Capítulo 6 Esfuerzos de contacto

CAPÍTULO 6
ESFUERZOS DE CONTACTO
6.1 INTRODUCCIÓN
Los esfuerzos de contacto ocurren en elementos de máquinas cuando se transmiten cargas a través de
superficies que presentan contactos puntuales o a lo largo de una línea. Si los elementos fueran
totalmente rígidos, las áreas de contacto permanecerían nulas y los esfuerzos que aparecerían serían
infinitos. Debido a la elasticidad de los materiales, éstos se deforman bajo la acción de las cargas,
produciéndose áreas finitas de contacto. Debido a que estas áreas son muy pequeñas, aparecen grandes
esfuerzos. Por lo tanto, a pesar de que los elementos sometidos a esfuerzos de contacto puedan tener
suficiente resistencia mecánica de volumen, tienden a fallar en la pequeña zona de contacto, en donde los
esfuerzos son mayores.
Las figuras 6.1 y 6.2 muestran elementos típicos en los cuales ocurren esfuerzos de contacto: cojinetes de
contacto rodante (rodamientos), ruedas dentadas, ruedas de fricción, levas y seguidores de levas. La
figura 6.1 muestra un rodamiento de bolas en el cual los contactos entre éstas y las pistas del rodamiento
son en un ‘punto’. La figura 6.2 muestra elementos en los cuales el contacto es a través de una ‘línea’.
Puntos de
contacto
Figura 6.1 Rodamiento de bolas. El contacto es en un ‘punto’
Los esfuerzos de contacto pueden ocurrir entre dos elementos convexos, uno convexo y uno cóncavo y
uno convexo y uno plano, como se aprecia en la figura 6.3.
2
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE DISEÑO DE MÁQUINAS
(a) Rodamiento de rodillos cilíndricos
(b) Leva – seguidor de rodillo
(c) Ruedas dentadas
F
F
(d) Transmisión por cadena de rodillos
(e) Ruedas de fricción para
transmitir potencia
Figura 6.2 Elementos donde ocurren esfuerzos de contacto a lo largo de una ‘línea’
(a) Convexo - convexo
(b) Convexo - cóncavo
Figura 6.3 Tres tipos de contacto
(c) Convexo - plano
CAPÍTULO 6
ESFUERZOS DE CONTACTO
3
Las ecuaciones presentadas en este capítulo son válidas para cargas normales a las superficies de
contacto, en reposo. Para casos en los cuales exista deslizamiento o fuerzas tangenciales a la superficie
de contacto, se producen esfuerzos adicionales. Las siguientes son las premisas bajo las cuales se plantea
la solución de los problemas de contacto en la teoría de la elasticidad:
1. Los materiales de los elementos contiguos son homogéneos e isótropos.
2. El área de contacto es muy pequeña comparada con la superficie de los cuerpos que se tocan.
3. Los esfuerzos efectivos están en dirección normal a la superficie de contacto de ambos cuerpos.
4. Las cargas aplicadas sobre los cuerpos crean en la zona de contacto sólo deformaciones elásticas
sujetas a la ley de Hooke (no se sobrepasa el límite de proporcionalidad).
En las construcciones reales normalmente no se observan todas estas premisas. Por ejemplo, la tercera no
se observa en los engranajes, en las ruedas de fricción y en los cojinetes de contacto rodante, pues en la
zona de contacto actúan también fuerzas tangenciales de rozamiento. Como consecuencia de esto, la
resultante de estas fuerzas se declina de la normal hacia la superficie de contacto. Sin embargo, la
comprobación experimental de la teoría de las deformaciones por contacto confirma completamente su
aplicación práctica como esquema de cálculo racional[1].
Con las premisas admitidas, el contorno de la superficie de contacto es en general una elipse. En casos
particulares la superficie de contacto toma forma circular o rectangular. Los casos estudiados aquí son:
contacto esfera - esfera (huella circular) y cilindro - cilindro (huella rectangular). El estudiante interesado
en el caso de contacto general puede consultar a Norton[2].
6.2 CONTACTO ENTRE DOS ELEMENTOS ESFÉRICOS
El contacto esfera - esfera se presenta entre (i) dos esferas, (ii) una esfera y una superficie plana y (iii) una
esfera y una superficie esférica cóncava, tal como se muestra en la figura 6.4.a. Las esferas menor y
mayor tienen radios r1 y r2 respectivamente. Al aplicar una fuerza de compresión F a los elementos, éstos
se deforman y el ‘punto’ de contacto se convierte en una huella o superficie de contacto circular de radio
a. La distribución de esfuerzos normales de compresión es no uniforme, tal como se muestra en la figura
6.4.b. El esfuerzo de compresión es máximo en el centro de la huella y tiende a cero hacia los bordes.
F
Cóncava
pcmax
r1
Plano
r2
Convexa
Distribución de
esfuerzos
semi-elipsoidal
a
F
(a) Elementos esféricos en contacto bajo
la acción de una fuerza F de compresión
(b) Área de contacto circular de radio a, y
distribución del esfuerzo de compresión
Figura 6.4 Contacto entre elementos esféricos
4
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE DISEÑO DE MÁQUINAS
Las ecuaciones para el cálculo del radio de la huella, a, la presión máxima, pcmax, (esfuerzo compresivo
máximo) y el esfuerzo cortante máximo, Ssmax, así como la profundidad, z , (a partir de la superficie de
contacto) a la cual ocurre este último son:
a  3 0.75F
pcmax 
(1  1 ) / E1  (1  2 ) / E2
,
1/ r1  1/ r2 
2
2
F (1/ r1  1/ r2 ) 2
3 F

0
.
5784
3
2
2
2  a2
(1   1 ) / E1  (1   2 ) / E2

S smax 
(6.1)

2
,
(6.2)
pcmax  (1  2 ) 2

 (1   ) 2(1   )  ,
2  2
9

(6.3)
2  2
,
7  2
(6.4)
z  a
donde 1 y 2 son las relaciones de Poisson de las esferas menor y mayor respectivamente y E1 y E2 son
los módulos de elasticidad de las esferas menor y mayor respectivamente. El signo ‘+’ se toma cuando
ambas esferas son convexas, y el signo ‘–’ cuando una de ellas es cóncava. En las últimas dos ecuaciones
 es la relación de Poisson de la esfera de interés. Note que los esfuerzos no crecen linealmente con la
carga F, sino considerablemente más lento (son proporcionales a la raíz cúbica de F), y por lo tanto, debe
tenerse cuidado al aplicar el concepto de factor de seguridad durante el diseño.
Si 1 = 2 = 0.3 (por ejemplo, acero) estas ecuaciones pueden reemplazarse por:
a  0.88 3 F
pcmax 
1 / E1  1 / E2
,
1/ r1  1/ r2 
(6.5)
F 1 / r1  1 / r2 
3 F
 0.616 3
,
2
2 a
(1 / E1  1 / E2 ) 2
2
(6.6)
S smax  0.34 pcmax ,
(6.7)
z  0.63a .
(6.8)
El cálculo del esfuerzo cortante es importante ya que se cree que éste produce la falla si las cargas son
repetidas.
6.3 CONTACTO ENTRE DOS ELEMENTOS CILÍNDRICOS
El contacto cilindro - cilindro se presenta entre (i) dos cilindros, (ii) un cilindro y una superficie plana y
(iii) un cilindro y un cilindro cóncavo, tal como se muestra en la figura 6.5.a. Este caso es muy común en
ingeniería como se muestra en la figura 6.2. Los cilindros menor y mayor tienen radios r1 y r2
respectivamente. Al aplicar una fuerza de compresión F a los elementos, éstos se deforman y la ‘línea’ de
contacto se convierte en una huella rectangular de ancho w y largo b. La distribución de esfuerzos
normales de compresión es también no uniforme (figura 6.5.b). El esfuerzo de compresión es máximo en
la línea central de la huella a lo largo de la longitud b y tiende a cero hacia los bordes.
CAPÍTULO 6
ESFUERZOS DE CONTACTO
5
F
Cóncavo
r1
Plano
pcmax
b
Convexo
r2
b
w
F
Distribución de
esfuerzos: prisma
semi-elíptico
(b) Área de contacto rectangular de ancho w,
y distribución del esfuerzo de compresión
(a) Elementos cilíndricos en contacto bajo
la acción de una fuerza F de compresión
Figura 6.5 Contacto entre elementos cilíndricos
Las ecuaciones para el cálculo del ancho de la huella, w, y la presión máxima, pcmax, son:
F (1  1 ) / E1  (1  2 ) / E2
,
1/ r1  1/ r2 
b
2
w4
pcmax 
4F
wb

2
1/ r1  1/ r2 
F
,
b (1  12 ) / E1  (1  2 2 ) / E2
(6.9)
(6.10)
donde 1 y 2 son las relaciones de Poisson de los cilindros menor y mayor respectivamente y E1 y E2 son
los módulos de elasticidad de los cilindros menor y mayor respectivamente. El signo ‘+’ se toma cuando
ambos cilindros son convexos, y el signo ‘–’ cuando uno de ellos es cóncavo.
Si 1 = 2 = 0.3 (por ejemplo, acero) estas ecuaciones pueden reemplazarse por:
w  2.15
pcmax 
F 1 / E1  1 / E2
,
b 1 / r1  1 / r2 
F 1 / r1  1 / r2 
4F
 0.59
.
wb
b(1 / E1  1 / E2 )
(6.11)
(6.12)
El esfuerzo cortante máximo, Ssmax, y la profundidad, z , a la cual ocurre (para 1 = 2 = 0.3) están dados
por:
S smax  0.304pcmax ,
(6.13)
z  0.4w .
(6.14)
6
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE DISEÑO DE MÁQUINAS
6.4 RESISTENCIA MECÁNICA Y AL DESGASTE DE ELEMENTOS EN
CONTACTO
6.4.1
Fatiga superficial
Cuando existe desplazamiento relativo entre los elementos en contacto (rodamientos, engranajes, levas,
etc.), la situación de los esfuerzos es más compleja, especialmente si existe deslizamiento (en engranajes,
por ejemplo). Debido a que la zona de contacto se desplaza continuamente, la carga es cíclica y, por
consiguiente, los esfuerzos que surgen son alternativos. La repetición cíclica de los altos esfuerzos en las
superficies de contacto o cerca de ellas, produce grietas después de un número de ciclos de carga (ver
figura 6.6). Las grietas se desarrollan saliendo a la superficie, y con ayuda del lubricante que se introduce
dentro de éstas produciendo presión y esfuerzos adicionales, se desprenden produciendo picaduras que
finalizan con el desgaste excesivo de las superficies (final de su vida útil). Este fenómeno es denominado
fatiga superficial.
Algunas grietas se desarrollan en el interior,
ya que el esfuerzo cortante máximo ocurre a
cierta profundidad (z) de la superficie
Superficies en contacto
Grieta saliendo a la superficie, debido
a la acción continua de los esfuerzos
y el lubricante atrapado en ella
Figura 6.6 Fatiga superficial. Las grietas por fatiga toman su orientación para cada una de
las superficies en contacto con base en las direcciones de las fuerzas de rozamiento
Límite de fatiga por contacto
El límite de fatiga por contacto o límite de fatiga superficial es el máximo esfuerzo con el cual no se
produciría picadura superficial antes de cierto número de ciclos (no existe un límite de fatiga
superficial para vida infinita). En su magnitud influyen una serie de factores, siendo los más
importantes las propiedades del lubricante, la relación entre las durezas de las superficies de trabajo en
contacto y la calidad de su mecanización. Por ejemplo, el aumento de la viscosidad del aceite aumenta el
límite de fatiga por contacto. Norton[2] hace un análisis más extenso sobre este tema.
6.4.2
Desgaste de los elementos de máquinas
Como se mencionó en la sección 6.4.1, la fatiga superficial debida a la repetición de los esfuerzos un gran
número de veces produce el ‘desgaste’ de las superficies en contacto; sin embargo, este fenómeno no es el
único que produce desgaste. El rodamiento de las superficies en contacto generalmente va acompañado
de deslizamiento relativo, el cual puede ser condicionado por sobrecarga (resbalamiento), por la forma
de las superficies acopladas (deslizamiento geométrico) y por el carácter de las deformaciones que
surgen en estas superficies por rodadura y por carga (deslizamiento elástico). En la figura 6.7 se
describe gráficamente los dos últimos tipos de deslizamiento relativo.
CAPÍTULO 6
(a) Deslizamiento geométrico: un
punto en la generatriz de contacto de
un elemento cónico giratorio podría
tener una velocidad diferente a la del
punto en contacto del otro elemento,
si los conos no tienen un vértice
común. Sólo si el vértice de ambos
conos es el mismo, no habría
deslizamiento geométrico
ESFUERZOS DE CONTACTO
7
(b) Deslizamiento elástico: las deformaciones
elásticas de los elementos en contacto tienen
a producir deslizamiento relativo entre las
superficies
Figura 6.7 Deslizamiento relativo: (a) deslizamiento geométrico y (b) deslizamiento elástico
El plazo de servicio (vida útil) de muchas piezas de máquinas queda restringido por el desgaste de sus
superficies de trabajo, debido al rozamiento y la fatiga superficial. Este desgaste puede ser ocasionado
por la acción recíproca de las superficies de los elementos que se tocan, por las partículas duras
(abrasivas) que componen el medio o por una combinación de ambas. El plazo de servicio de una pieza, a
partir del momento en que se pone a trabajar hasta su inutilidad por desgaste excesivo se puede dividir en
3 períodos (figura 6.8):
1. Período de Asentado
Las crestas grandes que quedan después del mecanizado
generalmente se enganchan y, por lo tanto, se deforman
plásticamente o se cortan. El régimen de funcionamiento de la
máquina durante el asentamiento debe liviano, de lo contrario,
el gran desprendimiento de calor puede fundir partículas del
material en las superficies. Este período termina cuando las
áreas que se forman son grandes.
2. Período de explotación (trabajo) normal de la
máquina
(a) Período de Asentado
(b) Período de Trabajo Normal
Se caracteriza por un desgaste estable.
3. Período de desgaste catastrófico
Figura 6.8 Progreso del desgaste
en elementos de máquinas
Se provoca porque el desgaste ocurrido hasta este momento aumenta inadmisiblemente las holguras entre
las superficies en contacto; esto produce un empeoramiento de las condiciones de lubricación, se altera la
exactitud del movimiento y crece la energía de impacto de las superficies.
La velocidad de desgaste depende de los materiales de las superficies en contacto, magnitud y carácter de
la carga, velocidad de deslizamiento, lubricación, refrigeración y actividad física y química del medio,
entre otros. Algunos materiales ‘antifricción’ usados para aumentar el plazo de servicio de los elementos
sometidos a desgaste son Babbit, bronce, hierro fundido y ciertas fundiciones plásticas.
6.4.3 Vías constructivas para aumentar la resistencia de los elementos de máquinas
La forma en que una pieza se construye juega un papel muy importante en la duración de ésta. Se debe
satisfacer, en lo posible, el siguiente conjunto de exigencias:
1. La dirección del flujo de las fuerzas debe ser tal que el mayor volumen de la pieza tome parte en la
percepción de éstas.
8
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE DISEÑO DE MÁQUINAS
2. La forma de la pieza debe asegurar la transmisión de la carga por toda la superficie de contacto
proyectada, pero sólo por ésta.
3. Al construir una pieza, deben evitarse las transiciones bruscas, es decir, cambios bruscos en la forma
(ya que son sitios de concentración de esfuerzos, perjudiciales con cargas cíclicas).
4. La resistencia mecánica debe ser en lo posible igual en todas sus secciones.
5. Conviene separar el flujo de fuerza de la zona propensa a la concentración de la carga. Esto tiene el
fin de distribuir uniformemente el flujo de fuerza por el volumen de la pieza.
6. Distribuir uniformemente la fuerza por toda la superficie de contacto, para favorecer la exclusión de
los sitios de posible concentración de esfuerzos.
6.5 RESUMEN DEL CAPÍTULO
CONTACTO ESFERA-ESFERA
a  3 0.75F
(1  12 ) / E1  (1  2 2 ) / E2
,
1/ r1  1/ r2 
S smax 
pcmax
2
pcmax 
3 F
 0.5784
2  a2
 (1  2 ) 2

 (1   ) 2(1   )  ,
 2
9


3
F (1/ r1  1/ r2 ) 2
[(1   12 ) / E1  (1   2 2 ) / E2 ]2
z  a
,
2  2
.
7  2
Para 1 = 2 = 0.3
a  0.88 3 F
1 / E1  1 / E2
,
1 / r1  1 / r2 
pcmax 
F 1/ r1  1/ r2 2
3 F
3
,

0
.
616
2  a2
(1/ E1  1/ E2 ) 2
S smax  0.34 pcmax ,
z  0.63a .
CONTACTO CILINDRO-CILINDRO
w4
F (1   12 ) / E1  (1   2 2 ) / E2
,
1 / r1  1 / r2 
b
pcmax 
4F
wb

1/ r1  1/ r2 
F
.
b (1   12 ) / E1  (1   2 2 ) / E2
Para 1 = 2 = 0.3
w  2.15
F 1 / E1  1 / E2
,
b 1 / r1  1 / r2 
pcmax 
4F
wb
 0.59
F 1 / r1  1 / r2 
,
b(1 / E1  1 / E2 )
S smax  0.304 pcmax ,
z  0.4w .
6.6 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
[1] DOBROVOLSKI, V.. Elementos de Máquinas. Moscú: MIR, 1981. Tercera edición.
[2] NORTON, Robert L.. Diseño de Máquinas. México: Ed. Prentice-Hall (Pearson), 1999.
[3] FAIRES, V. M.. Diseño de Elementos de Máquinas. México: Editorial Limusa, 1995. 4ª
Reimpresión.
CAPÍTULO 6
ESFUERZOS DE CONTACTO
9
6.7 EJERCICIOS PROPUESTOS
E-6.1 Para transmitir la potencia que requiere un sistema,
se debe aplicar una fuerza F de 10 kN a las ruedas de
fricción de 25 cm de diámetro. El material de las ruedas es
fundición de hierro gris clase 30 (asuma  = 0.3). Para los
cálculos no tenga en cuenta los esfuerzos producidos por la
fuerza de fricción entre las ruedas. Calcular:
(a) El ancho b que debe tener cada rueda, tal que no se
sobrepase un esfuerzo cortante de 100 MPa.
(b) El ancho w de la huella.
(c) El esfuerzo de compresión máximo.
(d) La profundidad z a la cual ocurre el esfuerzo cortante
máximo.
F
F
Figura E-6.1
E-6.2 Dos dientes de evolvente de 20° de ángulo
de presión están en contacto a través de una ‘línea’
en la que los radios de curvatura de los perfiles son
1.03 in y 3.42 in respectivamente. La longitud de
los dientes de las ruedas dentadas es de 3 in. Si el
máximo esfuerzo normal de contacto admisible
para los dientes de acero carburizados (tome  =
0.3) es 200 ksi, ¿Qué carga normal pueden soportar
estos dientes?
Circunferencia
primitiva
F
p (ángulo de
presión)
Figura E-6.2
E-6.3 Un rodillo de acero (  0.3) de 0.75 in de diámetro está
en contacto con una superficie de leva de acero cuya anchura es
0.5 in. La máxima carga es 2.5 kips, donde el radio de
curvatura de la superficie de la leva es 3.333 in. Calcular el
esfuerzo de compresión de contacto, el esfuerzo cortante
máximo y la profundidad a la cual ocurre este último.
Figura E-6.3
E-6.4 En las ruedas del ejercicio E-6.1, ¿es necesaria la lubricación? ¿Qué tan confiables son los
resultados obtenidos en dicho ejercicio?
E-6.5 En los engranajes del ejercicio E-6.2, ¿es necesaria la lubricación? ¿Qué tan confiables son los
resultados obtenidos en dicho ejercicio?
Respuestas:
E-6.1 (a) b = 26.6 mm; (b) w = 1.45 mm; (c) Scmax = –330 MPa; (d) z = 0.58 mm.
E-6.2 F = 18.2 kips.
E-6.3 Scmax = –278.3 ksi; Ssmax = 84.6 ksi; z = 0.00912 in.