UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Practica 25 Ejercicio. 1 Usar, si

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Jaime Gallegos Ortiz/
Practica 25
Ejercicio. 1
Usar, si es posible, el Criterio de Divergencia para determinar si las siguientes series
divergen:
∞
P
(a)
(−1)n
n=2
1
n2
Solución: Corresponde a una serie alternada.
Se cumple que:
1
es decreciente y de términos positivos.
n2
1
lı́m 2 = 0
n→∞ n
Por lo tanto
∞
P
(−1)n
n=2
(b)
∞
P
n=1
sin
π
2
−
1
n
1
CV
n2
Solución: Aplicando Criterio de Divergencia.
π
1
lı́m sin
−
=1
n→∞
2 n
Y como lı́m an 6= 0
n→∞
La serie
∞
P
sin
n=1
1
π
2
−
1
n
DV
∞
P
(c)
n=1
1+
1
n
ln 1 +
1
n
Solución:
Considerando bn = ln 1 + n1
Analizando convergencia de bn :
∞
X
1
ln 1 +
n
n=1
=
∞
X
[ln(n + 1) − ln(n)]
n=1
Que corresponde a la serie telescópica con Sn = ln(n + 1) − ln(1) = ln(n + 1)
Por otro lado se tiene (def. de series):
X
bn = lı́m Sn
n→∞
y se tiene que:
X
bn = lı́m ln(n + 1)
DV
n→∞
Aplicando Criterio de Comparación al lı́mite:
1 + n1 ln 1 + n1
lı́m
=1>0
n→∞
ln 1 + n1
Como L = 1 > 0 y bn DV se tiene que
∞
P
n=1
n2
n=0 n + 1
(d)
∞
P
Solución: Aplicando Criterio de Divergencia.
n2
=∞
n→∞ n + 1
lı́m
Y como lı́m an 6= 0
n→∞
La serie
n2
DV
n=0 n + 1
∞
P
2
1+
1
n
ln 1 +
1
n
DV