práctico 4

Física Moderna – Profesorado de Física del IPA - Profesor Álvaro Suárez
2011
Repartido N°4 “Modelo atómico de Bohr”
1. a) Determine la menor y mayor longitud de onda de la serie de Lyman y de Balmer del hidrógeno.
b) Al pasar de un nivel de mayor energía a uno de menor, un átomo de hidrógeno emite un fotón cuya longitud de
onda es de 434,1nm , ¿cuál es la transición que produce esta emisión?
2. a) Determine la energía de un fotón emitido por un átomo de hidrógeno que haga una transición directa entre el
estado excitado n = 10 y el estado fundamental.
b) ¿Cuánta energía se necesita para remover un electrón del átomo de hidrógeno desde n = 10 ? ¿Por qué no
coincide el valor de energía calculado con el de la parte (a)?
3. Un átomo de hidrógeno absorbe un fotón cuya longitud de onda vale 238 nm , perdiendo su electrón, el cual al
salir del átomo ingresa a una región donde hay un campo eléctrico y magnético cruzados de valores 160 N / C y
2,0 × 10 −4 T respectivamente. Si el electrón realiza un movimiento rectilíneo uniforme al atravesar el campo
eléctrico y magnético, determine el nivel energético en el que se encontraba el átomo de hidrógeno cuando
absorbió el fotón. Suponga que el electrón absorbe toda la energía del fotón.
4. Para determinar si los efectos relativistas son importantes en el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, se
puede calcular la velocidad v del electrón en una órbita y a partir de ésta el cociente m / m 0 .
a) Demuestre que en el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, la velocidad del electrón en el nivel n puede
escribirse como:
2
v=
1 e
αc
=
4πε0 nℏ n
( α , definida implícitamente en la segunda igualdad, es la constante de estructura fina, cuyo valor es
aproximadamente 1 / 137 ).
b) ¿Para qué niveles del átomo de Bohr serán más relevantes los efectos relativistas?
c) De acuerdo con la teoría de Bohr, ¿cuántas revoluciones dará un electrón en el primer estado excitado del
hidrógeno, si el tiempo de vida en este estado es de 10−8 s ?
d) Determine la mínima precisión en la medida de la frecuencia f de la radiación emitida por el átomo, necesaria
para observar efectos relativistas en la transición n = 2 → n = 1 .
5. a) Muestre que cuando la energía de retroceso del átomo es tomada en cuenta, la energía del fotón emitido en
una transición entre dos niveles atómicos cuya separación es ∆E , se puede aproximar por:
E fotón = ∆E (1 − ∆E / 2 Mc 2 ) , siendo M la masa del átomo.
b) Compare la longitud de onda de la luz emitida en una transición desde el estado n = 3 y n = 1 si se toma y no se
toma en cuenta la energía de retroceso. Considere una aproximación no-relativista para el átomo.
c) Determine la velocidad de retroceso del átomo.
6. Del diagrama de niveles de energía del hidrógeno, explique la observación de que la frecuencia de la segunda línea
en la serie de Lyman es la suma de las frecuencias de la primera línea de la serie de Lyman y de la primera línea en la
serie de Balmer. Éste es un ejemplo del principio de combinación de Ritz descubierto empíricamente.
7. La teoría electromagnética clásica predice que una carga en rotación a frecuencia f emite radiación
electromagnética con la misma frecuencia f, esto debería obtenerse en un átomo de Bohr cuando el radio de la
órbita es grande (rn ≫ a0 ) . Muestre que en una transición entre n + y y n, con n >> 1, la frecuencia del fotón
me e 4 2 y
me e4
,
mientras
que
la
frecuencia
de
rotación
es
f
=
. ¿Qué condición debe cumplir ∆n
rot
8ε 02 h3 n3
4ε 02 h3 n3
para que se dé la correspondencia?
emitido es f ≅
8. a) Elabore un diagrama de los primeros 5 niveles de energía para el ion Li 2 + .
b) Determine la energía de ionización y el radio de la primera órbita del ion Li 2 + .
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2011
9. a) Determine la intensidad de corriente eléctrica asociada a un electrón al realizar un MCU en el estado
fundamental del átomo de hidrógeno.
b) Determine el módulo del momento magnético de la “espira” formada por el electrón en su órbita. Dicho
momento magnético lleva el nombre de magnetón de Bohr.
c) Si el átomo de hidrógeno se encuentra inmerso en un campo magnético externo, ¿se modificarán los valores de
los niveles energéticos del mismo? Explique.
10. Una generalización poco rigurosa de la teoría de Bohr al helio consiste en suponer que los dos electrones se
encuentran en la misma órbita, pero siempre en lados opuestos al núcleo.
a) Demuestre que la órbita del estado base tendrá un radio de 4a0 / 7 .
b) Calcule la energía del helio en el estado base.
c) Calcule la energía de ionización de este átomo (la que se requiere para extraer un electrón). La energía de
ionización medida experimentalmente es de 24,6eV .
11. Bajo ciertas circunstancias, un electrón y un positrón pueden formar un sistema conocido como positronio, en el
que las partículas giran alrededor de su centro de masas.
a) Sobre la base del modelo de Bohr, encuentre una expresión para los niveles de energía del positronio.
b) Si el sistema sufre una transición desde n = 2 a n = 1 , ¿a qué región del espectro pertenece la radiación emitida?
12. Cuando un muón es capturado por un protón se forma un átomo mesónico. El muón es una partícula que tiene
igual carga que la del electrón y una masa en reposo 207 veces la masa en reposo del electrón. El estado de energía
más bajo en un átomo mesónico se encuentra en el interior del núcleo, mientras que los otros estados son externos.
a) Suponiendo que la carga nuclear está uniformemente distribuida en una esfera de radio R, determine la energía
del sistema muón-núcleo en una órbita de radio r interior al núcleo de Pb ( Z = 82) .
b) Si el radio R del núcleo es de 7,1 fm , calcule el radio de la órbita más interior del átomo mesónico, sabiendo que
la energía de ligación del muón en el átomo es de −10,75MeV .
c) Determine la longitud de onda del fotón emitido por un átomo mesónico que decae desde el primer estado
excitado hacia su estado base.
13. Un electrón choca frontal e inelásticamente con un átomo de mercurio que está en reposo.
a) Si la separación del primer estado excitado y el estado fundamental del átomo es igual a 4,9eV , determine la
energía cinética inicial mínima del electrón necesaria para llevar el átomo a su primer estado excitado y conservar la
cantidad de movimiento. Suponga que la colisión es completamente inelástica. Extraiga conclusiones.
b) Determine la energía cinética del electrón después de la colisión. ¿Es justificada la aproximación que el electrón
pierde toda su energía cinética en una colisión inelástica?
14. En un experimento del tipo del de Franck-Hertz se bombardea hidrógeno atómico con electrones y se encuentra
que los potenciales de excitación se presentan para 10, 2V y 12,1V . Explique por qué se observa que a estas
excitaciones se presentan tres líneas del espectro de emisión y encuentre los tres valores permitidos de f .
Algunas respuestas:
1) a) 121,5nm , 91, 2nm , 656,3nm , 364,6nm , b) 5 a 2 . 2) a) 2,16 × 10 −18 J , b) 2,18 × 10−20 J . 3) n = 2 . 4) c)
qh
qh
, b) µ =
. 10) b) −83,3eV , c)
8,3 × 106 vueltas. 5) c) 3,86m / s . 8) b) 122, 4eV , r = 0,0177nm . 9) a) i =
2 2
m 4π r0
4πm
28,9eV . 11) a) E = −
Z qe2  r 2 3 
6,8eV
=
−  , b) 6,55 × 10 −15 m , c) 206 fm . 13) a)
E
,
b)
Ultravioleta.
12)
a)

4πε0 R  R 2 2 
n2
 M Hg + me 


me2
, b) ∆E  2
. 14) 4,57 × 1014 Hz , 2, 47 × 1015 Hz , 2,92 × 1015 Hz .
∆E 

 M

 M + M m 
Hg
Hg e 


 Hg