 1 + ⎛⎜ σ ⎞⎟ − 1 ⎥ ⎪ ≈ω µε ⎜ω ε ⎟ ⎢ ⎥⎬ ⎝ ⎠ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎭ ⎧ ⎪1 =ω µε ⎨ ⎪⎩4 10 Tema 4: ondas planas 1 2 ⎫ 2 ⎛ σ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ω ε ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎬ ⎪⎭ = σ 2 1 2 4 ⎧ ⎫ 2 1 ⎛ σ ⎞ 1 ⎛ σ ⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − − + = ... 1 1 ⎨ ⎬ ⎜ω ε ⎟ ⎜ω ε ⎟ 2 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎪⎭ µ ε (4.13) De la misma manera se obtiene que β ≈ ω µε (4.14) y la impedancia intrínseca será Zω = jωµ = σ + jωε jωµ σ jωε jωε + 1 ≈ µ ε (4.15) De estas tres ecuaciones se observa que para un dieléctrico de bajas pérdidas, la constante de fase y la impedancia intrínseca coinciden con las que tendría el dieléctrico si las pérdidas no se considerasen. Además, la constante de atenuación tiene un valor dado por la ecuación (4.13) y que nunca será un valor demasiado grande ya que la conductividad σ de un buen dieléctrico será un número bastante menor que la unidad. 4.4.2 Buenos conductores que Un medio con pérdidas se dice que es un buen conductor cuando se cumple 2 ⎛ σ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ω ε ⎟ ⎝ ⎠ >> 1 siguiendo el mismo proceso anterior, tendremos 11 Tema 4: Ondas planas ⎧ ⎪1 α =ω µε ⎨ ⎪2 ⎩ Electrodinámica 1 ⎡ ⎤⎫ 2 2 ⎛ ⎞ σ ⎢ 1 +⎜ ⎥⎪ ⎟ =ω µε ⎜ω ε ⎟ −1⎥ ⎬ ⎢ ⎝ ⎠ ⎪ ⎥⎦ ⎭ ⎣⎢ ⎧⎪ 1 ≈ω µε ⎨ ⎪⎩2 ⎛ σ ⎞⎡ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ω ε ⎟ ⎢1 + 2 ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎧⎪ 1 ≈ω µε ⎨ ⎪⎩2 2 1 ⎛ω ε ⎞ ⎜ ⎟ − 8 ⎝ σ ⎠ ⎧ ⎪1 ⎨ ⎪⎩2 ⎛ σ ⎞⎡ ω ε ⎞2 ⎜ ⎟ ⎢ 1 + ⎛⎜ ⎟ ⎜ ω ε ⎟⎢ ⎝ σ ⎠ ⎝ ⎠⎣ 4 ⎤ ⎫⎪ ⎛ω ε ⎞ ⎜ ⎟ + ... − 1 ⎥ ⎬ ⎝ σ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ 1 ⎛ σ ⎞ ⎫⎪ 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ω ε ⎟ ⎬⎪ ⎝ ⎠⎭ 1 1 ⎫ 2 ⎤ ⎥ − 1 ⎪⎬ ≈ ⎥ ⎪ ⎦ ⎭ 2 (4.16) ≈ ωµσ 2 donde se han despreciado todos los sumandos dentro del corchete excepto el primero. Análogamente, se obtiene para la constante de fase β≈ ωµσ 2 (4.17) y para la impedancia intrínseca Zω = jωµ = σ + jωε jωµ jωµ = σ ωε ≈ σ ωε + 1 ωµ (1 + j ) = 2σ ω µ jπ / 4 e Ω σ (4.18) De estas tres ecuaciones observamos que los valores de α y β coinciden en un buen conductor y que el campo eléctrico y el magnético están desfasados 45 grados que es la fase la impedancia intrínseca, que es un número complejo. 4.5 Potencia transportada En el caso del vacío, la densidad de potencia asociada a una onda plana es G S = { } { ( )} G G G G G G G G 1 G G G 1 1 1 Re E xH * = Re Y0 E x n xE * = Y0 E .E * n = Y0 E0 .E0* n 2 2 2 2 w / m2 y se puede suprimir el carácter vectorial multiplicando por el vector unitario en la dirección de propagación; entonces, la densidad de potencia transportada en la dirección de propagación es P = G G 1 Y0 E0 .E0* 2 w / m2 Electrodinámica 12 Tema 4: ondas planas G donde E0 es la amplitud de la onda plana. La densidad de energía eléctrica es ε G G ε G G Ue = 0 E .E * = 0 E0 .E0* 4 4 y la densidad de energía magnética ) ( )( G G G G G G µ G G µ µ ε G G Um = 0 H .H * = 0 Y02 n xE . n xE * = 0 Y02 E0 .E0* = 0 E0 .E0* = Ue 4 4 4 4 Como (Ue+Um) vG=P, siendo vG la velocidad a la que se propaga la energía, se tiene que Y vG = 0 = ε0 ε0 µ0 = ε0 1 ε0 µ0 =c lo que indica que la velocidad a la que se propaga la energía es la velocidad de la luz. En el caso de un medio con pérdidas, en el que la onda avance en la dirección del eje Z positivo y con los campos eléctrico y magnético siguientes G G E = ax E0+ e − α z e − j β z G ; G H = ay 1 E + e −α z e − j β z Zw 0 la densidad de potencia es + G G G E0 1 * S = Re E xH = az 2 2 G 2 ⎧⎪ 1 ⎫⎪ e −2 α z Re ⎨ ⎬ ⎪⎩ Zw* ⎪⎭ w / m2 4.6 Ondas estacionarias Vamos a estudiar el caso en el que dos ondas viajan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. Para simplificar la formulación, consideremos que el campo eléctrico tiene sólo componente x y la dirección de propagación es la del eje z. El campo eléctrico sería E x ( z ) = E0+ e − jβz + E0− e jβz = E0+ [cos βz − j sen βz ] + E0− [cos βz + j sen βz ] = ( ) ( ) = E0+ + E0− cos βz − j E0+ − E0− sen βz = E x e jφx 13 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica A una onda con el campo eléctrico como el dado por la ecuación anterior se la llama onda estacionaria. El módulo de este campo eléctrico es Ex ( z ) = (E0+ )2 + (E0− )2 + 2 E0+ E0− cos 2 βz y se le llama patrón de la onda estacionaria, y la fase es Ex ( z ) = (E0 ) + (E0 ) + 2 −2 + − + 2 E0 E0 φx = tg −1 ⎧⎪⎛ E + − E − 0 0 ⎨⎜⎜ + − ⎪⎩⎝ E0 + E0 ⎫ ⎞ ⎟tg βz ⎪⎬ ⎟ ⎪⎭ ⎠ El motivo por el que una onda así se llama onda estacionaria no es porque no transporte potencia, que lo puede hacer, sino porque los máximos y los mínimos se producen en posiciones fijas independientes del tiempo. Así, para el módulo del campo eléctrico se tiene E x ( z ) máx = E0+ + E0− si βz = mπ , m = 0 ,1 ,2 ,..... y para el mínimo E x ( z ) mín = E0+ − E0− si βz = 2m +1 π , m = 0 ,1 ,2 ,..... 2 Es fácil ver que la separación entre dos máximos o dos mínimos consecutivos es λ/2 y que la separación entre un máximo y un mínimo consecutivos es λ/4. La expresión en el dominio del tiempo para esta onda estacionaria es { } Σx ( z ,t ) = Re E x ( z ) e jωt = E x ( z ) cos (ωt − φx ) Se define la Razón de la Onda Estacionaria (ROE) como el cociente entre el máximo del campo eléctrico y el mínimo del campo eléctrico, es decir R .O .E . = E x ( z ) máx E x ( z ) mín = E0+ + E0− + − E0 − E0 = donde Γ es el coeficiente de reflexión definido como E− 1 + 0+ E0 1− − E0 E0+ = 1 +Γ 1 −Γ (4.19) Electrodinámica Tema 4: ondas planas E− Γ = 0+ E0 14 (4.20) Para medios pasivos (los que no generan potencia) el módulo del coeficiente de reflexión varía entre 0 y 1 y, por lo tanto, la ROE puede variar desde 1 hasta ∞. En la figura 4.5 se muestra el patrón de la onda estacionaria para diferentes valores del coeficiente de reflexión. En el caso en que el módulo del coeficiente de reflexión valga 1, la ROE tomará un valor infinito y se producirá la máxima interferencia; en este caso la onda resultante se denomina onda estacionaria pura que no conlleva ningún transporte de energía. En este caso el patrón de la onda estacionaria pura es E x ( z ) = 2 E0+ cos βz Figura 4.5.- Patrón de onda estacionaria de una onda plana para diferentes coeficientes de reflexión. 15 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica 4.7 Velocidad de grupo Hasta ahora se han considerado ondas cuyo campo electromagnético varían sinusoidalmente a una única frecuencia. Las ondas electromagnéticas se utilizan muy habitualmente para transmitir información (voz, datos digitales etc.) en una señal que se denomina señal en banda base. Como veremos en capítulos posteriores, las frecuencias de la onda deben ser bastante grandes puesto que las dimensiones físicas de las estructuras que propagan la energía electromagnética deben ser del orden de la longitud de onda. Por ejemplo, las señales en banda de voz o música se extienden desde dc hasta 15 KHz, y las señales de televisión o los datos digitales cubren el rango desde dc hasta algunos mega hercios. Por tanto, se requerirían estructuras de propagación muy grandes para transmitir las señales en banda base directamente. Una forma de evitar este problema es trasladar la señal en banda base a una frecuencia superior o llamada frecuencia portadora y así permitir tamaños más razonables de las guías de onda y de las antenas. Un método común de hacer esto, es el llamado modulación en amplitud (AM). Una señal en banda base m(t) varía la amplitud de una señal portadora cuya frecuencia es fc como s ( t ) = A m( t ) cos (2 πfct ) En el dominio de la frecuencia, la señal en banda base consta de una banda de frecuencias M(f) que es trasladada vía modulación en amplitud hasta una frecuencia portadora superior S(f)=M(f-fc). Podemos considerar esta señal como compuesta de una multitud de frecuencias discretas, de forma que la transmisión de esta señal a través de un medio lineal se puede obtener, por superposición, como la transmisión de cada frecuencia individual. Si la velocidad de fase del medio por el que se realiza la transmisión es independiente de la frecuencia todas las componentes de la onda viajan a la misma velocidad con lo que sufren el mismo retraso. Este es el caso de una onda plana viajando por un medio sin pérdidas. Recombinando todas esas componentes se obtiene la señal recibida en el dominio del tiempo de la misma forma que la transmitida. Decimos, entonces, que la señal se transmite sin distorsión y se dice que el medio es no dispersivo puesto que todas las frecuencias viajan a la misma velocidad. Supongamos ahora que la velocidad de fase del medio por el que se realiza la transmisión depende de la frecuencia vp (f). En este caso, cada componente frecuencial viaja a diferente velocidad, cono lo que cada frecuencia individual en el receptor ni mantiene la misma diferencia de fase que la señal transmitida. Por lo tanto, la señal recibida en el dominio del tiempo será una señal distorsionada de la señal transmitida. Se dice que la señal a sufrido dispersión y que el medio es dispersivo. La velocidad de fase viene dada por la relación Electrodinámica 16 Tema 4: ondas planas vp = ω β (4.21) donde β es la constante de fase. En el vacío, la constante de fase de una onda plana es β = ω ε0 µ0 y por tanto la velocidad de fase es constante e igual a vp = 1 ε0 µ0 . Por otro lado, para un medio con pérdidas, la constante de fase es la parte imaginaria de la constante de propagación β = Im {γ } = Im { } jωµ (σ + jωε ) de forma que la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia y por tanto ondas planas uniformes de distinta frecuencia que se propaguen por ese medio con pérdidas viajarán a distinta velocidad y el medio será dispersivo. Se define la velocidad de grupo como la velocidad a la que se propaga una señal con una banda de frecuencias estrecha (un grupo de frecuencias). Consideremos un grupo de frecuencias compuesto únicamente por dos frecuencias muy próximas entre sí ω0+∆ω y ω0-∆ω, siendo ∆ω<<ω0. Las constantes de fase para cada onda serán respectivamente β0+∆β y β0-∆β. El campo eléctrico total correspondiente será ξ ( z ,t ) = E0 cos [(ω0 + ∆ω )t − (β0 + ∆β )z ] + E0 cos [(ω0 − ∆ω )t − (β0 − ∆β )z ] = = 2 E0 cos (t∆ω − z∆β ) cos (ω0 t − β0 z ) que es la composición de dos ondas una a la frecuencia ω0 y otra a la frecuencia ∆ω mucho menor que la anterior, es decir, una onda que oscila muy rápidamente y otra que lo hace mucho más lentamente que hace el papel de envolvente. La velocidad a la que se propaga la onda en el interior de la envolvente es vp = dz ω0 = dt β0 y la velocidad a la que se propaga la envolvente, que se llama velocidad de grupo, es (t∆ω − z∆β ) = cte. ⇒ vg = dz ∆ω 1 = = dt ∆β ∆β ∆ω En el límite de ∆ω -> 0, la expresión para la velocidad de grupo para un medio dispersivo es 17 Tema 4: Ondas planas vg = Electrodinámica 1 dβ dω (4.22) En la figura 4.6 se muestra una representación gráfica de las velocidades de fase y grupo. Figura 4.6.- Suma de dos ondas viajeras armónicas en el tiempo de igual amplitud y frecuencias ligeramente diferentes en un instante de tiempo dado t. A continuación, se va a ver el caso más general en que no sólo se consideren dos frecuencias discretas. En la práctica no se presenta nunca la situación ideal de una onda monocromática pura, ya que ello exigiría una excitación sinusoidal perfecta (amplitud y frecuencia constantes) durante un período de tiempo infinito. En general, lo que ocurre es que un emisor emite una señal, que tomaremos por simplicidad como f(z,t) durante un intervalo finito de tiempo, que de acuerdo con el teorema de Fourier, se puede descomponer en un espectro continuo de frecuencias con amplitudes Aω como f ( z ,t ) = +∞ ∫ Aω e j (ωt − βz ) dω −∞ En el caso de que la señal se propague por un medio dispersivo, cada componente espectral viajará a una velocidad diferente. Si en un punto z’ sumamos las ondas que llegan y reconstruimos la función a través de la transformada inversa de Fourier, obtendremos una nueva función f’(z’,t). Si el medio es poco dispersivo, no habrá gran diferencia de fase entre las diferentes frecuencias, es decir se producirá poca dispersión. Si el medio es muy dispersivo, la señal se deformará y su reconstrucción será muy difícil. En el caso muy común, en el que es espectro o grupo de frecuencias sea estrecho, puede encontrarse una única velocidad característica del grupo o paquete de ondas que es la velocidad de grupo. Electrodinámica 18 Tema 4: ondas planas A(ω) Figura 4.7.- Señal en banda estrecha con un ancho de banda 2∆ω. ω0 ω Supongamos un grupo de frecuencias centrado en una portadora de frecuencia ω0 y tal que Aω es cero fuera del intervalo (-∆ω,∆ω) como muestra la figura 4.7. Entonces, podemos escribir f ( z ,t ) = ∫ Aω e j (ωt − βz ) dω (4.23) ∆ω Ya que la constante de fase depende de ω, es decir, β=β(ω), podemos desarrollarla en serie de Taylor en torno a la frecuencia ω0 β( ω ) = β( ω0 ) + 2 2 ∂β (ω − ω0 ) + ∂ β2 (ω − ω0 ) + .... ∂ω ω 2 ∂ω ω 0 0 Para grupos estrechos en los que (ω-ω0) es pequeño, la expresión anterior se puede aproximar por los dos primeros términos, es decir, quedarnos únicamente con una aproximación lineal β( ω ) ≅ β( ω0 ) + ∂β (ω − ω0 ) = β( ω0 ) + β0' (ω − ω0 ) ∂ω ω0 donde el signo β0’ significa derivar respecto a ω, y el subíndice cero significa que los valores se particularizan para la frecuencia ω0. Sustituyendo en la expresión (4.23) se tiene que f ( z ,t ) = e j (β0 ω0 z − β0 z ) ' ∫ Aω e jω (t − β0' z ) ∆ω Particularizando esta expresión para z=0 f ( 0 ,t ) = ∫ Aω e ∆ω jωt dω dω 19 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica podemos escribir ) ( f ( z ,t ) = f 0 ,t − β0' z e j (β0 ω0 z − β0 z ) ' (4.24) que muestra que la señal en un punto z tiene la misma amplitud que en el origen (z=0) después de transcurrido un tiempo β0' z y un desfase dado por β0' ω0 z − β0 z . La velocidad a la que se ha propagado la señal, y por tanto, la energía asociada es vg = dz dω = dt dβ (4.25) ω =ω 0 Si la velocidad de fase varía lentamente con la frecuencia, un pulso pueden viajar a través de un medio dispersivo con un cambio relativamente pequeño; pero si esta condición no se satisface, el grupo se distorsiona mucho y el concepto de velocidad de grupo ya no es válido. Finalmente es conveniente apuntar que el hecho de una concentración de campo en el espacio no implica una correspondiente concentración del espectro de frecuencias, sino al contrario, de acuerdo con la propiedad de cambio de escala de la transformada de Fourier que indica que entre la duración de la señal y su ancho de banda existe una relación inversa. En la siguiente gráfica se muestra el diagrama de dispersión para un medio dispersivo y para un no dispersivo. ω P ω0 tg-1 vp tg-1 vg K0 β Figura 4.8.- Representación gráfica de las velocidades de fase y grupo. Electrodinámica Tema 4: ondas planas 20 4.8 Polarización de ondas planas El concepto de polarización de una onda se define como el lugar de los puntos en el espacio que describe el extremo del vector campo eléctrico (o magnético) a medida que se propaga en función del tiempo. El campo se debe observar siempre en la dirección de propagación. Un caso típico se muestra en la figura 4.9. Para simplificar en lo posible los dibujos, habitualmente sólo se dibuja la proyección sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación como muestran las demás figuras. Figura 4.9 Rotación de una onda plana en función del tiempo. La polarización se puede clasificar en tres categorías: lineal, circular y elíptica (ver figura 4.10). Si el vector que describe el campo eléctrico en un punto en el espacio como función del tiempo está siempre colocado a lo largo de una línea, que es perpendicular a la dirección de propagación, se dice que el campo está 21 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica linealmente polarizado. En general, la figura que traza el campo eléctrico es una elipse y se dice que el campo está elípticamente polarizado. En realidad, las polarizaciones lineal y circular son casos particulares de la polarización elíptica y se pueden obtener cuando la elipse se convierte una línea o en un círculo. La figura que traza el campo eléctrico puede girar en uno u otro sentido, diferenciándose, como veremos posteriormente, entonces polarización a derechas o a izquierdas. (c) Figura 4.10.- Trazas del extremo del vector campo eléctrico en función del tiempo para una posición fija: (a) lineal, (b) circular y (c) elíptica. 4.8.1 Polarización lineal Consideremos una onda plana con componentes x e y del campo eléctrico, que viaja en el sentido de las z positivas. Los campos eléctrico y magnético instantáneos son Electrodinámica 22 Tema 4: ondas planas G {G G } G E ( z ,t ) = ax E x + a y E y = Re ax E x+e j (ωt − βz ) + a y E y+e j (ωt − βz ) = ( G G = ax E x+0 cos (ωt − βz + φx ) + a y E y+0 cos ωt − βz + φ y G G G H ( z ,t ) = a y H y + ax H x G E x+0 = ay Z ) + ⎧⎪ G E + G E y j (ωt − βz ) ⎫⎪ j (ωt − βz ) x e e = Re ⎨a y − ax ⎬= Z Z ⎪⎭ ⎪⎩ + G Ey 0 cos (ωt − βz + φx ) − ax donde E x = E x+0 e jφx y E y = E y+0 e jφy Z ( cos ωt − βz + φ y ) . Veamos ahora la variación del campo eléctrico instantáneo en el plano z=0. Se pueden elegir otros planos z=cte cualesquiera, pero el plano elegido proporciona un análisis más simple. Hagamos por ejemplo E y+0 = 0 . Entonces E x = E x+0 cos (ωt + φx ) Ey = 0 El lugar de los puntos que describe el extremo del vector campo eléctrico es una línea recta que está dirigida siempre según el eje X (ver figura 4.11). Se dice que el campo está linealmente polarizado según el eje X. Figura 4.11.- Campo linealmente polarizado en la dirección x. 23 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Otras situaciones son igualmente posibles, haciendo por ejemplo E x+0 = 0 , resulta entonces una onda linealmente polarizada según el eje Y. Asimismo, resulta una onda linealmente polarizada si por ejemplo φx = φ y = φ ; entonces E x = E x+0 cos (ωt + φ ) E y = E y+0 cos (ωt + φ ) La amplitud del vector campo eléctrico es E = E x2 + E y2 = (Ex20 )2 + (E y20 )2 cos (ωt + φ ) que es una línea recta que forma un ángulo φ con el eje X, dado por ϕ = tan −1 Ey Ex = tan −1 E y+0 E x+0 y se dice que el campo está polarizado en la dirección φ. De todo lo anterior, podemos deducir que un campo está polarizado linealmente en un punto dado del espacio si el vector campo eléctrico (o campo magnético) si en ese punto está siempre dirigido según una línea recta en cualquier instante de tiempo. Esto se consigue siempre que el campo eléctrico (o magnético) posea una única componente o dos componentes ortogonales en fase o en oposición de fase. 4.8.2 Polarización circular Una onda se dice que está circularmente polarizada si el extremo del vector campo eléctrico traza un círculo en el espacio. a) Polarización circular a derechas Una onda está circularmente polarizada a derechas si el sentido en que gira la onda proporciona una dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha que coincide con la dirección y sentido de avance de la onda. Esto significa que el sentido de giro de la onda, “observado” a lo largo de la dirección de propagación, coincide con el de las agujas del reloj. Por ejemplo, si hacemos (en z=0) φx = 0 ; φy = − π 2 ; E x+0 = E y+0 = E0 Electrodinámica 24 Tema 4: ondas planas entonces E x = E 0 cos (ωt ) E y = E 0 cos (ωt − π 2 ) = E0 sen (ωt ) la amplitud del campo eléctrico es ( ) E = E x2 + E y2 = E02 cos 2 ωt + sen 2 ωt = E02 y que está dirigido formando un ángulo φ con el eje X dado por ϕ = tan −1 Ey Ex = tan −1 E0 sen ωt = tan −1 (− tan ωt ) = −ωt E0 cos ωt Si dibujamos el lugar de los puntos en el espacio para varios instantes temporales en el plano z=0, vemos que forma un círculo de radio E0 y que rota, mirando en la dirección de propagación, en el sentido de las agujas del reloj con una frecuencia angular ω (figura 4.12). Decimos entonces que la onda está circularmente polarizada a derechas. Podemos escribir el campo eléctrico instantáneo como {G } G E ( z ,t ) = Re ax E0 e j (ωt − βz ) + a y E0 e j (ωt − βz −π / 2 ) = {[ ] G G = E0 Re ax − ja y e j (ωt − βz ) } que muestra que hay una diferencia de fase de 90º entre las dos componentes ortogonales del campo eléctrico. De la misma forma que se ha mostrado anteriormente, para el caso en que φx = π 2 ; φy = 0 ; E x+0 = E y+0 = E0 también se muestra que es una onda circularmente polarizada a derechas. 25 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Figura 4.12.- Onda polarizada circularmente a derechas. b) Polarización circular a izquierdas Una onda está circularmente polarizada a izquierdas si el sentido en que gira la onda proporciona una dirección de acuerdo a la regla de la mano derecha que es el contrario a la dirección y sentido de avance de la onda. Esto significa que el sentido de giro de la onda, “observado” a lo largo de la dirección de propagación, es contrario al de las agujas del reloj. Por ejemplo, si hacemos (en z=0) φx = 0 ; φy = π 2 ; E x+0 = E y+0 = E0 entonces E x = E0 cos (ωt ) E y = E0 cos (ωt + π 2 ) = −E0 sen (ωt ) la amplitud del campo eléctrico es ( ) E = E x2 + E y2 = E02 cos 2 ωt + sen 2 ωt = E02 y que está dirigido formando un ángulo φ con el eje X dado por Electrodinámica 26 Tema 4: ondas planas ϕ = tan −1 Ey Ex = tan −1 E0 sen ωt E0 cos ωt = tan −1 (− tan ωt ) = −ωt Si dibujamos el lugar de los puntos en el espacio para varios instantes temporales en el plano z=0, vemos que forma un círculo de radio E0 y que rota, mirando en la dirección de propagación, en el sentido contrario al de las agujas del reloj con una frecuencia angular ω (figura 4.13). Decimos entonces que la onda está circularmente polarizada a izquierdas. Podemos escribir el campo eléctrico instantáneo como {G } G E ( z ,t ) = Re ax E0 e j (ωt − βz ) + a y E0 e j (ωt − βz + π / 2 ) = {[ ] G G = E0 Re ax + ja y e j (ωt − βz ) } que muestra que hay una diferencia de fase de 90º entre las dos componentes ortogonales del campo eléctrico. Figura 4.13.- Onda polarizada circularmente a izquierdas De la misma forma que se ha mostrado antes, para el caso en que 27 Tema 4: Ondas planas φx = − π 2 ; Electrodinámica φy = 0 ; Ex+0 = E y+0 = E0 también resulta una onda circularmente polarizada a izquierdas. Como conclusión, podemos decir que una onda circularmente polarizada a derechas consiste de dos ondas ortogonales linealmente polarizadas de igual amplitud y desfasadas 90º. El sentido de rotación se determina “girando” la componente adelantada sobre la retrasada, si el giro coincide con el del avance de la onda, según la regla de la mano derecha, será a derechas y si no a izquierdas. 4.8.3 Polarización elíptica Se dice que una onda está polarizada elípticamente si el extremo del vector campo eléctrico describe, a medida que va pasando el tiempo, en un plano perpendicular a la dirección de propagación una elipse. El concepto de giro a derechas o a izquierdas es el mismo que para la polarización circular. Consideremos el siguiente caso particular φ x = π 2 ; φ y = 0 ; E x+0 = E1 + E 2 ; E y+0 = E1 − E 2 Entonces ( E x = (E1 + E 2 ) cos ω t + π 2 ) = −(E + E ) sen(ω t ) 1 2 E y = (E1 − E 2 ) cos(ω t ) Podemos calcular el lugar de los puntos en el espacio para el módulo del campo eléctrico E 2 = E x2 + E y2 = (E1 + E 2 ) sen 2 (ω t ) + (E1 − E 2 ) cos 2 (ω t ) = 2 2 = E12 sen 2 (ω t ) + E 22 sen 2 (ω t ) + 2 E12 E 22 sen 2 (ω t ) + + E12 cos 2 (ω t ) + E 22 cos 2 (ω t ) − 2 E12 E 22 cos 2 (ω t ) que agrupando podemos poner como ( ) E x2 + E y2 = E12 + E 22 + 2 E12 E 22 sen 2 (ω t ) − cos 2 (ω t ) como Electrodinámica sen(ω t ) = − 28 Tema 4: ondas planas Ex (E1 + E2 ) y cos(ω t ) = Ey (E1 − E2 ) podemos rescribir la ecuación anterior como Figura 4.14.- Polarizaciones elíptica a derechas e izquierdas con el eje mayor según la dirección x. (a) Polarización a derechas, (b) polarización a izquierdas. Nota: la notación de la figura es ER=E1 y EL=E2. 29 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica 2 ⎡ E y2 ⎤ ⎡ E x2 ⎤ +⎢ 2 =1 ⎢ 2 2 ⎥ 2 ⎥ ⎢⎣ E1 − E 2 ⎦⎥ ⎣ E1 + E 2 ⎦ 2 que es la ecuación de una elipse con su eje mayor siendo E máx = E1 + E 2 y el eje menor E mín = E1 − E 2 . A medida que pasa el tiempo, el extremo del vector campo eléctrico traza una elipse como se muestra en la figura 4.14. En este caso los máximos y mínimos del campo eléctrico coinciden con los ejes mayor y menor de la elipse, lo que se produce en E máx = E1 + E 2 cuando ω t = (2n + 1) E mín = E1 − E 2 cuando ω t = n π 2 π 2 ; n = 0,1,2,.... ; n = 0,1,2,.... Se define la razón axial (AR) como el cociente ente el eje mayor (incluyendo su signo) y el eje menor AR = − E máx E 2 + E 22 = − 12 E mín E1 − E 22 donde E1 y E2 son números reales positivos. La razón axial así definida puede ser positiva (para polarización a izquierdas) o negativa (para polarización a derechas). Además la razón axial varía entre 1 ≤ AR ≤ ∞ . El campo eléctrico instantáneo se puede escribir como { } G G E ( z, t ) = Re a x (E1 + E 2 )e j (ωt − βz +π / 2 ) + a y (E1 − E 2 ) e j (ωt − βz ) = {[ ] } {[ ] } G G = Re ja x (E1 + E 2 ) + a y (E1 − E 2 ) e j (ωt − βz ) = G G G G = Re E1 ( ja x + a y ) + E 2 ( ja x − a y ) e j (ωt − βz ) ecuación que muestra que esta onda elípticamente polarizada se puede poner como la suma de dos ondas circularmente polarizadas una a derechas, la de amplitud E1, y otra izquierdas, la de amplitud E2. Si E1>E2 la razón axial será negativa, la onda circularmente a derechas será más fuerte que la elípticamente polarizada a izquierdas, cono lo que marcará a la onda total, es decir, la onda será elípticamente polarizada a izquierdas. Si E1<E2 ocurrirá lo contrario y la onda total será elípticamente polarizada a izquierdas. Análoga situación se tendrá si Electrodinámica Tema 4: ondas planas φx = π 2 ; φy = 0 30 ; Ex+0 = E1 − E2 ; E y+0 = E1 + E2 y las gráficas correspondientes se muestran en la figura 4.15. Figura 4.15.- Polarizaciones elíptica a derechas e izquierdas con el eje mayor según la dirección y. (a) Polarización a derechas, (b) polarización a izquierdas. Nota: la notación de la figura es ER=E1 y EL=E2. 31 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Finalmente, el caso general será aquel en el que los ejes de la elipse no coincidan con los ejes coordenados, como muestra la figura 4.16. En este caso se tendrá que Figura 4.16.- Onda elípticamente polarizada no centrada en los ejes. ∆φ = φx − φy ≠ nπ 2 ; n = 0 ,1 ,2 ,.... Entonces, los sentidos de giro serán ⎧a derechas si E1 > E2 ⎫ ∆φ ≥ 0 ⇒ ⎨ ⎬ ó ⎩a izquierdas si E1 < E2 ⎭ ⎧a derechas si E1 < E2 ⎫ ∆φ ≤ 0 ⇒ ⎨ ⎬ siendo ⎩a izquierdas si E1 > E2 ⎭ Ex+0 = E1 + E2 y E y+0 = E1 − E2 La razón entre el eje mayor y el menor, que se define como la razón axial (AR) es AR = ± donde Eje mayor OA =± Eje menor OB 1 ≤ AR ≤ ∞ Electrodinámica 32 Tema 4: ondas planas ⎡1 ⎧ OA = ⎢ ⎨ E x+0 ⎣⎢ 2 ⎩ ( ) + (E y 0 ) ⎡1 ⎧ OB = ⎢ ⎨ E x+0 ⎢⎣ 2 ⎩ 2 + 2 ( ) + (E y 0 ) 2 + 2 ( ) + (E y 0 ) + 2 Ex 0 ( ) + (E y 0 ) + 2 Ex 0 + ⎡ E x+0 ⎢⎣ − ⎡ E x+0 ⎢⎣ 4 + 4 + 4 4 1/2 ⎫⎤ ⎬⎥ ⎭⎦⎥ 1/2 ⎫⎤ ⎬⎥ ⎭⎥⎦ ( ) (E y 0 ) cos (2 ∆ϕ )⎤ ⎥⎦ ( ) (E y 0 ) cos (2 ∆ϕ )⎤ ⎥⎦ + + 2 + 2 + 2 2 1/2 1/2 El signo “+” es para polarización a izquierdas y el signo “-“ corresponde a la polarización a derechas. La inclinación de la elipse, relativa al eje x, se representa por τ y es τ = 4.9 π 1 − tan 2 2 −1 ⎡ 2E+ E+ x0 y0 ⎢ ⎢E+ 2 −E+ y0 ⎣ x0 ( ) ( )2 ⎤ cos (∆ϕ )⎥ ⎥ ⎦ Propagación en ferritas infinitas Hasta ahora se ha estudiado la propagación de ondas planas monocromáticas en medios infinitos isótropos con o sin pérdidas. En este último apartado vamos a estudiar la propagación en un medio infinito anisótropo como una ferrita magnetiza mediante un campo magnético estático externo de magnitud H0. Supongamos que la dirección de propagación de la onda forma una ángulo θ con la dirección del campo magnético aplicado, que ese campo se aplica en la dirección z y que la dirección de propagación está contenida en el plano x-y, como muestra la figura 4.17 Y H0 θ γ X Z Figura 4.17.- Onda propagándose por una ferrita infinita formando un ángulo θ con la dirección del campo magnético estático externo. 33 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Según la figura 4.17, podemos escribir G G G G G γ = γ x a x + γ z a z ⇒ e −γ .r = e −γ x x −γ z z Suponiendo que los campos no varían con la coordenada y, vamos a obtener las ecuaciones de onda para cada componente del campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell de rotacional G G ∇xE = − jωB G G ∇xH = − jωD más las relaciones de constitución, que para el caso de magnetización en la dirección z son G G D = εE ; ⎡µ G G B = [µ ]H = ⎢⎢ jκ ⎢⎣ 0 − jκ µ 0 0 ⎤ G 0 ⎥⎥ H µz ⎥⎦ Tomando la componente x de la ecuación de Faraday queda − ∂Ey ∂z ( = − jω µH x − jκH y )⇒ ( γ z E y = γ cos θ E y = − jω µH x − jκH y ) de la misma manera para el resto de las componentes tendremos ∂ E x ∂ Ez − = − jω jκHx + µHy ∂z ∂x ( )⇒ − γ z Ex + γ x Ez = −γ cos θ Ex + γ sen θ Ez = ( = − jω jκHx + µHy ∂ Ey ∂x ) = − jω µz Hy ⇒ − γ x E y = −γ sen θ E y = − jω µz Hy Procediendo de manera totalmente análoga pero para la ecuación de Ampère, tendremos − γ cos θ H y = jω ε E x − γ cos θ H x + γ sen θ H z = jω ε E y − γ sen θ H y = jω ε E z Tenemos, por lo tanto, seis ecuaciones que involucran las seis componentes del campo electromagnético más la constante de propagación γ. Es fácil, mediante Electrodinámica 34 Tema 4: ondas planas un proceso algebraico sencillo, eliminar, por ejemplo, las tres componentes del campo eléctrico, quedando entonces ( ) jω sen θ µ Hx − jκHy + jω µz cos θ Hz = 0 γ 2 sen θ (sen θ Hz − cos θ Hx ) + ω 2 ε µz Hz = 0 ( (4.26) ) γ 2 Hy + ω 2 ε jκHx + µ Hy = 0 que es un sistema homogéneo que para que tenga solución es necesario que el determinante de los coeficientes de Hx,Hy y Hz sea nulo, jω µ sen θ − γ sen θ cos θ jκ ω 2 ε 2 ω κ sen θ jω µ z cos θ 2 0 γ sen 2 θ + ω 2 ε µ z ω 2 ε = 0 γ 2 + ω 2 εµ 0 (4.27) Es habitual estudiar dos casos diferentes: uno en el que la dirección de propagación de la onda coincide con la dirección de magnetización y otro en el que ambas direcciones son perpendiculares. 4.9.1- Propagación en la dirección de magnetización Para el primer caso, el ángulo θ=0, por lo que la ecuación dada por el determinante de (4.27) puede ponerse como [γ 2 ][ ] + ω 2 ε (µ + κ ) γ 2 + ω 2 ε (µ − κ ) = 0 (4.28) cuyas soluciones son γ = γ − = ± jω [ε (+ κ )]1 / 2 γ = γ + = ± jω [ε (− κ )]1 / 2 Sustituyendo ambas soluciones en la última de las ecuaciones de (4.26) se tiene que para γ = γ − ⇒ Hy = j Hx para γ = γ + ⇒ Hy = − j Hx 35 Tema 4: Ondas planas Electrodinámica que se corresponden con una onda circularmente polarizada a izquierdas y con una onda circularmente polarizada a derechas, respectivamente. De ahí precisamente el nombre que reciben las constantes de propagación. Por lo tanto, en el caso de propagación de una onda electromagnética por un medio infinito de ferrita en la dirección de magnetización la solución son dos ondas o modos de propagación con polarización circular a izquierdas y a derechas. 4.9.1.1- Rotación de Faraday Consideremos un medio de ferrita sin pérdidas con propagación como la del apartado anterior. Supongamos que a ese medio llega una onda plana linealmente polarizada según el eje X y propagándose según el eje Z, E x = E 0 e − jβ z En z=0, podemos escribir el campo eléctrico anterior desdoblado en dos ondas circularmente polarizadas, la primera a izquierdas y la segunda a derechas, así G G E = E0 ax = E0 (G G ) 2 ax + jay + E0 (G G 2 ax − jay ) que al propagarse por la ferrita lo harán con constantes de fase diferentes, con lo que llegarán a z=d en instantes de tiempo diferentes. Entonces, en z=d G E(z =d) = E0 (G G ) − jβ −d + 2 ax + jay e E0 (G G ) − jβ +d 2 ax − jay e que se puede poner como [ G G G E ( z = d ) = E 0 e − j ( β − + β + )d / 2 a x cos (β − − β + )d 2 − a y cos (β + − β − )d 2 ] (4.29) que es una onda linealmente polarizada, retrasada (β-+β+)d/2 y girada un ángulo respecto al eje x dado por θ = tg −1 Ey Ex [ ] = tg −1 − tg (β + − β − )d 2 = − (β + − β − )d 2 (4.30) Si se considera ahora que la onda plana se propaga en la dirección z negativa desde z=0 hasta z=-d y se repite exactamente el mismo anterior se obtiene la misma expresión dada en (4.30) para el ángulo de rotación respecto al eje X. Ello significa, que si una onda viaja en la dirección z positiva una distancia “d” y el plano de polarización gira (por ejemplo) un ángulo θ respecto al eje X y vuelve hacia z=0 la onda sigue girando un ángulo θ en el mismo sentido, lo que confiere a este Electrodinámica 36 Tema 4: ondas planas comportamiento un carácter no recíproco. En conclusión, al cambiar el sentido de propagación el plano de polarización continúa girando en el mismo sentido. A este efecto se le denomina efecto Faraday. 4.9.1- Propagación en la dirección perpendicular a la de magnetización Haciendo θ=90º en (4.27) se obtiene que [ ] [ ][ ] (4.31) γ = ± jω εµz de forma que Hz ≠ 0 ⇒ Hx = Hy = 0 y E y ≠ 0 ⇒ E x = Ez = 0 , ω 2 ε κ γ 2 + ω 2 εµz − γ 2 + ω 2 εµz γ 2 + ω 2 ε µ j ω µ = 0 y para el campo magnético ω 2 Hz + ω 2 ε µz Hz = 0 γ 2 Hy + ω 2 ε Hx = j µ2 − κ 2 Hy = 0 µ κ Hy µ Las soluciones de (4.31) son 1. lo que se corresponde con una onda plana propagándose por un medio dieléctrico isótropo de permitividad ε y se le llama onda paralela o rayo ordinario. 2. γ = ± jω ε µ2 − κ 2 µ de forma que Hz = 0 ⇒ Hx ≠ 0 , Hy ≠ 0 y E y = 0 ⇒ Ex = 0 , Ez ≠ 0 , lo que se corresponde con una onda que tiene una componente de campo en la dirección de propagación por lo que no se corresponde con una onda plana y se la llama onda perpendicular o rayo extraordinario. 4.10 Referencias [1] Constantine A. Balanis: “Advanced Engineering Electromagnetics”, John Wiley & Sons, 1989. Capítulo 4. 37 [2] [3] [4] [5] Tema 4: Ondas planas Electrodinámica Robert E. Collin: “Foudantions for Microwave Engineering”, McGraw Hill, 1992. Capítulo 2. David M. Pozar: “Microwave Enginnering”, Addison-Wesley, 1990. Capítulo 2. C. Paul, K. Whites and S. Nasar: “Introduction to Electromagnetic Fields”, Third Edition, Mc Graw Hill, 2002. Capítulo 6. D. Cheng: “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería”, AddisonWesley, 1997. Capítulo 7.