λ π λ π2 ω

Se puede reescribir la función de onda de varias formas distintas:
1
T=
f
x t 
y ( x, t ) = A cos 2π  − 
λ T 
v
λ=
f
Si definimos el número de onda:
λ=
ω
2π
f =
2π
k
v = λf ⇒ v =
ω
k=
2π
λ
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
k
ω = vk
Onda senoidal que avanza en dirección +x
Onda senoidal que avanza en dirección -x
x 
x t 
y ( x, t ) = A cos 2πf  + t  = A cos 2π  +  = A cos(kx + ωt )
v 
λ T 
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE PARTÍCULAS EN UNA ONDA SENOIDAL
De la función de onda podemos obtener una expresión para la velocidad
transversal de cualquier partícula en una onda transversal vy (diferente que la
velocidad de propagación v de la onda):
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
∂y
v y ( x, t ) =
= −ωA(− sin(kx − ωt )) = ωA sin(kx − ωt )
∂t
La aceleración de cualquier partícula es:
∂2 y
a y ( x, t ) = 2 = −ω 2 A cos(kx − ωt ) = −ω 2 y ( x, t )
∂t
ECUACIÓN DE ONDA
Calculemos las derivadas parciales de y(x,t) respecto a x, con t constante:
∂y ( x, t )
= −kA sin(kx − ωt )
∂x
∂ 2 y ( x, t )
2
2
=
−
k
A
cos(
kx
−
ω
t
)
=
−
k
y ( x, t )
2
∂x
ω = vk
Por las ecuaciones:
∂ 2 y ( x, t )
2
=
−
ω
y ( x, t )
2
∂t
Vemos que:
∂ y ( x, t )
2
2
2
ω
ω
y
(
x
,
t
)
−
2
∂t
v
=
=
=
∂ 2 y ( x, t ) − k 2 y ( x, t ) k 2
∂x 2
2
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 y ( x, t )
= 2
2
v
∂x
∂t 2
ECUACIÓN DE ONDA
∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 y ( x, t )
= 2
2
∂x
v
∂t 2
vy=0
vy
ay
Esta ecuación representa una perturbación que se
propaga a lo largo del eje x con rapidez v. La
perturbación puede ser cualquiera, periódica o no.
ay
vy
ay=0
ay=0 ay
vy
ay
ay
vy
ay
v
1’
2’
vy
vy
1
t=0
t=t ’
vy=0
4
x
3’
2
4’
t=0
3
RAPIDEZ DE UNA ONDA EN UNA CUERDA
Las cantidades que determinan la rapidez de una onda en una cuerda son la
tensión τ y la masa por unidad de longitud (densidad lineal de masa µ). Si la
tensión aumenta, la fuerza de restitución también aumenta y la rapidez de la
onda crece. Si la masa de la cuerda crece, la rapidez disminuye.
∆l
τ
θ θ
Consideremos un elemento ∆l de la cuerda.
La tensión τ empuja la cuerda en los dos
lados. Las componentes horizontales de
estas fuerza se cancelan, las verticales se
suman a la fuerza de restitución radial:
τ
v
R
F = 2(τ sin(θ )) ≈ 2τθ = τ
∆l
R
Ángulos pequeños
∆m = µ∆l
El elemento de la cuerda se mueve en un arco de un círculo:
v2
a=
R
v2
∆l
F = ma = ∆m = τ
R
R
⇒v=
τ
µ
RAPIDEZ DE UNA ONDA EN UNA CUERDA
Análisis dimensional
Las dimensiones de la rapidez son LT-1 (m/s). La densidad lineal de masa m
tiene dimensiones de ML-1 (kg/m). Para que una onda se mueva a lo largo de
una cuerda en la cuerda se necesita una tensión, que tiene dimensiones
MLT-2 (kg m/s2):
(kg m) / s 2
m
m2
v= =
=
(kg / m)
s
s2
τ
v=
µ
Fuerza de restitución
término de inercia
15.3 La densidad lineal de masa de una cuerda para tender es de 0.25 kg/m. a)
¿Cuánta tensión se debe aplicar para producir una velocidad de 12 m/s? b) ¿Si
la tensión se aumenta a 4 veces el valor de a) y la frecuencia es de 2 Hz, ¿qué
longitud de onda tendrá la onda en la cuerda?
a)
τ
v=
µ
b)
τ = 4(36 ) = 144 v=
⇒ τ = µv 2 = (0.25kg / m)(12m / s) 2 = 36 144 = 24m / s
0.25kg / m
v 24m / s
= 12m
λ= =
2 Hz
f
15.4 Un extremo de una cuerda de nylon está atado a un soporte estacionario en
la boca de un tiro de mina vertical de 80 m de profundidad. La cuerda está
tensada por una caja de muestras de minerales de 20 kg atada al extremo
inferior. La masa de la cuerda es de 2 kg. El geólogo que está hasta abajo envía
señales a su colega de arriba tirando lentamente la cuerda. a) Calcule la rapidez
de una onda transversal en la cuerda. b) Si a un punto de la cuerda se imparte un
movimiento armónico simple transversal con frecuencia de 2 Hz, ¿cuántos ciclos
de la onda habrá en la cuerda?
m=20 kg
a)
τ = mg = (20kg )(9.8m / s 2 ) = 196 mc 2kg
=
= 0.025kg / m
µ=
L 80m
F
196 v=
=
= 88.5m / s
0.025kg / m
µ
80 m
τ
b)
mg
v 88.5m / s
=
= 44.3m
f
2 Hz
L
80m
n= =
= 1.81
λ 44.3m
λ=
mc=2 kg
L=80 m
f=2 Hz
15.15 Un extremo de una cuerda horizontal se conecta a una punta de un
diapasón eléctrico que vibra a 120 Hz. El otro extremo pasa por una polea y
sostiene una masa de 1.5 kg. La densidad lineal de masa de la cuerda es de
0.055 kg/m. a) ¿Qué rapidez tiene una onda transversal en la cuerda? b) ¿Qué
longitud de onda tiene? c) ¿Cómo cambian estas respuestas si la masa se
aumenta a 3 kg?
a)
b)
c)
(1.5kg )(9.8m / s 2 )
v=
= 16.34m / s
0.055kg / m
v 16.34m / s
λ= =
= 0.136m
f
120 Hz
3kg 9.8m / s 2
v=
= 23.12m / s
0.055kg / m
v 23.12m / s
λ= =
= 0.192m
f
120 Hz
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA
Vemos ahora lo que sucede cuando una onda senoidal en una cuerda es
reflejada por un extremo fijo de la cuerda.
A
N
A
Hay ciertos puntos llamados NODOS que no se
mueven. A la mitad del camino entre nodos hay
puntos llamados ANTINODOS donde la
amplitud del movimiento es máxima.
A
N
N
Dado que el patrón no parece estarse
moviendo a lo largo de la cuerda, se denomina
ONDA ESTACIONARIA.
La onda incidente y la reflejada se combinan para
formar la onda estacionaria. En un nodo el
desplazamiento de las ondas son iguales y opuestos y
el desplazamiento neto es 0 (interferencia
destructiva). En los antinodos, los desplazamientos
de las ondas son iguales, dando un desplazamiento
resultante grande (interferencia constructiva).
A
A
N
N
λ/2
λ/2
λ
La distancia entre nodos o antinodos sucesivos
es media longitud de onda λ/2.
Podemos deducir la función de onda para la
onda estacionaria sumando las funciones de
onda y1(x,t), y2(x,t) para dos ondas con
amplitud, periodo y longitud de onda iguales y
dirección opuesta:
y1 ( x, t ) = − A cos(kx + ωt )
Onda incidente hacia la izquierda
y2 ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
Onda reflejada hacia la derecha
y ( x, t ) = y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = A[− cos(kx + ωt ) + cos(kx − ωt )]
cos(a ± b) = cos a cos b m sin a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b m sin a sin b
y ( x, t ) = A[− cos(kx + ωt ) + cos(kx − ωt )] =
= A[−(cos kx cos ωt − sin kx sin ωt ) + (cos kx cos ωt + sin kx sin ωt )] =
= A[− cos kx cos ωt + sin kx sin ωt + cos kx cos ωt + sin kx sin ωt ) =
= 2 A sin kx sin ωt
Onda estacionaria en una
y ( x, t ) = 2 A sin kx sin ωt = AOE sin kx sin ωt cuerda, extremo fijo en x=0
Los nodos son puntos donde sin(kx)=0, de modo que el desplazamiento es 0:
x = 0,
π 2π 3π
k
,
k
,
λ 2λ 3λ
,
= 0, ,
2 2 2
k
k=
2π
λ
TRANSPORTO DE ENERGÍA
Una onda estacionaria, a diferencia de una viajera, NO transfiere energía de
un extremo al otro. Las dos ondas que la forman transportarían
individualmente cantidades iguales de potencia en direcciones opuestas. Hay
un flujo local de energía de cada nodo a los antinodos adyacentes y de
regreso, pero la razón media de transferencia de energía es cero en todos
los puntos.