Ondas Planas en medios reales Reflexión y Transmisión

Ondas Planas en medios
reales
Reflexión y Transmisión
Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS
ONDAS ELECTROMAGNETICAS
• *
PROPAGACIÓN DE ONDAS PLANAS.
• Propagación de ondas planas en distintos medios
• homogéneos, isotrópicos y lineales, y no acotados
espacialmente
• Las ondas planas son una buena aproximación a las ondas
reales en la mayoría de las situaciones prácticas.
CAMPOS Y ONDAS
Dieléctricos y conductores.
DIELÉCTRICOS Y CONDUCTORES.
• Clasificación de materiales: dieléctricos y
conductores
• La separación NO está muy bien definida, la tierra
por ejemplo, se considera conductora hasta ciertas
frecuencias, y dieléctrico con pérdidas para
frecuencias superiores.
∇ × H = σE + jωεE
La relación entre los módulos de las densidades de corriente de
conducción y de desplazamiento, resulta ser:
Jc
σ
=
J d ωε
Dieléctricos:
Cuasiconductores:
σ
< 0, 01
ωε
0, 01 <
Conductores:
CAMPOS Y ONDAS
σ
< 100
ωε
σ
> 100
ωε
Dieléctricos y conductores.
•
•
Buenos conductores, tales como
los metales, la relación σ/(ω ε) es M= 6
muy superior a la unidad en todo el
5
espectro de las radiofrecuencias. El
4
Cobre a 30.000 MHz,
3
σ / (ω ε)= 3,5·109.
– Conductores, tanto ε como σ
son independientes de la
frecuencia.
Dieléctricos o aislantes, la
relación σ / (ωε) es mucho menor
que la unidad
– Tanto ε como σ son funciones
de la frecuencia. σ / (ω ε )
puede ser aproximadamente
constante dentro de un rango
de frecuencias de interés
σ/ωε = 10
M
Región
conductora
2
a
b
c
e
d
1
Región
cuasiconductora
0
-1
-2
-3
Región
dieléctrica
-4
Visible
-5
Frecuencias de radio
bajas, medias y altas
N= 1
2
3
4
5
6
Microondas
7
8
(c) Terreno rural
(a) Agua dulce
Agua de mar
(d)
(b) Terreno urbano
CAMPOS Y ONDAS
9
Infrarrojo
Rayos X
Ultravioleta
10 11 12 13 14 15 16 17
(e) Cobre
N
Frecuencia = 10 Hz
Dieléctricos y conductores.
• La mayoría de los materiales usados, o bien dejan
pasar fácilmente las corrientes de conducción o
evitan su circulación, es decir se comportan como
– conductores
– o como dieléctricos o aislantes, excepto algunas
excepciones entre las que cabe mencionar por su
importancia práctica, sobre todo en radioenlaces,
a la tierra y al agua dulce o salada.
• En radioenlaces, a la tierra y al agua dulce o salada, que a
bajas frecuencias son buenos conductores a altas
frecuencias son buenos dieléctricos.
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.
∇×H = J +
∂D
∂t
∇×E = −
J = σE
∂B
∂t
B = µH
• Se supone una onda electromagnética plana, el
campo eléctrico E está linealmente polarizado en la
dirección del eje y, y se propaga en el sentido del eje
x positivo, H polarizado en z.
Ey ≠ 0
y
x
Ey
∂ Ey
≠0
∂x
Ex = 0
∂ Ey
=0
∂y
Hz ≠ 0
Ez = 0
∂E y
∂z
∂ Hz
=0
∂y
=0
Hx = 0
Hy = 0
∂ Hz
∂ Hz
=0
≠0
∂z
∂x
Hz
z
iˆ
∂
∂x
0
ˆj
∂
∂y
0
CAMPOS Y ONDAS
kˆ
∂ Ey
∂Hz ˆ
ˆj
= 0iˆ −
j + 0kˆ = σ E y ˆj + ε
∂z
∂x
∂t
H z ( x)
∂
iˆ
∂
kˆ
ˆj
∂
∂x
∂y
E y ( x)
0
∂
∂z
0
∂E ( x)
= 0iˆ + 0 ˆj + y
∂ Hz ˆ
kˆ = − µ
k
∂x
∂t
DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.
∂E
∇×H = σE +ε
∂t
iˆ
∂
∂x
0
ˆj
∂
∂y
0
∇ × E = −µ
iˆ
kˆ
∂ Ey
∂H z ˆ
ˆj
= 0iˆ −
j + 0 kˆ = σ E y ˆj + ε
∂z
∂x
∂t
H z ( x)
∂
y
∂ Ey
∂ Hz
−
= σE y + ε
∂x
∂t
∂
∂x
0
kˆ
ˆj
∂
∂y
E y ( x)
∂
∂z
0
= 0 iˆ + 0 ˆj +
∂H
∂t
∂E y ( x )
∂ Hz ˆ
kˆ = − µ
k
∂x
∂t
∂ Ey
∂ 2 Ey
∂ ∂ Hz
= −σ
−ε
∂t ∂ x
∂t
∂t2
∂
∂t
x
Ey
Hz
∂ Ey
∂ Hz
= −µ
∂t
∂x
∂
∂x
2
∂ ∂ Hz
1 ∂ Ey
−
=
µ ∂ x2
∂ x ∂t
z
2
∂ Ey
∂ 2 Ey
1 ∂ Ey
−σ
−ε
=0
2
2
µ ∂x
∂t
∂t
CAMPOS Y ONDAS
DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.
2
2
E
E
Ey
∂
∂
∂
1
y
y
−σ
−ε
=0
2
µ ∂ x2
∂t
∂t
• Ecuación de propagación de campo eléctrico de una onda
electromagnética plana, dentro de un material dieléctrico
o conductor.
• Si imaginamos una variación sinusoidal, usamos fasores
E y = E0 e j ω t
2
Ey
∂
1
2
j
E
ωσ
ω
ε Ey = 0
−
+
y
2
µ ∂x
γ=
γ=
jωµσ − ω 2µε
jωµ (σ + jωε )
CAMPOS Y ONDAS
∂ 2 Ey
∂x
2
∂ 2 Ey
∂ x2
(
)
− jω µ σ − ω 2 µ ε E y = 0
− γ 2 Ey = 0
Constante de Propagación
DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.
∂ 2 Ey
∂ x2
− γ 2 Ey = 0
• Forma simplificada de la ecuación de propagación, el
tiempo no está en forma explícita, variación temporal
del tipo armónica.
• UNA SOLUCIÓN PARA LA ONDA INCIDENTE DE
CAMPO ELÉCTRICO RESULTA SER ENTONCES:
E y = E0 e j ω t e−γ x
∇ × E = −µ
∂H
∂t
∂ Ey
∂ Hz
= −µ
∂x
∂t
CAMPOS Y ONDAS
∂Ey
γ
j ω t −γ x
j ω t −γ x
=
−
γ
.
=
−
dt
E
e
e
dt
E
e
e
0
∫ ∂x
∫ 0
jω
γ
Hz =
Ey
jωµ
Hz =
jωµ (σ + jωε )
Ey
jωµ
DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.
• IMPEDANCIA INTRINSECA DEL MEDIO
Ey
jωµ
Zi =
=
Hz
σ + jωε
Relación entre las ondas incidentes de campos eléctrico y magnético.
CAMPOS Y ONDAS
PROPAGACIÓN EN MEDIOS DIELÉCTRICOS REALES.
• Un material dieléctrico real, con pérdidas.
γ=
E y = E0 e j ω t e− γ x
E y = E0 e
−α x
e
j (ω t − β x )
constante de fase.
constante de atenuación
⎡
⎤
µε ⎢
σ2
⎧
⎫
2
1 + 2 2 − 1⎥
α = Re ⎨ jωµσ − ω µε ⎬ = ω
⎥
2 ⎢
⎩
⎭
ω ε
⎣
⎦
⎤
⎡
µε ⎢
σ2
⎧
⎫
2
β = Im ⎨ jωµσ − ω µε ⎬ = ω
1 + 2 2 + 1⎥
⎥
2 ⎢
⎩
⎭
ω ε
⎦
⎣
CAMPOS Y ONDAS
jωµ (σ + jωε )
γ = α + jβ
PROPAGACIÓN EN MEDIOS DIELÉCTRICOS REALES.
• Para buenos dieléctricos (bajas pérdidas), se cumple que:
σ
<< 1
ωε
y en tales casos es posible realizar la siguiente aproximación binómica:
1+ x ≈ 1+
1
x
2
x << 1
donde se han usado los dos primeros
términos del desarrollo binómico de la raíz
cuadrada.
σ2
σ2
1+ 2 2 ≅ 1+
2 ω 2ε 2
ω ε
α≅ω
µε ⎛
⎞ σ
σ2
1
1
+
−
⎜
⎟=
2 2
2 ⎝ 2ω ε
⎠ 2
µ
ε
Como se puede apreciar, la constante de atenuación es pequeña, al
serlo la conductividad, tendiendo a cero cuando ésta lo hace.
CAMPOS Y ONDAS
PROPAGACIÓN EN MEDIOS DIELÉCTRICOS REALES.
⎡
⎤
µε ⎢
σ2
⎧
⎫
2
1 + 2 2 + 1⎥
β = Im ⎨ jωµσ − ω µε ⎬ = ω
⎥
2 ⎢
⎩
⎭
ω ε
⎣
⎦
1
1+ x = 1+ x
2
x << 1
β≅ω
1+
σ2
σ2
≅
1
+
2 ω 2ε 2
ω 2ε 2
µε ⎛
⎞
σ2
1
1
+
+
⎜
⎟ =ω µε
2 2
2 ⎝ 2ω ε
⎠
⎛
σ2 ⎞
⎜1 +
2 2 ⎟
8
ω
ε ⎠
⎝
Impedancia característica o impedancia intrínseca del medio.
Zi =
Zi =
CAMPOS Y ONDAS
Ey
Hz
µ
1
ε 1+ σ
j ωε
=
jωµ
γ
=
jωµ
jωµσ − ω 2 µε
=
( jωµ )2
jωµσ − ω 2 µε
Ecuación que puede ser
aproximada por expansión
binómica en:
=
jωµ
σ + jωε
Zi ≅
µ
ε
⎛
jσ
⎜⎜ 1 +
⎝ 2ωε
⎞
⎟⎟
⎠
PROPAGACIÓN EN MEDIOS DIELÉCTRICOS REALES.
• Dieléctrico ideal Zi es resistiva pura (campos
eléctrico y magnético en fase temporalmente),
• Dieléctrico real con bajas pérdidas, Zi es compleja (el
campo magnético atrasa ligeramente en el tiempo
con respecto al campo eléctrico).
Zi ≅
µ
ε
⎛
jσ
⎜⎜ 1 +
⎝ 2ωε
⎞
⎟⎟
⎠
Zi ≅
µ
ε
2
⎛
σ
⎜1 +
⎜
4ω 2 ε 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Este módulo resulta ser igual a la impedancia intrínseca de un medio
dieléctrico perfecto (sin pérdidas), multiplicada por el factor,
mayor a la unidad pero muy próximo a ella.
La relación entre campo eléctrico y magnético es menor en un medio
dieléctrico que en el vacío
CAMPOS Y ONDAS
εr>1.
Zi = Zo
1
εr
IMPEDANCIA CARÁCTERÍSTICA DE UN MEDIO CONDUCTOR
jωµ (σ + /jωε
/ /)
Ey
jωµ
Hz =
jωµ
Ey
E0 j ξ
Zi =
=
e =
H z H0
σ
ξ = 45D
Zi =
Ey
Hz
=
ωµ
σ
=
jωµσ
=
jωµ
1+ j
σδ
1
σ
=
jωµ Zi
Zi = R + j X =
δ=
2
ωσµ
ωµ
ωµ
+ j
σ
σ
El ángulo de fase de la impedancia
característica resulta de 45 grados
•Dieléctrico perfecto la Zi es resistiva pura (campos eléctrico y
magnético en fase temporalmente)
•La Zi para un medio conductor es una cantidad compleja (el
campo magnético atrasa 45° respecto al campo eléctrico).
CAMPOS Y ONDAS
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS.
•
•
•
•
•
Onda incidente: campo magnético y campo eléctrico, en fase
temporal
Onda reflejada aparece por discontinuidad en el medio de
propagación.
Ambas incidente y reflejada, son ondas progresivas,
– cada una transporta energía en forma progresiva
– en sentidos opuestos.
Las ondas incidente y reflejada se propagan en el mismo medio.
Existe otra onda, denominada transmitida o refractada, que
ingresa al nuevo medio, transportando así energía en este medio.
CAMPOS Y ONDAS
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS.
En la superficie de discontinuidad se plantea:
• Balance energético
– onda incidente= energía suministrada por el
generador de la onda, parte es devuelta al mismo
medio, onda reflejada, y el resto será la onda
transmitida en el nuevo medio.
• Condiciones de contorno de los campos eléctrico y
magnético, en la superficie límite de separación entre
ambos medios.
CAMPOS Y ONDAS
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
Componentes tangenciales
de E.
y
Medio 1
µ1
Para el análisis de la
componente tangencial de E
se supone tener una
superficie de separación
entre dos medios distintos,
ubicada en el plano x=0
Ex1
ε1
σ1
Medio 2
µ2
Ex2
∆x
∆x
2
2
ε2
σ2
∆y
∇×E = −
E y 2 ∆y − E x 2
∂B
∂t
∆x
2
− E x1
∫
∆x
2
E ⋅ dl = −
− E y1 ∆y + E x 3
∂
∂t
∆x
2
Ey1
∫∫ B ⋅ ds
+ Ex4
∆x
2
=−
∂
( B z ∆x∆y )
∂t
Ey2
Ex3
Ex4
E y 2 ∆y − E y1 ∆y = 0
E y 2 = E y1
CAMPOS Y ONDAS
Es decir que:la componente
tangencial de campo eléctrico es
siempre continua
x
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
• Componentes tangenciales de H.
•
Aplicada la anterior ecuación a un rectángulo elemental similar al de la figura anterior
∇×H = J+
∫
H ⋅ dl =
∫∫
∂D
∂t
J ⋅ ds −
y
Medio 1
∂
∂t
∫∫ D ⋅ ds
lim
µ1
Hx1
ε1
σ1
Medio 2
µ2
ε2
σ2
Hx2
∆x
∆x
2
2
∆x → 0
Hy2 ∆y − Hx2
∆x
∆x
∆x
∆x
∂
− Hx1 − Hy1 ∆y + Hx3 + Hx4 = Jz ∆x ∆y + ( Dz ∆x ∆y)
2
2
2
2
∂t
H y 2 ∆y − H y1 ∆y = lim J z ∆x ∆y
∆x → 0
CAMPOS Y ONDAS
∆y
Hy1
Hy2
Hx3
Hx4
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
• Componentes tangenciales de H.
H y 2 ∆y − H y1 ∆y = lim J z ∆x ∆y
∆x → 0
De la anterior ecuación se desprenden dos casos,
y
1) Densidad de corriente de conducción finita
H y 2 = H y1
2) Densidad de corriente de conducción Infinita
CAMPOS Y ONDAS
x
J
z
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
2) densidad de corriente de conducción Infinita
• Un conductor perfecto o ideal, es decir un conductor con
conductibidad infinita (caso teórico).
• densidad de corriente laminar o superficial. Cuando se tiene
una densidad de corriente superficial o laminar Infinita,
circula una corriente Finita
y
x
iS z por unidad de ancho (amperes por metro) es
finita
⎡A⎤
iS z = lim J z ∆x ⎢ ⎥
∆x→0
⎣m⎦
Corriente por unidad de
largo en dirección y
δ=
aire
1
f σµ
Jz
σ
∆x
CAMPOS Y ONDAS
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
•
Volviendo ahora a la expresión hallada para determinar las
condiciones de contorno del campo magnético tangencial,
aplicada ahora a un conductor ideal, cuando x tiende a cero se
obtiene:
H y 2 ∆y − H y1 ∆y = lim J z ∆x ∆y
∆x →0
Por lo tanto si x tiende a cero resulta
H y 2 ∆y − H y1 ∆y = iS z ∆y
H y1 = H y 2 − iS z
Ahora bien, si el campo eléctrico es cero dentro de un conductor ideal, lo propio
debe acontecer con el campo magnético (para campos variables en el tiempo),
por lo que resulta:
H y2 = 0
H y1 = − iS z
El campo magnético tangencial, inmediatamente afuera de una
superficie conductora ideal, es igual a la densidad de corriente
superficial, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al
campo magnético.
CAMPOS Y ONDAS
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
El campo magnético tangencial, inmediatamente
afuera de una superficie conductora ideal, es igual a
la densidad de corriente superficial, corriente por
unidad de ancho en sentido transversal al campo
magnético.
r
n
Donde
Hy
H y1 = − iS z
y
x
En notación vectorial es:
iS
G
= n×Η
z
n
Jz
es el vector unitario sobre la normal a la superficie.
∆x
CAMPOS Y ONDAS
Condiciones de contorno sobre una superficie límite.
• En un conductor ideal, el campo eléctrico (variable en el
tiempo) es cero para cualquier densidad de corriente de
conducción,
• Para satisfacer la condición de contorno del campo
eléctrico tangencial, debe ser nulo a ambos lados de la
superficie límite.
• El campo magnético dentro del conductor es cero, y la
componente tangencial fuera del conductor queda
determinada por la corriente de conducción superficial
del conductor
iS
CAMPOS Y ONDAS
G
= n×Η
Condiciones de contorno sobre una superficie límite
• Componentes normales de D.
∫∫ D ⋅ ds = ∫∫∫ ρ
libre dv
Medio 1
Dn1 ds − Dn2 ds + ψ lateral = ρlibre ∆x ds
µ1
Medio 2
µ2
∆x
ε1
σ1
ε2
σ2
2
Cuando ∆x tiende a cero, el flujo saliente por los
laterales tiende también a cero
D n1 ds − D n 2 ds = ρ libre ∆x ds
σ = lim ρ libre ∆x
Dn1
Dn2
ds
∆x → 0
Dn1 − Dn2 = σ
La componente normal del vector
desplazamiento eléctrico es continua, si no
existe carga superficial, y discontinua si existe
tal carga.
En un medio conductor, la carga reside en la superficie, y por lo tanto:
Dn2 = 0
CAMPOS Y ONDAS
Dn1 = σ
Condiciones de contorno sobre una superficie límite
• Componentes normales de B.
Bn1 = Bn 2
CAMPOS Y ONDAS
Reflexión y Refracción de Ondas Planas con Incidencia Normal.
•
Onda propagándose en un dado medio, incide sobre otro medio
que tiene distinta permitividad, permeabilidad o conductibidad,
– Onda reflejada y otra refractada o transmitida,
•
Una nueva repartición de la energía electromagnética.
Medio 1
Onda Incidente
E1
Onda Reflejada
H1
E2
H2
x
y
z
Medio 2
Onda Transmitida
E3
CAMPOS Y ONDAS
H3
Reflexión sobre superficie conductora perfecta.
• No pueden existir campos eléctricos ni magnéticos
variables en el tiempo en el interior de dicho medio.
• Onda incidente no puede transmitir energía hacia el
interior del conductor perfecto, si lo hiciera sería
infinita (E.J)
• Toda la energía que transporta la onda incidente en
el vacío, es devuelta a dicho medio ahora
transportada por la onda reflejada.
CAMPOS Y ONDAS
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
• La Onda incidente de E se propaga sentido eje z
positivo, y está polarizada linealmente en la dirección
del eje x
Medio 1
La superficie límite está ubicada en z=0.
Onda Incidente
Onda Incidente
Onda Reflejada
E 1 H1
E x = E m cos [β (vt − z )]
E 2 H2
Ex
Onda Completa
E x = E m cos[β (vt − z )] + f 2 [vt + z ]
f2 dependerá de la onda incidente, y
de las condiciones de contorno
impuestas por la superficie límite.
CAMPOS Y ONDAS
Hy
z
Medio 2
Onda Transmitida
E
H
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
• El campo eléctrico sobre la superficie conductora debe
ser nulo (para todo valor del tiempo).
Ex = Em cos ⎡⎣ β ( vt − 0 ) ⎤⎦ + f 2 [ vt + 0] = 0
Ex 2 = Ex1
Ex 2 = 0(conductor )
f 2 vt = − Em cos β( vt )
Para todo otro z, la onda reflejada resulta ser:
f 2 vt + z = − Em cos β( vt + z )
•
•
•
La onda reflejada sobre la superficie conductora (para z=0),
coincide en amplitud con la incidente, y está en oposición de fase
con la misma
No existe onda transmitida, la onda reflejada transportará la
misma cantidad de energía que la onda incidente, pero en sentido
contrario, dando un flujo neto nulo de energía en el medio (vacío).
La ONDA TOTAL:
E x = Em cos β( vt − z ) − Em cos β( vt + z )
CAMPOS Y ONDAS
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
expresada en términos de la pulsación angular:
E x = Em cos(ωt − βz ) − Em cos(ωt + βz )
otación exponencial para facilitar las ope-raciones a realizar, la onda completa
resulta ser:
Ex = Re al Em e j(ωt −βz ) − Em e j(ωt +βz )
[
(
= Re al [− 2 jE e
)]
sen ( βz ) ]
E x = Re al E m e jωt e − jβz − e jβz
Ex
m
Ex = 2 Em sen(βz ) sen(ωt ) ;
CAMPOS Y ONDAS
jωt
E y = Ez = 0
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
Ex = 2 Em sen ( β z ) sen (ωt )
Ex = Em cos (ωt − β z ) − Em cos (ωt + β z )
•
La onda compuesta de campo eléctrico, onda incidente más
reflejada. no se propaga en ninguna dirección, siendo denominada:
– onda estacionaria.
Envolvente = 2 Em sen(β z )
- Incidente (cambiada de signo)
Incidente
Reflejada
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
100
200
300
400
500
600
Construcción de la onda reflejada
CAMPOS Y ONDAS
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
1.5
1
2
0.8
1.5
1
0.6
1
0.4
0.5
0.5
0.2
0
0
0
-0.2
-0.5
-0.5
-0.4
-1
-0.6
-1
-1.5
-0.8
-1
-1.5
0
100
200
300
400
500
600
0
100
200
300
400
500
600
-2
0
100
200
t=T/8
t=0
300
400
500
600
500
600
t=T/4
2
1
1.5
1
0.8
1.5
0.6
1
0.4
0.5
0.5
0.2
0
0
0
-0.5
-0.2
-0.4
-0.5
-1
-0.6
-1.5
-1
-0.8
-1
-1.5
0
100
200
300
400
t=3T/8
500
-2
0
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
600
t=T/2
λ/4=75 m, f0=1MHz
CAMPOS Y ONDAS
600
ENVOLVENTE
Reflexión sobre superficie conductora perfecta
– Vientres (máximos) y Nodos (mínimos), en
ubicaciones espaciales fijas, distantes entre sí λ/4.
– Vientres a múltiplos impares de λ /4 desde la
superficie conductora perfecta
– Nodos a múltiplos de λ/ 2, desde la superficie
conductora perfecta.
– En cada punto del espacio, la variación temporal
de la onda estacionaria de campo eléctrico es
senoidal, alcanzando el valor máximo
correspondiente al punto en cuestión.
– En todos los puntos espaciales dentro de un ojo,
los fasores de campo eléctrico están en fase
temporal entre sí, y en contrafase con respecto a
aquellos pertenecientes a ojos adyacentes.
CAMPOS Y ONDAS
Reflexión del Campo magnético
• El campo magnético se refleje sin inversión de fase. Esto
ocurre necesariamente pues de no ser así, no habría
inversión del sentido de propagación de la onda
electromagnética reflejada.
• La corriente superficial duplica el campo H, (Hi=Hr) y
anula E (Ei=-Er)
• Ondas incidentes de Ei/Hi=Zi
• Er/Hr=-Zi cambia el sentido de propagación
OR
OI
Er
Ei
Hr
CAMPOS Y ONDAS
Hi
is
Hy =
Em
E
cos(ωt − βz ) + m cos(ωt + βz )
zi
zi
Em
cos ( β z ) cos (ωt )
Hy = 2
zi
Hx = Hz = 0
Em
Envolvente = 2
cos(βz )
zi
• Los nodos de la onda estacionaria de campo magnético
coinciden con los vientres de la onda de campo eléctrico, y
viceversa.
• El fasor campo magnético está en cuadratura temporal con
el fasor campo eléctrico, dando por consiguiente una
potencia transportada nula,
CAMPOS Y ONDAS
Onda de Campo Magnético
(Incidente y Reflejada)
Onda de Campo Eléctrico
(Incidente y Reflejada)
t=0
t=T/8
t=T/4
t=3T/8
t=T/2
t=T/2
7
2
λ
3
λ
5
2
λ
t=T/8
t=0
CAMPOS Y ONDAS
t=T/8 y 3T/8
t=T/4
Onda Estacionaria
t=3T/8
t=T/4
2
λ
3
2
λ
λ
1
2
λ
9
4
λ
2
λ
t=0 y T/2
3
2
λ
5
4
λ
λ
3
4
λ
1
2
λ
1
4
λ
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
CAMPOS Y ONDAS
0
50
100
150
Reflexion sobre superficie dieléctrica perfecta.
•
Si una onda plana, propagándose en un medio dieléctrico ideal o
perfecto, incide normalmente sobre una superficie límite de
separación con un medio dieléctrico perfecto, se generarán una
– Onda reflejada que vuelve al medio original,
– Onda Transmitida que ingresa y se propaga en el nuevo medio
dieléc-trico, estableciendose un nuevo balance energético.
La onda total en el vacío será la suma de las ondas incidente y
reflejada, y tendrá la siguiente expresión genérica:
E x vacío = E m 1 e j (ωt − β1 z ) + E m 2 e j (ωt + β 2 z )
Mientras que la onda de campo eléctrico en el dieléctrico será:
E x dieléctrico = E m 3 e
CAMPOS Y ONDAS
j (ωt − β 3 z )
•
La componente tangencial de campo eléctrico debe ser continua en z=0,
Em 1 + Em 2 = Em 3
E x dieléctrico = E m 3 e j (ωt − β 3 z )
Por otra parte, el campo magnético en el vacío tiene la si­guiente expresión:
H y vacío = H m 1 e j (ωt − β1 z ) + H m 2 e j (ωt + β 2 z )
H y dieléctrico = H m 3 e j (ωt − β 3 z )
Por otra parte, y dada la no
existencia de una densidad de
corriente de conducción superficial
finita, la componente tangencial de
campo magnético es continua a
ambos lados de la superficie límite,
o sea que:
CAMPOS Y ONDAS
Hm 1 + Hm 2 = Hm 3
COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN
Em 1 = Zi 1 H m 1
Em 1 + Em 2 = Em 3
E m 2 = − Zi 1 H m 2
Hm 1 + Hm 2 = Hm 3
Em 3 = Zi 3 H m 3
Em 2
,
Hm 2 = −
Zi 3 − Zi 1
=
E = ρ RE Em 1
Z i 3 + Zi 1 m 1
Zi 3 − Z i 1
H = ρ RH H m 1
Zi 3 + Zi 1 m 1
Em 3 =
2 Zi 3
E =ρ E
Zi 3 + Zi 1 m 1 TE m 1
Hm 3 =
2 Zi 1
H =ρ H
Zi 3 + Zi 1 m 1 TH m 1
•Los coeficientes de reflexión de los campos eléctrico y
magnético difieren entre sí por su signo
•El módulo de estos coeficiente varía entre 0 y 1.
,
•Ambos coeficientes, reflexión y transmisión, son en general un número
complejo, siendo en este caso particular de la reflexión dieléctrico
perfecto-dieléctrico perfecto un número real.
CAMPOS Y ONDAS
COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN
• La onda total (incidente más reflejada) puede ser
descompuesta en la suma de una onda estacionaria más
otra progresiva (propagándose en el mismo sentido que la
incidente).
• Si el coeficiente de reflexión tiende a la unidad (reflexión
total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una
onda estacionaria pura.
• Si el coeficiente de reflexión tiende a cero (transmisión
total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una
onda progresiva pura (no hay discontinuidad entre los
medios).
• Cuantificar el contenido estacionario de una onda. Este
factor se denomina relación de onda estacionaria (ROE),
siendo este coeficiente igual a la relación entre las
intensidades de campo (eléctrico o magnético) en los
vientres y nodos. O sea:
Em 1 + Em 2 1 + σ RE
Vientre
ROE =
=
=
Nodo
Em 1 − Em 2 1 − σ RE
CAMPOS Y ONDAS
Onda estacionaria
Vientre Em 1 + Em 2 1 + σ RE
ROE =
=
=
Nodo
Em 1 − Em 2 1 − σ RE
ROE es un número real, varía entre :
1, cuando el coeficiente de reflexión es
nulo (medios completamente adaptados)
Infinito, cuando el coeficiente de
reflexión es unitario (medios
completamente desadaptados).
1.5
1
0.5
0
-0.5
1.5
-1
1
-1.5
0.5
50
100
m
wt=0; wt=π/8; ; wt=π/4
0
-0.5
-1
-1.5
0
0
100
CAMPOS Y ONDAS
200
300
400
500
600
150
Onda estacionaria
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
0
100
200
400
500
600
0
100
200
300
400
Eo
cos(ωt + β x)
Ey = Eo cos(ωt − β x) −
2
Ey = Eo.cos(ωt − β x) +
= −0.5
Zi 3 + Zi 1
Zi 3 − Zi 1
Zi 3 + Zi 1
Ey =
300
Eo
Eo
⎡ Eo
⎤
cos(ωt − β x) + ⎢ cos(ωt − β x) −
cos(ωt + β x) ⎥
2
2
⎣ 2
⎦
estacionaria
progresiva
CAMPOS Y ONDAS
Zi 3 − Zi 1
500
600
Eo
cos(ωt + β x)
2
= 0.5
Z i1 =
µ1
ε1
Zi3 =
µ3
ε3
Onda estacionaria
Ey = Ei cos(ωt − β x) − Er cos(ωt + β x)
Ey = Ei cos(ωt ) cos( β x) + Ei.sen(ωt ) sen( β x) − Er cos(ωt ) cos( β x) + Er.sen(ωt ) sen( β x)
Ey = ( Ei − Er ) cos( β x) cos(ωt ) + ( Ei + Er ).sen( β x) sen(ωt )
Ey = A cos(ωt ) + Bsen(ωt )
Ey = A + B .cos(ωt − γ )
2
A2 + B 2 =
[( Ei − Er ) cos( β x)] + [( Ei + Er ) sen( β x)]
tag (γ ) =
CAMPOS Y ONDAS
2
2
B
A
2
Envolvente
Onda estacionaria
Onda de Campo Eléctrico
Onda de Campo Magnético
(Incidente y Reflejada)
(Transmitida)
(Incidente y Reflejada)
(Transmitida)
t=0
t=T/8
t=T/4
t=3T/8
t=T/2
Envolventes
Estacionaria
Estacionaria
Progresiva
Progresiva
3λ
5
2
λ
2
λ
3
2
λ
Progresiva
λ
1
2
λ
1
4
CAMPOS Y ONDAS
Progresiva
λ
1
2
λ
3
4
λ
11
4
λ
9
4
λ
7
4
λ
5
4
λ
3
4
λ
1
4
λ
1
4
λ
1
2
λ
3
4
λ
REFLEXIÓN SOBRE SUPERFICIE DIELÉCTRICA REAL O CONDUCTOR REAL.
• Medio con conductividad real o equivalente por
efecto de la histéresis dieléctrica, puede existir una
densidad de corriente de conduccción apreciable
• Análisis de este = reflexión sobre una superficie
dieléctrica perfecta, a condición de:
– Reemplazar la constante de fase por la constante de
propagación, es ahora un número complejo
α+jβ
– La impedancia intrínseca del medio es ahora compleja
(en lugar de real).
Zi =
jωµ
σ + jωε
– Las ondas reflejadas de campo eléctrico o magnético no
estarán necesariamente en fase o contrafase con las
incidentes,
– No estarán necesariamente en fase entre sí las ondas
incidentes de ambos campos, o las reflejadas.
CAMPOS Y ONDAS