32. El planeta Venus, cuya masa es 4.87·1024 kg, gira alrededor del

32. El planeta Venus, cuya masa es 4.87∙1024 kg, gira alrededor del Sol describiendo una órbita circular de 108 millones de kilómetros de radio. a) Si la aceleración de la gravedad en la superficie de Venus es 8.87 m∙s‐2, calcular el diámetro del planeta (en km). b) Calcular la velocidad orbital de Venus alrededor del Sol y el tiempo (en días) que tarda en dar una vuelta completa. c) Calcular qué velocidad tendría que tener el planeta Venus para escapar de la atracción gravitatoria del Sol. Datos: Masa del Sol M = 2∙1030 kg; constante de gravitación G = 6.67∙10‐11 N m2∙ kg‐2 a) g =G
Mv
GM v
GM v
→ r2 =
→r=
sustituyendo los datos del ejercicio sin poner las 2
g
g
r
unidades por operatividad, nos sale: r=
6,67·10 −11 4,87·10 24
= 6,05·10 6 m luego el diámetro, d=2∙r=1,2∙107m 8,87
D=1,2∙107m b) Para calcular la velocidad orbital igualamos la fuerza de gravitación entre el Sol y Venus a la fuerza centrípeta: G
M s ·M v
GM s
v2
=
M
·
, despejando v =
=
v
2
R
R
R
v=
6,67·10 −11 ·2·10 30
= 35145,2m / s 108·10 9
2·π ·R
2·π ·R
→T =
= 19308013,99 s, en días sería T=333,47 d T
v
c) Para que el planeta Venus escape del Sol, su energía mecánica en la órbita tiene que igualarse a la Energía mecánica fuera del campo gravitatorio solar, es decir: Em( órbita) = Em∞ Ec( que _ deberia _ tener _ para − abandonar −laorbita ) + Ep ( órbita ) = 0;
M ·M
M ·M 1
1
2
2
− G s v = 0 → M v ·vtotal
=G s v
M v ·vtotal
R
R
2
2
vtotal =
2GM s
=
R
2·6.67·10 −11 2·10 30
= 49702,8m / s 108·10 9
Esta sería la velocidad total que debería llevar el planeta Venus para que se saliese de su órbita y abandonase el campo gravitatorio solar. ______________________________________ No tenemos que confundir la velocidad que acabamos de calcular y que nos pide el problema, con la velocidad adicional que habría que comunicarle al planeta Venus para que su energía total fuese la suficiente para abandonar el campo gravitatorio solar desde su órbita. Es decir, nosotros sabemos que Venus en su órbita estable tiene una velocidad determinada (velocidad orbital) por tanto se le debe comunicar una energía tal que su nueva velocidad sea lo suficientemente grande como para que abandone el campo gravitatorio. Si fuese eso lo que nos pidiera el ejercicio, entonces tendríamos que calcularlo de la siguiente manera: Em(orbita)+ Wescape =Em(infinito); siendo Wescape la energía necesaria que tenemos que comunicar al Planeta Venus que está girando en su órbita para que abandone el campo gravitatorio M ·M
1
2
M v ·v orbital
− G s v +W = 0 2
R
Sabiendo que la vorbital =
GM s
sustituyendo, tendriamos: R
GM s
M ·M
1
1
Mv
− G s v + M v ·v 2 = 0 , si nos fijamos en la ecuación anterior nos damos 2
R
R
2
cuenta que para que esta sea 0, la velocidad que estamos calculando debe coincidir con la velocidad orbital, pero en cualquier caso, despejamos: −
GM s
1 GM s ·M v
1
1 GM s ·M v 1
+ M v ·v 2 = 0 → M v ·v 2 =
→v=
= 35145,2m / s 2
R
2
R
2
2
R
Que como vemos coincide, como habíamos previsto, con el valor de la velocidad orbital. Si quisiésemos comparar la velocidad total que tendría que tener Venus para abandonar el campo gravitatorio solar desde esa orbita y el valor de la velocidad adicional que habría que comunicarle para que la abandonase, sería: vt =
2G·M s
v
GM s
y v =
Dividiendo miembro a miembro: t =
R
R
v
Simplificando: 2G·M s
R
; GM s
R
vt
= 2 despejando vt = v 2 v
Es decir, la velocidad que tiene que tener el satélite, en este caso el planeta Venus, para abandonar el campo gravitatorio desde su órbita es 2 de la velocidad orbital.