Tema 1. Número Reales

EUAT
Problemas de Cálculo Matemático
2008-2009
Tema 1. Números reales
1. Calcular la representación decimal de los siguientes números racionales:
a) 5⁄4.
b) 1⁄7.
c) 2⁄13.
2. Encontrar los números racionales (expresados como fracciones) cuyas representaciones
decimales son:
a) 0.235.
b) 0.863.
c) 2. 281.
3. Demostrar que entre dos números racionales cualesquiera existe otro número racional.
4. Dar tres números irracionales construyendo sus representaciones decimales no periódicas.
5. Encontrar un número racional 𝑥𝑥 y un número irracional 𝑦𝑦 tales que 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏 y 𝑎𝑎 < 𝑦𝑦 <
𝑏𝑏, siendo 𝑎𝑎 = 0. 3 y 𝑏𝑏 = 0.3401.
6. Demostrar que entre dos números reales cualesquiera existe un número racional y un
número irracional (como consecuencia, entre dos números reales cualesquiera existen
infinitos números racionales e infinitos números irracionales).
7. ¿La afirmación 𝑥𝑥 2 ∈ ℕ, es verdadera o falsa para los siguientes valores de 𝑥𝑥?
a) 𝑥𝑥 = 1⁄2.
b) 𝑥𝑥 = √2.
4
c) 𝑥𝑥 = √2.
d) 𝑥𝑥 = √23 .
8. ¿Para qué valores reales de 𝑥𝑥 es cierta la afirmación: 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 2 ∈ ℕ, 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ ℚ?
9. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas en el conjunto de los números reales?
a) Para todo 𝑥𝑥 existe un 𝑦𝑦 tal que 𝑦𝑦 > 𝑥𝑥 2 .
b) Existe un 𝑦𝑦 tal que para todo 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 > 𝑥𝑥 2 .
c) Existe un 𝑦𝑦 tal que para todo 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥 2 .
d) Para todo 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 existe un 𝑥𝑥 tal que 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0.
10. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas en el conjunto de los números reales?
a) Si 𝑥𝑥 ∈ (1,2] entonces 𝑥𝑥 2 ∈ (1,4].
b) Si 𝑥𝑥 ∈ (−1,2] entonces 𝑥𝑥 2 ∈ (−1,4].
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c) Si 𝑥𝑥 ∈ (−1,2] entonces 𝑥𝑥 2 ∈ (1,4].
11. Dados los intervalos 𝐴𝐴 = [−3,3], 𝐵𝐵 = (−1,4] y 𝐶𝐶 = [−4,2), representar gráficamente y
calcular el resultado de las siguientes operaciones:
a) 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵.
b) 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶, 𝐶𝐶 − 𝐵𝐵.
c) 𝐴𝐴𝐶𝐶 , (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵)𝐶𝐶 .
d) 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶), 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶).
12. Plantear y resolver las siguientes inecuaciones:
a) ¿Qué números reales se encuentran a una distancia de 1 menor que 1?
b) ¿Qué números reales se encuentran a una distancia de -1 mayor que 0?
c) ¿Qué números reales se encuentran a una distancia de 3 mayor que 5?
d) ¿Qué números reales se encuentran a una distancia de -5 menor que 3?
13. Demostrar que:
a) {𝑥𝑥 ∈ ℝ: |𝑥𝑥 − 3| ≤ 1} = [2,4].
b) {𝑥𝑥 ∈ ℝ: |𝑥𝑥 + 2| > 5} = ℝ − [−7,3].
𝑥𝑥−1
c) �𝑥𝑥 ∈ ℝ: �
𝑥𝑥+1
� ≤ 1� = ℝ+ ∪ {0}.
14. Escribir los siguientes conjuntos en forma de intervalo:
a) {𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 > 0}.
b) {𝑥𝑥 ∈ ℝ: (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) ≤ 0}.
c) �𝑥𝑥 ∈ ℝ:
𝑥𝑥+2
𝑥𝑥−3
≥ 0�.
15. Dados los siguientes polinomios, calcular sus raíces reales indicando la multiplicidad de
cada una de ellas:
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15.
b) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 14𝑥𝑥 2 + 49.
c) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 (𝑥𝑥 − 3)3 (𝑥𝑥 + 5).
1 3
1 2
3
d) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 + � �𝑥𝑥 − � �𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 − 1).
2
2
4
16. Calcular los intervalos donde son positivos y donde son negativos los polinomios del
ejercicio anterior.
17. Calcular las raíces reales y factorizar los siguientes polinomios:
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥.
b) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + 4𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 6.
c) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 8.
d) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 + 2𝑥𝑥 2 + 1.
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e) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 2𝑥𝑥 4 − 10𝑥𝑥 3 − 20𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 + 18.
18. Dados los siguientes polinomios, demostrar que no tienen raíces enteras y calcular para
cada uno de ellos el intervalo [−𝑀𝑀, 𝑀𝑀] en el que deben estar todas sus raíces reales.
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 2𝑥𝑥 2 − 2.
b) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 1.
c) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 3𝑥𝑥 4 − 𝑥𝑥 − 1.
3
2
d) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 + 1.
2
3
19. Calcular el término general de las siguientes sucesiones. Indicar cuáles son aritméticas y
calcular su diferencia. Indicar cuáles son geométricas y calcular su razón.
a) +3, −3, +3, −3, +3, ⋯
b) +5, +2, −1, −4, −7, ⋯
c) 1, 4, 9, 16, ⋯
d) 2, 5, 10, 17, ⋯
e)
f)
g)
1
2
1
3
,
,
7
6
3
6
1 1
, ,
11 15
,
,
,
6
1
9
,
6
27
12 24
,
1
3 9 27 81
,⋯
,⋯
,⋯
20. Hallar la suma de los 100 primeros términos de cada una de las sucesiones aritméticas y
geométricas del ejercicio anterior.
21. Calcular la suma de los infinitos términos de cada una de las sucesiones geométricas del
ejercicio anterior.
22. Calcular los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
a) {3−𝑛𝑛 }∞
n=0 .
b) {3𝑛𝑛 + 1}∞
n=1 .
c) {(−1)𝑛𝑛 𝑛𝑛}∞
n=2 .
23. Calcular los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones {𝑎𝑎𝑛𝑛 }∞
n=1 , siendo:
a) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛
b) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛!
.
1 𝑛𝑛
c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �1 + � (con dos lugares decimales).
𝑛𝑛
24. Calcular los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:
𝑎𝑎 = 1
.
a) � 1
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−1
𝑎𝑎 = 1
b) � 1
.
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1⁄(2𝑎𝑎𝑛𝑛−1 )
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𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 = 1
c) � 1
.
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2
25. Hallar los términos que ocupan los lugares 1, 10 y 100 de las sucesiones {𝑎𝑎𝑛𝑛 }1∞ dadas por:
a) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
3𝑛𝑛−1
c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑛𝑛+2
b) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
2𝑛𝑛
𝑛𝑛 2
𝑛𝑛+2
.
.
𝑛𝑛 2 +1
.
26. Determinar cuáles de la siguientes sucesiones son monótonas y cuáles acotadas.
a) �
b) �
c)
𝑛𝑛+1 ∞
�
𝑛𝑛+2 𝑛𝑛=1
(−1)𝑛𝑛 ∞
𝑛𝑛
.
�
.
𝑛𝑛=1
∞
�21⁄𝑛𝑛 �𝑛𝑛=1 .
27. ¿Las siguientes sucesiones convergen o divergen? ¿Si convergen, cuál es el límite?
a) 1, 0, 1⁄2 , 0, 1⁄4 , 0, 1⁄8 , 0, ⋯
b) 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ⋯
c) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 +
d) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛
1+(−1)𝑛𝑛
𝑛𝑛
.
.
e) 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1 + (−1)𝑛𝑛 .
f) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
g) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
h) 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
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3𝑛𝑛+5
𝑛𝑛 3 +4
.
2𝑛𝑛 2 +𝑛𝑛−5
7𝑛𝑛 2 −𝑛𝑛+1
.
−2𝑛𝑛 4 +5𝑛𝑛 2 +1
𝑛𝑛 2 −3𝑛𝑛+1
.
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