Endogeneidades y Variables Instrumentales

Endogeneidades
El metodo de momentos
Varaibles instrumentales
Ejemplo
Endogeneidades y Variables Instrumentales
Walter Sosa-Escudero
June 16, 2009
Walter Sosa-Escudero
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El metodo de momentos
Varaibles instrumentales
Ejemplo
Regresores endogenos
Un supuesto clave para el modelo lineal con regresores aleatorios es
el de exogeneidad
E(u|X) = 0
que vimos que implica
E(X 0 u) = 0
De este supuesto se desprende la propiedad de insesgadez.
La insesgadez de MCO requiere que las variables explicativas
no guarden relacion lineal con el termino de error.
La violacion a este supuesto hace que el estimador de MCO
sea sesgado.
Cuando una variable explicativa esta relacionada con el
termino de error, diremos que es endogena.
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Endogeneidades: ejemplos
Variables Omitidas
Y = β1 X1 + β2 X2 + u
Si omitimos X2
Y = β1 X1 + ν
ν ≡ β1 X2 + u. Entonces, el supuesto de exogeneidad sera violado
a menos que X1 y X2 no esten relacionados, o que β2 = 0.
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Ejemplo
Varaible explicativa medida con error
Yi = β1 + β2 Xi∗ + ui
Vimos que reemplazar X ∗ por una version con error Xi , entonces
Xi esta correlacionada con el termino de error del modelo
resultante.
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Ejemplo
Ecuaciones simultaneas
El modelo mas simple de
 s
 qi
qd
 is
qi
oferta y demanda:
= xsi β1s + β2s pi + si
= xdi β1d + β2d pi + di
= qid
En equilibrio:
pi = (β2s − β2d )−1 (xdi β1d − xsi β1s + di − si )
Tanto en la ecuacionn de oferta como en la de demanda, pi es una
variable explicativa que depende del termino de error.
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Ejemplo
MCO y el metodo de momentos
Consideremos el modelo lineal
Y = Xβ + u
con el supuesto de exogeneidad
E(X 0 u) = 0
en donde, naturalmente, u = Y − Xβ.
Consideremos la siguiente magnitud
1 0
Xe=0
n
con e ≡ Y − X β̂.
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Ejemplo
E(X 0 u) es un vector K × 1 con elemento caracteristico E(Xk0 u),
en donde Xk es la k-esima columna de X. Entonces, la condicion
de exogeneidad implica
E(Xk0 u) = 0
(la covarianza de cada variable explicativa con el termino de error
es cero).
La condicion n1 X 0 e = 0 es un vector K × 1 cuyo elemento
caracteristico es
n
1X
xik ei = 0
n
i=1
(la covarianza muestral de cada variable explicativa con el termino
de error de estimacion es cero). Entonces, la condicion n1 X 0 e = 0
es la version muestral de la condicion poblacional E(X 0 u) = 0.
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Ejemplo
Comencemos entonces por imponer la condicion muestral
1 0
Xe=0
n
que implica
X 0 (Y − β̂X) = 0
Resolviendo
β̂ = (X 0 X)−1 X 0 Y
Hemos derivado el estimador de MCO usando una condicion de
momentos muestral ( n1 X 0 e = 0) que es la version empirica de una
condicion poblacional (E(X 0 u) = 0).
A esta forma de derivar estimadores se la conoce como el metodo
de momentos.
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Ejemplo
Variables Instrumentales
Consideremos el modelo lineal con K variables
Y = Xβ + u
en donde no requeriremos que E(u|X) = 0 (una o mas variables
explicativas pueden ser endogenas).
Alternativamente, supondremos la existencia de una matriz Z,
n × K, de K variables instrumentales.
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Ejemplo
Las variables instrumentales Z deben satisfacer dos requisitos.
1 0
nZ X
1
es una matriz no singular. Intuicion: los instrumentos
deben estar correlacionados con las variables a instrumentar.
2
E(u|Z) = 0. Intuicion: los instrumentos no deben estar
corrrelacionados con el termino de error.
Todavia no estamos discutiendo de donde salen los instrumentos
validos!
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Ejemplo
El estimador de VI
A fines de obtener un estimador valido para el caso de regresores
endogenos, comencemos con la condicion poblacional
E(Z 0 u) = 0
de modo que su version muestral sera
1 0
1
Z e = Z 0 (Y − X β̂) = 0
n
n
Resolviendo
β̂V I = (Z 0 X)−1 Z 0 Y
Este es el estimador de variables instrumentales.
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Ejemplo
β̂V I = (Z 0 X)−1 Z 0 Y
Comentarios
Notar que la existencia y unicidad del estimador VI depende
de que Z 0 X sea invertible (la ‘condicion de rango’).
Cuando todas las variables X son exogenas, son trivialmente
instrumentos validos, de modo que X = Z. En este caso
β̂V I = β̂M CO .
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Ejemplo
De donde salen los instrumentos validos?
Pregunta muy complicada. En cierto sentido es una pregunta
econometrica, en otro, no.
Ejemplo 1:
y = β1 + β2 x + u
en donde y son salarios, y x educacion. Es muy posible que la
educacion sea endogena (porque?).
Angrist y Krueger (1991): usar el mes de nacimiento como un
instrumento valido, para el caso de USA. Los individuos
nacidos en en los primeros meses del año pueden abandonar el
sistema educativo antes: deberian tener menos educacion.
Que deberiamos garantizar para que sea un instrumento
valido?
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Ejemplo 2:
y = β1 + β2 x + u
Bajo que condiciones la inteligencia podria ser un instrumento
valido? Y la distancia a una universidad?
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El requisito de que la correlacion entre Z y X sea no nula es
empiricamente verificable.
El requisito de que la correlacion entre Z y u sea nula no es
verificable directamente en este contexto. (depende de la
estructura del modelo y de algo que no es observable).
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Precauciones
La discusion de este tema es decididamente introductoria. En un
curso avanzado deberian cubrir los siguientes items
No es posible probar que β̂V I es insesgado. En todo caso, se
puede probar que es consistente. Propiedades asintoticas.
Sus propiedades de muestra finita son un tema de gran
discusion actual.
Mas instrumentos que los necesarios? Existe una forma
optima de combinar instrumentos: minimos cuadrados en dos
etapas.
Sugerencias bibliograficas
Wooldridge, J., 2006, Introduccion a la Econometria, Thompson, Madrid.
Angrist, J. y Pischke, J., 2009, Mostly Harmless Econometrics, Princeton University Press, Princeton.
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Ejemplo
Ejemplo empirico: retornos a la educacion
En base a Card (1995).
Datos: US National Longitudinal Survey of Young Men, 3010
individuos.
El modelo es
y = β1 + β2 x + β3 z + u
en donde y son los (log) salarios, x la educacion (en años) y z
es un vector de otras variables explicativas (edad, etc.).
Problema: x es endogena
Instrumento: nearc4: 1 si crecio cerca de una ciudad con
universidad. Validez?
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MCO
-----------------------------------------------------------------------------lwage |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------educ |
.0746933
.0034983
21.35
0.000
.0678339
.0815527
exper |
.084832
.0066242
12.81
0.000
.0718435
.0978205
expersq |
-.002287
.0003166
-7.22
0.000
-.0029079
-.0016662
black | -.1990123
.0182483
-10.91
0.000
-.2347927
-.1632318
south |
-.147955
.0259799
-5.69
0.000
-.1988952
-.0970148
smsa |
.1363845
.0201005
6.79
0.000
.0969724
.1757967
VI. Instrumento: nearc4
educ
exper
expersq
black
south
smsa
|
|
|
|
|
|
.1315038
.1082711
-.0023349
-.1467757
-.1446715
.1118083
.0549637
.0236586
.0003335
.0538999
.0272846
.031662
2.39
4.58
-7.00
-2.72
-5.30
3.53
Walter Sosa-Escudero
0.017
0.000
0.000
0.007
0.000
0.000
.0237335
.0618824
-.0029888
-.2524603
-.19817
.0497269
.2392742
.1546598
-.001681
-.0410912
-.091173
.1738898
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