efecto Hall

Efecto Hall Cuántico
(entero y fraccionario)
Introducción:
Desarrollo histórico I
• 1879,
1879 Edwing Hall descubre
el efecto Hall Clásico.
• 1980,Klaus
1980
von Klitzing
observó que bajo ciertas
condiciones, el voltaje Hall, en
lugar de aumentar
proporcionalmente con la
intensidad del campo, crecía a
saltos, o escalones: el efecto
Hall se había cuantizado.
• 1985 Klaus von Klitzing recibe
el Nóbel.
Desarrollo histórico II
• 1982 ,Tsui y Störmer, de los Laboratorios Bell, decidieron indagar
la región de campos ultra altos con GaAs (T=-269ºC).→Efecto Hall
Cuántico Fraccionario.
• 1983,
1983 Laughlin, demostró los electrones en un campo magnético
dejan de comportarse como partículas individuales y forman un
estado colectivo cuántico → líquido cuántico
→quasi-partículas que lo componen
tienen un tercio de la carga del electrón.
• 1998
1998, Tsui, Störmer y Laughlin reciben el Nóbel
Efecto Hall Clásico
• Efecto de B: aparición de una
fuerza magnética sobre los euur
e r ur
Fm = − v × B
c
•Para contrarrestar dicha fuerza
aparece un campo eléctrico (EH)
perpendicular a la corriente y al
campo B
uur uuur
Fe = eEH
•Las fuerzas se equilibran:
r
uur uur
ur
v ur
Fm = Fe
EH = − × B
c
•Definimos la conductividad (σ) según:
r
ur
r
j = σ E = nev
• En nuestro caso particular:
• Y también podemos definir la
resistividad
• Siendo el coeficiente Hall:
σ
= −
nec
B z
ρ = 1σ
RH = α H =
Ey
jx B
=−
1
nec
•Pero en realidad la conductividad y la resistividad son tensores en
presencia de un campo magnético (en 2 dimensiones)
 σ xx
σ = 
 σ yx
σ xy 

σ yy 
 ρ xx ρ xy 

ρ = 

ρ
ρ
yy 
 yx
Tensor conductividad
r
ur
r
Tenemos en general: j = σ
0
ur
E − σ
(j×
0
B
)
n ec
Resolviendo la ecuación para cada componente de la corriente.
jx =
σ0
σ0
σ B

1 +  0
n e c 

2
EX −
n ec
Ey = σ
2
σ
B


1+  0
n e c 

xx
EX + σ
xy
Ey
De donde podemos obtener los componentes de la conductividad:
Conductividad longitudinal:
σ xx =
σ0
σB
1+  0


Conductividad transversal o
también conductividad Hall:
σ xy = −
2

nec 
nec nec
+
σ xx
B σ0B
σ yy = σ xx
σyx =−σxy
Mientras el tensor resistividad

 ρ0
ρˆ = 
− B

 nec
B 
nec 

ρ0 

ρ xx = ρ yy = ρ 0
ρ xy = − ρ yxy = ρ H =
B
nec
Relacionando ambos tensores:
σˆ =
ρ 02

ρ0

1

2
 B   B
+
  n e c
 nec 
−
B 
nec 

ρ 0 

Importancia estados borde en
sistemas de dos dimensiones
• Si el movimiento de los
electrones es circular, estos no
contribuyen a la corriente →
¿De dónde proviene la
corriente
•
La respuesta son los electrones
de los bordes la muestra. No
completan la trayectoria y rebotan
contra el borde, curvándose hacia
la derecha los de arriba y a la
izquierda los de abajo.
•
Debe existir una mayor cantidad
arriba para tener corriente hacia la
derecha.
Efecto Hall Cuántico
ρxy
Clásicamente esperaríamos
B
ρH =
nec
H
Lo que obtenemos
experimentalmente
Efecto Hall Cuántico
Aparecen efectos inesperados en sistemas de 2
dimensiones a bajas temperaturas y bajo fuertes
campos magnéticos.
1.La resistividad Hall deja de variar continuamente y
se cuantiza:
i = 1,2,3,.....
h
ρ H = RH = 2
ie
(Aunque i también puede ser un número fraccionario )
2. En los plateaus de la resistividad Hall, la corriente
fluye sin disipación, lo que es lo mismo:
ρ xx = 0
Datos experimentales
Del mismo modo para la conductividad
σ xx = 0
σ
yx
e2
= i
h
Totalmente independiente de correcciones
geométricas, de campos externos…
¿Cómo explicar este fenómeno?
• Incompresibilidad del sistema→gap de energía que
separa el estado fundamental del 1º nivel excitado
• En el efecto Hall cuántico (EHC) entero el gap de energía se debe a
la energía cinética y en el fraccionario a la interacción entre los e-
• Existe desorden (impurezas en el material) que produce
un rango de estados localizados, en los cuales puede
hallarse la energía de Fermi → explicación de los
plateaus de ρH
• .No existe una división clara entre el EHC entero y el
fraccionario, la existencia de uno u otro depende del
desorden, de la temperatura, de la intensidad de B.
Gas de electrones 2D en un campo
magnético: Niveles Landau
Gas de N electrones no interactuantes en un B externo y sin desorden
H0
1
=
2m *
Elección de gauge:
∑
j =1
e


p
+
A
(
r
)
j 
 j c

r
A = ( − yB , 0 )
r 1
A = ( − yB , xB )
2
h  ∂ eB
ˆ
H=
i −
* 
2m  ∂x hc
2
2
Gauge de Landau
Gauge simétrico
∂2 

y − 2 
 ∂y 
2
Tomamos la función:
Ψk (x, y) = eikxϕ(y)
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger:
hωc
2
ω
c
 2 ∂2
y
2
 −l ∂y 2 + ( l − lk )  ϕ ( y ) = Eϕ ( y )


eB
=
m c
frecuencia ciclotrón
Soluciones
Niveles de Landau
 hc 
l =

 eB 
Oscilador
Armónico
cuántico
1
2
Longitud escala del problema
y
 − ( y −l2k ) / 2l2
ϕ n ( y ) = H n  − lk  e
l

1

E n =  n +  h ω ; n = 0,1, 2...
2

Condiciones de contorno periódicas en el eje x
ψ n ( x, y ) = ψ n ( x + Lx )
k = 2π p Lx
Los puntos centrales de los estados.
y0 = l 2 k
Los centros de 2 estados vecinos a lo largo del eje y
están separados por
∆y = 2π l 2 Lx
Si el sistema tiene una anchura Lx cada nivel de Landau contiene:
Ly
∆y
= Lx Ly 2π l 2
estados
Por tanto el número de estados por unidad de área en un nivel de Landau
lleno o su degeneración es:
1
eB
nB =
=
2
2π l
hc
Factor de llenado
n
ν =
nB
n=nº de e- por unidad
de área
Interpretación cuántica:
flujo cuántico
flujo total
hc
Φ0 =
e
Φ = BA = Φ 0 BA e hc = Φ 0
nº de flujos cuánticos
Φ0 =
A
= Φ 0ν
2π l 2
A
2π l 2
Nº de electrones por flujo cuántico ≡
nA
= 2π l 2 n = ν
Φ0
Degeneración e incomprensibilidad
D(ε ) =
D(ε )
A
2πl B2



1 
∑ δ  ε − hωc  n + 2  
n
Degen . =

Lx L y
2πl B2
≡

A
2πl B2
ε / hωC
µ
ε
 ∂ε 

∂

B
µ =
ε
ν = 2πl B2
S
ν = 2πl B2
S
κ −1 ν ∈ Z = ρ 2
∂µ
∂ρ
=0
ν ∈Z
Cuantización de la conductividad
• En el caso ideal el factor de llenado es
un nº entero
•
n
ν=
=i
nB
Introduciendo esta condición en los tensores antes definidos de la resistividad
y la conductividad.

 ρ0
ρˆ = 
− B

 nec
B 

 0
nec 
 ⇒ ρˆ = 
− h
ρ 0 


 ie 2

ρ0

1
σˆ =

2
 B   B
2
ρ0 + 
  nec
 nec 
h 
ie 2 

0 


B 
−
 0

nec
 ⇒ σˆ =  2
 ie
ρ 0 


 h
Desaparece la
resistividad
en los plateaus
ρ0=0
ie 2 
−

h 

0 

Explicación efecto cuántico Hall
entero
• Niveles de Landau completamente llenos. ν≡nº entero
(degenerados) y entre ellos existen gaps de energía
(incomprensibilidad)
• Existen dos tipos de estados: extendidos (conducen corriente) y
localizados (no conducen corriente).
(Estados de los niveles de Landau →onda plana→extendidos.)
• Existencia de impurezas (estados localizados) que se encuentran
entre los gaps de energías de los niveles de Landau. →Desorden
(vital para explicar el efecto hall cuántico entero)
• Cuando la energía de Fermi se halla en un gap de energía (a) y (b)
la resistencia Hall no puede aumentar de su valor cuantizado
→plateaus
• Cuando la energía de Fermi se halla en un nivel de Landau (c) es
posible cambiar el voltaje y la resistencia aumenta en un valor finito
(escalón)
Mientras la densidad de estados crece (o disminuye el campo
magnético), los estados localizados son ocupados gradualmente
(aquellos que se hallan en el gap) mientras la ocupación de los
estados extendidos no sufre ningún cambio. De este modo, como los
estados localizados no conducen corriente no hay cambio alguno en
la resistencia Hall,mientras que la densidad de estados crece (región
del plateau).
Por el mismo motivo en el gap no hay disipación,de modo que
desaparece la resistividad longitudinal. (diagonal del tensor)
Esquema del Efecto Hall Cuántico
B1
B2
B
Efecto Hall Cuántico Fraccionario
• El efecto Hall cuántico fraccionario se observa en sistemas
muy limpios (no hay apenas impurezas) sometidos a campos
magnéticos muy intensos, a muy bajas temperaturas.
• En este caso el gap de energía es causado por la interacción
electrón-electrón.
• El desorden tiene el efecto contrario al que tenía en efecto
Hall cuántico entero.
• En este efecto la conductividad transversal sigue la forma:
σH
p e2
=
q h
Donde p y q son números
enteros y q es casi siempre
impar
Función de onda de Laughlin
• Sistema de N electrones interactuantes.
• Campo magnético suficientemente grande → interacción
entre electrones poco importante comparada con la ωC
Descripción del sistema→ función de onda colectiva
formada por funciones de onda de una partícula en el
nivel fundamental de Landau.
No hay energía suficiente para que la
probabilidad de transición a niveles superiores
de Landau sea relevante.
Condiciones de la función de onda
de Laughlin
1. Función de many-body→incluye todas
las partículas.
2. Incluye el efecto de interacción electrónelectrón.
3. Autoestado del primer nivel de Landau.
4. Función antisimétrica.
5. Autoestado del operador Lz
Función de onda Laughlin
•Trabajamos en un gauge
rotacionalmente invariante
alrededor del eje z:
r 1 v v 1
1 ˆ
A = (B × r ) = B(xyˆ − yxˆ ) = Brφ
2
2
2
•Ecuación de Schrödinger para e libres:
 1  h ∂ exB  2  h ∂ eyB 2
 r
−
+


 +
 − ε ψ r = 0
 2m  i ∂y 2c   i ∂x 2c 

()
•Si definimos la longitud magnética:
Y utilizamos
x% =
y% =
x
lB
y
lB
2hc
lB =
eB
2
2

 1 ∂
hωc  1 ∂

− x%  + 
+ y%  ψ =ψε

4  i ∂y%   i ∂x%  
Si hacemos:
z = x% + iy%
y definimos:
La ecuación de autovalores de Φ es
2
−z 2
ψ =e
( )
φ z, z
∂ 2φ
1 
 ∂φ
hωc 
z−
+ φ  = εφ
∂z ∂ z 2 
∂z
Construimos la función de onda degenerada del 1er nivel de Landau
( )
( )
φ z, z = f ( z) ⇒ψ z, z = f ( z) e
donde f es un polinomio de z.
Y como:
∂f ( z )
∂z
=0
El estado fundamental del Hamiltoniano
de muchos cuerpos con interacción
de Coulomb puede construirse a partir
de las funciones del 1er nivel de Landau.
2
−z 2
los autovalores son ε=ħωc/2
z
∑
l =0 0
Ψ = f ( z0 ...z −1 ) e
−
−1
2
2
Ψ = ∏ f 2 ( zl − zl´ )e
1 2
− ∑l=−
0 zl 2
Función de onda Jastrow
l <l´
El Hamiltoniano conmuta con el operador momento angular
 ∂
∂
∂ 
ˆ
Ll = −ih
= 2  zl
− zl

∂θl
∂
z
∂
z
l
l 

Luego los autoestados del Hamiltoniano son autoestados de dicho operador
∂f2 ( z )
z
= qf2 (z ) ⇒ f2 (z ) = z q
∂z
q es un entero
Por tanto…
q
2
−
1
−∑l=0 zl 2
Ψ= ∏( zl − zl´ ) e
l<l´
q
Función de onda de Laughlin
Ψ = ∏ ( zl − zl ´ ) e
1 2
− ∑l=−
0 zl 2
l <l´
Debe ser antisimétrica bajo intercambio de partículas→ q impar
Denominador impar en la resistencia Hall
zi = z j ∀i ≠ j
La función se anula →incluido efecto correlación.
Cuando q es entero impar→ estado
excitado de N e- correlacionados
llenando 1/q
del 1er nivel de Landau.
Los valores del factor de llenado fraccionarios con
denominador impar producen gaps de energía
(creados por la propia interacción electrón-electrón
dentro del mismo nivel).
Para q= 1 se puede comprobar que la función de onda
corresponde a un determinante de Slater.
Pero para q= 3, 5, 7,… también tenemos funciones de
onda que describen bien el sistema.
Importancia de las impurezas
• La muestra debe de estar mucho más limpia
que en el IQHE.
• Si comenzamos añadir impurezas → los plateus
correspondientes a ν fraccionarios se fusionan.
• Si continuamos adicionando → los plateus
correspondientes a ν enteros sufren un
ensanchamiento
• Si seguimos sumando más impurezas →
desaparece el efecto Hall Cuántico por
completo.→ Sistema clásico
Efecto Hall Cuántico Fraccionario
Carga fraccionaria
Se demuestra que las funciones de onda
de Laughlin para números de q
fraccionarios con denominador impar son
excitaciones colectivas del sistema con
carga fraccionaria e*=νe.
El nombre técnico de estas cuasi-partículas es skyrmions.
Fluctuaciones de carga
Algunas paradojas del modelo
2
1  r e ur 
H (q ) =
p + A
* 
2m 
c 
En principio este Hamiltoniano no debería proporcionar corriente. No hay campo
eléctrico aplicado.
r
ur
 qhc  ur
a = − q φ0 L y y = − 
y
Introducimos un potencial ficticio
 eL 
 y
(
)
Dicho potencial no corresponde a ningún campo magnético
r
∇×a = 0
El Hamiltoniano queda de la forma:
1  e
e φ0
H(q) = * p + A − q
2m  c
c Ly
2

yˆ 


ur ∂H ( q )
J∝
∂q
Teorema
de
Noether
Entonces la corriente es:
e 
e
eφ
J y (r, q) = − * p + A − q 0
m 
c
c Ly

eLy ∂H (q)

yˆ ⋅ yˆ =

h dq

Si un estado lleva corriente la derivada debe ser ≠0 y el espectro de
autovalores depender del potencial ficticio pero habíamos dicho que los
Estados no podían transportar corriente.
¿Qué ocurre?
Efecto Aharanov-Bohm
• Originado por la aparición del potencial vector
A en H, en vez de la inducción B.
Supongamos un sistema de electrones atravesado por un
solenoide muy fino que produce un campo magnético constante
en el interior y cero fuera. Siendo el potencial fuera del solenoide:
r
φ 1
A(r ) =
uˆϕ
2π r
 r r
e
r r r 
Ψ ∝ exp îk ⋅ r + i ∫ dr ´⋅ A ( r ´) 
hc rr


ϕ AB =
2πΦ 0
Φ
Conclusión
• Efectivamente el efecto del potencial
vector que no produce inducción
magnética es una fase extra en la función
de onda que nos cambia las condiciones
de contorno de nuestro problema, pero no
cambia el espectro y por lo tanto las
partículas no transportan corriente.
SE CORRESPONDE CON EL CASO DE LAS IMPUREZAS.
Spin
• Hasta ahora hemos considerado que el grado
de libertad del spin estaba congelado y los
spines se alineaban con el campo magnético sin
coste alguno de energía.
• Valores de ε y m* apropiados→ energía de
Zeeman << que las energías típicas del
problema.
• El spin es gobernado por la interacción e-e.
Bibliografía
•
A quantum approach to Condensed Matter Physics.
Philip L. Taylor, Olle Reinonen. Ed Cambridge University
Press.2002
• Condensed Matter Physics. Michael P. Marder. A WileyInterscience Publication JOHN WILEY & SONS, INC.
2000.
• Physical Review Letters B.