Autoinducción

Fisica III -09
Autoinducción
Cátedra de Física Experimental II
Prof. Dr. Víctor H. Rios
2009
Fisica III -09
Contenidos
Autoinducción. Corriente autoinducida
Circuito RL . Energía del Campo Magnético
Inducción mutua. Corriente inducida
El transformador . Circuito LC. Oscilaciones libres.
Circuito RLC. Oscilaciones amortiguadas.
Circuito RLC conectado a un fem alterna
Oscilaciones forzadas.
Elementos de un circuito de corriente alterna
Resistencia conectada a un generador de CA.
Condensador conectado a un generador de CA.
Bobina conectada a un generador de CA.
Circuito en serie RLC.
Resonancia en un circuito RLC en serie.
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Ejemplos de inductancias
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Ejemplos de inductancias
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Ejemplos de inductancias
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Autoinducción. Circuito R-L
Si en un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al mismo y varía su intensidad se generara una “fem”.
Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá
una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Supongamos un solenoide de
N espiras, de longitud l y de
sección S recorrido por una
corriente de intensidad i.
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1.- El campo magnético producido por la corriente que recorre el solenoide
suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, cuyo valor hemos obtenido
aplicando la ley de Ampère
2.-Este campo atraviesa las espiras el solenoide, el flujo de dicho campo a través de todas las espiras del solenoide se denomina flujo propio.
3.-Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio Φ y la intensidad i.
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El coeficiente de autoinducción solamente depende de
• la geometría del circuito
• las propiedades magnéticas de la sustancia que se
coloque en el interior del solenoide.
La autoinducción de un solenoide de dimensiones dadas es mucho
mayor si tiene un núcleo de hierro que si se encuentra en el vacío
La unidad de medida de la autoinducción se llama Henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
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Corriente autoinducida
Cuando la intensidad de
la corriente i cambia con
el tiempo,
Se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se
opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
* Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
ε = −
dΦ
di
=−L
dt
dt
• La fem autoinducida VL siempre actúa en el sentido que
se opone a la variación de corriente.
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Establecimiento de una corriente en un circuito
Cuando se aplica una fem V0 a un circuito cerrando un interruptor
• la corriente no alcanza instantáneamente el valor V0 / R dado
por la ley de Ohm
• sino que tarda un cierto tiempo (teóricamente infinito, en la
práctica) que depende de la resistencia.
La razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel
jugado por la autoinducción L que genera una fem que se
opone al incremento de corriente.
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Circuito RL
Se conecta la batería y la intensidad i aumenta con el tiempo.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una
fem equivalente.
La diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que
Vab+Vbc+Vca=0
•
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Solución
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t = 0, i = 0.
Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte
de los casos prácticos, la intensidad de la corriente
alcanza su valor máximo constante V0/R muy
rápidamente.
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Caída de la corriente en un circuito
Si se ha establecido la corriente máxima en el circuito y desconectamos la
batería.
* la corriente no alcanza el valor cero de forma instantánea
* sino que tarda cierto tiempo en desaparecer del circuito
De nuevo, la razón de este comportamiento hay que buscarla en el papel
jugado por la autoinducción L en la que se genera una fem que se opone a
la disminución de corriente.
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Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una
fem equivalente
Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los
dos elementos que forman el circuito.
. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que
su derivada di / dt < 0 es negativa
Vab + Vba = 0
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Integrando
r
Hallamos la expresión de i en función del
tiempo con las condiciones iniciales:
t = 0, i = i0.
La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo.
En la mayor parte de los casos, R / L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.
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Energía del campo magnético
Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario
suministrar energía.
• La energía suministrada por la batería en la unidad
de tiempo es V0· i.
• Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto
Joule y se acumula en la autoinducción en forma de
energía magnética.
De la ecuación del circuito
i R = V0 + V L
multiplicando por i
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V0 i : es la energía suministrada por la batería.
L i di / dt: es la energía por unidad de tiempo que se necesita
para establecer la corriente en
la autoinducción o su campo
magnético asociado.
R i2 : es la energía por unidad de
tiempo disipada en la resistencia.
Simplificando dt e integrando entre 0 e i, obtenemos
Esta es la energía acumulada en forma de campo magnético, cuando circula
por la bobina una corriente de intensidad i.
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Para un solenoide
La energía en forma de campo magnético que guarda en su interior se
escribe:
Densidad de energía
magnética (energía por
unidad de volumen)
Volumen S l
En general, la energía asociada a un campo magnético se calcula mediante
la siguiente fórmula:
La integral se extiende a todo el espacio
donde el campo magnético B es no nulo.
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Inducción mutua
Con frecuencia el flujo a través de un circuito varía con el tiempo como
consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos.
• Se produce una fem inducida mediante un proceso que se
denomina inducción mutua.
Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos dos circuitos
acoplados formados por una espira y un solenoide, tal como se
muestra en la figura.
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Supongamos que el solenoide está formado N espiras, de longitud l y de
sección S recorrido por una corriente de intensidad i1.
• Denominaremos circuito primario al solenoide y secundario a la espira.
1.- El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que
es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la
ley de Ampère
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2.-Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario), el flujo de
dicho campo a través de la espira vale.
S es la sección del solenoide, no de la espira, ya que hemos supuesto
que fuera del solenoide no hay campo magnético.
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3.-Se denomina coeficiente de inducción mutua M al cociente entre el
flujo a través del secundario Φ2 y la intensidad en el primario i1.
El coeficiente de inducción mutua solamente depende de:
* la geometría de los circuitos
* de su posición relativa
La unidad de medida del coeficiente de inducción mutua se llama henry,
abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.
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Corriente inducida
Cuando la intensidad de la corriente i1 en el primario cambia con el tiempo, se induce en el secundario una corriente i2 que se opone a los cambios de flujo.
Aplicamos la ley de Faraday.
derivando el flujo que atraviesa el secundario Φ2 = M·i1
respecto del tiempo
La fem en el secundario V2 siempre actúa en el sentido que se opone a
la variación del flujo producido por el primario.
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El transformador
Hace algo más de un siglo que se inventó este dispositivo que ha hecho posible la distribución de energía eléctrica a todos los hogares, industrias, etc.
Si no fuera por el transformador tendría que acortarse la distancia que separa a los generadores de electricidad de los consumidores.
Donde existen?
Lo encontramos en muchos lugares,
* en sótanos de edificios
* en las centrales hidroeléctricas
* en cargadores de pilas,
* en las lámparas de bajo consumo,
* en otros generadores de electricidad
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TRANSFORMADOR
Fisica III -07
Su tamaño puede variar desde muy pequeños a enormes transformadores
que pueden pesar más de 500 Tn.
El primario y el secundario de un transformador tienen el mimo núcleo de hierro que
asegura que el flujo a través de cada espira sea el mismo.
Sea φ el flujo del campo magnético a través de cada espira.
Si la corriente en el primario i1 varía con el tiempo se produce en el
secundario una fem inducida V2.
Fisica III -07
Si cambiamos los papeles de modo que el secundario pase a ser primario
y viceversa
Dividiendo ambas expresiones, obtenemos
la relación de transformación:
Por ejemplo si el secundario tiene N2 = 5N1 resulta que V2 = 5V1, y dicho
transformador aumenta en el secundario la tensión del primario y se llama
transformador elevador .
Para que un transformador sea reductor deberá tener menos espiras en el
secundario que en el primario.
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Oscilaciones eléctricas
y
Circuitos de C. Alterna
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Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un
sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfectamente elástico.
El equivalente hidráulico es un sistema formado por
dos vasos comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un
circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando, la carga q disminuye y la intensi-dad i
aumenta.
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La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad
La fem en la bobina se opone al
incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vba = 0
⇒
Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llega-mos a la
siguiente ecuación diferencial de segundo orden
⇒
Esta es la ecuación diferencial de
un Mov. Armónico Simple de
frecuencia angular propia o natu-ral
⇒
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Carga:
La solución de la ecuación diferencial es : q = Q · sen ( w0 t + Φ ),
donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones
iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el
circuito i0 en el instante inicial t = 0.
Intensidad:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
i = dq / dt = Q · w0 · cos ( w0 t + Φ)
Energía:
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico
en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la
suma de ambas energías es constante e
independiente del tiempo.
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Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
•
En un instante inicial el condensador está completamente cargado con una carga Q. Toda la energía está
acumulada en el condensador en forma de campo
eléctrico.
2. El condensador se empieza a descargar, la
intensidad aumenta, en la bobina se produce
una fem autoinducida que se opone al incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto de
periodo, se alcanza la intensidad máxima :
i = Q w0.
3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se
produce una fem que se opone a que la intensidad
disminuya. El condensador se empieza a cargar, el
campo en el condensador cambia de sentido. Al
cabo de un cuarto de periodo más, el condensador
ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en
la bobina se ha reducido a cero.
1.
Ahora comienza de nuevo a descargarse el
condensador, la intensidad aumenta, el campo en la
bobina cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de
periodo más, la intensidad alcanza su valor máximo
(en valor absoluto).
5. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico
en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se
ha alcanzado la situación inicial de partida.
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Circuito RLC . Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una
resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando,
la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vbc + Vca = 0
⇒
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Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito pre-senta una
resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el circuito cuando el condensador se está descargando,
la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del circuito es :
Vab + Vbc + Vca = 0
⇒
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Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la
siguiente ecuación diferencial de segundo orden
La solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas es
q =Q e
−γ t
sen (ωt + φ )
con
ω =ω − γ
2
2
0
2
y
R
γ=
2L
donde la amplitud Q y la fase inicial Φ se determinan a partir de las condiciones
iniciales,
* la carga del condensador q0 y
* la intensidad de la corriente eléctrica en el circuito i0
en el instante inicial t = 0.
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En las oscilaciones amortiguadas,
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la
resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se
denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es
un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y
autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas
- Críticas
- Sobreamortiguadas
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Circuito RLC conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación
en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .
La ecuación del circuito es
Vab + Vbc + Vcd + Vda = 0
⇒
Como i = - dq / dt , si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación
diferencial de segundo orden
Ecuación similar a la estudiada para describir las
oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elás
.
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Elementos de un circuito de corriente alterna
Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resisten-cias,
capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.
Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angu-lar
constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán.
v = V0 sen ( w t )
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En las oscilaciones amortiguadas,
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la
resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se
denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es
un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y
autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas
- Críticas
- Sobreamortiguadas
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Fisica III -09
En las oscilaciones amortiguadas,
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la
resistencia por efecto Joule.
Se presentan dos casos particulares:
• cuando γ = w0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se
denomina oscilación crítica
• cuando γ > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es
un número imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y
autoinducción L del circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Amortiguadas
- Críticas
- Sobreamortiguadas
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Para analizar los circuitos de corriente alterna, se emplean dos procedimientos,
* uno geométrico denominado de vectores rotatorios y
* otro, que emplea los números complejos.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la
interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje X de
un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la
frecuencia angular.
Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la am-plitud y su
proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores
se hacen girar en sentido contrario al las agujas del reloj.
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Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna
La ecuación de este circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem)
iR R = V0 sen (w t)
⇒
La diferencia de potencial en la resistencia es
⇒
vR = V0 sen (w t)
En una resistencia, la intensidad iR y la diferencia de potencial vR están en fase.
La relación entre sus amplitudes es :
con VR = V0, la amplitud de la fem alterna
Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t,
los vectores rotatorios que representan a
* la intensidad en la resistencia ( IR )
* la diferencia de potencial entre sus extremos ( VR )
han girado un ángulo w t.
Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son
respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la resistencia y de la
diferencia de potencial entre sus extremos.
Un condensador conectado a un generador de corriente alterna
En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas
están relacionadas entre sí:
q=C·V
Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna
q = C · V0 · sen ( w t )
La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i = dq / dt
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Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la diferencia de potencial vC.
La relación ente sus amplitudes es:
I C = C ω VC
con VC = V0 , la amplitud de la fem alterna
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Una bobina conectada a un generador de corriente alterna
Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una
bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo.
La ecuación del circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como que la
resistencia es nula
Fisica III -09
Integrando esta ecuación obtenemos i en función del tiempo
La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de
potencial entre sus extremos vL.
La relación entre sus amplitudes es
con VL = V0, la amplitud de la fem alterna
Circuito en serie RLC - Resonancia
Se ha estudiado el comportamiento de una bobina, un condensador y una resistencia cuando
se conectan por separado a un generador de corriente alterna.
Estudiaremos el comportamiento de un sistema formado por los tres elementos dis-puestos en
serie y conectados a un generador de corriente alterna de amplitud V0 y frecuencia angular w .
V = V0 sen ( w t )
Circuito RLC en serie
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Dibujamos el diagrama de vectores teniendo en cuenta que:
* la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma,
* la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de
los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de
corriente alterna.
El vector resultante de la suma de los tres vectores es
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⇒
Se denomina impedancia del circuito al término
De modo que se cumpla una relación análoga a la de
los circuitos de corriente continua
⇒
Las expresiones de la fem y de la intensidad del
circuito son
⇒
V0 = I 0 Z
El ángulo que forma el vector resultante de longitud V0 con el vector que
representa la intensidad I0 es
⇒
La intensidad de la corriente en el circuito está atrasada un ángulo Φ respecto de la fem que
suministra el generador.
Resonancia en un circuito RLC en serie
La condición de resonancia la estudiamos en las
oscilaciones forzadas de una masa unida a un resorte elástico.
La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es
P = i V = V0 I0 sen (w t) · sen (w t - Φ )
P = V0 I0 sen(w t) · ( sen (w t) · cos Φ – cos (w t) · sen Φ)
= V0 I0 (sen2(w t) · cos Φ - sen (w t) · cos (w t) · senΦ )
Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de vista
práctico.
Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2π / ω .
Promedio de la potencia en un periodo 2π / ω .
< P > = V0 ·I0 ( < sen2(w t) > · cos Φ - < sen(w t) · cos(w t) > · sen Φ )
Se define como valor medio < f(t) > de una función periódica f(t) de periodo T a la integral
El periodo de la función f(t) = sen2(w t) es T = π / ω, su valor medio es
< sen2(w t) > = 1/2
El área de color rojo es igual al área
de color azul.
El periodo de la función f(t) = sen(w t)· cos(w t) = sen(2w t) / 2 es T = π /ω,
su valor medio es :
< sen(w t) · cos(w t) > = 0
El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada por el
generador es
P =
1
I 0 V0 cos φ
2
El último término, cos Φ se denomina factor de potencia.
El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase Φ es cero, para ello se tiene que
cumplir que
es decir, la frecuencia w del generador de corriente alterna debe coincidir con la frecuencia
natural o propia w0 del circuito oscilante.
Fisica III -09
Cuando w = w0 se cumple que
* La intensidad de la corriente I0 alcanza su valor máximo
* La intensidad de la corriente en el circuito i y la fem v están en fase
* La energía por unidad de tiempo <P> suministrada por el generador es máxima
Fisica III -09
Representación de la potencia < P >
Se representa también el intervalo de frecuencias Δw para los cuales la potencia es mayor
que la mitad de la máxima.
La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro adimensio-nal
denominado factor de calidad Q0 que se define como el cociente entre la frecuen-cia angular
de resonancia w0 y el ancho de la curva de resonancia Δw.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinduc-ción de la
bobina, se modifica el valor de la resistencia R. ¿Cómo cambia la curva de resonancia?.
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Representación de la amplitud de la intensidad
La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador w
coincide con la frecuencia de resonancia w0
El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z = R.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinduc-ción de la
bobina, se modifica el valor de la resistencia R.
¿Cómo cambia la curva que representa la amplitud en función del cociente w / w0?
APENDICE
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Establecimiento y caída de la corriente eléctrica en el circuito
Un circuito RL se conecta a un generador de señales cuadradas, podemos
observar en un osciloscopio el proceso de:
* establecimiento y caída de la corriente en el circuito
Durante el primer semiperiodo de la señal, la fem tiene un valor constante e
igual a V0
La intensidad i en el intervalo 0 < t < P/2
es
Fisica III -09
Se calcula la intensidad final i1 en
el instante t = P/2.
En este instante, la fem se hace
cero, la corriente cae en el circuito.
La corriente i en el intervalo
P/2 < t <P es:
Se calcula la intensidad final i2 en el instante t = P
Fisica III -09
La corriente i en el intervalo P < t < 3P/2 se obtiene integrando entre los
límites entre la intensidad remanente i2 e i.
Calculamos la intensidad final
i3 en el instante t = P + P/2.
Y así, sucesivamente ….
Fisica III -09
FIN