1. Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos: (a) El

universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
1
1. Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto S1 de los vectores de IR3 que tienen las dos primeras
componentes iguales.
(b) El conjunto S2 de los vectores de IR3 que tienen la tercera componente nula.
(c) S1 ∩ S2 .
2. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Expresa en lenguaje matemático las siguientes afirmaciones:
(a) w es combinación lineal de u, v.
(b) u, v son linealmente dependientes.
(c) u, v son linealmente independientes.
(d) {u} es sistema generador de U.
(e) {u, v} es sistema generador de U.
(f) {u, v} no es sistema generador de U.
3. Sean U un espacio vectorial real y u, v ∈ U.
Expresa en lenguaje matemático los siguientes conjuntos:
(a) u .
(b) u, v .
(c) u ∪ v .
(d) u ∩ v .
4. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
(a) u es combinación lineal de u.
(b) u es combinación lineal de u, v.
(c) Si u es combinación lineal de v, entonces también lo es de v, w.
(d) 0U es combinación lineal de u, v.
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
2
5. Sea B = {(2, 1), (1, 3)}.
(a) Demuestra que B es base de IR2 .
(b) Halla las componentes de (5, 5), (2, 1), (1, 3) y (0, 0) en B.
(c) Determina qué vectores de IR2 tienen como componentes en B:
(5, 5), (2, 1), (1, 3) y (0, 0), respectivamente.
6. Sean B = {(1, 1), (1, 3)} y B = {(1, 4), (2, 1)} bases de IR2 .
(a) Determina qué vector (x, y) ∈ IR2 tiene componentes (3, 2) en B.
(b) Halla las componentes de (x, y) en B .
7. Halla una base de cada uno de los siguientes subespacios vectoriales:
(a) {(x, y) ∈ IR2 | 2x + y = 0}.
(b) {(x, y, z) ∈ IR3 | x − y + z = 0}.
(c) {(x, y, z) ∈ IR3 | x = y, x + y + z = 0}.
8. Demuestra que A+At + AAt es simétrica para cualquier A ∈ Mn×n(IK).
9. Demuestra que (ABC)t = C t B t At para cualesquiera A, B, C ∈ Mn×n (IK).
10. Demuestra que (A−1 )t
e inversible.
−1
= A para cualquier A ∈ Mn×n (IK) simétrica
11. Demuestra que si A ∈ Mn×n (IR) es simultáneamente simétrica y antisimétrica, entonces es la matriz nula.
12. Demuestra por inducción que si A ∈ Mn×n (IR) es idempotente, entonces
Am = A para cualquier m ∈ IN.


0 1
13. Dada la matriz A = 
, calcula An y justifica que A no es ni
1 0
idempotente ni nilpotente.
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
3
14. Sea f : Mn×n (IR) −→ IR la aplicación definida por f (A) = rg A.
(a) Justifica si f es o no lineal.
(b) Halla la imagen de f .
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
15. Dada la aplicación f : IR2 −→ IR2 , definida por f (x, y) = (xy 2 , x + 2y),
determina si es o no lineal.
16. Determina si es o no lineal la aplicación f : IR2 −→ IR3 definida por
f (x, y) = (x + y, x − y, x + 1).
17. Dada A ∈ Mn×n (IR) inversible, sea f : Mn×n (IR) −→ Mn×n(IR) la
aplicación definida por f (M) = AM.
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
18. Sea f : IR3 −→ IR2 la aplicación definida por f (x, y, z) = (x − y, y + z).
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el núcleo y la imagen de f y una base de cada uno de estos
subespacios.
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
19. Sea f : Mn×n (IR) −→ Mn×n (IR) la aplicación definida por
f (M) = M − M t .
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el núcleo de f y determina si f es o no inyectiva, suprayectiva
y biyectiva.
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
4
20. Sean f : IR2 −→ IR2 el endomorfismo definido por
f (x, y) = (2x + y, 3x − y)
y B = {(1, 1), (3, 2)} base de IR2 .
(a) Calcula f (1, 2)B .
(b) Calcula f (a, b) y f (a, b)B , sabiendo que (a, b)B = (1, 2).
21. Determina si puede haber algún endomorfismo f : IR2 −→ IR2 que
satisfaga las condiciones descritas. En caso afirmativo, da algún ejemplo.
(a) f (1, 2) = (2, 4), f (0, 0) = (3, 1).
(b) f (1, 0) = (4, 3), f (0, 1) = (0, 0).
(c) f (1, 0) = f (0, 1) = (6, 8).
(d) f (1, 0) = (2, 1), f (0, 1) = (1, 2), f (1, 1) = (6, 7).
22. Demuestra que si f , g y h son tres endomorfismos de un espacio vectorial
U, entonces se verifica f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.
23. Sean f : IR2 −→ IR3 , g : IR3 −→ IR2 y h : IR2 −→ IR2 las aplicaciones
lineales definidas por
f (x, y) = (x+y, x, x−y),
g(x, y, z) = (x+z, y−z),
h(x, y) = (y, x).
Halla la expresión de las aplicaciones lineales
f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f, g ◦ h, h ◦ f, h ◦ g, h ◦ h, f ◦ h ◦ g y h ◦ g ◦ f,
en aquellos casos que tenga sentido la composición.
24. Sea f : IR3 −→ IR2 la aplicación lineal definida por
f (x, y, z) = (x − y, y − z).
Halla la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de IR3 y IR2 .
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
5
25. Sean f : IR2 −→ IR2 el endomorfismo definido por
f (x, y) = (x + 2y, 4x − y)
y las bases de IR2
B1 = {(1, 0), (0, 1)},
B2 = {(0, 1), (1, 0)},
B3 = {(1, 3), (2, −1)}.
Obtén las matrices M(f, Bi , Bj ), en los 9 casos posibles (i, j ∈ {1, 2, 3}).
26. Sean f : IR4 −→ IR4 el endomorfismo definido por
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x2 − x4 , x1 + x3 , x1 + x2 − x4 , x3 )
y las bases de IR4
C = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)},
B = {(2, 1, 0, 3), (1, 2, −1, 0), (3, −2, 1, 1), (0, 1, 1, 0}.
Obtén las matrices M(f, C, C) y M(f, B, C).
27. Sea f : IR2 −→ IR2 el endomorfismo definido por
f (2, 1) = (4, 2),
f (1, 2) = (3, 6).
(a) Determina los valores propios de f , sin calcular el polinomio caracterı́stico de f .
(b) Halla una base de IR2 formada por vectores propios de f .
(c) Obtén la matriz de f respecto de la base anterior.
(d) Calcula el polinomio caracterı́stico de f .
28. Sea f : IR2 −→ IR2 el endomorfismo definido por f (x, y) = (x − y, x).
Determina si f es o no diagonalizable.
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
6
29. Sean U un espacio vectorial, f : U −→ U un endomorfismo y u un vector
propio de f de valor propio λ.
(a) Justifica que u es un vector propio de f ◦ f .
(b) Determina qué condición ha de cumplir λ para que f (u) sea vector
propio de f .
30. Sea f : IR3 −→ IR3 el endomorfismo definido por
f (x, y, z) = (y + z, x + y, x + z).
(a) Halla los valores propios de f .
(b) Halla una base de IR3 en la que la matriz de f sea diagonal.
(c) Determina la relación existente entre la matriz anterior y la matriz
asociada a f respecto de la base canónica de IR3 , a través de las
matrices de paso.
31. Clasifica mediante la definición, sin acudir a valores propios ni a menores
principales, las siguientes formas cuadráticas.
(a) Q1 (x, y) = x2 − y 2 .
(b) Q2 (x, y) = x2 + 2y 2 .
(c) Q3 (x, y, z) = x2 + 2y 2 .
(d) Q4 (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 3z 2 .
(e) Q5 (x, y, z) = x2 + y 2 + 2xy + 7z 2 .
32. Sea la forma cuadrática Q(x, y, z) = 4x2 + 2y 2 + z 2 − 4xy − 2yz.
(a) Clasifı́cala.
(b) Clasifica Q restringida al subespacio U = {(x, y, z) ∈ IR3 | z = y}.
(c) Clasifica Q restringida al subespacio V = {(x, y, z) ∈ IR3 | y = 2x}.
(d) Clasifica Q restringida al subespacio W = {(x, y, z) ∈ IR3 | z = x}.
universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matemáticas
7
33. Dibuja los siguientes conjuntos en la recta real y obtén su interior, adherencia y frontera. Determina si son abiertos, cerrados, acotados o
compactos.
(a) A = {x ∈ IR | x2 ≤ 9}.
(b) B = {x ∈ IR | x2 + x < 2}.
x+2
(c) C = x ∈ IR |
≥0 .
x−3
34. Sea A = {(x, y) ∈ IR2 | y ≥ x2 , 2x + 3y < 6}.
(a) Dibújalo.
(b) Determina gráfica y analı́ticamente su interior, adherencia y frontera.
(c) Justifica si es abierto, cerrado, acotado o compacto.
35. Sea A = {(x, y) ∈ IR2 | x ≥ y 2 , x2 + y 2 ≤ 4}.
(a) Dibújalo.
(b) Determina gráfica y analı́ticamente su interior, adherencia y frontera.
(c) Justifica si es abierto, cerrado, acotado o compacto.
36. Halla los puntos interiores, de acumulación y frontera del conjunto
A=
37. Sea A = (x, y) ∈ IR2 |
n+1
| n ∈ IN ∪ (3, 4].
n
x−1
≥0 .
y+1
(a) Dibújalo.
(b) Determina gráfica y analı́ticamente su frontera.
(c) Justifica si los siguientes puntos son o no interiores o frontera: (0, 0),
(1, 1), (1, −1) y (−1, 1).