Distribuciones t, Ji y F

Estadísticas y distribuciones de
muestreo
DIANA DEL PILAR COBOS DEL ANGEL
27/11/2011
Estadísticas
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Una estadística es cualquier función de las observaciones en una
muestra aleatoria que no depende de parámetros desconocidos.
Por ejemplo, si X1, X2,…,Xn es una muestra aleatoria de tamaño
n, entonces la media de la muestra X, la varianza de la muestra S2
y la desviación estándar S son estadísticas.
n
X
 Xi
i 1
n
n
S2 
(X
i 1
i
 X )2
n 1
El proceso de extraer conclusiones en torno a poblaciones con
base en datos de muestras utiliza estadísticas en forma
considerable.
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Distribuciones muestrales
3

Supóngase que se toma una muestra aleatoria de tamaño n,
X1, X2, …, Xn de una población con distribución Normal,
N(m,s2).

Cada observación es una v.a. con distribución N(m,s2)

Entonces la media X es una v. a. con distribución
N(m,s2/n)
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Teorema de Límite Central
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Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma
de una población con media m y varianza s2, entonces, el
estadístico
Z
X m
s/ n
Se aproxima a una distribución Normal estándar cuando n tiende a
infinito.
Observación: esta aproximación será mejor para n ≥ 30 sin
importar la forma de la población. Si n < 30 la aproximación es
buena sólo si la población no difiere mucho de una distribución
Normal.
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Distribución Ji cuadrada c2
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Sean Z1, Z2, …, Zn variables aleatorias con distribución normal
estándar, es decir N(0,1). Entonces
n
Y   Zi2  Z12  Z 22  ...  Z n2  c n2
i 1
Tiene la función de densidad Ji cuadrada con n grados de libertad
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Distribución Ji cuadrada c2
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Características de Ji cuadrada c2
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






Asimétrica y asintótica al eje x por la derecha;
Su dominio va de 0 a +
Área bajo la curva desde 0 a + =1
Tiene parámetro  = n (g.l.)
Al aumentar n se aproxima a la normal
Representa distribución muestral de varianza.
Entre las aplicaciones:




Determinación intervalos confianza para varianzas
Pruebas de hipótesis para una varianza
El ajuste de datos a una distribución dada conocida
Las pruebas de independencia.
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Gráficas de Ji cuadrada c2
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Distribución Ji cuadrada c2
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Probabilidad c2 Excel
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 =DISTR.CHI(x;)
 Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria
continua siguiendo una distribución Ji cuadrada de
una sola cola con  gl.
 P(X>c2)
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Probabilidad c2
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Probabilidad c2 Inversa Excel
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 =PRUEBA.CHI.INV(P,)
 Devuelve el valor de c2 para una probabilidad dada, de
una distribución Ji-cuadrada de una sola cola con  g.l.
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Ejercicios Ji cuadrada c2
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a)
Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor de
23.7 en una distribución c2 con  = 14 g.l., es decir
P( c142  23.7)
b)
Calcular el valor de c2 después del cual se encuentre el 5
% del área en una distribución Ji-cuadrado con 4 g.l., es
decir
P( c42  c 2 )  0.05
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Distribución “t” de Student
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 Desarrollada con base en distribuciones de frecuencia
empíricas por el estadístico William Gosset, cuyo
seudónimo era “Student”.
 Gosset trabajó en la Cervecería Guiness de Dublín y
tenía dificultades al usar la distribución Normal en
muestras pequeñas

“The probable error of a mean” Biometrika 1908
 Fisher fue quien encontró mas aplicaciones para ésta.
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Distribución “t” de Student
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 La distribución muestral de la media de una muestra
aleatoria X se ajusta muy bien a la distribución Normal si se
conoce s. Si n es grande, esto no presenta ningún problema,
aún cuando s sea desconocida, por lo que en este caso es
razonable sustituirla por s.
 Sin embargo, en el caso de usar valores de n < 30, o sea en el
caso de pequeñas muestras, esto no funciona tan bien, y la
distribución que mejor se ajusta es la t de Student.
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Distribución “t” de Student
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 Sean Z es una v.a. Normal estándar y V es una v.a. Ji
con k grados de libertad. Si Z y V son independientes,
entonces la v.a.
Z
T
V /k
tiene una distribución t con n grados de libertad, cuya
función de densidad es:
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Distribución “t” de Student
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 Definiendo el estadístico t:
t=
x -m
s/ n
 Se puede probar que siendo `x la media de una
muestra de tamaño n tomada de una población Normal
con media m y varianza s2, el estadístico t es el valor de
una variable aleatoria con distribución "t" de Student y
parámetro  (grados de libertad) = n-1.
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Distribución “t” de Student
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Distribución “t” de Student
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Características de la distribución “t”
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 Tiene media igual 0, es asintótica al eje x y su dominio





va de -  a +;
El área bajo la curva desde - a + es igual a 1
m  0, s2 depende parámetro  (grados libertad)
Varianza > 1, pero se aproxima a 1 cuando n  
Al aumentar n, la distribución “t se aproxima a la
Normal; n > 30 ó más, excelente aproximación
Entre las aplicaciones:
 Estimación de intervalos de confianza para medias a
partir de muestras pequeñas
 Pruebas de hipótesis basadas en muestras < 30
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Distribución “t” de Student
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Distribución “t” de Student
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Las tablas brindan sólo los puntos porcentuales de la cola
superior
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Probabilidad “t” en Excel
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 =DISTR.T(x,,colas)
 Devuelve el área a la derecha de x (a)
 x= valor de t (solo positivo)
 = grados de libertad
 Colas = 1 o 2 colas
 colas=
1, P( X>t )
 colas = 2, P(|X| > t); P(X > t o X < -t).
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Probabilidad “t” Inversa en Excel
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 =DISTR.T.INV(a,)
 Devuelve el valor de t de dos colas, después del
cual se encuentra el a x 100% del área de la curva.
 P(|X| > t) = P(X < -t o X > t).
 Para una cola, remplazar a por 2 a.
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Ejercicio distribución “t” de Student
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a)
Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor
que 2,26 en una distribución t con 9 gdl
b)
Calcular la probabilidad de obtener un valor mayor
que 2,26 o menor que -2,26 en una distribución t con
9 gdl
c)
Calcular el valor de t después del cual se encuentre el
5% del área de la curva con 9 gdl
d)
Calcular el valor de t para a= 0,05 con 9 gdl y dos
colas
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Distribución "F” de Fisher
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Sean W y Y v.a. con distribución Ji cuadrada, independientes con
n1 y n2 grados de libertad respectivamente. Entonces el cociente
F
W / n1
Y / n2
Sigue la distribución F con n1= u g.l. en el numerador y n2 = v g.l.
en el denominador y su función de densidad es:
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Distribución "F” de Fisher
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 También llamada "F” de Fisher - Schnedecor
 Representa la distribución muestral de la razón de
dos varianzas. Es decir que se obtiene de la razón
de dos distribuciones Ji-cuadradas.
 Definimos el estadístico F como:
s12
F= 2
s2
 El cual es el valor de una variable aleatoria que
tiene distribución F con parámetros n1 y n2
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Propiedades de distribución F
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 Asimétrica, y asintótica al eje x por el lado derecho
 Su dominio va de 0 a +
 Área bajo curva desde 0 a + =1
 Tiene parámetros n1 y n2
 Entre sus aplicaciones:
 Pruebas de hipótesis entre 2 varianzas
 Análisis de varianza
 Análisis de covarianza.
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Gráfica de la distribución F
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Propiedades de Distribución F
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n
E(F )  2
n2  2
2n22 (n1  n2  2)
V (F ) 
n1 (n2  2)2 (n2  4)
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Gráfica de la distribución F
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Probabilidad F Excel
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 =DISTR.F(x,1, 2)
 Devuelve el área a la derecha de un valor en una
distribución F con 1 y 2 g.l.
 P( F>x )
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Probabilidad F Inversa Excel
33
 =DISTR.F.INV(a, 1, 2)
 Devuelve el valor crítico de F(a) para una
distribución F con 1, 2 g.l.
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Ejercicios sobre la distribución F
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a) Determine la probabilidad de tener un valor de
F mayor que 9.28 en una distribución F con
1=3 y 2=3 g.l.
b) Halle la el valor crítico de F(0.05) para 1=3 y
2=15 g.l.
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