Cap. 3_Estática de fluidos
Anuncio
Capítulo 2 Estática de fluidos Contenido 2.1 Presión en un punto: Ley de Pascal ............................................. 23 2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo ............................. 24 2.2.1 Fluido incompresible ........................................................... 25 2.2.2 Fluido compresible .............................................................. 27 2.3 Presiones manométrica y absoluta ............................................... 29 2.4 Atmósfera estándar....................................................................... 29 2.5 Medida de la presión – manómetros ............................................. 32 2.5.1 Manómetro de Bourdon ...................................................... 32 2.5.2 Transductor de presión ....................................................... 32 2.5.3 Columna piezométrica ........................................................ 33 2.5.4 Manómetro simple............................................................... 34 2.5.5 Manómetros diferenciales ................................................... 35 2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas .................... 35 2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida . ............................................................................................ 36 2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida . ............................................................................................ 40 2.7 Flotación y estabilidad .................................................................. 42 2.8 Bibliografía .................................................................................... 46 Capítulo 2 22 Estática de fluidos 2.1 Presión en un punto: Ley de Pascal En un fluido en reposo no hay esfuerzos cortantes; de aquí que únicamente están presentes los esfuerzos de presión normales. La intensidad de la presión promedio se define como la fuerza ejercida sobre una unidad de área. Si F representa la fuerza total sobre alguna área finita A, mientras dF representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA, la presión es P= dF dA (2.1) Si la presión es uniforme sobre el área total, entonces P = F/A. Para definir la presión en un punto, es necesario tomar el límite del cociente de la fuerza normal entre el área, conforme ésta tiende a cero en el punto. La presión así definida tiene el mismo valor en todas direcciones para un fluido en reposo. Para demostrar lo anterior, considérese un elemento pequeño en forma de cuña, de un fluido en reposo, de espesor unitario dy, como el que se muestra en la Figura 2.1. Como en un fluido estático no se tienen fuerzas cortantes, las únicas fuerzas que actúan sobre el elemento son las normales a la superficie y el peso del fluido. De esta manera, las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x y z son, respectivamente, ∑F = Pdydl cos α − Px dydz = 0 ∑F 1 = Pz dxdy − Pdydl sin α − γ dxdydz = 0 2 x z Figura 2.1 Diagrama de cuerpo libre de un elemento de fluido en forma de cuña. Teniendo en cuenta que dz = dl cos α, de la componente en x se tiene que P = Px. El último término de la componente en z es un infinitésimo de orden superior al resto de los términos y, por lo tanto, se puede despreciar. Ya que dx = dl sen α, la componente en z se reduce a P = Pz. Se puede demostrar también que P = Py considerando un caso tridimensional. Los resultados son independientes de α; con esto se demuestra que la presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. Este es un axioma importante en hidrostática, conocido como ley de Pascal. 23 Capítulo 2 2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo Considérese el elemento diferencial de un fluido estático mostrado en la Figura 2.2. Ya que el elemento es muy pequeño, se puede suponer que la densidad del fluido dentro del elemento es constante. Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido en la dirección vertical son: la acción de la gravedad sobre la masa dentro del elemento (fuerza de cuerpo), la cual se puede expresar como −γδxδyδz, y las fuerzas transmitidas por los alrededores (fuerzas de superficie), las cuales actúan en ángulos rectos sobre las caras inferior, superior y laterales del elemento. Si la presión en el centro del elemento es P, la fuerza de superficie que actúa en la cara perpendicular al eje y, más próxima al origen de coordenadas, es ⎛ ∂P δy ⎞ ⎜⎜ P − ⎟δxδz ∂y 2 ⎟⎠ ⎝ mientras que la fuerza en la superficie que se ejerce en la cara opuesta es ⎛ ∂P δy ⎞ ⎜⎜ P + ⎟δxδz ∂y 2 ⎟⎠ ⎝ donde δy/2 es la distancia desde el centro del elemento a cualquiera de sus caras perpendiculares al eje y. Figura 2.2 Elemento en forma de paralelepípedo rectangular de un fluido en reposo. 24 Estática de fluidos Al sumar todas las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección y, se obtiene ∑F y =− ∂P δxδyδz − γ δxδyδz ∂y En las direcciones x y z, donde no se tienen fuerzas de cuerpo: ∑F x =− ∂P δxδyδz ∂x ∑F z =− ∂P δxδyδz ∂z Ya que el fluido está en reposo, el elemento está en equilibrio y la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él en cualquier dirección deberá ser cero. Con esto, se obtiene la ley de la variación de la presión para un fluido en reposo, esta es, ∂P =0 ∂x ∂P = −γ ∂y ∂P =0 ∂z (2.2) La primera y tercera derivadas parciales, que representan la variación de la presión en el plano horizontal, constituyen una forma del principio de Pascal y establecen que dos puntos de igual elevación en una misma masa continua de fluido en reposo tienen la misma presión. Dado que P es función únicamente de y, se puede escribir dP = −γ dy (2.3) Esta sencilla ecuación diferencial relaciona el cambio de presión con el peso específico y el cambio de elevación, y es válida tanto para fluidos compresibles como para incompresibles. Para fluidos incompresibles, γ es constante y la Ec.(2.3) se puede integrar directamente. Sin embargo, para fluidos compresibles, γ se deberá expresar algebraicamente en función de y o P para determinar la presión en función de la elevación. 2.2.1 Fluido incompresible Para un fluido incompresible, la ley de la variación de la presión hidrostática frecuentemente se escribe en la forma P =γ h (2.4) en la cual h se mide verticalmente hacia abajo (h = − y) a partir de la superficie libre del líquido, y P es el correspondiente aumento de la presión sobre el valor que toma en dicha superficie. 25 Capítulo 2 Con frecuencia, es común expresar la presión en términos de la altura de una columna de fluido. Considere el tanque abierto que se muestra en la Figura 2.3, el cual contiene un líquido en cuya superficie no hay presión, aunque en realidad la presión mínima en cualquier superficie líquida es su propia presión de vapor. De acuerdo con la Ec. (2.4), la presión a cualquier profundidad es P = γ h. Si γ se considera constante, hay una relación definida entre P y h. Esto es, la presión (fuerza por unidad de área) es equivalente a la altura h de un fluido de peso específico constante. Figura 2.3 Presión expresada en términos de la altura de un fluido. Si la superficie del líquido está bajo alguna presión, solamente es necesario convertir dicha presión en una altura equivalente del fluido en cuestión y sumar éste al valor de h para obtener la presión total. La relación h = P/γ es válida para cualquier sistema consistente de unidades. Si P está en kN/m2, γ deberá estar en kN/m3 y h estará en metros. Cuando la presión se expresa de esta manera, es comúnmente referida como carga de presión. Ya que la presión se expresa comúnmente en kN/m2 (o lb/pulg2 en el sistema inglés), y como el valor de γ para el agua se supone generalmente de 9,81 kN/m3 (62,4 lb/pie3), una relación conveniente es h(m de H 2 O ) = kN m 2 = 0,102 × kN m 2 9,81 h(pies de H 2 O ) = 26 144 × psi = 2,308 × psi 62,4 Estática de fluidos 2.2.2 Fluido compresible Para determinar la variación de la presión en un fluido compresible en reposo, el análisis se restringe a un gas ideal, el cual es válido para el aire y la mayoría de sus componentes para relativamente grandes rangos de presión y temperatura. Ya que γ está relacionado con υ (γ = g/υ), se usará la ecuación de estado para un gas ideal (Pυ = RT). CASO 1: GAS IDEAL ISOTÉRMICO Para este caso, la ecuación de estado indica que el producto Pυ es constante. Así, en cualquier posición del fluido, usando el subíndice 1 para indicar datos conocidos, Pυ = P1υ1 = C (2.5) donde C es una constante. Sustituyendo υ = g/γ en la ecuación anterior, P g = P1 γ g1 γ1 =C (2.6) Suponiendo que el rango de elevación es bastante pequeño, de manera que g es constante, dividiendo entre g la ecuación anterior, se tiene P γ = P1 γ1 = C = C' g (2.7) Usando la relación anterior, la Ec.(2.3) se puede expresar como sigue: dP P = −γ = − dy C' Separando variables e integrando desde P1 hasta P, y de y1 hasta y, se tiene y dy dP ∫P1 P = − ∫y1 C ' ; P P ln P P 1 y =− C' y y1 de donde ln P 1 = − ( y − y1 ) P1 C' Ahora, usando P1/γ1 = C ’ de la Ec.(2.7) y despejando P, ⎡ γ ⎤ P = P1 exp ⎢− 1 ( y − y1 )⎥ ⎣ P1 ⎦ (2.8) Esto proporciona la relación deseada entre la elevación y la presión en términos de condiciones conocidas P1, γ1 a una elevación y1. 27 Capítulo 2 CASO 2: VARIACIÓN LINEAL DE LA TEMPERATURA CON LA ELEVACIÓN En este caso, la variación de la temperatura está dada por T = T1 + β y (2.9) donde T1 es la temperatura en la referencia (y = 0) y β es una constante. Para problemas terrestres, β será negativa. Con el fin de hacer posible la separación de variables en la Ec.(2.3), se deberá despejar γ de la ecuación de estado y, además, determinar dy de la Ec.(2.9), esto es, γ = dy = Pg RT (2.10a) dT (2.10b) β Sustituyendo en la Ec.(2.3), se obtiene, arreglando términos, dP g dT =− P βR T (2.11) Integrando desde el nivel de referencia (y = 0) donde P1, T1, etc., son conocidas, se tiene T P g ⎛T ⎞ ln = ln 1 = ln⎜ 1 ⎟ P1 β R T ⎝T ⎠ g βR Despejando P y remplazando la temperatura T por T1 + βy, se obtiene la expresión final ⎛ T1 ⎞ ⎟⎟ P = P1 ⎜⎜ ⎝ T1 + β y ⎠ donde T1 deberá estar en grados absolutos. 28 g βR (2.12) Estática de fluidos 2.3 Presiones manométrica y absoluta Cuando la presión se mide respecto al nivel de presión nula se denomina presión absoluta; por otro lado, cuando se toma de base la presión atmosférica se denomina presión manométrica a la presión superior a la atmosférica y presión de vacío a la inferior. Estas denominaciones se ilustran en la Figura 2.4. Figura 2.4 Presiones absoluta, manométrica y de vacío. Todos los valores de presión absoluta son positivos, igual que la presión manométrica, mientras que la presión de vacío es negativa. De lo anterior, se tienen las siguientes relaciones: Pabs = Patm + Pman (2.13a) Pabs = Patm − Pvac (2.13b) La presión atmosférica también es llamada presión barométrica y varía con la altitud. También, en un lugar dado, la presión varía con el tiempo debido a los cambios en las condiciones meteorológicas. 2.4 Atmósfera estándar La presión absoluta de la atmósfera se mide mediante el barómetro, de ahí su nombre de presión barométrica. Si un tubo, como el que se muestra en la Figura 2.5, tiene su extremo inferior sumergido en un líquido expuesto a la presión atmosférica, y se elimina el aire del tubo, el líquido se elevará dentro de él. Si el aire fuera completamente eliminado, la única presión sobre la superficie del líquido en el tubo será su propia presión de vapor y el líquido habrá alcanzado su altura máxima. 29 Capítulo 2 Figura 2.5 Principio del barómetro. De los conceptos desarrollados en la Sección 2.2, la presión en O dentro del tubo deberá ser igual a la presión en la superficie del líquido fuera del mismo (punto a); esto es, PO = Pa. De las condiciones de equilibrio estático del líquido sobre el punto O en el tubo de área de sección transversal A, se tiene Patm A − Pvapor A − γAy = 0 Patm = Pvapor + γ y (2.14) Si la presión de vapor sobre la superficie del líquido en el tubo fuera despreciable, entonces se tendría, Patm = γ y Generalmente se emplea mercurio para los barómetros, debido a que su densidad es lo suficientemente grande, lo cual permite usar un tubo razonablemente corto y también porque su presión de vapor es despreciable a temperaturas ordinarias. Se ha establecido una atmósfera estándar que se asemeja a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo, y su valor es bastante exacto para usarse en la mayoría de los trabajos de ingeniería. A nivel de mar, las condiciones atmosféricas estándares se muestran en la Tabla 2.1. Tabla 2.1 Condiciones al nivel del mar de la atmósfera estándar. Propiedad Símbolo Sistema Internacional Sistema Inglés Temperatura T 15°C = 288 K 59°F = 519°R Presión P 101,3 kPa = 760 mm Hg 2 116,2 lb/pie2 = 29,92 pulg Hg Densidad ρ 1,2232 kg/m3 0,002378 slug/pie3 Peso específico γ 11,99 N/m3 0,07651 lb/pie3 Viscosidad μ 1,777×10-8 kN.s/m2 3,719×10-7 lb.s/pie2 30 Estática de fluidos Las variaciones de temperatura y presión en la Atmósfera Estándar US se presentan en la Figura 2.6. En la capa más baja de 11,02 km (36 200 pies), denominada troposfera, la temperatura disminuye rápidamente y en forma lineal de acuerdo con la relación T = (288 − 0.006489 y ) K T = (519 − 0.003560 y ) °R ( y en m) ( y en pies) (2.15) donde y es la elevación sobre el nivel del mar. En la siguiente capa, denominada estratosfera, de un espesor de 9 km aproximadamente (30 000 pies), la temperatura se mantiene constante en –56,5°C (−69,7°F). En la mesosfera, a una altitud alrededor de 50 km (165 000 pies o 31 millas), la temperatura aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, hasta un máximo de –2,5°C (27,5°F). Por encima de ésta, en la ionosfera, la temperatura disminuye otra vez. La presión absoluta estándar se comporta de una manera muy distinta a la temperatura (Figura 2.6), disminuyendo rápidamente y suavemente hasta un valor de casi cero a una altitud de 30 km (98 000 pies). El perfil de presiones se calculó a partir de las temperaturas estándar utilizando lo métodos de la Estática de fluidos (Sección 2.2). Figura 2.6 Distribuciones de temperatura y presión de la Atmósfera Estándar US. 31 Capítulo 2 2.5 Medida de la presión – manómetros Existen muchas formas de medir la presión en un fluido. Algunas de estas técnicas se tratan a continuación. 2.5.1 Manómetro de Bourdon Las presiones manométricas o de vacío se pueden medir usando el manómetro de Bourdon, como el que se muestra en la Figura 2.7. En este tipo de manómetro un tubo curvado de sección elíptica cambiará su curvatura al cambiar la presión dentro del tubo. El extremo móvil del tubo gira la manecilla de un cuadrante mediante un mecanismo de unión articulado. La combinación de un manómetro de presión y de vacío se denomina manómetro compuesto, el cual se muestra en la Figura 2.7b. (a) Principio de operación. (b) Manómetro compuesto. Figura 2.7 Manómetro de Bourdon. 2.5.2 Transductor de presión Un transductor es un dispositivo que trasfiere energía (en cualquier forma) de un sistema a otro. En manómetro de Bourdon, por ejemplo, es un transductor mecánico por el hecho de tener un elemento elástico que convierte la energía del sistema de presión en un desplazamiento en el sistema mecánico de medida. Un transductor de presión eléctrico convierte el desplazamiento de un sistema mecánico (normalmente un diafragma de metal) en una señal eléctrica, ya sea activamente si genera su propio potencial eléctrico de salida, o pasivamente si requiere un potencial eléctrico de entrada que cambia en función del desplazamiento mecánico. 32 Estática de fluidos En la Figura 2.8 se muestra el diagrama de un tipo de transductor de presión eléctrico. En este transductor de presión se pega una banda extensiométrico a un diafragma. Al cambiar la presión, cambia la deflexión del diafragma. Éste, a su vez, cambia el potencial eléctrico de salida, que se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta. Se puede utilizar este dispositivo conectado a un registrador de cinta para dar un registro continuo de la presión. En lugar de un registrador de cinta, los datos se pueden grabar en una cinta magnética o disquete a intervalos de tiempo fijo, utilizando el sistema de adquisición de datos de una computadora y/o se pueden mostrar en la pantalla de la computadora en forma digital. Figura 2.8 Esquema de un transductor de presión eléctrico con registrador de cinta. 2.5.3 Columna piezométrica Una columna piezométrica es un dispositivo sencillo para la medición de presiones moderadas en líquidos. Consiste en un tubo de longitud adecuada en donde el líquido puede subir sin llegar a rebosar, como se muestra en la Figura 2.9. La altura del líquido en el tubo dará directamente un valor de la altura de presión. Para reducir los errores capilares el diámetro del tubo debe ser como mínimo de 12 mm (0,5 pulg). Figura 2.9 Piezómetro. 33 Capítulo 2 2.5.4 Manómetro simple Como el piezómetro de tubo abierto es incómodo para su uso con líquidos a presiones altas y no se puede utilizar con gases, el manómetro simple o manómetro U, como el que se muestra en la Figura 2.10, es un dispositivo más conveniente para la medición de presiones. Si se integra la Ec.(2.3) para un fluido incompresible (γ = constante) entre los puntos 1 y 2, se tiene (2.16) P2 − P1 = −γ ( y 2 − y1 ) de donde se observa que un cambio de altura en un líquido, y2 – y1, es equivalente a una diferencia de presión de (P2 – P1)/γ. Por ello, para medir diferencias de presión entre dos puntos se pueden utilizar columnas estáticas de uno o más líquidos. Un instrumento de este tipo se denomina manómetro. El tipo más simple de manómetro es el tubo U, como el que se muestra en la Figura 2.10. Este manómetro está conectado a un tanque que contiene un fluido A, cuya presión en el punto a se desea medir. Si se aplica la Ec.(2.16) en dos etapas, primero de a a M y luego de N a 0, se tiene Pa − PM = −γ A d1 PN − PO = −γ Hg (− d 2 ) El peso de la pequeña cantidad de aire existente entre 0 y el extremo abierto se desprecia y se supone que P0 ≈ Patm. Cuando se suman las dos ecuaciones anteriores, PM se cancela con PN y se obtiene el resultado deseado, Pa = Patm + γ Hg d 2 − γ A d1 Figura 2.10 Manómetro simple o tubo U. 34 (2.17) Estática de fluidos 2.5.5 Manómetros diferenciales Considere ahora el manómetro de múltiples fluidos mostrado en la Figura 2.11. Para encontrar la diferencia de presión entre las dos cámaras A y B, se aplica repetidamente la Ec. (2.16); esto es, PA – P1 = –γ1(yA – y1) P1 – P2 = –γ2(y1 – y2) P2 – P3 = –γ3(y2 – y3) P3 – PB = –γ4(y3 – yB) Sumando las cuatro diferencias se obtiene PA – PB, PA – PB = −γ1 d1 + γ2 d2 −γ3 d3 + γ4 d4 (2.18) Figura 2.11 Manómetro complicado de múltiples fluidos, para relacionar pA con pB. 2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas Ahora que se ha determinado la manera en que varía la presión en un fluido estático, se puede examinar la fuerza sobre una superficie sumergida en un líquido. Con el fin de determinar por completo la fuerza que actúa sobre la superficie sumergida, se deben especificar la magnitud y la dirección de la fuerza, así como su línea de acción. Se deben considerar superficies sumergidas tanto planas como curvas. 35 Capítulo 2 2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida Puesto que no puede haber esfuerzos de corte en un fluido estático, todas las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una superficie sumergida en dicho fluido deberán ser normales a la misma. Si la presión se distribuye uniformemente sobre un área, como se muestra en la Figura 2.12a, la fuerza es igual a la presión por el área, y el punto de aplicación de la fuerza es el centroide del área. En el caso de fluidos compresibles (gases), la variación de la presión con la distancia vertical es muy pequeña debido a su bajo peso específico; de aquí, cuando se calcula la fuerza estática ejercida por un gas, P se puede considerar constante. Así, para este caso, F = ∫ PdA = P ∫ dA = PA (2.19) En el caso de líquidos, la distribución de la presión no es uniforme; de aquí que es necesario un análisis más amplio. Considere una superficie plana vertical, como la que se muestra en la Figura 2.12b, cuyo extremo superior coincide con la superficie libre del líquido. La presión variará desde cero en M, hasta NK en N. Así, la fuerza total sobre un lado es la sumatoria de los productos de los elementos de área por la presión sobre ellos. Es claro que la resultante de este sistema de fuerzas paralelas deberá estar aplicada en un punto por abajo del centroide del área, ya que el centroide de un área es el punto de aplicación de la resultante de un sistema de fuerzas paralelas uniformes. Si la superficie se sumerge hasta la posición M’N’ mostrada en la Figura 2.12c, el cambio proporcional de presión de M’ a N’ es menor que el de M a N. De aquí que el centro de presión estará más cercano al centroide de la superficie. Entre más se sumerja la superficie, la presión sobre ésta llegará a ser más uniforme y el centro de presión estará cada vez más cerca del centroide. Figura 2.12 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana vertical. 36 Estática de fluidos La Figura 2.13 muestra una superficie plana de forma arbitraria sumergida completamente en un líquido, la cual forma un ángulo θ con la horizontal. A la derecha se muestra la proyección de esta superficie sobre un plano vertical. Sea h la profundidad de cualquier punto y y la distancia del punto a la superficie libre en el plano de la placa. Figura 2.13 Superficie plana sumergida. Considere un elemento de área seleccionado de manera que la presión ejercida sobre él es uniforme. Si x representa el ancho del área a cualquier profundidad, entonces dA = x dy. Como P = γ h y h = y sen θ, la fuerza dF sobre un elemento de área será, dF = PdA = γ h dA = γ y senθ dA Integrando esta ecuación, tomando en cuenta que el centroide de un área se define ( A)∫ ydA , se tiene como y c = 1 F = γ senθ ∫ ydA = γ senθ y c A (2.20) Si se representa mediante hc la profundidad del centroide, entonces hc = yc sen θ y F = γ hc A (2.21) Ya que γ hc es la presión en el centroide, la Ec.(2.21) indica que la fuerza sobre una cara de cualquier superficie plana sumergida en un fluido estático, es igual a la presión que hay en el centroide de dicha cara por su área, independientemente de la forma de la superficie y de su ángulo de inclinación. 37 Capítulo 2 Centro de Presión Para completar el análisis de fuerzas planas, se debe determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Este punto se denomina centro de presión. Tomando el eje x de la Figura 2.13 como un eje de momentos, el momento de la fuerza dF = γ y sen θ dA es ydF = γ y 2 senθ dA Si yp representa la distancia al centro de presión, ypF es el momento de la fuerza resultante y y p F = γ senθ donde I xx = ∫y 2 ∫y 2 dA = γ senθ I xx dA es el momento de inercia del área plana alrededor de x. Si la ecuación anterior se divide entre el valor de F dado por la Ec.(2.21), se tiene yp = γ senθ I xx γ senθ I xx I = = xx γ hc A γ senθ y c A y c A (2.22) El teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia establece que I xx = I ξξ + y c2 A donde I ξξ es el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo al eje x (ξ) que pasa a través del centro del área. Con esto, la Ec.(2.22) se puede escribir como, y p = yc + I ξξ yc A (2.23) De esta ecuación, se puede observar que el centro de presión es independiente del ángulo θ. También, se puede ver que el centro de presión siempre está por abajo del centroide y que, cuando la profundidad del centroide se incrementa, el centro de presión se aproxima al centroide. En la Figura 2.14 se dan los valores de 38 I ξξ para algunas áreas comunes. Estática de fluidos Figura 2.14 Centroide y momentos centroidales de inercia para algunas geometrías comúnes.. Para determinar la posición lateral del centro de presión, considérese la vista normal A-A de la Figura 2.13, que se muestra en la Figura 2.15. Figura 2.15 Vista normal de la superficie plana. 39 Capítulo 2 El centro de presión se muestra en la posición yp, determinada previamente, y a una distancia desconocida xp del eje y. Igualando el momento alrededor del eje y de la fuerza resultante con el momento correspondiente de la distribución de presión, se obtiene x p F = ∫ xγ ( ysenθ )dA = γ senθ ∫ xydA A A Sustituyendo F = γ yc sen θ A, se obtiene (γ y c senθ A)x p = γ senθ I xy Por lo tanto, xp = I xy A yc donde Ixy es el producto de inercia alrededor de los ejes de referencia. Empleando el teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia, I xy = I ξη + xc y c A donde I ξη es el producto de inercia con respecto a los ejes cetroidales, se obtiene x p = xc + I ξη yc A (2.24) Un modo fácil de calcular xp es fijar el sistema de ejes coordenados xy, de tal manera que el eje y pase a través del centroide del área y x = 0 esté en el centroide. Si el área es simétrica en relación con cualquiera de los ejes, el producto de inercia en el centroide es cero, y xp coincide con el centroide. 2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida Las fuerzas que actúan sobre una superficie curva sumergida en un fluido estático, se pueden determinar parcialmente mediante el método usado para superficies planas. Considere la superficie curva que se muestra en la Figura 2.16, sumergida en un fluido estático. La fuerza sobre cualquier elemento de área dA de esta superficie está sobre la normal al elemento de área y está dada por dF = − PdA 40 Estática de fluidos donde el vector dA está dirigido hacia fuera del área. Tomando el producto punto de cada lado de la ecuación anterior con el vector unitario i, se obtiene la componente dFx sobre el lado izquierdo; esto es, dFx = − PdA ⋅ iˆ pero dA ⋅ iˆ es realmente la proyección del elemento de área sobre el plano yz, dAx, (Figura 2.16). Figura 2.16 Superficie curva sumergida en un fluido estático. Para obtener Fx se tiene, Fx = − ∫ PdAx donde en el límite de la integración, Ax es la proyección de la superficie sobre el plano yz. El problema de encontrar Fx se convierte ahora en el problema de encontrar la fuerza sobre una superficie plana sumergida perpendicularmente a la superficie libre. Por lo tanto, se puede utilizar el método desarrollado en la sección anterior para resolver este problema. Similarmente, se tiene para Fz Fz = − ∫ PdAz donde Az es la proyección de la superficie curva sobre el plano xy. Por lo tanto, dos componentes ortogonales de la fuerza resultante se pueden determinar mediante el método para superficies planas sumergidas. Note que estas componentes son paralelas a la superficie libre. Considere ahora la componente normal a la superficie libre. La presión P debida a la columna de fluido en un punto de la superficie es ∫γ dy, con límites entre y’ sobre la superficie curva y y0 en la superficie libre (Figura 2.17). 41 Capítulo 2 Figura 2.17 Columna de fluido sobre una superficie curva. Para la componente vertical de la fuerza sobre la superficie curva se tiene, dFy = − P dA ⋅ ˆj = − P dAy yo yo Fy = −⎛⎜ ∫ γ dy ⎞⎟dAy = − ∫ γ dy dAy y' ⎝ y' ⎠ De la Figura 2.17 se observa que γdydAy es el peso de un elemento infinitesimal de fluido en la columna que se encuentra directamente sobre dA. Esta columna se extiende hasta la superficie libre, o una superficie libre hipotética sobre una altura equivalente. Integrando esta cantidad desde y’ hasta y0, dFy representa el peso de la columna de fluido que se encuentra directamente sobre dA. Obviamente, cuando se integra dFy sobre la superficie completa, se obtiene el peso de la columna total de fluido que se encuentra sobre la superficie curva. El signo negativo indica que una superficie curva con una proyección dAy positiva (parte superior de un objeto), está sujeta a una fuerza negativa en la dirección de y (hacia abajo). Esta componente de la fuerza tiene una línea de acción que pasa por el centro de gravedad del prisma de fluido “reposando” sobre la superficie. 2.7 Flotación y estabilidad La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático, en el cual está sumergido o flotando se denomina fuerza de flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existente sobre las superficies superior e inferior. 42 Estática de fluidos Considere el objeto totalmente sumergido en un líquido estático, como se muestra en la Figura 2.18. La fuerza vertical sobre el cuerpo, debida a la presión hidrostática, puede encontrarse más fácilmente considerando elementos de volumen cilíndricos similares al que se muestra en esta figura. Figura 2.18 Cuerpo inmerso en un fluido estático. En un fluido estático dP = ρg dh Integrando con ρ constante, se obtiene P = P0 + ρ gh La fuerza vertical neta sobre el elemento es dFz = (P0 + ρ gh2 ) dA − (P0 + ρ gh1 ) dA = ρ g(h2 − h1 ) dA Pero (h2 − h1 ) dA = dV , es el volumen del elemento; por lo tanto, Fz = ∫ dFz = ∫ ρ gdV = ρ gV V (2.25) donde V es el volumen del objeto. Pero la relación ρ gV es, sencillamente, el peso del líquido cuyo volumen es igual al volumen del objeto. Se llega a la conclusión que la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto es igual al peso del líquido desplazado por el propio objeto. Nótese que la fuerza de flotación es independiente de la distancia del objeto a la superficie libre y de la densidad del cuerpo sólido. Además, el peso y la fuerza de flotación deben tener la misma línea de acción para crear un momento cero. Esto se conoce como principio de Arquímedes, en honor del matemático griego (287-212 a.C.), quien aparentemente la usó en el año 220 a.C. para determinar el contenido de oro en la corona del Rey Hiero II. 43 Capítulo 2 Para los cuerpos flotantes, el peso del cuerpo completo debe ser igual a la fuerza de flotación, la cual es el peso del fluido cuyo volumen es igual al de la parte sumergida de ese cuerpo; es decir: FB = W → ρ f g Vsumergido = ρ prom,cuerpo g Vtotal Vsumergido Vtotal = ρ prom,cuerpo ρf (2.26) Por lo tanto, la fracción sumergida del volumen de un cuerpo flotante es igual a la razón de la densidad promedio del cuerpo a la densidad del fluido. Nótese que cuando la razón de densidades es igual o mayor que uno, el cuerpo flotante se vuelve por completo sumergido. Con base en esto, se puede concluir que un cuerpo sumergido en un fluido: (1) permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando su densidad es igual a la densidad del fluido; (2) se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor que la del fluido; y (3) asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando la su densidad es menor que la del fluido. Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes La fuerza de flotación sobre un cuerpo siempre actúa a través del centroide del volumen desplazado, mientras que el peso lo hace a través del centro de gravedad. Estas características pueden hacer que un cuerpo parcial o totalmente sumergido sea estable o inestable. Un objeto se encuentra en equilibrio estable si un ligero desplazamiento genera fuerzas o momentos que restablecen la posición original del objeto. Un objeto está en equilibrio inestable si un ligero desplazamiento genera fuerzas o momentos que desplazan aún más el objeto. Un objeto se encuentra en equilibrio indiferente si el desplazamiento no genera fuerzas ni momentos. La estabilidad es similar a lo que le sucede a una bola cuando se desplaza ligeramente sobre las tres superficies que se muestran en la Figura 2.19. Figura 2.19 Ilustración del concepto de estabilidad. Para un cuerpo sumergido o flotante en equilibrio estático, el peso y la fuerza de flotación que actúan sobre él se equilibran entre sí y, de manera inherente, esos cuerpos son estables en la dirección vertical. Si un cuerpo sumergido neutralmente flotante se asciende o desciende hasta una profundidad diferente, el cuerpo permanecerá en equilibrio en esa ubicación. Si un cuerpo flotante se asciende o desciende mediante una fuerza vertical, el cuerpo regresará a su posición original tan pronto como se elimine el efecto externo. Por lo tanto, un cuerpo flotante posee estabilidad vertical, mientras que uno sumergido neutralmente flotante está en equilibrio indiferente, puesto que no regresa a su posición original después de una perturbación. 44 Estática de fluidos La estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido depende de las ubicaciones relativas del centro de gravedad G del cuerpo y del centro de flotación B, el cual es el centroide del volumen desplazado. Un cuerpo sumergido total o parcialmente (flotante) está en equilibrio estable si su centro de gravedad G se encuentra debajo de su centro de flotación B, como se ilustra en la Figura 2.20. Si el cuerpo gira, se establece un momento para enderezarlo y regresarlo a su posición original con G directamente debajo de B. Si el centro de gravedad de un cuerpo totalmente sumergido está arriba del de flotación, el cuerpo está en equilibrio inestable, ya que se establece un desbalanceo de momento cuando el cuerpo gira, tal como se ilustra en la Figura 2.21. Figura 2.20 Cuerpo flotante con el centro de gravedad G debajo del centro de flotación B: (a) posición de equilibrio; (b) posición después del giro. Figura 2.21 Cuerpo sumergido con el centro de gravedad G arriba del centro de flotación B: (a) posición de equilibrio; (b) posición después del giro. Si el centro de gravedad de un cuerpo flotante está arriba de su centro de flotación, el cuerpo podría ser estable o inestable ya que el centro de flotación cambia a medida que el objeto gira. Las razones para esta diferencia se pueden ilustrar con dos bloques flotantes de madera: uno corto y ancho (Figura 2.22a y b), y uno largo y delgado (Figura 2.22c y d). En ambos bloques el centro de flotación se mueve por arriba de la superficie. Para el mismo ángulo de rotación, el centro de flotación del bloque corto y ancho se mueve más hacia la derecha que el del bloque largo y delgado. El resultado es que el nuevo centro de flotación B’ del bloque corto y ancho se encuentra ahora a la derecha del centro de gravedad, mientras que el nuevo centro de flotación del bloque largo y delgado se encuentra todavía a la izquierda del centro de flotación. El bloque corto y ancho tiene un momento de restablecimiento y es estable, mientras que el bloque largo y delgado tiene un momento perturbador y es inestable. 45 Capítulo 2 Figura 2.22 Comparación de estabilidad entre dos bloques de madera, uno corto y ancho y el otro largo y delgado: (a) y (c) posición de “equilibrio”; (b) y (d) posición después del giro. 2.8 Bibliografía 1. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M., Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª ed., McGraw-Hill Interamericana, 2006. 2. Fox, R.W., & McDonald, A.T., Introduction to Fluid Mechanics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1995. 3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I., Fundamentos de Mecánica de Fluidos, 2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. 4. Shames, I.H., Mechanics of Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982. 5. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B., Fluid Mechanics with Engineering Applications, 6th ed., McGraw-Hill, 1977. 6. Franzini, J.B., y Finnemore, E.J., Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería, 9ª edición, McGraw-Hill, 1999. 46
