Trabajo Práctico 8 - Reacciones dinámicas y ecuaciones de Euler

Facultad de Ingenierı́a - U.N.L.P.
Mecánica Racional - Curso 2016 / 1◦ semestre
Trabajo Práctico 8 - Reacciones dinámicas y ecuaciones de Euler
Edición 2014
Problema 1. El engranaje de radio r = 10 cm y
masa m = 4 Kg gira en un plano horizontal alrededor del engranaje fijo de radio R = 20 cm debido a
la acción de una cupla constante M0 = M0 e3 aplicada a la biela OA de masa mb = 2 Kg. Considerando a la biela como una barra de longitud L = 30
cm que gira con una aceleración angular constante α = 6 rad/s2 y considerando al engranaje móvil
como un disco circular, calcular:
a) los esfuerzos cortantes en los pernos pasantes por O y por A, y la fuerza
FC en el punto C de contacto entre ambos engranajes;
b) la cupla motriz M0 .
Problema 2. En el mecanismo de la figura, situado
en el plano vertical, se corta el tensor OB en el
instante t = 0. Determinar las fuerzas reactivas Rx ,
Ry y N en los apoyos O y B en Kgf en los instantes
t = 0 s, t = 0, 2 s, t = 0, 4 s, etc. Las condiciones
iniciales son: θ(0) = 60◦ , θ̇(0) = 0. Se desprecia
los rozamientos y la masa del tensor OB, siendo
AO = AB = L = 3 m, y mAO = mAB = m = 25
Kg.
Problema 3. Una barra curva homogénea de masa m y curvatura c = 1/r
yace sobre un disco ubicado sobre un plano horizontal liso (sin rozamiento); la
barra está unida al disco mediante un perno pasante ubicado en su extremo
A. El disco puede girar alrededor de un eje vertical pasante por su centro
O. El momento de inercia de la barra con respecto al eje perpendicular
al
√
O
2
disco, que pasa por O es I = mr , siendo el baricentro |G − O| = 2 2r/π.
1
Determinar las fuerzas reactivas en los extremos A y B de la barra en los
siguientes casos:
a) cuando el disco se mueve con aceleración angular constante γ a partir
de su estado de reposo en sentido antihorario;
b) cuando el disco se mueve con velocidad angular constante ω.
Problema 4. Un volante gira inicialmente alrededor de su propio eje con
una velocidad angular ωO . Este se frena por medio de una cinta que se apoya
sobre la periferia del mismo. Un extremo de la cinta se encuentra unido al
extremo fijo de una barra de longitud L, mientras que el otro extremo se
fija ortogonalmente en otro punto de la barra. Sobre uno de los extremos de
la barra se ejerce una fuerza constante F. Empleando la fórmula de Prony
para la tensión TP en el punto P de la cinta, TP = TA eµθ , donde µ es el
coeficiente dinámico de roce, determinar el tiempo que tarda el volante en
deternerse.
Problema 5. Las dos ruedas idénticas (I) y (II) de la figura, montadas
sobre un armazón CD, ruedan sin deslizar sobre la superficie HH 0 , mientras
2
sus centros O y O0 se desplazan con velocidad constante v = −2, 4e2 m/s.
La barra de conexión AB, de baricentro G, pesa 6, 8 Kg, está articulada en
A a la rueda (I) y vinculada a la rueda (II) mediante el perno B que encaja
en una pequeña ranura horizontal lisa practicada en la barra. Determinar las
fuerzas reactivas en los pernos A y B cuando es θ = 60◦ .
Problema 6. La figura muestra un mecanismo de dos barras homogéneas AB y
BC que se mueven en el plano horizontal
(e1 , e2 ), impulsado por una fuerza activa
F1 ⊥ AB, actuante en el baricentro G1 de
la barra AB. La barra AB tiene una longitud de 5 cm y una masa m = 0, 5 Kg. La
barra BC tiene una longitud de 10 cm y una
masa de 1 Kg; su extremo C está obligado
a deslizarse a lo largo de la guı́a horizontal
lisa HH 0 . Considerando despreciable los rozamientos y los efectos de las cargas estáticas, y siendo |vC | = 5 m/s y |aC | = 100
m/s2 , determinar, en el instante indicado
en la figura:
a) las fuerzas que se ejercen sobre las articulaciones B y C;
b) la fuerza F1 y la reacción en la articulación A.
Problema 7. El carrete de radio exterior R y radio interior r rueda sin
resbalar en un plano horizontal coincidente con el eje e1 del sistema de coordenadas. Se mueve bajo la acción de una fuerza F cuya dirección forma un
ángulo φ con la horizontal. Si la masa del carrete es M y su momento de inercia baricéntrico I3G es dato, aplicar las ecuaciones cardinales de la dinámica
para determinar:
3
a) la ecuación del movimiento del baricentro G;
b) una relación entre la reacción normal N y el valor de F tal que se cumplan
las hipótesis del enunciado, si el coeficiente de rozamiento entre el carrete
y el plano de apoyo es µ.
Problema 8. El esquema adjunto representa dos esferas puntuales iguales
P1 y P2 de masa m, unidas por una barra rı́gida de longitud ` y masa despreciable, que giran describiendo circunferencias de radio b/2 en torno al eje rı́gido AB de masa también despreciable.
Determinar las fuerzas reactivas en los
vı́nculos A y B en los dos casos siguientes:
a) siendo constante ω3 = 100 rad/s;
b) cuando, siendo ω3 = 100 rad/s, se
aplica al eje AB una cupla motriz
de 1 kilográmetro.
Datos: m = 1 Kg, c = ` = 100 cm,
b = 80 cm, h = 60 cm.
Problema 9. Una esfera maciza homogénea de radio r gira libremente con
velocidad angular propia ψ̇ constante en torno de su eje baricéntrico OO0 ||e03 ,
siendo OG = L; el eje OO0 está rı́gidamente vinculado en O con el eje horizontal AB, de longitud 2a. Despreciando la masa de los ejes y los rozamientos,
siendo 0◦ < θ < 180◦ y θ(0) = 0, determinar:
4
a) las ecuaciones diferenciales θ̈(θ) y θ̇(θ), empleando las ecuaciones de
Euler para un sólido con un punto fijo;
b) las reacciones en los vı́nculos A y B en función de θ y θ̇ para los siguientes
supuestos: i) ψ̇ > 0, ii) ψ̇ < 0, iii) ψ̇ = 0.
Problema 10. Empleando las ecuaciones de Euler para un sólido con un
punto fijo, determinar el momento reactivo en O para un cilindro homogéneo
de peso P sujeto a dos rotaciones: φ̇ y ψ̇, en la posición que se indica en la
figura. Evaluar numéricamente para P = 10 Kgf, h = 1, 2 m, R = 0, 10 m,
|G − O| = 0, 60 m, θ = 45◦ , φ̇ = ψ̇ = 10 rad/s.
Problema 11. El disco elı́ptico homogéneo de la figura está sujeto a dos
rotaciones uniformes φ̇ y ψ̇ pasantes por su baricentro G, siendo I1 , I2 e I3
sus momentos principales de inercia respecto de la terna solidaria (G, e0i ).
Empleando las ecuaciones de Euler para un sólido con un punto fijo:
5
a) determinar las proyecciones de los momentos exteriores sobre dicha terna;
b) si L1 = L2 (disco circular), determinar las proyecciones pedidas en el
punto anterior en los instantes en que el ángulo ψ es nulo;
c) verificar el resultado obtenido en el punto 2 empleando las ecuaciones
de Euler modificadas.
6