1 Problemas resueltos. Problema 6.1 Para la red de la figura P6.1: A R2 j2 R1 j1 E e1 C B R4 R3 e2 D Figura P6.1. a) Determinar la red pasiva Norton entre A y B, vista por la resistencia R1. b) Determinar la fuente equivalente Thévenin entre A y B, vista por la resistencia R1, aplicando superposición. Solución: a) Igualando a cero los valores de las fuentes independientes, se tiene la figura P6.2 izquierda. A la derecha se muestra un diagrama simplificado: 2 Capítulo 5 A A R2 C D R2 R3||R4 E C B R4 R3 D B E Figura P6.2. Resulta: RN = R2 + (R3|| R4) b) El equivalente Thévenin entre A y B, visto por la resistencia R1, se muestra en la figura P6.3: Se tiene que RN = RT RT A R1 eT B Figura P6.3. b1) La parte de la fuente de tensión Thévenin, eT1, debida a los generadores de tensión, puede calcularse empleando la figura P6.4: Redes equivalentes. 3 A R2 eT1 E C B e1 R4 R3 v1 e2 D Figura P6.4. Por LVK, se tiene, ya que no circula corriente por R2: v1 + eT 1 + e2 = 0 (1) La tensión v1 puede calcularse en la malla EBDE, según: v1 = R3 e1 R3 + R4 (2) Reemplazando (2) en (1), resulta: eT 1 = − R3 e1 − e2 R3 + R4 (3) b2) La parte de la fuente de tensión Thévenin, eT2, debida a los generadores de corriente, puede calcularse empleando la figura P6.5: 4 Capítulo 5 v2 A R2 j2 eT2 j1 E C B R4 R3 v3 D Figura P6.5. Por LVK se tiene: eT 2 + v3 = v2 (4) Con la ecuación de equilibrio para R2, y LCK en nodo A, se tiene: (5) v2 = R2 j2 Contrayendo el cortocircuito entre E y B, y aplicando LCK en B, se tiene que por el paralelo de R3 con R4 circula corriente ( j1 − j2 ) , entonces puede calcularse v3, según: v3 = ( j1 − j2 )( R3 || R4 ) (6) Reemplazando (5) y (6) en (4), se obtiene: eT 2 = v2 − v3 = R2 j2 − ( j1 − j2 ) R3 R4 R3 + R4 (6) Finalmente, de (3) y (6): eT = eT 1 + eT 2 = R2 j2 − R3 R4 R3 e1 − e2 ( j1 − j2 ) − R3 + R4 R3 + R4 (7) Redes equivalentes. 5 Que puede expresarse, con a, b, c y d constantes, según: eT = aj1 + bj2 + ce1 + de2 (8) Es decir, una combinación lineal de los generadores. Problema 6.2 Para la red de la figura P6.6: A R2 e1 R3 j2 j1 E C B R4 e2 R1 D Figura P6.6. Determinar la fuente Norton entre A y C, vista por la resistencia R2, mediante superposición. Calcular potencia absorbida por R2. Solución: Se requiere calcular la corriente iN en el cortocircuito entre A y C, en la red a la izquierda de la figura P6.7; a la derecha se muestra el equivalente Norton. 6 Capítulo 5 A A iN e1 R3 i2 j2 E iN RN j1 R2 C B C R4 e2 R1 D Figura P6.7. Si consideramos juntas las fuentes del mismo tipo, tenemos dos situaciones, para calcular la corriente de la fuente equivalente Norton, mediante superposición: a) b) A A iN1 iN2 e1 R3 R3 j2 E j1 C B R4 R1 E C B R4 e2 R1 D D Figura P6.8. Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre D y C es cero en la red a la izquierda en la figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es cero; entonces, por LCK, se tiene que: Redes equivalentes. 7 iN 1 = − j1 (1) Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre C y D es (e1-e2) en la red a la derecha en la figura P6.8, por lo tanto la corriente que circula por R1 es iN2. Entonces, por LCK, se tiene que: (2) e1 − e2 iN 2 = R1 Superponiendo (1) y (2), se tiene: iN = iN 1 + iN 2 = e1 − e2 − j1 R1 (3) Para calcular la potencia absorbida por R2, empleando el equivalente Norton, se tiene: ⎛ R i ⎞ p2 = R i = R2 ⎜ N N ⎟ ⎝ RN + R2 ⎠ (4) 2 2 2 2 Para calcular la red pasiva Norton RN, se elimina el efecto de las fuentes de corriente, en la figura P6.8 izquierda, y se aplica v, entre A y C; luego se calcula i, en la figura P6.9. A A i i v R3 RN E C B R4 C R1 D v Figura P6.9. 8 Capítulo 5 A la derecha, en la figura P6.9, se dibuja la red equivalente vista desde los terminales A y C, en la cual se tiene: RN i = v (5) Por la combinación serie de R3 con R4, no circula corriente, entonces: (6) R1i = v Con lo cual: RN = R1 (7) Reemplazando (7) y (3) en (4) se obtiene: 2 ⎛ R1 ⎞ ⎛ e1 − e2 ⎞ p2 == R2 ⎜ − j1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ R1 + R2 ⎠ ⎝ R1 ⎠ 2 (8) Problema 6.3 Para la red de la figura P6.6, determinar la fuente equivalente Thévenin entre E y B, vista por la fuente j2. Calcular potencia entregada por j2. Solución. Se requiere calcular el voltaje vT en el circuito abierto entre E y B, en la red a la izquierda en la figura P6.10. A la derecha se muestra el equivalente Thévenin. Redes equivalentes. 9 A R2 E e1 R3 RT vT j1 E B R4 e2 j2 v vT C R1 B D Figura P6.10. Se calcula vT por superposición. La figura P6.11 izquierda muestra el efecto de las fuentes de corriente; la de la derecha el efecto de las fuentes de tensión. a) b) A A R2 R2 e1 R3 R3 vT1 E vT2 j1 C E B R4 R1 C B R4 e2 R1 D D Figura P6.11. Debido a LVK, en el circuito ABDEA, el voltaje entre A y D es cero en la red a), por lo tanto la corriente que circula por R3 y por R4 es cero; entonces, por LVK, se tiene que: 10 Capítulo 5 vT 1 = 0 (1) Debido a LVK, el voltaje entre A y D es (e1-e2) en la red b), por lo tanto la corriente que circula por R3 y R4 es: e1 − e2 R3 + R4 (2) Entonces, por LVK en el circuito BDEB, se tiene que: vT 2 = e2 + R4 e1 − e2 R3 + R4 (3) Superponiendo (1) y (3): vT = (4) R3 R4 e1 + e2 R3 + R4 R3 + R4 La red pasiva Thévenin se calcula eliminando el efecto de las fuentes en la figura P6.10; y calculando el voltaje v, debido a la fuente de corriente i, tal como se muestra en la figura P6.12. A R2 R3 v E i C B R4 R1 D Figura P6.12. Por LVK en circuito ACDBA no circula corriente en R1 y R2, y se las puede substituir por circuitos abiertos. Contrayendo los cortocircuitos AB y BD, la resistencia Thévenin corresponde al paralelo de R3 con R4. Redes equivalentes. 11 En la figura P6.10 derecha, se tiene que la potencia entregada por j2 está dada por: p = j2 (−v) (5) LVK en figura P6.10 derecha: v = vT − RT j2 (6) Reemplazando (6) y (4) en (5): p= (7) j2 ( R3 R4 j2 − R4 e1 − R3e2 ) R3 + R4 Ejercicios propuestos. Ejercicio 6.1. Para la red de la figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de 5 ohms entre A y C, con x=4. A 2 3 x 5 C B i 10 2 D Figura E6.1. Para la red de la figura E6.1, calcular la red Thévenin y Norton vista por la resistencia de x ohms entre B y C. Luego calcular la corriente i, para x= 2, 4, 8 y 16. 12 Capítulo 5 Ejercicio 6.2. Para la red de la figura E6.2: F G H i2 7 5 3 4 3 2 A + 5 C B i1 4 2 D 5 E Figura E6.2. Aplicar teoremas de equivalencia para: a) Determinar la red equivalente Norton vista por la resistencia de 5 ohms, entre los vértices C y E. b) Determinar la red equivalente Thévenin vista por la resistencia de 7 ohms, entre los vértices H y C. Luego calcular i2. c) Calcular i1, aplicando método de superposición. d) Calcular i2, aplicando método de superposición. Ejercicio 6.3. Determinar la red equivalente Norton y la red Thevenin vista por la red R. i2 R1 R3 ia + mv1 i kia v1 R2 v Figura E6.3. R Redes equivalentes. 13 Ejercicio 6.4. Determinar la red equivalente Norton y la red Thevenin vista por la red R. R1 i i1 e v + + mv ki1 R R2 Figura E6.4. Ejercicio 6.5. Determinar la red equivalente Norton y la red Thevenin vista desde los terminales a y b. R3 2 1 i2 R1 + Vs 3 R4 R2 a αi2 v b 0 Figura E6.5.