DOMINIOS DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA Contenido

DOMINIOS DEL TIEMPO Y
DE LA FRECUENCIA
Contenido
1.-- Señales analógicas y digitales.
1.
2.-- Señales analógicas periódicas.
2.
3.- Representación en los dominios
3.del tiempo y de la frecuencia.
f
4.-- Análisis de Fourier.
4.
5 - Ancho de banda.
5.5.
banda
Objetivo.-Objetivo.
Usar representaciones de señales en el dominio de la
f
frecuencia
i y transformar
f
señales
ñ l simples
i
l entre los
l
d
dominios
i i
d
dell
tiempo y la frecuencia.
Última
Úl
i
modificación:
difi
ió
1 de agosto de 2010
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Tema 2 de
INTRODUCCIÓN A LAS COMUNICACIONES ELECTRÓNICAS
Edison Coimbra G.
1
1.-- Señales analógicas y digitales
1.
Onda continua que cambia
suavemente en el tiempo.
Puede tener un número infinito
d valores
de
l
dentro
d
de
d un rango.
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Onda con valores discretos.
Sólo puede tener un número
limitado de valores.
2
2.-- Señales analógicas periódicas
2.
Parámetros:
 Amplitud pico y efectivo
 Periodo
 Frecuencia
 Fase
1
f 
T
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T
1
f
3
Frecuencias extremas
Frecuencia 0. ¿Qué ocurre si una señal no cambia en absoluto? ¿Qué pasa si mantiene un
nivel de voltaje constante durante todo su tiempo de actividad? En ese caso, su frecuencia es
0. Conceptualmente, esta idea es sencilla. Si una señal no cambia en absoluto, nunca
completa un ciclo, por tanto su frecuencia es 0 Hz.
Frecuencia infinita. ¿Pero ¿qué pasa si una señal cambia instantáneamente? ¿Qué pasa si
salta de un nivel a otro instantáneamente? En ese caso, su frecuencia es infinita. En otras
palabras, cuando una señal cambia instantáneamente, su periodo es 0, puesto que la
frecuencia es el inverso del periodo, entonces, en este caso, la frecuencia tiende a infinito.
Unidades del periodo y la frecuencia
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Ejemplos con ondas senoidales
Ej
Ejemplo
l 1.1 Voltaje
V l j de
d la
l electricidad
l
i id d comercial
i l. Ell voltaje
l
en su casa se puede
d
representar mediante una onda seno con una amplitud pico de 311 V. Sin embargo, es de
conocimiento común que el voltaje en los hogares de Bolivia es de 220 V. Esta discrepancia
se debe al hecho de que este último es un valor efectivo o RMS (raíz cuadrática media - root
mean square),
) La señall se hace
h
cuadrada
d d y luego
l
se calcula
l l ell valor
l medio.
di Ell valor
l pico
i es
igual a 1.41 × RMS.
Ejemplo
j p 2.- Voltaje
j de una batería. El voltaje
j de una batería es una constante;; este valor
constante se puede considerar una onda seno de frecuencia 0, como se verá luego. Por ejemplo,
el valor pico de una batería AA es normalmente 1,5 V.
Resolver ejercicios
de aplicación
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5
Fase de la onda senoidal
Describe la posición (desplazamiento) de la onda
respecto al instante de tiempo 0.
Resolver ejercicios
de aplicación
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Longitud de onda
λ
Es la distancia que se desplaza la señal en un periodo T, a
través de un medio de transmisión.
Para ondas electromagnéticas:
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3.- Representación en los dominios del tiempo y
3.de la frecuencia
Ejemplos de
señales
simples
de una sola
frecuencia
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4.-- Análisis de Fourier
4.
En la actualidad, en la pantalla de una PC, la
fotografía se transforma en un conjunto de
píxeles que tienen mucha menos nitidez que
el original.
Sin embargo, muy pronto, las PC podrán
mostrar una imagen interactiva, por ejemplo
de una ciudad en la que el espectador podrá
acercarse para apreciar con mayor detalle
un edificio, su puerta de entrada y hasta el
número del edificio.
Se podrá hacer porque las nuevas técnicas permiten comprimir la cantidad de
datos que se utilizan para almacenar una imagen, permitiendo almacenar una
imagen más detallada en un espacio menor.
Los investigadores tratan de aislar y manipular patrones específicos ocultos
en grandes cantidades de datos,
datos de forma muy parecida a como nuestros
ojos observan el rostro de una persona, o nuestros oídos distinguen el
sonido de una flauta en una sinfonía.
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El diapasón y la voz humana
Para comprender la manipulación de patrones específicos,
específicos se comienza con
diferenciar dos tipos de sonidos: un diapasón y la voz humana.
Tono de un diapasón
Al golpear un diapasón se
obtiene un tono puro (onda
senoidal) que perdura largo
tiempo. En matemáticas, se dice
que este tono tiene una
q
frecuencia "localizada"; es decir,
está formado por un solo tono.
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Pronunciación de la palabra clases
Una palabra hablada sólo dura un
segundo y, por tanto, está "localizada"
en el tiempo. Su frecuencia no está
localizada porque la palabra no es un
solo tono,, sino una combinación de
muchas frecuencias distintas.
10
Análisis de Fourier de una onda periódica
En 1807,
E
1807 Fourier,
F
i
d
desarrollo
ll la
l tteoría
í ell análisis
áli i d
de F
Fourier
Fourier,
i
que afirma
fi
que cualquier
l i fforma
de onda periódica puede representarse como una suma infinita (serie) de ondas seno o
coseno, o ambas, cuyas frecuencias sean múltiplos de la frecuencia fundamental de la onda.
Matemáticamente:
Serie de Fourier
A0
f (t ) 
 A1 cos t  B1 sen t  A2 cos 2t  B2 sen 2t  A3 cos 3t  B3 sen 3t  .....
2
f(t): onda periódica. Por lo general un voltaje v(t) o una corriente i(t)
An y Bn : coeficientes reales, positivos, negativos o cero.
 = 2πf : frecuencia fundamental, en radianes.
2 , 3, 4,….: 2ª, 3ª, 4ª,.….. armónica.
Un ejemplo de la teoría: cuando un músico toca la nota La en un violín o una flauta, tiene
una frecuencia fundamental de 440 Hz y armónicos con frecuencias de 880, 1320, ……Hz.
Aunque un violín y una flauta toquen la misma nota, el sonido será distinto porque sus
armónicos (2, 3, 4, .. tienen distinta fuerza o "amplitud“ (An, Bn ).
Con sintetizadores se consigue una imitación de un violín o una flauta combinando ondas
senoidales puras de amplitudes adecuadas. Esto es lo que predijo Fourier en 1807.
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Ejemplo para una señal de información
Para una onda
P
d cuadrada
d d (señal
( ñ l rectangular
t
l con semiciclos
i i l positivos
iti
y negativos
ti
d
de igual
i
l duración)
d
ió )
la serie de Fourier obtenida es la siguiente:
S espectro d
Su
de ffrecuencias:
i
Onda cuadrada en el tiempo
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Espectro de frecuencias
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Demostración de ejemplo anterior
Suma de
fundamental
y la 3ª armónica.
Suma de fundamental ,
la 3ª y la 5ª armónica.
Suma de fundamental
e infinita cantidad de
armónicas.
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Series de Fourier para señales de información
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Series de Fourier para señales de información
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Descomposición de señal periódica compuesta
Manualmente
es difícil.
Se hace con
MATLAB.
Frecuencia f
Frecuencia 3f
Frecuencia 5f
Frecuencias
resultantes
Espectro de
frecuencias
Frecuencia
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Análisis de Fourier de una onda aperiódica
Los matemáticos
L
t
áti
ampliaron
li
la
l idea
id d
de F
Fourier
i a funciones
f
i
aperiódicas
iódi
que
cambian en el tiempo, que no se repiten en la misma forma.
La mayoría de las ondas del mundo real son aperiódicas. Por ejemplo: el sonido de un
motor que acelera, reduce y se interrumpe de vez en cuando. En las imágenes también
es importante la distinción entre patrones repetitivos y no repetitivos.
Un patrón repetitivo se puede ver como una textura o fondo, mientras que un patrón
no repetitivo es percibido por el ojo como un objeto.
patrón no repetitivo
p
p
patrón repetitivo
p
p
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Serie y transformada de Fourier
Para representar
P
t patrones
t
repetitivos
titi
(f d ) de
(fondo)
d una
imagen se utilizan ondas periódicas o repetitivas
armónicos.
formadas por una serie de armónicos.
patrón repetitivo
Las características no repetitivas
se resuelven en un espectro de
frecuencias mucho más
complejo, denominado
"transformación de Fourier",
de la misma forma que la luz se
puede
d descomponer
d
en un
espectro de colores.
patrón no
repetitivo
Las transformaciones de Fourier han sido un éxito. Durante el siglo XIX
resolvieron
l i
muchos
h
problemas
bl
d la
de
l física
fí i y de
d la
l ingeniería.
i
i í Esta
E t iimportancia
t
i
llevó a científicos e ingenieros a pensar en ellas como la forma preferida de
analizar fenómenos de todo tipo.
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Ejemplo para señales de información
Según la serie de Fourier,
Fourier una onda cuadrada periódica tiene un espectro de frecuencias formado
por frecuencias discretas (una fundamental y armónicas).
Según la transformada de Fourier,
Fourier un impulso aperiódico tiene un espectro de frecuencias
formado por frecuencias continuas.
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19
Ejemplo para una señal de voz
Espectro de
frecuencias
Dominio del tiempo
Señal de voz
Dominio de la frecuencia
Esta señal se observa con un
analizador de espectro o
con MATLAB que ha
h utilizado
tili d
el algoritmo FFT.
Resolver ejercicios
j
de
aplicación
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5.-- Ancho de banda BW
5.
Es el rango de frecuencias contenido en una señal.
señal
Espectro de una
señal
ñ l periódica
iódi
BW de señal periódica
Espectro de una
señal aperiódica
BW de señal aperiódica
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Ancho de banda de señal AM
Un ejemplo
U
j
l de
d señal
ñ l aperiódica
iódi compuesta
t es lla señal
ñ l propagada
d por una estación
t ió de
d radio
di
AM. En Bolivia, cada estación de radio AM tiene asignado un BW de 10 kHz. El BW total
dedicado a estaciones AM va desde los 530 hasta los 1700 kHz.
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Ancho de banda de señal FM
Otro ejemplo
Ot
j
l de
d señal
ñ l compuesta
t aperiódica
iódi es la
l señal
ñ l propagada
d por una estación
t ió de
d radio
di
FM. En Bolivia, cada estación de radio FM tiene asignado un BW de 200 kHz. El BW total
dedicado a estaciones FM va desde los 88 hasta los 108 MHz.
FIN
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