2.6.2. Superficies Orientadas.

2.6.2. Superficies Orientadas.
La definición de las integrales de superficie de campos vectoriales involucra el concepto
de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se
pueden identificar dos caras o lados, en aquellas superficies en las que se identifica un
solo lado se denominan como superficies no orientables.
Una superficie S es una superficie orientada si existen, para un mismo punto ( x, y, z )
perteneciente a la superficie S, dos vectores normales n1 y n2 , uno por cada una de las
caras de la superficie S, que son colineales y opuestos entre sí, es decir, n2 = −n1 . En
donde n1 es una función continua para cada todos los puntos ( x, y, z ) ubicados sobre la
superficie, es decir,
que el vector n1 está variando continuamente sobre toda la
superficie S, excepto, quizás, en un número finito de puntos en su frontera, puntos que
se denominan como puntos singulares de la superficie; por tanto se definen dos
orientaciones para cualquier superficie orientable, una al tomar un vector unitario n1
sobre un punto ( x, y, z ) perteneciente a la superficie S, y otra cuando se toma al vector
unitario n2 , como se muestra en la Figura 61. La elección de la orientación de una
superficie, es para permitir la distinción entre una dirección y la otra, ya que una de ellas
se va a identificar como la orientación positiva de la superficie.
n1
n2
Figura 61. Superficie Orientada.
Cuando la superficie S esta definida de manera explicita por la expresión z = f ( x, y ) , el
vector normal unitario determina una orientación de la superficie S que viene dada por
la expresión


∂f
∂f


−
−


1
∂y
∂x
,
,
n=

2
2
2
2
2
2
  ∂f   ∂f 

 ∂f   ∂f 
 ∂f   ∂f 
   +   + 1   +   + 1   +   + 1 
 ∂x   ∂y 
 ∂x   ∂y 
  ∂x   ∂y 

Al observar este vector, se puede decir que la superficie S tiene una orientación hacia
arriba, al observar que la componente en la dirección del eje z es positiva.
Si S es una superficie suave orientable, dada en forma paramétrica por una función
vectorial g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = ( g1 ( u , v ) , g 2 ( u , v ) , g3 ( u , v ) ) , entonces en este caso una
orientación para esta curva vendría dada por en vector normal unitario
n=
gu × g v
gu × g v
y − n definiría la orientación opuesta. El concepto de superficies orientables es aplicable
tanto a superficies cerradas como a superficies no cerradas. Por convención cuando S
una superficie cerrada, es decir, que la superficie S es la frontera de una región sólida B,
con B ⊂ ℜ3 , se ha establecido que la orientación positiva es el lado de la superficie en la
que los vectores normales señalan hacia fuera de la región sólida B, mientras que la
superficie cuyas normales apunten hacia el interior de la región B, indican la orientación
negativa de la superficie S
Como contraejemplo de superficies orientables, por ejemplo, observamos en la Figura
62, la cinta de Möbius, en la cual se observa que la misma tiene un solo lado, es decir,
no es una superficie orientable. Es posible construir esta cinta tomando una tira
rectangular larga y delgada de papel, darle media vuelta y unir sus extremos. Al hacerlo,
si se traza una línea de color a lo largo de la cinta terminaremos en el punto en el que se
inicio la línea.
Figura 62. Cinta de Möbius.