ENUNCIATS DE PROBLEMES DE MECÀNICA ANALÍTICA

MECÀNICA II
ENUNCIATS DE PROBLEMES DE
MECÀNICA ANALÍTICA
REVISIÓ
2012
SETEMBRE
Setembre 2012
Els problemes que s’enuncien a continuació són potencialment solucionables per
potències virtuals o per Lagrange, tot i que heu d’estar atents a les configuracions
particularitzades (no solucionables per Lagrange). Agafeu els angles segons millor us
convingui (millor que les derivades temporals tinguin sentit positiu de rotació). Es
suggereix començar pels problemes de partícula, i després continuar amb els de sòlid
rígid (pla o espai, al gust).
1.1.
Determineu l’equació del moviment d’una massa m
suspesa per un fil de massa negligible.
1.2.
Determineu l’equació del moviment del pèndul
esfèric indicat a la figura.
1.3.
Determineu les equacions del moviment del doble
pèndul que es mostra a la figura. Considereu que
els lligams entre les masses són de massa
negligible i que la massa superior està fixada.
1.4.
Determineu
les
equacions
del
moviment del sistema indicat. Suposi’s
que la longitud natural de la molla és
zero.
Setembre 2012
1.5.
El disco de masa M que se ilustra gira,
alrededor del eje z, con velocidad
angular
constante
debido
a
la
aplicación de un par M. Al mismo
tiempo, la corredera A de masa m
puede moverse libremente por la ranura
indicada. Supóngase que el disco es
homogéneo a efectos de inercia y cdm y
que no hay rozamiento. Hállese la
aceleración relativa del cursor y la reacción de la guía sobre éste.
1.6.
El sistema que se ilustra está en el plano
vertical. La corredera A de masa m se mueve
con velocidad conocida x (no constante) por la
ranura al mismo tiempo que el disco gira en
torno a su centro O. Supóngase que el disco es
homogéneo a efectos de inercia y cdm y que no
hay rozamiento. Determínese el par necesario
aplicado sobre el disco para asegurar que la
aceleración angular sea nula en este momento.
Setembre 2012
1.7.
El vehicle experimental de la figura es mou propulsat per dos motors
independents ubicats a les rodes (de massa negligible) de centre A i B i que
subministren un parell MA i MB respectivament. El tercer recolzament amb el
terra és mitjançant una esfera allotjada en un casquet semiesfèric del xassís
(sense fregament i de massa negligible). El canvi de direcció en el
desplaçament del vehicle s’efectua mitjançant la variació dels parells MA i MB
posteriors. La distància de l’eix AB al cdg del xassís és r i està en la
perpendicular a aquest eix que passa pel punt 0. Iz és el moment d’inèrcia del
xassís (massa m) respecte el seu cdg. Determinar les equacions que permetin
determinar l’acceleració del centre de masses ( ) i l’acceleració angular del
xassis  .
2
1
z
O
1
A
R
R
y
p
B
x
A

B
R
1
d
O
O
A
R
Contacte sense lliscament
1.8.
En el mecanismo que se ilustra en la figura las
barras 1 y 3 se mueven con  constante debido
a unos pares M1 y M2. En este momento, la
barra 1 se encuentra en posición vertical
mientras que la 3 está en posición horizontal. El
extremo C de la barra 2 se mantiene en
contacto (sin rozamiento) con la barra 3. El
punto D está sobre la recta AB (la longitud de la
barra 3 es  ). La masa de todas las barras es
m. Determinar el valor de los pares M1 y M2.
d
2
Setembre 2012
1.9.
El esquema representa el conjunt cinemàtic d’un motor
Otto. Si es suposa que la massa de la biela, manivela i
pistó són negligibles, determinar la relació entre la
força F causada per l’explosió i el parell M subministrat
al cigonyal. La distància OB és d.
F
A


1.10.
Consideri’s ara que la massa dels anteriors elements és
m en cada cas. Determini’s les equacions del moviment i
la relació entre F i M. Ignoreu la força de la gravetat.
1.11.
Se considera el mecanismo plano de la figura, en el
cual la barra AC desliza dentro del collar B de la
barra OB. La longitud de OB es r y el ángulo en B
es de 90o. Las barras tienen masa m y se supone
que el cdm está en el punto medio de OB para la
barra tractora y en B para la barra arrastrada. Sobre
la barra OB actúa un par M y no hay rozamiento en
A. Hállese la el valor de M y la reacción en A.
1.12.
La barra 1 de la figura tiene un
pasador en A montado sobre el
disco 3; dicha barra desliza a lo
largo de la guía de centro B situado
sobre el disco 2. Ambos discos
giran con velocidades angulares
constantes y conocidas, debidas a
sendos pares aplicados M2 y M3. El
B

M
o
coeficiente de rozamiento dinámico entre la guía y la barra 1 es . Considérese
la masa de la barra 1 nula y la distancia AB de valor  . Determinar los valores
de M2 y M3.
Setembre 2012
1.13..
La figurra represe
enta un
dispositivvo para prensar.
p
En el insstante considerado
en la figura, la manivela
m
OA de longitud

es
horizonta
al y son conocidas
su veloccidad y acelleración
angulare
es. El ángulo en B
es recto. Calcular el
e par M
ar sobre la barra 1
a efectua
si se desea
d
hacer una
fuerza F sobre lo que se dese
ea prensar. Calcúlese también la reacción no
ormal
en el pu
unto D. Con
nsidérese n
nula la mas
sa de cada uno de loss elemento
os del
mecanissmo.
1.14..
Una peq
queña masa
a m se mu eve, sobre un
plano ho
orizontal lis
so, sometid a a la acción
de un muelle
m
de rigidez k
cconocida y de
longitud natural de
espreciable,, fijada porr el
ese
otro extrremo en el punto O. Determíne
las ecua
aciones del movimiento
o.
1.15..
El dispo
ositivo de la figura
a está
situado en un pllano verticcal. El
o entre el pequeño b
bloque
contacto
rectangu
ular, de ma
asa m, y la cuña,
de masa
a M, es liso; también lo
o es el
contacto
o de la cuña
a con el sue
elo. En

el instan
nte inicial, el sistema parte
del repo
oso, con el
e bloque en la
posición A. Determ
minar las ec uaciones del movimiento y la fueerza de con
ntacto
entre el bloque y la cuña.
Setembre 2012
1.16.
El dispositivo de la figura
se mueve en un plano
vertical. La barra AB de
masa m gira con
ω
constante y conocida por
la acción de un motor de
par M. La barra BD
también de masa m tiene
una articulación en el pasador B, mientras que su extremo D se mueve
horizontalmente y presenta un coeficiente de rozamiento dinámico m con la
bancada. El cursor de masa m desliza sin rozamiento. Determinar las
ecuaciones del movimiento del sistema (supóngase en consecuencia un ángulo
 genérico y no el mostrado en el enunciado).
1.17.
Hallar
e
integrar
las
ecuaciones diferenciales del
movimiento de un proyectil de
masa m que se ha disparado
con una velocidad inicial vo y

que forma un ángulo φ con la
horizontal. El rozamiento es


proporcional a la velocidad ( R=-kv ).
1.18.
Un cilindro homogéneo de masa m está
montado en un marco, de masa mc, con
una inclinación de ángulo  respecto de la
vertical. Este marco gira con velocidad
angular en torno del eje vertical debido a
la acción de un par Mc aplicado sobre el
eje, mientras que el cilindro, a su vez, gira
respecto del marco animado por un par
motor M. El centro de masas G equidista
de los extremos A y B una distancia  .
Determinar las ecuaciones del movimiento.
0 0
0
0
0 0
Setembre 2012
1.19.
El árbol vertical OA, cuya
masa es despreciable, tiene
en el instante de la figura
Ω
velocidad
angular
conocida. Se aplica un par M
conocido sobre dicho árbol,
que está articulado en A con
la barra 2 de masa m y
espesor despreciable. El disco
también tiene masa m y
espesor despreciable, de modo que el contacto C puede considerarse puntual
y sin deslizamiento. Se considera que la reacción en C en la dirección CO es
nula y que el árbol OA gira sin rozamiento en la articulación O. Determínese la
ecuación del movimiento.
1.20.
El dispositivo de la figura está formado por
el brazo 1, que gira accionado por un motor
alrededor del eje vertical con velocidad
angular conocida, , y por el brazo 2, que
gira respecto a 1 con velocidad angular
accionado por otro motor
conocida, ω
no visto y situado en A. La masa de ambos
cuerpos es m, y se pueden considerar
rotores simétricos respecto a su eje
longitudinal. Determinar los valores de los
pares motores que garantizan que el
módulo de las velocidades angulares sea
constante.
1.21.
El disco de masa m y radio r es solidario
del árbol OA de longitud  cuya masa es
despreciable y tiene una rótula en O. El
disco se considera de pequeño espesor y
está
girando
con
φ
constante
y
conocida. Si el eje OA se mueve
horizontalmente, determinar la velocidad
 de OA alrededor de la vertical.
Ψ
Setembre 2012
1.22.
La peonza de masa m de la figura se
mueve con el punto B fijo sobre un plano
vertical, y gira con velocidad angular p
constante respecto al plano vertical B12. El
eje 2 de la peonza gira en torno al eje

vertical Be con velocidad angular Ψ
constante. El centro de masa es G. Se
considera conocida la matriz de inercia de
la peonza en B. Hallar la relación entre las
velocidades angulares para que el ángulo
θ se mantenga constante.
1.23.
La placa cuadrada homogénea de masa m y
 está montada sobre la horquilla AB
 constante
que gira con velocidad angular Ψ
lado
en torno al eje vertical fijo. Por medio de un
cable, sujeto en el punto medio C del lado
superior de la placa y que pasa por un
pequeño anillo fijo P que se halla en la vertical
del eje, se realiza sobre la placa una fuerza F
cuyo valor viene dado por F = F0 sin( 2θ ). La
placa parte del reposo relativo a la horquilla
en posición horizontal y la distancia AB es
aproximadamente igual a  . Determinar la
ecuación del movimiento para el instante
genérico que se indica
Setembre 2012
1.24.
La figura muestra un péndulo giroscópico
formado por un soporte fijo que sostiene la
barra en forma de T, de masa m1, y que
puede girar alrededor del eje AB. En el
extremo G de la barra se ha montado un
disco de masa m y radio R que gira respecto
a la barra considerada. Determinar las
ecuaciones del movimiento.
1.25.
El sistema de la figura se mueve en
un plano vertical y el disco rueda sin
deslizar. La masa de la barra OA es
despreciable, la barra AB y el disco
son homogéneos y de masa m cada
uno de ellos. El resorte, de longitud
natural 2  , tiene una rigidez conocida
k. Las barras tienen longitud  .
Determinar
la
ecuación
del
movimiento.
1.26.
La figura representa un vehículo con un sistema de frenado. En un ensayo de frenada,
la acción del muelle hace que la zapata D roce con el tambor de radio r creándose una
fuerza de rozamiento F= F0(1+ θ ), donde θ es el ángulo girado por las ruedas. En el
instante en que se inicia el proceso de frenado se conocen la velocidad v, según se
indica en la figura. No hay deslizamiento entre las ruedas y el suelo. Tiene masa m
cada una de las ruedas homogéneas, así como el conjunto chasis-freno. Se considera
despreciable la masa del
tambor de la rueda sobre la
que se ejerce la frenada.
Este sistema presenta su
centro de masa en G.
Determinar la ecuación del
movimiento.
Setembre 2012
1.27.
Un disco homogéneo de masa m
se
mueve
libremente,
sin
rozamiento, sobre un plano
horizontal. En el instante que se
ilustra, el disco gira con velocidad
angular ω0
conocida. En este
momento, se aplica una fuerza
constante en módulo y dirección
F, también conocida, por medio de
una cuerda arrollada a su
periferia.
Determinar
las
ecuaciones del movimiento.
1.28.
El dispositivo de la figura está situado en un
plano vertical. La barra homogénea AB
tiene longitud 2  y masa m. Su extremo B
está articulado a un collar que puede
deslizar, sin rozamiento, por la guía vertical
BO. El otro extremo, A, está unido por un
pasador al centro de un disco homogéneo,
de masa m y radio r, que rueda sin deslizar.
El resorte OB tiene una rigidez k conocida y
su longitud natural es 2   r . Hallar la
ecuación del movimiento.
Setembre 2012
1.29.
El dispositivo de la figura consta
de un disco 1 que rueda sin
deslizar en el punto C. En el
centro del disco se ha dispuesto
un resorte de constante k y de
longitud natural  . En este mismo
punto, el disco está unido por

medio de una articulación de
pasador a la barra 2, cuyo
extremo opuesto desliza, sin

rozamiento, por el interior de una
guía vertical. El sólido 4 se cuelga
del extremo B de la barra 2
mediante un cable inextensible
que pasa por una polea fija 3.
Tanto el disco como la polea
tienen radio r, la barra tiene longitud  . Los cuatro sólidos tienen masa m cada uno de
ellos. Determinar la ecuación del movimiento del sistema.
1.30.
Estúdiese
la
Holonomía
y
determínese la ecuación del
movimiento de un disco que rueda
sobre
un
plano
horizontal
mientras mantiene su verticalidad.
1.31.
Estúdiese
la
Holonomía
y
determínese
la
ecuación
del
movimiento de un disco que rueda
sobre un plano horizontal sin
mantener su verticalidad.