1Movimiento

1.MOVIMIENTO
EN
DOS
DIMENSIONES
Antes de iniciar está unidad es importante que recuerdes algunos conceptos vistos en
Física I y algunos que verás en Temas selectos de Física para ello debes completar el
siguiente esquema conceptual y revisar con tú profesor cada unos de los conceptos:
Palabras claves:
mecánica
estática
cinemática
rectilíneo
tiro vertical
curvilíneo
parabólico
uniforme
trayectoria
desplazamiento
velocidad
aceleración
Movimiento
se puede clasificar
en función de su
es estudiado
por la
trayectoria en
de un cuerpo se
describe por su
aceleración en
se divide en
Uniformemente
variado
dinámica
como
como
caída libre
circular
3
tiempo
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
1.1 Caída Libre
Los cuerpos en caída libre no son más que un caso particular del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado, con la característica de que la aceleración es debida a la acción
de la gravedad.
Un cuerpo tiene caída libre si desciende sobre la
superficie de la Tierra y no sufre ninguna resistencia
originada por el aire.
Por eso, cuando la resistencia del aire sobre los cuerpos es tan pequeña que se puede
despreciar, es posible interpretar su movimiento como una caída libre.
Es común para cualquiera de nosotros observar la caída de los cuerpos sobre la superficie
de la Tierra, pero ¿te has preguntado qué tiempo tardan en caer dos cuerpos de diferente
tamaño desde una misma altura y de manera simultánea?
Una respuesta a esta interrogante sería, por ejemplo, experimentar con una hoja de papel
y una libreta. Se observa que la hoja de papel cae más despacio y con un movimiento
irregular, mientras que la caída de la libreta es vertical y es la primera en llegar al suelo.
Ahora, se hace una bolita con la hoja de papel y dejémosla caer en forma simultánea con
la libreta, y aquí, el resultado será que ambos cuerpos caen verticalmente y al mismo
tiempo, por que al comprimir la hoja de papel casi se ha eliminado el efecto de la
resistencia del aire.
Cuando en un tubo al vacío se dejan caer simultáneamente una pluma de ave, una piedra
y una moneda, su caída será vertical y al mismo tiempo, independientemente de su
tamaño y peso, por lo que su movimiento es en caída libre.
4
En conclusión, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, en ausencia de
fricción, caen a la Tierra con la misma aceleración.
La aceleración gravitacional produce sobre los cuerpos con caída libre un movimiento
uniformemente variado, por lo que su velocidad aumenta en forma constante, mientras
que la aceleración permanece constante.
La aceleración de la gravedad siempre está dirigida hacia abajo y se acostumbra
representarla con la letra g, y para fines prácticos se le da un valor de:
g = 9.8 m/s2
g = 980 cm/s2
g = 32 pies/s2
5
Instrucciones:
Ejercicio 1-1
Comprobar que los cuerpos tardan el mismo tiempo en caer cuando
se disminuye la resistencia del aire durante su caída, realiza para ello
el procedimiento que se te indica.
Material
ƒ
ƒ
ƒ
Dos hojas de papel del mismo tamaño
Una pelota
Una canica
Procedimiento
1.
2.
3.
Toma una de las hojas y déjala caer, primero, junto con la canica y después, junto
con la pelota. En ambas ocasiones, déjalas caer simultáneamente desde la misma
altura. Observa y registra los que sucede. ¡Influye la masa de los cuerpos?
Ahora arruga una de las hojas para formar una pequeña bola de papel. Déjala caer
simultáneamente, desde una misma altura, junto con la otra hoja. Observa y
registra lo que sucedió. ¿A qué crees que se debe la diferencia?
Finalmente, toma la hoja arrugada y la canica, déjalas caer desde la misma altura y
al mismo tiempo. Observa lo que sucede. Repite la misma experiencia, pero ahora,
en lugar de la canica, utiliza la pelota. Registra lo que observas. ¿Influyó la masa
de cada objeto en el tiempo de la caída?
Conclusiones
1. ¿Llegan al mismo tiempo la pelota, la canica y la hoja de papel cuando se dejan caer
simultáneamente desde la misma altura?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________
2. ¿Por qué tarda más tiempo en caer la hoja extendida que una hoja hecha bola?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Anota tus conclusiones.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
____________________________________________________________
6
Instrucciones:
Ejercicio 1-2
Analiza el siguiente diagrama y explícalo.
Si dejamos caer un cuerpo, éste cae aceleradamente bajo la acción de la gravedad, ya
que no presenta ninguna resistencia originada por el aire a este movimiento se le llama
caída libre.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
_______________________________
__________________________________
Para la resolución de problemas de caída libre se utilizan las mismas ecuaciones del
MRUV, pero se acostumbra cambiar la letra a de aceleración por g, que representa la
aceleración de la gravedad, y la letra d de distancia por h, que representa la altura, por lo
que dichas ecuaciones quedarían de la siguiente manera:
Ecuaciones Generales Ecuaciones de Caída libre
V f = Vi + a t
Vf = g t
V f = Vi 2 + 2 a d
Vf = 2 g h
2
2
Vf = 2 g h
V f − Vi 2
2
d=
h=
h=
g t2
2
2a
a t2
d = Vi t +
2
⎛ V f + Vi
d = ⎜⎜
⎝ 2
2g
⎛Vf
h = ⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟⎟ t
⎠
7
2
Vf
⎞
⎟⎟ t
⎠
Ejemplos:
1. Una persona suelta una piedra desde una azotea de 45 m de altura. Calcular:
a) ¿con qué velocidad llegará la piedra al suelo? , b) ¿cuánto tiempo tardará en llegar al
suelo?
Datos
h = 45 m
Vf = ?
t =?
g = 9 .8 m / s 2
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vf = 2 h g
Vf = 2 (9.8 m/ s2 ) (45 m)
V f = 882 m 2 / s 2
V f = 29.69 m / s
Vf = g t
t=
Vf
t=
g
29.69 m / s
9.8 m / s 2
t = 3.02 s
2. Un gato camina sobre la cornisa de una casa cuya altura es desconocida; si el animal
en un descuido cae al suelo en un tiempo de 3 s, ¿cuál será la velocidad de caída y la
altura de la casa?
Datos
t =3s
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vf = g t
V f = (9.8 m / s 2 ) (3 s )
V f = 29.4 m / s
⎛ 29.4 m / s ⎞
h=⎜
⎟ (3 s )
2
⎝
⎠
h = 44.1 m
Vf = ?
h=?
g = 9.8 m / s 2
⎛Vf
h = ⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟⎟ t
⎠
3. A un trabajador que se encuentra sobre un edificio se le caen unas pinzas. Si las pinzas
caen al suelo en 6 s. ¿Desde qué altura cayeron las pinzas? ¿Con qué velocidad chocan
las pinzas con el suelo?
Datos
t=6s
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vf = g t
V f = (9.8 m / s 2 ) (6 s )
V f = 58.8 m / s
⎛ 58.8 m / s ⎞
h=⎜
⎟ (6 s )
2
⎝
⎠
h = 176.4 m
Vf = ?
h=?
g = 9 .8 m / s 2
⎛Vf
h = ⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟⎟ t
⎠
8
4. Un muchacho que se encuentra sobre el puente de un río a 25 m de altura arroja un
objeto en línea recta hacia abajo. Determinar la velocidad con la que choca el objeto con el
agua y el tiempo que tarda en caer.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
h = 25 m
Vf = 2 h g
Vf = ?
V f = 2 (9.8 m / s 2 ) (25 m)
V f = 490 m 2 / s 2
V f = 22.13 m / s
t =?
Vf = g t
g = 9 .8 m / s 2
t=
Instrucciones:
Vf
t=
g
22.13 m / s
9.8 m / s 2
t = 2.25 s
Ejercicio 1-3
Resuelve los siguientes problemas y registra los resultados
numéricos en el crucigrama. A cada casilla le corresponde un dígito.
Si las soluciones son correctas las operaciones indicadas en el
crucigrama se deberán cumplir.
1
+
2
=
3
+
4
x
x
5
=
6
7
=
9
+
8
=
+
10
=
11
=
12
1) Calcula el tiempo que tarda en caer una manzana que llega al piso con una velocidad
de 98 m/s.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
2) Una piedra en caer 98 s en caer. Calcula la velocidad con la que llega al piso.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
9
3) Calcula la magnitud de la velocidad media de una piedra que se deja caer desde un
acantilado y llega al fondo con una velocidad de 2020 m/s.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
4) ¿Qué tiempo tarda en caer un objeto que se suelta desde una altura de 125 m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
5) Una canica tarda en caer 0.4 s. ¿Con qué valor de velocidad llega al suelo?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
6) ¿Qué distancia recorre un móvil en 2 s cuando se le suelta de un edificio de 100 m de
altura?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
7) Una torre tiene una altura de 245 m. ¿Qué tiempo tarda en caer un objeto que se
suelta desde el punto más alto?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
10
8) Un costal se deja caer desde un globo. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 2 000 m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
9) Un cuerpo se suelta desde una altura de 180 m. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al
suelo?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
10) ¿Con qué velocidad llega al suelo una pelota que tarda 18.1 s en caer (se le suelta
desde el reposo)?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
11) Una bomba se deja caer desde un helicóptero, llega al suelo con una rapidez de 1870
m/s. ¿Qué tiempo tardó en caer?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
12) Calcula la magnitud de la velocidad media de una pelota que llega al suelo con una
rapidez de 40 m/s. (Se deja caer verticalmente)
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
11
1.2 Tiro Vertical
Este movimiento se presenta cuando un cuerpo se proyecta en línea recta hacia
arriba. Su velocidad disminuirá con rapidez hasta llegar a algún punto en el cual esté
momentáneamente en reposo; luego caerá de vuelta, adquiriendo de nuevo, al llegar al
suelo la misma velocidad que tenía al ser lanzado. Esto demuestra que el tiempo
empleado en elevarse al punto más alto de su trayectoria es igual al tiempo transcurrido
en la caída desde allí al suelo. Esto implica que los movimientos hacia arriba son iguales a
los movimientos hacia abajo, pero invertidos, y que el tiempo y la rapidez para cualquier
punto a lo largo de la trayectoria están dados por las mismas ecuaciones para la caída de
los cuerpos.
Ya sea que el cuerpo se mueva hacia arriba o hacia abajo, la aceleración debida a la
gravedad g es siempre hacia abajo.
En el Tiro vertical la altura máxima
se alcanza cuando la V = 0.
Instrucciones:
La magnitud de la velocidad durante el ascenso
es diferente en cada punto pero de igual valor a
la. magnitud de la velocidad durante el descenso
en cada punto de la trayectoria.
Ejercicio 1-4
Analiza el siguiente diagrama y explícalo.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
_______________________________
__________________________________
12
Las ecuaciones utilizadas en la solución de problemas de tiro vertical son las mismas que
las de caída libre.
Ecuaciones Generales Ecuaciones de Tiro vertical
V f = Vi + a t
Vi = g t
V f = Vi 2 + 2 a d
Vi = 2 g h
2
2
Vi = 2 g h
2
V f − Vi
2
d=
2
h=
Vi
2g
h=
g t2
2
2a
a t2
d = Vi t +
2
⎛ V f + Vi
d = ⎜⎜
⎝ 2
⎞
⎟⎟ t
⎠
⎛V ⎞
h=⎜ i ⎟t
⎝2⎠
t subir = t bajar
T =2t
Ejemplos:
1. Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba con una velocidad de 24.5 m/s. Calcular:
a) la altura máxima a la que llega la pelota, b) la velocidad de llegada al punto de partida y
c) el tiempo total requerido para volver al punto de lanzamiento.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
V f = Vi
V f = 24.5 m / s
Vi = 24.5 m / s
Vi = g t
h=?
V
24.5 m / s
t = 2.5 s
t= i
t=
2
g
Vf = ?
9.8 m / s
T =?
⎛V ⎞
h=⎜ i ⎟t
⎝2⎠
⎛ 24.5 m / s ⎞
h=⎜
⎟ (2.5 s )
2
⎝
⎠
h = 31.23 m
T =2t
T = 2 (2.5 s )
T =5s
13
2. ¿Cuál será la velocidad inicial necesaria para que una pelota de tenis que es lanzada
hacia arriba logre alcanzar una altura de 40 m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vi = ?
Vi = 2 h g
h = 40 m
Vi = 2 (9.8 m / s 2 ) (40 m)
g = 9.8 m / s 2
Instrucciones:
Vi = 784 m 2 / s 2
Vi = 28 m / s
Ejercicio 1-5
En los paréntesis escribe una F si el enunciado es falso y una V si el
enunciado es verdadero.
1.
(
)
Cuando se lanza un objeto hacia arriba, la aceleración que actúa durante el
ascenso es diferente a la aceleración del descenso del objeto.
2.
(
)
La magnitud de la velocidad con la que se arroja un cuerpo es igual a la
magnitud de la velocidad con la que regresa dicho cuerpo.
3.
(
)
Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, la velocidad en el punto más alto
es cero.
4.
(
)
Cuando un objeto es arrojado hacia arriba, su aceleración es cero en el punto
más alto.
5.
(
)
Al lanzar un objeto hacia arriba, el tiempo que tarda en alcanzar el punto más
alto es el mismo tiempo que tarda en llegar al punto desde donde fue lanzado.
Instrucciones:
Ejercicio 1-6
Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto
en clase.
1) Un chico lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿A qué altura
llegará el balón? ¿Cuánto tardará en alcanzar su altura máxima?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
14
2) Una pulga salta verticalmente hasta 0.1 m. ¿Con qué valor de velocidad vertical
despega? ¿En cuánto tiempo alcanza esta altura?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
3) ¿Con qué velocidad se debe lanzar una pelota para que alcance una altura de 10 m? y
¿Para qué alcance una altura de 50 m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
4) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s. ¿Qué
altura habrá alcanzado una vez que haya reducido a la mitad su velocidad inicial?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
5) Un proyectil antiaéreo se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 200
m/s. Calcular la altura máxima que alcanzará y el tiempo que tardará en regresar si falla a
partir de que fue disparado.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
6) Un muchacho lanza hacia arriba un balón con una velocidad inicial de 12 m/s. ¿A qué
altura llegará el balón? ¿Con qué valor de velocidad regresará el balón al muchacho?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
15
7) Un beisbolista lanza una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota cae al suelo a los
6 s después de haber sido lanzada. Calcular:
a) la velocidad inicial
b) la altura máxima alcanzada
c) el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
8) Una flecha es disparada verticalmente hacia arriba, regresa al suelo después de 10 s
de haber sido lanzada. Calcular:
a) la velocidad con la que fue lanzada
b) la altura máxima alcanzada
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
9) ¿Con qué velocidad debe arrojarse una pelota verticalmente hacia arriba para que
alcance una altura máxima de 24 m? ¿Cuánto tiempo permanecerá en el aire?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
10) Un niño da un salto vertical hacia arriba alcanzando una altura máxima de 40 cm.
Calcular:
a) la velocidad inicial de su salto
b) el tiempo total que dura en el aire
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
16
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
El tiro horizontal y el tiro parabólico son ejemplos de movimiento realizado por un cuerpo
en dos dimensiones o sobre un plano. Ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde
a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un
avión; el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, o el de una pelota de golf
al ser lanzada en cierto ángulo respecto a la horizontal.
El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento rectilíneo
uniformemente variado.
Instrucciones:
Ejercicio 1-7
Define que es un proyectil y dibuja algunos ejemplos.
17
1.3 Tiro Horizontal
Si un cuerpo cae libremente desde el reposo al mismo tiempo que otro es
proyectado horizontalmente desde la misma altura, los dos chocarán a la vez con el
suelo. Un ejemplo de este tipo sería el que se observa al caer las bombas de un
avión sobre la superficie de la Tierra.
Un cuerpo que cae de una altura desde el reposo y otro proyectado
horizontalmente, llegan al suelo al mismo tiempo.
En esta figura, dos bombas A y B son enviadas al suelo; se libera la bomba B hacia la
derecha, y se deja caer la bomba A verticalmente. La bomba A cae con la aceleración de
la gravedad g, la bomba B, recorriendo la trayectoria abcde, choca con el suelo al mismo
tiempo.
De este ejemplo se deduce que la aceleración hacia abajo de un proyectil es la misma que
la caída libre de un cuerpo, y se produce independientemente de su movimiento
horizontal. El proyectil ejecuta dos movimientos:
a) una velocidad horizontal constante Vi
b) una aceleración vertical hacia abajo dada por el valor de g
Con la Vi, la distancia horizontal d recorrida es proporcional al tiempo y está dada por la
ecuación:
d = Vi t
Como la bomba cae al mismo tiempo con una aceleración g, la distancia vertical h es
proporcional al cuadrado del tiempo y está dada por la ecuación:
g t2
h =
2
18
Ejemplos:
1. Desde un avión se lanza una bomba a una altura de 3000 m; si la velocidad del avión
es de 1000 km/h, calcular:
a) el tiempo que tarda la bomba en llegar a la tierra
b) la distancia horizontal durante su caída
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
h = 3000 m
Vi = 1000 km / h = 277.7 m / s
g = 9.8 m / s 2
t =?
d =?
g t2
h=
2
t=
2h
g
t=
2 (3000 m)
9.8 m / s 2
d = (277.77 m / s ) (24.74 s )
d = Vi t
t = 24.74 s
d = 6872.02 m
2. Un cañón dispara una bala a 200 m/s desde un acantilado de 300 m de altura sobre el
nivel del mar. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al agua? ¿Qué distancia recorre?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vi = 200 m / s
h = 300 m
g = 9.8 m / s 2
t =?
d =?
g t2
h=
2
t=
2h
g
t=
2 (300 m)
9.8 m / s 2
d = (200 m / s ) (7.82 s )
d = Vi t
19
t = 7.82 s
d = 1574 m
Instrucciones:
Ejercicio 1-8
Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto
en clase.
1) Se dispara una bala horizontalmente a 2.5 m del suelo. Calcular el tiempo que tardaría
en llegar al blanco si se encuentra a 100 m de distancia y la bala lleva una velocidad de
750 m/s.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
2) Un avión supersónico está volando horizontalmente a una altura de 10 km y con una
rapidez horizontal de 2000 m/s cuando libera una caja de acero. ¿Cuánto tardará la caja
en tocar el piso?, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja a los 2 s?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
3) Una flecha se dispara horizontalmente con una rapidez de 60 m/s desde una altura de
1.7 m sobre un terreno horizontal. ¿A qué distancia del arquero llegará la flecha?
Desprecia la resistencia del aire.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
4) De una mesa de 1 m de altura se arroja horizontalmente una canica con una rapidez
de 2 m/s. ¿Qué tan lejos de la base de la mesa se impactará la canica en el piso?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
20
1.4 Tiro Parabólico
Considérese un proyectil que es lanzado a determinado ángulo de elevación; debido a la
fuerza de atracción de la gravedad, tiende a llegar hasta cierta altura y luego desciende
siguiendo una trayectoria parabólica. Si un proyectil alcanza una gran velocidad, el aire
tiende a frenar el movimiento acercándolo hacia abajo y la trayectoria se aparta de la
parábola.
El tiro parabólico oblicuo se caracteriza por la trayectoria seguida por el proyectil
cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje
horizontal.
Los proyectiles tienden a seguir una trayectoria parabólica,
y debido a la fricción del aire, ésta se acorta.
Generalmente en los problemas clásicos, se desprecia la fricción del aire y se calcula la
trayectoria teórica de un proyectil y, si es necesario, se pueden hacer correcciones para el
rozamiento del aire. Regularmente debe conocerse la velocidad inicial del
lanzamiento Vi y su ángulo inicial θ. El ángulo se mide desde la línea horizontal; en
caso de que los proyectiles sean balas y granadas, la elevación del ángulo de elevación es
la que tenga el cañón.
Los problemas por resolver para los proyectiles son:
• El tiempo de vuelo
• La altura máxima conseguida
• El alcance logrado
El tiempo de vuelo (T) de un proyectil se define como el tiempo necesario para
su regreso al mismo nivel desde donde fue disparado.
La altura máxima (H), llamada flecha, se define como la mayor distancia
vertical alcanzada, medida desde el plano horizontal de tiro.
El alcance (R) es la distancia horizontal desde el punto de proyección hasta el
punto donde el proyectil vuelve otra vez al mismo plano horizontal.
Cálculo de trayectorias
Para el cálculo de la altura y el alcance de un proyectil, la velocidad inicial (Vi) de
proyección como vector se descompone en dos componentes, una vertical y una
21
horizontal. Llamamos R a la distancia de tiro, y θ al ángulo de elevación; las componentes
“x” y “y” de la velocidad se dan por las funciones seno y coseno.
Trayectoria de un proyectil, indicado con H la altura máxima alcanzada,
T el tiempo de vuelo y R el alcance.
Para calcular cada uno de estos factores, basados en los conceptos de velocidad
constante y movimiento acelerado, bajo los procedimientos matemáticos, se dedujeron las
siguientes ecuaciones.
2 v senθ
g
(v senθ ) 2
H=
2g
T=
Tiempo de vuelo (T)
Altura máxima (H)
v2
R=
( sen 2 θ )
g
Alcance (R)
22
Ejemplos:
1. En un juego de básquetbol, desde la línea media de la cancha es lanzada una pelota
con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de elevación de 65°.
Calcular:
a) el tiempo de vuelo
b) la altura máxima alcanzada
c) el alcance
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vi = 15 m / s
θ = 65°
g = 9.8 m / s 2
T =?
H =?
R=?
T=
2 v senθ
g
T=
2 (15 m / s ) ( sen 65°)
9.8 m / s 2
H=
(v senθ ) 2
2g
H=
((15 m / s ) ( sen 65°)) 2
2 (9.8 m / s 2 )
H = 9.24 m
(15 m / s ) 2
( sen 2 (65°))
(9.8 m / s 2 )
R = 17.58 m
v2
R=
( sen 2 θ )
g
R=
T = 2.77 s
2. Una bala es lanzada con una velocidad de 140 m/s a un ángulo de 30° con respecto a la
horizontal.
Calcular:
a) el tiempo de vuelo
b) el alcance
c) la altura máxima
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
Vi = 140 m / s
θ = 30°
g = 9.8 m / s 2
T =?
R=?
H =?
T=
R=
2 v senθ
g
v2
( sen 2 θ )
g
H=
(v senθ ) 2
2g
2 (140 m / s ) ( sen 30°)
9.8 m / s 2
T = 14.28 s
(140 m / s ) 2
( sen 2 (30°))
(9.8 m / s 2 )
R = 1732.05 m
T=
R=
H=
((140 m / s ) ( sen 30°)) 2
2 (9.8 m / s 2 )
23
H = 250 m
Instrucciones:
Ejercicio 1-9
A la salida del laberinto encontrarás el nombre de la trayectoria que
describe un proyectil que se acelera en forma vertical mientras se
desplaza horizontalmente.
Escribe en este espacio la trayectoria que describe el proyectil.
24
Instrucciones:
Ejercicio 1-10
Escribe en los círculos que aparecen en blanco en número que
corresponde a los ángulos de disparo citados, previa selección de los
números que se muestran en la clave. Una vez realizado esto,
responde brevemente las preguntas.
El alcance horizontal y la altura vertical de un proyectil que describe una trayectoria
parabólica dependen de su velocidad inicial y su ángulo de disparo. En la siguiente figura
se muestran las trayectorias de diferentes proyectiles lanzados con la misma rapidez,
pero con diferentes ángulos de disparo.
Ángulos de disparo:
5°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 80°
Alcances y alturas de un proyectil disparado
con la misma rapidez a diferentes ángulos de disparo.
1. ¿A qué ángulo el alcance de un proyectil es máximo?
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿A qué ángulo de los que aparecen en la figura la altura es máxima?
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. ¿Para qué ángulos de la figura el alcance del proyectil es el mismo?
________________________________________________________________________
__________________________________________________________________
25
Instrucciones:
Ejercicio 1-11
Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento visto
en clase.
1) Una flecha es disparada en el aire con una velocidad de 25 m/s a un ángulo de
elevación de 30°. Calcular: el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance logrado.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
2) Un beisbolista lanza una pelota a una velocidad de 95 mi/h a un ángulo de 35°.
Calcular: el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance logrado.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
3) Una rana salta con una rapidez de 2 m/s a un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cuánto
tiempo permanece en el aire?, ¿Cuál es su alcance? y ¿Cuál es la altura máxima de su
salto?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
4) Una pelota de golf se golpea y sale impulsada con una rapidez de 20 m/s a un ángulo
de 45° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es su alcance cuando han transcurrido 0.4 s?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
26
1.5 Relación entre el movimiento lineal y el movimiento circular
Cuando una cuerda se desenrolla de un carrete o cuando una llanta se hace girar sobre su
eje se desplaza a lo largo del pavimento, se producen movimientos rotacional y lineal
simultáneamente.
Por otra parte, cuando un cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo, cada partícula del
cuerpo se mueve a lo largo de trayectorias circulares. La descripción del movimiento de
cada partícula se puede hacer ya sea en cantidades circulares o en cantidades lineales.
El conocimiento de la relación entre cantidades lineales y circulares permite ir y venir de
una descripción a otra, así como comprender o describir mejor cierto tipo de fenómenos
con una determinada descripción.
Analogías entre el movimiento lineal y circular
Lineal
Circular
d
(m)
θ
(rad)
V
(m/s)
ω
(rad/s)
α
(rad/s2)
2
a (m/s )
Las ecuaciones que permiten relacionar los dos tipos de movimiento; lineal y circular para
un cuerpo que sólo tenga movimiento de rotación o para un cuerpo que además del
movimiento de rotación tenga uno de traslación, son las siguientes:
Ecuaciones que relacionan al movimiento lineal y circular
d=θr
La ecuación que relaciona el desplazamiento circular y el radio de la trayectoria circular
con la distancia lineal conocida también como distancia tangencial, la cual corresponde a
la longitud del arco que tiene un ángulo central igual a θ.
27
Para el caso de un móvil que además de tener un movimiento de traslación gira sobre su
propio eje, el ángulo que gira un punto en su superficie circular equivale a un recorrido
sobre la trayectoria circular igual a la distancia tangencial, pero también equivale a un
recorrido sobre la trayectoria rectilínea igual a la distancia tangencial.
Durante el giro, una llanta recorre sobre la
superficie plana una distancia igual a la longitud de arco.
V=ωr
La ecuación que establece que la rapidez tangencial de un punto de un cuerpo rígido
que gira es igual a la distancia a la que se encuentra ese punto respecto al eje de
rotación multiplicada por la magnitud de la velocidad angular. Por tanto, aunque todos
los puntos de un cuerpo rígido tengan la misma velocidad angular, no todos tienen la
misma rapidez tangencial.
La rapidez con la que se mueve una partícula
sobre la polea se puede expresar en función de
una cantidad lineal V o de una cantidad angular ω.
28
La velocidad tangencial en cada uno de los puntos
de un cuerpo que gira es diferente.
a=αr
La magnitud de la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo que gira es igual a
la distancia a la que se encuentra dicho punto respecto al eje de rotación multiplicada
por la magnitud de la aceleración angular.
Donde:
d=
longitud de arco
cm, m
θ=
desplazamiento angular
rad
r=
radio
cm, m
V=
velocidad lineal
cm/s, m/s
ω = velocidad angular
rad/s
a=
aceleración lineal
cm/s2, m/s2
α=
aceleración angular
rad/s2
1.5.1 Velocidad tangencial, aceleración lineal y fuerza centrípeta
Velocidad lineal o tangencial
Cuando un cuerpo se encuentra girando, cada una de las partículas del mismo se
mueve a lo largo de una circunferencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a
medida que aumenta el radio de la circunferencia.
Esta velocidad lineal también recibe el nombre de velocidad tangencial, por que la
dirección del movimiento siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la
partícula y representa la velocidad que llevaría ésta si saliera disparada
tangencialmente.
29
Por ejemplo si observamos a cuatro niños que se toman de la mano como se muestra
en la figura y uno de ellos queda fijo como pivote y los demás empiezan a correr a su
alrededor, tarde o temprano el niño más alejado se tiene que soltar para evitar caerse,
¿por qué se tiene que soltarse?.
La respuesta es que no puede mantener su rapidez, la cual es mayor que la de los
demás niños. A pesar que todos den el mismo número de vueltas en el mismo intervalo
de tiempo, la rapidez de cada uno de ellos es diferente. Esto se debe a que cada niño
recorre una distancia diferente. El niño más alejado, al correr un mayor perímetro que
los demás en el mismo intervalo de tiempo, tiene mayor rapidez.
Por lo que la distancia recorrida por uno de los niños es igual al perímetro del círculo
2πr y el periodo T es el tiempo que tarda en recorrer dicho perímetro, entonces para
calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuación:
VL =
2π r
T
donde:
r = radio del círculo
T = periodo
VL = velocidad lineal o tangencial
Unidades
m
s
m/s
En un movimiento circular uniforme la rapidez lineal de un móvil es constante, pero su
velocidad lineal no lo es, ya que su dirección está cambiante en cada punto de la
trayectoria, al ser tangente a la circunferencia recorrida por el móvil.
2π
Como ω =
la velocidad lineal puede escribirse:
T
VL = ω r
donde:
VL = velocidad lineal o tangencial
ω = velocidad angular
r = radio del círculo
Unidades
m/s
rad/s
m
30
Ejemplos:
1. Calcular el valor de la velocidad lineal de una partícula cuyo radio de giro es de 25
cm y tiene un periodo de 0.01 s.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
VL = ?
r = 25 cm = 0.25 m
T = 0.01 s
VL =
2π r
T
VL =
2 π (0.25 m)
0.01s
VL = 157 m / s
2. Determinar el valor de la velocidad lineal de una partícula que tiene una velocidad
angular de 30 rad/s y su radio de giro es 0.2 m.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
VL = ?
ω = 30 rad / s
VL = ω r
VL = (30rad/ s) (0.2 m)
VL = 6 m / s
r = 0.2 m
Aceleración lineal y radial
Aceleración lineal
Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su movimiento circular cambia
su velocidad lineal.
Para determinar la aceleración lineal tenemos la siguiente ecuación:
aL = α r
donde:
Unidades
m/s2
rad/s2
m
aL = aceleración lineal
α = aceleración angular
r = radio del círculo
Aceleración radial
En un movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal permanece
constante, pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la
circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de
la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial por que actúa
perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta por que su sentido es hacia
el centro de giro o eje de rotación.
31
Su expresión es:
V
ar = L
r
2
donde:
ar = aceleración radial
VL = velocidad lineal
r = radio del círculo
Unidades
m/s2
m/s
m
Como
VL = ω r
(ω r ) 2 ω 2 r 2
=
ar =
r
r
Entonces
ar = ω 2 r
Unidades
m/s2
rad/s
m
donde:
ar = aceleración radial
ω = velocidad angular
r = radio del círculo
Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la aceleración
radial representa un cambio en la dirección de la velocidad, se puede encontrar la
resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas.
a resul tan te = a L + a r
2
2
Las aceleraciones tangenciales y centrípetas
forman un ángulo de 90º entre sí.
32
Ejemplos:
1. Calcular el valor de la aceleración lineal de un partícula cuya aceleración angular es
de 3 rad/s2 y su radio de giro es 0.4 m.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
aL = ?
α = 3 rad / s 2
aL = α r
aL = (3 rad / s 2 ) (0.4 m)
aL = 1.2 m / s 2
r = 0.4 m
2. Encontrar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad
angular de 15 rad/s y su radio de giro es de 0.2 m.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
ar = ?
ω = 15 rad / s
ar = ω 2 r
ar = (15 rad / s) 2 (0.2 m)
ar = 45 m / s 2
r = 0.2 m
3. Un cilindro de 35 cm de diámetro que inicia su rotación a partir del reposo es
acelerado de manera que en un instante determinado su aceleración centrípeta es de
0.0137 m/s2 y su aceleración tangencial es de 0.007 m/s2, ¿cuál es el valor de la
aceleración lineal total en dicho instante?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
a c = 0.0137 m / s 2
a resul tan te = a L + a r
2
2
aresultante = (0.07 m / s 2 )2 + (0.0137m/ s 2 )2
aresul tan te = 0.0154 m / s 2
a L = 0.07 m / s 2
a resul tan te = ?
Instrucciones:
Ejercicio 1-12
Resuelve los siguientes problemas de acuerdo al procedimiento
visto en clase.
1) Encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de giro de
0.15 m y un periodo de 0.5 s.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
33
2) Calcular el valor de la velocidad lineal de una piedra que tiene una velocidad angular
de 20 rad/s y un radio de giro de 1.5 m.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
3) ¿Cuál es el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular
es de 2 rad/s2 y su radio de giro es de 0.3 m?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
4) Determinar el valor de la aceleración radial de una partícula que tiene una velocidad
angular de 8 rad/s y su radio de giro es de 0.35 m.
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
5) ¿Cuál es el valor de la aceleración lineal total de un cilindro que inicia su rotación a
partir del reposo y es acelerado de manera que en un instante determinado su
aceleración centrípeta es de 0.025 m/s2 y su aceleración tangencial es de 0.07 m/s2?
Datos
Fórmula
Sustitución
Resultado
34
Ejercicio 1-13
Completa el siguiente mapa conceptual con las palabras claves que
se proporcionan.
Instrucciones:
parábola
aceleración constante
circunferencia
angulares
tiro horizontal
uniforme
aceleración angular aceleración centrípeta
Movimiento curvilíneo
puede ser
Movimiento parabólico
se caracteriza por
Movimiento circular
su trayectoria
es una
se caracteriza por
puede ser
puede ser
tiro oblicuo
tener una
se puede
Uniformemente su trayectoria describir
es una
acelerado
por la
cantidad
velocidad inicial
lineales
no tienen la misma
como
dirección
35
como
velocidad
angular
velocidad
lineal
velocidad
angular
velocidad
angular