Aproximación constructiva: aproximantes de Padé y polinomios ortogonales B. de la Calle Ysern Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid Encuentro Iberoamericano – p. 1/2 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. • El polinomio de Taylor Tn (f ) de f en z0 es el elemento de Pn que tiene mayor orden de contacto con f en z0 . Encuentro Iberoamericano – p. 2/2 Aproximantes de Padé Sea f función analítica en un entorno de z0 ∈ C y Pn el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n. • El polinomio de Taylor Tn (f ) de f en z0 es el elemento de Pn que tiene mayor orden de contacto con f en z0 . Sea Rn = {P/Q : gr P, Q ≤ n} el conjunto de cocientes de polinomios de grado menor o igual que n. • El aproximante de Padé diagonal Πn (f ) de f en z0 es el elemento de Rn que tiene mayor orden de contacto con f en z0 . Encuentro Iberoamericano – p. 2/2 Convergencia Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces • Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1}, Encuentro Iberoamericano – p. 3/2 Convergencia Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces • Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1}, • Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1]. Encuentro Iberoamericano – p. 3/2 Convergencia Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces • Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1}, • Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1]. Información global de datos locales: • Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de los coeficientes de Taylor. Encuentro Iberoamericano – p. 3/2 Convergencia Sea f (z) = log(1 + z) y z0 = 0, entonces • Tn (f ) converge uniformemente a f en compactos de {|z| < 1}, • Πn (f ) converge uniform. a f en compactos de C \ (−∞, −1]. Información global de datos locales: • Los aproximantes de Padé recuperan la función a partir de los coeficientes de Taylor. • Si en un entorno de z0 (i) f se aproxima rápidamente por polinomios =⇒ f es entera. (ii) f se aproxima rápidamente por funciones racionales =⇒ f es univaluada. Encuentro Iberoamericano – p. 3/2 Divergencia • Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación! qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ), z → z0 . f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ), z → z0 . Encuentro Iberoamericano – p. 4/2 Divergencia • Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación! qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ), z → z0 . f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ), z → z0 . Existen funciones enteras cuyos aproximantes de Padé divergen en todo punto del plano complejo Encuentro Iberoamericano – p. 4/2 Divergencia • Cuidado: ¡puede haber defecto de interpolación! qn (z)f (z) − pn (z) = O((z − z0 )2n+1 ), z → z0 . f (z) − Πn (f )(z) = O((z − z0 )2n+1−k ), z → z0 . Existen funciones enteras cuyos aproximantes de Padé divergen en todo punto del plano complejo • No hay resultados generales de convergencia debido a la posible aparición de polos espurios. Encuentro Iberoamericano – p. 4/2 Divergencia Gonchar (1982) Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo. Si, para todo n ≥ N , • Πn (f ) es holomorfa en el dominio D, • no hay defecto de interpolación, Entonces Πn (f ) converge a f uniformemente en compactos de D. Encuentro Iberoamericano – p. 5/2 Divergencia Gonchar (1982) Sea D un dominio cuyo complemento es un conjunto convexo. Si, para todo n ≥ N , • Πn (f ) es holomorfa en el dominio D, • no hay defecto de interpolación, Entonces Πn (f ) converge a f uniformemente en compactos de D. • Obstáculos para converger: ( Defecto de interpolación. Polos espurios. Encuentro Iberoamericano – p. 5/2 Estrategias • Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones. Encuentro Iberoamericano – p. 6/2 Estrategias • Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones. • Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. Encuentro Iberoamericano – p. 6/2 Estrategias • Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones. • Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. • Debilitar la clase de funciones f que se aproximan: funciones de Markov, Stieltjes,... Encuentro Iberoamericano – p. 6/2 Estrategias • Debilitar la sucesión Πn (f ): tomar subsucesiones. • Debilitar la convergencia: convergencia en capacidad. • Debilitar la clase de funciones f que se aproximan: funciones de Markov, Stieltjes,... • Dejar fijo el grado del denominador: sea m ∈ N fijo, ¿Cuándo pn lim n→+∞ qm es convergente? Encuentro Iberoamericano – p. 6/2 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos de modo que n+m qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z , z→0 y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m) de f en 0. Encuentro Iberoamericano – p. 7/2 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos de modo que n+m qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z , z→0 y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m) de f en 0. • Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la fila m-ésima de la tabla de Padé. Encuentro Iberoamericano – p. 7/2 Filas de aproximantes de Padé Sean polinomios pn,m , gr pn,m ≤ n, y qn,m , gr qn,m ≤ m, elegidos de modo que n+m qn,m (z)f (z) − pn,m (z) = o z , z→0 y Πn,m (f ) = pn,m /qn,m es el aproximante de Padé de tipo (n, m) de f en 0. • Si fijamos m ∈ N y variamos n ∈ N nos movemos por la fila m-ésima de la tabla de Padé. Teoría de convergencia similar a la de los polinomios de Taylor Encuentro Iberoamericano – p. 7/2 Filas de aproximantes de Padé Teorema de De Montessus de Ballore (1902) • Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa con m polos y Rm su radio. • Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f . • Sea ρ(K) = max |z|. z∈K Encuentro Iberoamericano – p. 8/2 Filas de aproximantes de Padé Teorema de De Montessus de Ballore (1902) • Sea Dm el mayor disco donde la función f es meromorfa con m polos y Rm su radio. • Sea K compacto de Dm que no contenga ningún polo de f . • Sea ρ(K) = max |z|. z∈K Entonces lim sup kf − n→∞ 1/n Πn,m kK ρ(K) = Rm Encuentro Iberoamericano – p. 8/2 Filas de aproximantes de Padé Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un polinomio qm de grado m tal que lim sup kqn,m − qm k1/n = r < 1. n→∞ Encuentro Iberoamericano – p. 8/2 Filas de aproximantes de Padé Problema inverso (Gonchar 1981) Supongamos que existe un polinomio qm de grado m tal que lim sup kqn,m − qm k1/n = r < 1. n→∞ Entonces f admite extensión meromorfa con m polos (precisamente los ceros de qm ) al disco de radio Rm = max |zi | qm (zi )=0 r Encuentro Iberoamericano – p. 8/2 Conjetura de Padé • Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de interpolación. Encuentro Iberoamericano – p. 9/2 Conjetura de Padé • Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de interpolación. • En muchos ejemplos Πn (f ) admite subsucesiones que convergen a f uniformemente en compactos del dominio. Encuentro Iberoamericano – p. 9/2 Conjetura de Padé • Siempre hay subsucesiones de Πn (f ) sin defecto de interpolación. • En muchos ejemplos Πn (f ) admite subsucesiones que convergen a f uniformemente en compactos del dominio. Conjetura de Baker-Gammel-Wills (1961) Si f es meromorfa en el disco abierto U , entonces existe una subsucesión Γ ⊂ N tal que Πn (f ), n ∈ Γ, converge a f uniformemente en compactos de U en la métrica de la esfera de Riemann. Encuentro Iberoamericano – p. 9/2 Conjetura de Padé • Variantes: Convergencia en capacidad (se verá más adelante). f es algebraica y el dominio es extremal (idem). Acotación uniforme del número de polos espurios. Encuentro Iberoamericano – p. 10/2 Conjetura de Padé • Variantes: Convergencia en capacidad (se verá más adelante). f es algebraica y el dominio es extremal (idem). Acotación uniforme del número de polos espurios. • Avances: √ Funciones hiperelípticas (Stahl): f = r1 + r2 p, con restricciones sobre polos y ceros de r1 y r2 . Funciones enteras de crecimiento lento (Lubinski). Encuentro Iberoamericano – p. 10/2 Conjetura de Padé Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró un contraejemplo con una función hiperelíptica. Encuentro Iberoamericano – p. 10/2 Conjetura de Padé Refutada por Lubinski en 2001. Más tarde Suetin encontró un contraejemplo con una función hiperelíptica. Recientemente el propio Baker ha propuesto una nueva conjetura, the patchwork convergence: afirma que utilizando un número finito de subsucesiones es posible lograr convergencia. Encuentro Iberoamericano – p. 10/2 Capacidad logarı́tmica • Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ): Z 1 P (σ; z) = dσ(ζ) . log |z − ζ| K Encuentro Iberoamericano – p. 11/2 Capacidad logarı́tmica • Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ): Z 1 P (σ; z) = dσ(ζ) . log |z − ζ| K • Energía de σ : Z I(σ) = P (σ; z) dσ(z) . K Encuentro Iberoamericano – p. 11/2 Capacidad logarı́tmica • Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ): Z 1 P (σ; z) = dσ(ζ) . log |z − ζ| K • Energía de σ : Z I(σ) = P (σ; z) dσ(z) . K • Energía mínima sobre K : I(K) = inf σ I(σ). Encuentro Iberoamericano – p. 11/2 Capacidad logarı́tmica • Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ): Z 1 P (σ; z) = dσ(ζ) . log |z − ζ| K • Energía de σ : Z I(σ) = P (σ; z) dσ(z) . K • Energía mínima sobre K : I(K) = inf σ I(σ). • Medida de energía mínima de K : λ si I(K) = I(λ). Encuentro Iberoamericano – p. 11/2 Capacidad logarı́tmica • Potencial logarítmico de σ (medida en el compacto K ): Z 1 P (σ; z) = dσ(ζ) . log |z − ζ| K • Energía de σ : Z I(σ) = P (σ; z) dσ(z) . K • Energía mínima sobre K : I(K) = inf σ I(σ). • Medida de energía mínima de K : λ • Capacidad logarítmica de K : cap (K) = exp(−I(K)). si I(K) = I(λ). Encuentro Iberoamericano – p. 11/2 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor Y 2 δn (K) = max |aj − ak | n(n−1) a1 ,...,an ∈K j,k:j<k Encuentro Iberoamericano – p. 12/2 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor Y 2 δn (K) = max |aj − ak | n(n−1) a1 ,...,an ∈K j,k:j<k lim δn (K) = cap (K). n→∞ Encuentro Iberoamericano – p. 12/2 Diámetro transfinito Sea K compacto de C y n ≥ 2. El diámetro n-ésimo de K es el valor Y 2 δn (K) = max |aj − ak | n(n−1) a1 ,...,an ∈K j,k:j<k lim δn (K) = cap (K). n→∞ Ejemplos: • Si K es un disco de radio r, cap (K) = r. • Si K es un intervalo de longitud h, cap (K) = h/4. Encuentro Iberoamericano – p. 12/2 Convergencia en capacidad • Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite extensión armónica a todo G. Encuentro Iberoamericano – p. 13/2 Convergencia en capacidad • Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite extensión armónica a todo G. • También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del principio del máximo de las funciones armónicas. Encuentro Iberoamericano – p. 13/2 Convergencia en capacidad • Sea K compacto con cap (K) = 0. Toda función armónica y acotada en G \ K (G abierto que contiene a K ) admite extensión armónica a todo G. • También: generalizaciones del problema de Dirichlet y del principio del máximo de las funciones armónicas. Convergencia en capacidad ∀ ǫ > 0, ∀ K ⊂ D lim cap {z ∈ K : |f (z) − fn (z)| > ǫ} = 0. n→∞ C Notación: fn −→ f en D . Encuentro Iberoamericano – p. 13/2 Convergencia en capacidad Lema de Gonchar (1975) C Supongamos que fn −→ f en el dominio D. 1. Si fn ∈ H(D), entonces {fn }n∈N converge uniformemente en subconjuntos compactos de D. 2. Si fn ∈ M(D) y tiene como mucho k < +∞ polos en D y f ∈ M(D) y tiene exactamente k polos en D, entonces todas las funciones fn , n ≥ N , tienen también k polos en D y la sucesión {fn } tiende a f uniformemente en subconjuntos compactos de D en la métrica de la esfera de Riemann. Encuentro Iberoamericano – p. 14/2 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K . Entonces, C Πn (f ) −→ f en C. Encuentro Iberoamericano – p. 14/2 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K . Entonces, C Πn (f ) −→ f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Encuentro Iberoamericano – p. 14/2 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K . Entonces, C Πn (f ) −→ f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones que se aproximan rápidamente por funciones racionales. Encuentro Iberoamericano – p. 14/2 Convergencia en capacidad Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica en C \ K . Entonces, C Πn (f ) −→ f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap (K) = 0 es necesaria. Previamente Gonchar había extendido el teorema a funciones que se aproximan rápidamente por funciones racionales. ¿Qué se puede afirmar cuando f tiene puntos de ramificación? Encuentro Iberoamericano – p. 14/2 Convergencia en capacidad Teorema del dominio extremal (Stahl 1997) Sea K un conjunto compacto de capacidad cero y sea f analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K . Entonces, C Πn (f ) −→ f en un dominio D que verifica: • Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la convergencia de Πn (f ). • Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la continuación analítica univaluada de f . • C \ D es esencialmente unión de arcos analíticos que unen los puntos de ramificación. Encuentro Iberoamericano – p. 15/2 Convergencia en capacidad Polos espurios Polos de Πn (f ) en regiones de analiticidad de f ( o de meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez, haya convergencia en capacidad. Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn (f ). Encuentro Iberoamericano – p. 15/2 Convergencia en capacidad Polos espurios Polos de Πn (f ) en regiones de analiticidad de f ( o de meromorfía pero con mayor número de polos) donde, a su vez, haya convergencia en capacidad. Asintóticamente se emparejan con ceros de Πn (f ). La convergencia en capacidad permite entender el comportamiento global de los aproximantes de Padé, Encuentro Iberoamericano – p. 15/2 Ortogonalidad ∞ X cm Sea f (z) = analítica en un entorno de z = ∞. m+1 z m=0 qn (z)f (z) − pn (z) = O( z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ), ⇓ 1 z n+1 ), z → ∞; z → ∞. k = 0, 1, · · · , n − 1. Encuentro Iberoamericano – p. 16/2 Ortogonalidad ∞ X cm Sea f (z) = analítica en un entorno de z = ∞. m+1 z m=0 qn (z)f (z) − pn (z) = O( z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ), ⇓ 1 z n+1 ), z → ∞; z → ∞. k = 0, 1, · · · , n − 1. Por el teorema de Cauchy 0= Z z k qn (z) f (z) dz, γ k = 0, 1, · · · , n − 1. Encuentro Iberoamericano – p. 16/2 Ortogonalidad ∞ X cm Sea f (z) = analítica en un entorno de z = ∞. m+1 z m=0 qn (z)f (z) − pn (z) = O( z k (qn f − pn )(z) = O(1/z 2 ), ⇓ 1 z n+1 ), z → ∞; z → ∞. k = 0, 1, · · · , n − 1. Por la fórmula integral de Cauchy 1 1 f (z) − Πn (f )(z) = qn (z) 2πi Z γ qn (ζ) f (ζ) dζ. z−ζ Encuentro Iberoamericano – p. 16/2 Funciones de Markov Sea µ b(z) = Z 1 −1 0= Z dµ(x) ; z−x 1 −1 µ medida con soporte en [−1, 1]. xk qn (x) dµ(x), k = 0, 1, · · · , n − 1. Encuentro Iberoamericano – p. 17/2 Funciones de Markov Sea µ b(z) = Z 1 −1 0= Z dµ(x) ; z−x 1 µ medida con soporte en [−1, 1]. xk qn (x) dµ(x), −1 k = 0, 1, · · · , n − 1. n • pn (z) X λn,i Πn (b µ)(z) = = qn (z) z − xn,i • Fórmula de cuadratura Gauss-Jacobi: Si gr P < 2n entonces i=1 Z P (x) dµ(x) = n X λn,i P (xn,i ). i=1 Encuentro Iberoamericano – p. 17/2 Funciones de Markov Sea µ b(z) = Z 1 −1 0= Z dµ(x) ; z−x 1 µ medida con soporte en [−1, 1]. xk qn (x) dµ(x), −1 k = 0, 1, · · · , n − 1. Teorema de Markov (1895) Sea K compacto de C \ [−1, 1]. Entonces 1/2n lim sup kb µ − Πn (b µ)kK n→∞ ≤ kz − p z 2 − 1kK Encuentro Iberoamericano – p. 17/2 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por f (z) = Z ∞ 0 e−t dt. 1 − zt Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por f (z) = Z ∞ 0 e−t dt. 1 − zt Integrando por partes repetidamente se obtiene f (z) = 1 + z Z 0 ∞ e−t (1 − zt)2 dt = 1 + z + z 2 = 1 + 1! z + 2! z 2 + · · · + n! z n + z n+1 Z ∞ 2 e−t dt 3 (1 − zt) ∞ (n + 1)! e−t dt. n+2 (1 − zt) 0 Z 0 Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Funciones de Stieltjes Sea f analítica en C \ [0, +∞) definida por f (z) = Z ∞ 0 e−t dt. 1 − zt El aproximante de Padé Πn (f ) en z0 = 0 construído usando la serie divergente converge a f uniformemente en compactos de C \ [0, +∞). Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo Z ∞ dµ(t) , f (z) = z − t 0 donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y Z ∞ cn = tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . . 0 Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo Z ∞ dµ(t) , f (z) = z − t 0 donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y Z ∞ cn = tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . . 0 Toda función de Stieltjes tiene un desarrollo asintótico dado por ∞ X cn . f (z) ≈ n+1 z n=0 Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Funciones de Stieltjes Una función de Stieltjes es una función del tipo Z ∞ dµ(t) , f (z) = z − t 0 donde µ es una medida con soporte en [0, +∞) y Z ∞ cn = tn dµ(t) < +∞, n = 0, 1, . . . 0 Teorema de Stieltjes (1895) Si los números cn , n = 0, 1, . . . determinan unívocamente la medida µ, entonces {Πn (f )} en z0 = ∞ converge a f uniformemente en compactos de C \ [0, +∞). Encuentro Iberoamericano – p. 18/2 Principio general • Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. Encuentro Iberoamericano – p. 19/2 Principio general • Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. • Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. Encuentro Iberoamericano – p. 19/2 Principio general • Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. • Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. • Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de polinomios ortogonales. Encuentro Iberoamericano – p. 19/2 Principio general • Se plantea un problema de aproximación racional de funciones analíticas. • Los denominadores de los aproximantes satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. • Se aplican propiedades y comportamiento asintótico de polinomios ortogonales. • Se prueba convergencia de los aproximantes racionales a la función. Encuentro Iberoamericano – p. 19/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f (z) = de [0, +∞). Z ∞ 0 dµ(t) s(z) + , donde los d polos de t están fuera z−t t(z) Encuentro Iberoamericano – p. 20/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f (z) = de [0, +∞). Z ∞ 0 dµ(t) s(z) + , donde los d polos de t están fuera z−t t(z) ¿Los aproximantes de Padé diagonales Πn (f ) convergen a f ? Encuentro Iberoamericano – p. 20/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f (z) = de [0, +∞). Z ∞ 0 dµ(t) s(z) + , donde los d polos de t están fuera z−t t(z) Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximante satisface las relaciones de ortogonalidad Z 1 dν(x) = 0, x qn (x) t(x) 2n (1 − x) −1 j j = 0, 1, . . . , n − 1 − d. Encuentro Iberoamericano – p. 20/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Sea f (z) = de [0, +∞). Z ∞ 0 dµ(t) s(z) + , donde los d polos de t están fuera z−t t(z) Tras un cambio de variable, el denominador qn del aproximante satisface las relaciones de ortogonalidad Z 1 dν(x) = 0, x qn (x) t(x) 2n (1 − x) −1 j j = 0, 1, . . . , n − 1 − d. Se consideran los polinomios ortogonales {ln,m }m∈N respecto dν(x) de la medida variante . 2n (1 − x) Encuentro Iberoamericano – p. 20/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad qn t = d X λk ln,n+k k=−d Encuentro Iberoamericano – p. 21/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad qn t = d X λk ln,n+k k=−d Bajo condiciones generales p ln,n+k+1 (z) = z + z 2 − 1, lim n→∞ ln,n+k (z) k ∈ Z. Encuentro Iberoamericano – p. 21/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad qn t = d X λk ln,n+k k=−d Bajo condiciones generales p ln,n+k+1 (z) = z + z 2 − 1, lim n→∞ ln,n+k (z) k ∈ Z. Entonces los polinomios qn tienen como mucho d ceros lejos del soporte =⇒ hay convergencia en capacidad =⇒ hay convergencia uniforme. Encuentro Iberoamericano – p. 21/2 Funciones de Stieltjes meromorfas Debido a las relaciones de ortogonalidad qn t = d X λk ln,n+k k=−d Bajo condiciones generales p ln,n+k+1 (z) = z + z 2 − 1, lim n→∞ ln,n+k (z) k ∈ Z. Lagomasino (1989) Encuentro Iberoamericano – p. 21/2 Además • Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. Encuentro Iberoamericano – p. 22/2 Además • Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. • Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. Encuentro Iberoamericano – p. 22/2 Además • Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. • Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. • Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de funciones. Encuentro Iberoamericano – p. 22/2 Además • Aproximantes de Padé multipuntuales. Se interpola en una tabla de puntos con una cierta distribución límite. • Aproximantes tipo Padé. Parte o todos de los polos de los aproximantes se fijan de antemano. Útil cuando se conoce la geometría del conjunto de singularidades de la función. • Aproximantes Hermite-Padé. Aproximación simultánea de funciones. • Aproximantes Fourier-Padé. Se consideran desarrollos ortogonales y se busca el aproximante racional que tenga el mayor orden de contacto según este desarrollo. Encuentro Iberoamericano – p. 22/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Euler (1748/1755). Probó las fórmulas ∞ k X 1 k−1 4 b2k 2k = (−1) π 2k n 2(2k)! n=1 donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli. Es decir ∞ X bn x n = x ex − 1 n=0 n! ⇒ b0 = 1, n−1 X j=0 n b = 0. j j Encuentro Iberoamericano – p. 23/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Euler (1748/1755). Probó las fórmulas ∞ k X 1 k−1 4 b2k 2k = (−1) π 2k n 2(2k)! n=1 donde bk ∈ Q son los números de Bernoulli. ¿Qué ocurre con las sumas de exponente impar? ¿ ∞ X n=1 1 n2k+1 = q π 2k+1 , q∈Q? Encuentro Iberoamericano – p. 23/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann La función zeta de Riemann se define como ∞ X 1 ζ(z) = , z n si Re z > 1 n=1 y mediante continuación analítica en C \ {1}. Encuentro Iberoamericano – p. 23/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann La función zeta de Riemann se define como ∞ X 1 ζ(z) = , z n si Re z > 1 n=1 y mediante continuación analítica en C \ {1}. Problema abierto: Demostrar que los números ζ(2k + 1), k ∈ N, son irracionales Encuentro Iberoamericano – p. 23/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula 5 ζ(3) = 2 ∞ X n=1 (−1)n−1 n3 " !#−1 2n n La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1). Encuentro Iberoamericano – p. 24/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Apéry (1978). ζ(3) es irracional. Usa la fórmula 5 ζ(3) = 2 ∞ X n=1 (−1)n−1 n3 " !#−1 2n n La demostración no es generalizable a otros valores ζ(2k + 1). Beukers (1981). Muestra que la sucesión de aproximantes racionales de Apéry puede obtenerse a partir de un problema generalizado de aproximación de Padé simultánea. Encuentro Iberoamericano – p. 24/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann ∞ X zn fk (z) = , k n n=1 k∈N Encuentro Iberoamericano – p. 24/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann ∞ X zn fk (z) = , k n n=1 k∈N Encontrar polinomios pn , tn , qn y q̃n de grado n tales que qn (z) f1 (z) + q̃n (z) f2 (z) − pn (z) = o z , qn (z) f2 (z) + 2 q̃n (z) f3 (z) − tn (z) = o z 2n , qn (1) = 0. 2n z → 0, z → 0, Encuentro Iberoamericano – p. 24/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). Encuentro Iberoamericano – p. 25/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). n X 1 1 ζ(3) = + Ψ(1/n), 3 k 2 k=1 donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica Ψ(z) = ∞ X (n + 1)bn z n+2 . n=0 Encuentro Iberoamericano – p. 25/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Prévost (1996) Calcula los aproximantes de Padé del término de error en el desarrollo de ζ(3). n X 1 1 ζ(3) = + Ψ(1/n), 3 k 2 k=1 donde Ψ(z) tiene la expansión asintótica Ψ(z) = ∞ X (n + 1)bn z n+2 . n=0 Prévost-Rivoal (2007) Este principio puede ser general al aparecer en otro tipo de funciones como la exponencial. Encuentro Iberoamericano – p. 25/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos números irracionales. Encuentro Iberoamericano – p. 26/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos números irracionales. Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos, Lip (z) = ∞ X n=0 zn (n + 1)p Encuentro Iberoamericano – p. 26/2 Valores irracionales de la función zeta de Riemann Rivoal (2000) En el conjunto {ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . } hay infinitos números irracionales. Utiliza aproximación simultánea de Padé de polilogaritmos, Lip (z) = ∞ X n=0 zn (n + 1)p Zudilin (2001) Al menos uno de los siguientes números ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) es irracional. Encuentro Iberoamericano – p. 26/2