FUNCION DE PRODUCCION CUBICA (Función clásica). lorenzo castro gómez1 Esta función es Y = ƒ (X) = b1X + b2X2 - b3X3 donde : Y = producto total Xi = insumos bi = parámetros Ejemplo: sea la función Y = ƒ (X) = 3X + 2X2 - 0.1X3 PM = Y/X = (3X + 2X2 - 0.1X3)/X = 3 + 2X - 0.1X2 PMg = dy/dx = 3 + 4X - 0.3X2 E = (dy/dx)(x/y)=(dy/dx)(y-1)/(X-1)=(dy/dx)(y/x)-1=dy/dx/y/x= PMg / PM Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto total es condición necesaria que dy/dx = PMg = 0, es decir que: 3 + 4x - 0.3X2 = 0, o bien - 0.3X2 + 4X + 3 = 0, esta estructura se parece a una ecuación cuadrática, por lo que se resuelve con la fórmula general, por lo que se tiene: X = -4 ± = -4 ± [42 - 4 (-0.3) (3)] / 2(-0.3) [16 + 3.6] / - 0.6 = - 4 ± 4.42 / - 0.6 X1 = - 0.72 X2 = 14.03 La condición de segundo orden para un máximo exige que d2y/dx2 < 0, por lo tanto d2y/dx2 = 4 - 0.6 evaluada en X1 = -0.72, será: d2y/dx2 (x = - 0.72) = 4 - 0.6 (- 0.72) = 4.43 > 0 lo que garantiza un mínimo. d2y/dx2 (x = 14.04) = 4 - 0.6 (14.04) = - 4.42 < 0 lo que garantiza un máximo. Por lo tanto, tomamos el valor de X2 = 14.04 como aquel que garantiza un máximo. El producto máximo será: Y = 3 (14.04) + 2 (14.04)2 - 0.1 (14.04)3 1 Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE – UAAAN. 1 Ymax = 159.6045 Para encontrar el nivel de insumo variable que maximiza el producto medio es condición necesaria que dPM/dx = 0, es decir 2 - 0.2X = 0 ó bien, X = 10, la d2PM / dx2 = - 0.2 < 0 lo que garantiza el máximo de PM, cuando X = 10 el ; PMmax = 3 + 2 (10) - 0.1 (10)2 = 13 Para encontrar el nivel del insumo variable que maximiza el producto marginal es condición necesaria que dPMg/dx = 0, es decir que 4 - 0.6X = 0, o bién X = 6.67 el ; PMgmax = 3 + 4 (6.67) - 0.3 (6.67)2 = 16.33 El valor del insumo variable que cumple con PM = PMg es: 3 + 2X - o.1X2 = 3 + 4X - 0.3X2 2X - 0.1X2 = 4X - 0.3X2 2 -0.1X = 4 - 0.3X 0.2X = 2 X = 2/0.2 X = 10 Desde el punto de vista del insumo variable, las tres etapas de la producción quedan definidas como: Etapa I 0 < X < 10 Etapa II 10 < x < 14.04 Etapa III X > 14.04 La ley de los rendimientos marginales decrecientes empieza a operar a partir de X = 6.67, etapa racional o económica será desde el punto de vista de la elasticidad de producción, la etapa II [ 0 < E < 1 ]. LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LOS COSTOS ALGUNAS DEFINICIONES DE LA TEORÍA DE LOS COSTOS El costo alternativo o de oportunidad de la producción de una unidad del bien X es la cantidad del bien Y que debe sacrificarse a tal efecto. También se llama costo social. Los costos implícitos en que incurre un empresario al producir un bien especifico consisten en las sumas que podría ganar en el mejor uso alternativo de su tiempo y de su dinero. En la producción de X obtendrá un beneficio económico neto, sólo en el caso de que sus ingresos totales superen la suma de sus costos explícitos e implícitos. La curva de costo total a largo plazo se relaciona directamente con la curva de expansión; en realidad, la curva o función de costo total a largo plazo es 2 simplemente el equivalente de la ruta de expanción en terminos del costo y el volumen de producción. El costo fijo total (CFT), es la suma de los costos fijos explícitos a corto plazo y los costos implícitos en que incurre el empresario. El costo variable total (CVT), es la suma de las cantidades gastadas en cada uno de los insumos variables empleados. A corto plazo, el costo total (CT), es la suma del costo fijo total y el costo variable total. El Costo fijo medio (CFM) es el costo total dividido por el número de unidades producidas. El costo variable medio (CVM), es el costo variable total dividido por el número de unidades producidas. El costo medio total (CMT), es igual al costo total dividido por el número de unidades producidas. También se puede calcular mediante la suma del costo fijo medio y el costo variable medio. El costo marginal es la adición al costo total, imputable a una unidad adicional de producción. El ingreso total (IT), es el precio de mercado por la cantidad producida. IT = Py * Y, donde Py = precio de mercado, y Y es la producción. El ingreso marginal es la adición al ingreso marginal, imputable a una unidad adicional al ingreso. Beneficio total (BT), es la diferencia entre el ingreso total y los costos totales. • • Sea la función de producción Y = f(x) = 3X +2X2 – 0.1X3 CFT = 150, Px = 5 y Py = 2, unidades monetarias respectivamente. En el siguiente cuadro se resumen todas las operaciones. (la columna iluminada es la mejor opción para el productor. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y 0 4.9 13.2 24.3 37.6 52.5 68.4 84.7 100.8 116.1 130 141.9 PM 3 4.9 6.6 8.1 9.4 10.5 11.4 12.1 12.6 12.9 13 12.9 PMg 3 6.7 9.8 12.3 14.2 15.5 16.2 16.3 15.8 14.7 13 10.7 Px 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 VPMg CFT CVT 6 150 0 13.4 150 5 19.6 150 10 24.6 150 15 28.4 150 20 31 150 25 32.4 150 30 32.6 150 35 31.6 150 40 29.4 150 45 26 150 50 21.4 150 55 CT 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 CFM 0 30.61 11.36 6.17 3.99 2.86 2.19 1.77 1.49 1.29 1.15 1.06 CVM 0 1.02 0.76 0.62 0.53 0.48 0.44 0.41 0.4 0.39 0.38 0.39 CMT 0 31.63 12.12 6.79 4.52 3.34 2.63 2.18 1.89 1.68 1.53 1.45 CMg 1.67 0.75 0.51 0.41 0.35 0.32 0.31 0.31 0.32 0.34 0.38 0.47 Py 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 IT 0 9.8 26.4 48.6 75.2 105 136.8 169.4 201.6 232.2 260 283.8 BT -150 -145 -134 -116 -94.8 -70 -43.2 -15.6 -11.6 37.2 60 78.8 3 12 13 14 15 16 17 18 151.2 157.3 159.6 157.5 150.4 137.7 118.8 12.6 12.1 11.4 10.5 9.4 8.1 6.6 7.8 4.3 0.2 -4.5 -9.8 -15.7 -22.2 5 15.6 150 60 5 8.6 150 65 5 0.4 150 70 5 -9 150 75 5 -19.6 150 80 5 -31.4 150 85 5 -44.4 150 90 210 215 220 225 230 235 240 0.99 0.95 0.94 0.95 1 1.09 1.26 0.4 0.41 0.44 0.48 0.53 0.62 0.76 1.39 1.36 1.38 1.43 1.53 1.71 2.02 0.64 1.16 25 -1.11 -0.51 -0.32 -0.23 2 2 2 2 2 2 2 302.4 314.6 319.2 315 300.8 275.4 236.4 92.4 99.6 99.2 90 70.8 40.4 -3.6 DONDE: • X = insumo variable • Y = Producto total • PM = Producto medio • PMg = Producto marginal • Px = Precio por unidad de X • VPMg = Valor del producto marginal • CFT = Costo fijo total • CVT = Costo variable total • CT = Costo total • CFM = Costo fijo medio • CVM = Costo variable medio • CMT = Costo medio total • CMg = Costo marginal • Py = Precio por unidad de Y • IT = Ingreso total • BT = Beneficio total (ganancia) ECUACIONES: • Y = f(x) = 3X +2X2 – 0.1X3 • PM = Y/X • PMg = dy/dx • VPMg = (Py) (PMg) • CVT = (Px) (X) • CT = CFT + CVT • CFM = CFT/Y • CVM = CVT/Y • CMT = CT/Y ; ó CFM + CVM • CMg = Px/PMg • IT = (Py) (Y) • BT = IT – CT; IT – (CVT + CFT) IT – [(Px)(X) + CFT] (Py)(Y) – [(Px)(X) +CFT] BT = [(Py)f(x)] – [(Px)(X) + CFT] 4 GAFICAMENTE SE TIENE: Función de producción cúbica 180 160 140 100 PT 80 60 40 20 19 17 15 13 11 9 7 5 3 0 1 Productos 120 Insumos 5 Gráfica del PM Y PMg 20 15 10 19 17 15 13 -5 11 9 7 5 3 0 1 PM - PMg 5 PM PMg -10 -15 -20 -25 Insumos Gráfica del CT, CFT y CVT 300 200 CFT 150 CVT CT 100 50 19 17 15 13 11 9 7 5 3 0 1 CT - CFT - CVT 250 Insumos 6 Gráfico de CFM, CVM, CMT y CMg 35 CFM-CVM-CMT y CMg 30 25 20 CFM CVM 15 CMT CMg 10 5 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 0 -5 Insumos Gráfico de la relación del BT, IT y CT 400 300 IT 100 BT CT 19 17 15 13 11 9 7 5 3 0 1 BT-IT-CT 200 -100 -200 Insumos 7