f(x) ≈ f(a) + f `(a) (x-a) + (1/2!) f ``(a) (x-a) ...... + (1/n!) f(n)(a

La notación de Sargent no es de lo más cómodo de seguir,
pero tampoco presenta demasiados problemas por sí
misma.
Sargent considera las variables marcadas con prima como
la derivada de la función con respecto a su único
argumento. Véase por ejemplo la ecuación (V) de la página
22, referida a la inversión. Ésta depende de una función q,
por lo que I' = dI/dq. En la expresión (v) de la página 23
tiene usted un desarrollo completo del diferencial de I, y
puede ver cómo, por ejemplo, el primer sumando es
I'qNdN, que corresponde lógicamente a (dI/dq)(dq/dN)dN.
Todo el sistema de la página 23 es ilustrativo, y bastante
claro.
Cuando hay más de un argumento en juego Sargent lo
hace explícito mediante subíndices que indican de qué
derivada parcial se trata, como cuando escribe FNK
(derivada de la función de producción con respecto al
trabajo y al capital). Sin embargo, cuando del contexto se
deduce que se habla de la naturaleza creciente o
decreciente de la función principal respecto a un único
argumento (que puede ser una función), simplifica la
notación con las dichosas primas.
En la página 33 la letra “s” es un indicador de tiempo. Los
argumentos de las funciones σ y β son únicos, si bien
compuestos por distintas variables, por lo que, al igual que
en el caso de I, podemos hablar de una σ’ y β’. De hecho,
en el párrafo que sigue a las dos expresiones en cuestión,
donde se da una interpretación, queda claro qué significado
tiene el que σ’ y β’ sean positivas.
La fórmula de Taylor, sin el resto, sería
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ''(a) (x-a)2 +
...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n
El polinomio de primer grado sería
f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a)
Para un punto de equilibrio “a” que Sargent denota como ro
o po, según el caso (precio y tipo de interés). Éstas son las
únicas “variables” en el problema que se plantea de
estabilidad del equilibrio en el modelo clásico, ya que son
las dos únicas variables que soportan el peso del ajuste,
como se explica en el texto (en esa misma página 33).
Primera ecuación. Tenemos que f’(a) es la derivada de cada
uno de los sumandos, en este caso con respecto a “r”, pues
no hay “p” en esa ecuación. Tendríamos
(dσ/dz) (dz/dC) (dC/dr) + (dσ/dz) (dz/dI) (dI/dr)
donde se puede llamar “z” a todo el argumento de σ, donde
sólo r es una variable, de manera que dσ/dz = σ’. Para las
diferenciales dC y dI no hay más que acudir a las
expresiones (iv) y (v) de la página 23.
Segunda ecuación. El mismo razonamiento. En este caso el
argumento de β depende de “p” y “r”, por lo que tendremos
(dβ/dw) (dw/dm)
[d(M/p)/dp]
(dm/dr)
+
(dβ/dw)
[dw/d(M/p)]
donde se puede llamar “w” a todo el argumento de β, de
manera que dβ/dw = β’.
En cuanto a la página 47, es obvio que la I’ es una errata, y
la edición americana así lo atestigua. La Y’D es el nombre
que Sargent da a la variable “renta disponible” que
satisface un criterio especial.
Rubén Osuna