Teor´ıa de Herbrand - Universidad de Málaga

Formas clausulares
Teorı́a de Herbrand
Algoritmo de Herbrand
Teorı́a de Herbrand
Lógica Computacional
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Málaga
Curso 2005/2006
Semidecidibilidad
Formas clausulares
Teorı́a de Herbrand
Algoritmo de Herbrand
Contenido
1
Formas clausulares
Refutación y formas clausulares
2
Teorı́a de Herbrand
Universo de Herbrand
Base e Interpretaciones de Herbrand
Teorema de Herbrand
3
Algoritmo de Herbrand
Extensión de Quine a primer orden
Teorema de Herbrand
4
Semidecidibilidad
Semidecidibilidad
Formas clausulares
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Algoritmo de Herbrand
Semidecidibilidad
Forma clausular y principio de refutación
Consideremos las fórmulas cerradas A1 ,. . . ,An y A, entonces:
A1 , . . . , An |= A sii {A1 , . . . , An , ¬A} es insatisfacible
sii {B1 , . . . , Bn , Bn+1 } es insatisfacible, donde
Bi ≡ Ai para i = 1, . . . , n, Bn+1 ≡ ¬A
B1 , . . . , Bn+1 están en fnc prenexa
sii {D1 , . . . , Dn , Dn+1 } es insatisfacible, donde
cada Di es una forma de Skolem de Di
sii C1 , . . . , Cm insatisfacible donde las Ci son
cláusulas obtenidas introduciendo los prefijos
en cada Di y eliminando las conjunciones.
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Semidecidibilidad
Convenios para las formas clausulares
La equivalencia:
∀xA(x) ∧ ∀xB(x) ≡ ∀xA(x) ∧ ∀yB(y )
permite suponer que las cláusulas no comparten variables.
Entendemos que las cláusulas son de la forma:
C = ∀x1 . . . ∀xn (`1 ∨ · · · ∨ `k )
Al considerar el cierre universal de cada cláusula, en
general omitiremos el prefijo de las cláusulas.
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Semidecidibilidad
Ejemplo
∀x(P(x) → Q(x)), ∀x(Q(x) → R(x)) |= ∀x(P(x) → R(x))
Obtengamos la forma clausular de la inferencia:
1
{∀x(P(x) → Q(x)), ∀x(Q(x) → R(x)), ¬∀x(P(x) → R(x))}
2
{∀x(¬P(x) ∨ Q(x)), ∀x(¬Q(x) ∨ R(x)), ∃x(P(x) ∧ ¬R(x))}
3
{∀x(¬P(x) ∨ Q(x), ∀x(¬Q(x) ∨ R(x)), P(a) ∧ ¬R(a)}
4
{∀x(¬P(x) ∨ Q(x)), ∀x(¬Q(x) ∨ R(x)), P(a), ¬R(a)}
5
{¬P(x) ∨ Q(x), ¬Q(y ) ∨ R(y ), P(a), ¬R(a)}
La inferencia es correcta si y solo si el conjunto de cláusulas
obtenido es insatisfacible.
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Semidecidibilidad
Teorı́a de Herbrand
Dado Ω, sea ΣΩ = (CΩ , FΩ , PΩ ) su signatura.
Buscamos un universo ideal donde interpretar Ω, y poder
representar todos los términos básicos generados por ΣΩ .
1
2
3
4
5
6
Sea Ω1 = {P(a), Q(b)}. Podemos hablar de a y de b.
Sea Ω2 = {P(a), Q(x)}. En este caso, solo podemos
referirnos al elemento denotado por a.
Sea Ω3 = {P(a), Q(f (x))}. En este caso, podemos hablar
acerca de a, f (a), f (f (a)), . . .
Sea Ω4 = {P(x), Q(y )}. No tenemos referentes.
Sea Ω5 = {P(f (b)), Q(a)}. Tenemos a, b, f (a), f (b), . . .
Sea Ω6 = {P(f (b)), Q(g (a))}. ¿Qué referentes se
generan?
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Semidecidibilidad
Teorı́a de Herbrand
Definición
El universo de Herbrand de Ω, denotado HΩ , es la clausura
inductiva libremente generada por CΩ bajo el conjunto de
constructores FΩ .
Si CΩ = ∅, entonces se asume una constante cH .
Constructivamente, si consideramos los conjuntos Hn
(
CΩ si CΩ 6= ∅
1
H0 =
cH si CΩ = ∅
2
Hi+1 = Hi ∪ {f (t1 , . . . , tnf ); f ∈ FΩ , tk ∈ Hi }
tenemos que HΩ =
∞
[
n=0
Hn
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Semidecidibilidad
Base e Interpretaciones de Herbrand
Definición
La Base de Herbrand de Ω es el siguiente conjunto de
fórmulas atómicas básicas:
BΩ = {P(t1 , . . . , tnP ); P ∈ PΩ , tk ∈ HΩ }
Definición
Se llama interpretación de Herbrand (o H-interpretación) de Ω
a cualquier estructura con dominio HΩ que verifique:
1
I (a) = a para todo a ∈ CΩ
2
I (f ) = f para todo f ∈ FΩ
Toda interpretación de Herbrand viene dada por la asignación
de valores de verdad a cada uno de los elementos de BΩ .
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Semidecidibilidad
Teorema de Herbrand
Teorema
Un conjunto Ω es satisfacible si y solo si es satisfacible en
alguna H-interpretación.
Observación
Es importante priorizar los ∃ respecto de los ∀, al
generarse universos de Herbrand más sencillos.
Podemos considerar los elementos de la base de Herbrand
como sı́mbolos proposicionales.
El método de Quine se puede generalizar a primer orden
haciendo uso de los árboles semánticos.
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Semidecidibilidad
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Árboles semánticos
Definición
Sea Γ = {P1 , P2 , . . . , Pn , . . .} una sucesión de átomos básicos.
Un árbol semántico respecto de Γ es un árbol binario tal que:
Cada arco está etiquetado con un literal Pi ó ¬Pi .
Las etiquetas de arcos de profundidad k son Pk o ¬Pk .
Las etiquetas de dos arcos que nacen del mismo nodo son
opuestas.
Observación
Si Γ es finito, todo árbol semántico respecto de Γ es finito.
Si Γ es infinito, existen árboles semánticos finitos e infinitos
respecto de Γ.
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Semidecidibilidad
Algoritmo de Herbrand
Interpretación parcial asociada a una rama
Definición
Cada nodo N de un árbol semántico define una interpretación
de Herbrand parcial que a cada átomo P le asigna:
El valor 1 si en el camino hasta N aparece la etiqueta P.
El valor 0 si en el camino hasta N aparece la etiqueta ¬P.
En otro caso, si no aparece ni P ni ¬P no se asigna
ningún valor.
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Semidecidibilidad
Algoritmo de Herbrand
Árbol completo
Definición
Dado Ω, sea Γ = {P1 , P2 , . . . , Pn , . . .} una enumeración de
BΩ , un árbol semántico para Ω respecto de Γ es completo si la
interpretación de Herbrand asociada a cada hoja asigna valores
de verdad a todos los Pi ∈ Γ.
Proposición
Un árbol semántico completo para Ω respecto de ∆ es finito si
y sólo si en Ω no intervienen sı́mbolos de función.
Como consecuencia, si HΩ es finito podemos extender de modo
natural el método de Quine visto para el caso proposicional.
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Semidecidibilidad
∀x(∃xP(x) → Q(x)) |= ∀y ∀x(P(x) → Q(y ))
Ejemplo
Por refutación, la inferencia es válida si y solo si
Ω = {¬P(x) ∨ Q(y ), P(a), ¬Q(b)} es insatisfacible.
1
2
HΩ = {a, b}
BΩ = {P(a), Q(a), P(b), Q(b)}.
Ω es insatisfacible y, por lo tanto, la inferencia es válida.
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Teorema de Herbrand
Definiciones Previas
Definición
Un nodo N de un árbol semántico para Ω respecto de una
enumeración Γ = {P1 , , P2 , . . .} de BΩ se denomina nodo
fallo si la interpretación I asociada a N es tal que
I (Cib ) = 0 para alguna instancia básica de una cláusula Ci
de Ω pero ninguno de sus ascendientes posee esta
propiedad.
Un árbol semántico respecto de ∆ = {P1 , P2 , . . .} se dice
cerrado si todas sus hojas son nodos fallo.
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Teorema de Herbrand
Teorema
Dado un conjunto Ω de cláusulas, los tres siguientes
enunciados son equivalentes:
1
Ω es insatisfacible.
2
Asociado a cada árbol semántico completo (para Ω)
existe un árbol semántico cerrado finito.
3
Existe un conjunto finito de instancias básicas de
cláusulas de Ω que es insatisfacible.
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Semidecidibilidad
∀xP(x), ∀x(P(x) → Q(f (x))) |= Q(f (a))
Ejemplo
La inferencia es válida si y solo si el conjunto Ω =
{P(x), ¬P(y ) ∨ Q(f (y )), ¬Q(f (a))} es insatisfacible.
HΩ = {a, f (a), f (f (a), . . . }
BΩ = {P(a), Q(a), P(f (a)), Q(f (a)), P(f (f (a))), . . . }
Ω es insatisfacible y la inferencia válida:
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Semidecidibilidad
Semialgoritmo de decidibilidad en L1
Sea Ω un conjunto de cláusulas:
1
2
Generar una enumeración Γ = {C1 , C2 , . . .} del conjunto
de instancias básicas de las cláusulas de Ω
Construir un árbol semántico respecto a ∆ de acuerdo a:
Si la interpretación asociada a un nodo N le asigna valor
de verdad a Ω, se etiqueta N con el valor obtenido.
Si alguna hoja se etiqueta con 1 entonces Ω es
satisfacible.
Si se obtiene un árbol cerrado, Ω es insatisfacible.
Si Ω es insatisfacible entonces podremos comprobar su
insatisfacibilidad en un número finito de etapas; pero si es
satisfacible, el proceso podrı́a no terminar si Ω solo tuviera
modelos de Herbrand infinitos.
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Semidecidibilidad
Semidecidibilidad de L1
Observación
El problema de la satisfacibilidad para la lógica L1 es, al
menos, semidecidible, es decir, existe un algoritmo SA-Dec tal
que dada una fórmula A:
SA-Dec(Ω |= A) = Sı́ si y solo si A es insatisfacible.
Si SA-Dec(Ω |= A) = No entonces A es satisfacible.
Teorema (Church-Turing)
La Lógica Clásica de Predicados de Primer Orden no es
decidible.
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Semidecidibilidad
SAT y la teorı́a de la complejidad
SAT: decidir la satisfacibilidad de una fórmula
proposicional.
TAUT: decidir la validez de una fórmula proposicional.
SAT es un problema NP-completo: existen algoritmos no
deterministas para SAT de complejidad polinómica y
cualquier problema de este tipo puede ser reducido en
tiempo polinómico a SAT. (Cook, 1971).
¿P = NP? 1.000.000$ para quien lo resuelva (Clay prize)
Si TAUT∈ P, entonces P = NP;
Si TAUT6∈ P, entonces P 6= NP.