estrategias didácticas para la inducción al concepto de área

ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE IBAGUE
AREAS DE PEDAGOGÍA Y MATEMATICAS
Ponencia al 2° Congreso Internacional de Matemática y 4° Departamental
INEM, Ibagué Septiembre 17-20 de 2003
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA INDUCCIÓN AL CONCEPTO DE
ÁREA
Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com
Ivonne López Rincón. Ilorin55@yahoo.com
Docentes Escuela Normal Superior de Ibagué
El presente trabajo, hace parte de un proceso de reflexión pedagógica que se viene realizando en la
Escuela Normal Superior de Ibagué; y en la búsqueda de estrategias apropiadas en didáctica de la
matemática. Se inicia con la investigación del concepto de área presente en los estudiantes de ésta
institución, encontrándose que el 96.43% de los encuestados, entre los grados 4° y 11° presentan
dificultades en la conceptualizacion de área. En el presente se plantean posibles alternativas de solución
para abordar la temática a partir de situaciones problémicas.
El rol del docente en el aula, en este momento, es de investigador y orientador
de procesos que permitan construir conceptos, antes que mecanizar el
formalismo simbólico y algorítmico de las matemáticas.
Es así como a partir de una investigación del concepto de área que poseen los
estudiantes, se inicia el diseño de unas actividades que permitan al estudiante
de primaria un acercarse al concepto e área.
En investigación realizada por el profesor Jorge Lorenzo Sánchez, (ampliada
en Cuadernos de investigación 1. Programa de Formación Docente Ciclo
Complementario. Escuela Normal Superior De Ibagué (2003)): Se aplicó el
siguiente ejercicio problémico, previa explicación del objetivo pedagógico del
ejercicio por estudiantes del ciclo complementario, a 8 de 42 cursos (un curso
por grado) y de cuarto a once grado de la ENSI (320 estudiantes)
Escuela Normal Superior de Ibagué
Grado ......................... Edad ............................... Sexo ..........................
Si un centímetro cuadrado (cm2) es una figura cuadrada, que mide por cada
lado un centímetro (cm), represente gráficamente:
a.
b.
c.
Un centímetro cuadrado (1cm2)
Dos centímetros cuadrados (2cm2)
Tres centímetros cuadrados (3cm2)
Como resultado se obtuvo una gran variedad de respuestas que divergen de un
concepto geométricamente aceptable. Dichas concepciones sé categorizar así:
Categoría 1: Se ubican los estudiantes que no respondieron
Categoría 2. Se ubican los estudiantes que como característica común todos
utilizaron en algunas de las representaciones: triángulos, líneas rectas o
curvas;
Figura 2.1
1cm2
Figura 2.2
2cm2
1cm2
2cm2
3cm2
3cm2
3cm2
Oblicua
1cm
1cm
Figura 2.3
Categoría 03. Entendieron el ejercicio como si fuera una pregunta de
selección múltiple
Figura 3.1
1cm
Figura 3.2
1cm2
1cm
2
2cm
1cm
2cm2
2cm2
Figura 3.6
Figura 3.7
2cm
Figura 3.8
1cm
2cm2
1cm
=2cm2
1cm
1cm
°
1cm
°
1cm°
1cm
°1cm
1cm2
1cm2
2cm2
1cm
1cm
2cm2
1cm2
Figura 3.5
1cm
Figura 3.4
2cm
2
2
1cm
La respuesta sería un
centímetro cuadrado
1cm2 porque se suman
ambos lados y nos da
1cm2
Figura 3.3
1cm2
Mide 2cm2
2cm2
2cm2
1cm
1cm
1cm
Categoría 4. Los estudiantes se inclinan más por la representación numérica
de la dimensión 1, atendiendo al número de lados del cuadrado.
Figura 4.2
Figura 4.1
Figura 4.3
1cm
1cm2
2cm2
1cm2
1cm
1cm2
3cm2
2cm2
3cm2
1cm
En los 3 lados del
cuadrado hay 3 cm que
sería igual a 4 cm en total
2cm2
3cm2
3cm2
Categoría 5. Se representa el mismo tamaño de la figura, pero con diferentes
áreas. Los estudiantes no varían el tamaño del cuadrado y lo único que cambia
es el valor de la medida tanto de los lados como del área.
2
1cm
Figura 5.1
1cm
Figura 5.2
2
2cm
1cm
Figura 5.3
1cm2
2
2m
2m2
a)
1cm
1cm
2cm
2cm
b)
1cm
3cm
2cm
1cm2
2m2
3cm2
2
2m
3cm
c)
3cm
3cm2
3cm2
3m2
3cm2
3cm
Categoría 06. Se ubican los estudiantes que no perciben, que al cambiar la
dimensión 1 en la figura, cambia su área.
1 cm
3 cm
2 cm
Figuras con o sin numeración en los lados
Categoría 7. Encontramos
subdivisiones en 2 y 3 cm2.
las
representaciones
donde
se
realizan
3cm
2cm
2cm
3cm
1cm2
2cm2
3cm2
Categoría 8. Los estudiantes confunden la representación numérica de la
magnitud de longitud con la cantidad de figuras que debe graficar.
1cm2
2cm2
3cm2
Categoría 9. Presentaron 2 alternativas esperadas atendiendo al enunciado y
a la representación convencional de 1, 2, 3 centímetros cuadrados.
1cm2
1cm2
2cm2
1cm2
3cm2
3cm2
¿Qué explica que el 68.43% (219/320 estudiantes) haya representado la
categoría 6 y que el 96.43% no haya respondido satisfactoriamente?
A manera de conjetura:
Un elemento a considerar es la conceptualización convencional sobre las
magnitudes de longitud y área que se emplea en el discurso matemático y que
fue expresado en el enunciado del problema
Es probable que esté presente con fuerza la fórmula tradicional de lado por
lado para formar una figura cuadrada y calcular áreas
El concepto de centímetro cuadrado como figura, automáticamente conlleva a
una representación de una figura cuadrada, mas no una rectangular, triangular
ni mucho menos circular; por lo tanto se excluye el centímetro cuadrado como
unidad o patrón de medida.
La dimensión uno, la medida y el conteo privilegió o predominó en la
estructuración del cuadrado, pero una vez realizada la figura, se refuerza la
dimensión 2, donde se percibe éste como una totalidad, sin establecer
relaciones con los componentes figurales de la misma
Es evidente que la mayoría de estudiantes presentan dificultad para discriminar
las medidas de longitud y área, al igual que los conceptos de unidad, patrón de
medida y magnitud
Surgen aquí algunos interrogantes para resolver: ¿Cómo se orienta la
geometría en la Escuela Normal Superior de Ibagué?. ¿Qué estrategias
pedagógicas y contenidos se deben privilegiar para el desarrollo del
pensamiento espacial y métrico en los estudiantes?.
Reflexiones de carácter didáctico para las alternativas de solución
Organizar unas situaciones didácticas que permitan al estudiante ampliar y
organizar su red conceptual respecto al área. Gérard Vergnaud (1993), afirma:
“Un concepto no puede reducirse a su definición, al menos si se está
interesado en su aprendizaje y en su enseñanza. A través de situaciones y
problemas por resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño”.
Los Lineamientos Curriculares de matemáticas (1998), plantean cinco
pensamientos con sus respectivos conocimientos básicos, haciendo un
profundo análisis a cada uno de ellos. Pero, esto no quiere decir que se deban
fraccionar los pensamientos o recorrerlos verticalmente en forma escalonada.
En la Pág. 35 al respecto plantea: “el hecho de que el pensamiento numérico
requiera para su desarrollo de los sistemas numéricos, no quiere decir que
estos lo agoten, sino que es necesario ampliar el campo de su desarrollo con
otros sistemas como los de medida, los de datos, etcétera”.
La actividad del estudiante debe basarse en el desarrollo de procesos de
razonamiento, modelación, comunicación, ejercitación y sobre todo la
resolución de problemas. “Para hacer posible semejante actividad, el profesor
debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que puedan vivir y en las
que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima y descubrible en
los problemas planteados”. Brousseau (1993).
De acuerdo a los resultados obtenidos en la investigación y después de un
cuidadoso análisis didáctico del desarrollo del pensamiento matemático se
elabora una serie de talleres de los cuales se presentan 3.
Proyección del trabajo
Dado que este se puede considerar como un trabajo piloto, se hace necesario
validarlo mediante la replicación en otros contextos, tanto en su metodología
como en sus resultados.
Como punto de partida se hace necesario la revisión de las contenidos y
prácticas pedagógicas que se realizan en la institución, relacionadas con el
desarrollo del pensamiento espacial y especialmente en las áreas de ciencias
naturales y matemáticas, donde en forma explícita se abordan estas
habilidades cognitivas.
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ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA INDUCCIÓN AL CONCEPTO DE
ÁREA
Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com
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TALLER 1:
GRADO: 4
LOGRO:
Explora, descubre propiedades y regularidades de los números, utiliza habitual
y críticamente materiales y medios para verificar predicciones, realizar y
comprobar cálculos y resolver problemas.
INDICADORES:
Representa numéricamente figuras de diferentes tamaños.
Establece relaciones numéricas en figuras geométricas.
Reconoce variables dependientes e independientes en las figuras formadas.
MATERIAL:
Cuadrados, rectángulos, triángulos de diferentes tamaños. Papel cuadriculado,
lápiz.
ESTRATEGIAS METODOLOGICAS:
A cada grupo de 2 estudiantes se les entrega una bolsa con aproximadamente
100 cuadrados, rectángulos y triángulos de diferentes tamaños para realizar las
siguientes actividades:
1. a. A partir de unidades o patrones de medida, formar figuras de diferente
tamaño (con solo cuadrados, rectángulos o triángulos)
b. Asignar a cada figura las relaciones numéricas correspondientes.
2. a. A partir de una cantidad determinada realizar todas las figuras posibles.
b. Cuántas figuras geométricas pueden formar con 1, 2, 3..., 18 cuadrados.
Que diferencia hay entre las figuras formadas con números pares e
Impares?
c. A partir de símbolos matemáticos representar las figuras
correspondientes.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
En papel cuadriculado, represente gráficamente todas las posibles figuras que
se puedan formar con 32 cuadrados, asígnele una representación simbólica,
observe, escriba sus conclusiones.
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Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com
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TALLER 2
GRADO.4
LOGRO:
Reconoce características de figuras planas y líneas, los utiliza en su vida
cotidiana en trabajos prácticos como medición, elaboración de dibujos y
construcción de modelos.
INDICADOR:
Relaciona subfiguras con la figura mayor en cuanto a su tamaño y proporciones
(doble, triplos, medios, tercios, decimos, centésimos etc.)
Establece relaciones numéricas entre las unidades figurales de dimensión 1
(rectas y segmentos) y dimensión 2 que se observan en una figura dada
atendiendo a fracciones: medios, tercios, duplos, triplos.
MATERIAL: Cuadrados, rectángulos, triángulos de diferentes tamaños. Un
cuadrado de cartulina de 15 cm X 15 cm, tijeras, hojas de papel cuadriculado,
lápiz, colores.
ESTRATEGIA METODOLOGICA:
1. a. Formar diferentes figuras utilizando subfiguras como cuadrados,
rectángulos, triángulos.
b. Relacionar cada una de las subfiguras con las figuras más grandes.
Relacionar las subfiguras entre sí. Escriba su conclusión
2. a. Elaboración del tangram.
b. Relacione cada una de las figuras del tangram entre sí y con la figura
mayor en cuanto a tamaño y proporciones (dobles, medios, cuartos).
Escriba las conclusiones.
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
Dibuja figuras que representen el duplo, triple, cuádruplo... de otra, el medio el
tercio el cuarto, la décima parte, la centésima parte... de otra. Colorear
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ÁREA
Jorge Lorenzo Sánchez Irreño. Jorlosa @htomail.com
Ivonne López Rincón. Ilorin55@yahoo.com
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TALLER 3
GRADO: 4
LOGRO:
Identifica en objetos y situaciones de su entorno las magnitudes de longitud y
área. Reconoce procesos de conservación y desarrolla procesos de medición y
estimación de dichas magnitudes y las utiliza en situaciones de la vida diaria.
INDICADOR:
Hace diferentes figuras geométricas con una piola de longitud determinada, la
cual le sirve para formar los lados de dichas figuras.
Calcula el área de cada figura, usando diferentes métodos no convencionales.
Registra y sistematiza datos que le permiten observar patrones de
comportamiento entre perímetro y figuras respecto del área.
MATERIAL: Piola, regla o metro, alfileres, icopor, papel milimetrado. lápiz
ESTRATEGIA METODOLOGICA:
1. Tome una piola, anúdela en los extremos, precise su longitud.(después de
anudarla). Sobre una superficie plana donde pueda introducir 3 o más
alfileres, forme todas las posibles figuras. Se sugiere como superficie
blanda un pedazo de icopor sobre el cual se pega una hoja de papel
milimetrado
2. Calcula el área de cada figura formada. Se debe crear formas de hallar el
área sin usar formula
a. Cuadrados y rectángulos
b. Triángulos
c. Trapecios.
d. Círculos
e. Otras
Explique el procedimiento empleado para encontrar estas áreas.
3. Observar que cambia en cada figura, que permanece constante, explicitar un
concepto de perímetro a partir de la experiencia.
4. Relacione el perímetro y las figuras, respecto al área. Establezca las
correspondientes comparaciones y diferencias con cuadrados y
rectángulos, luego entre triángulos, después entre trapecios,...etc.
finalmente compare estas áreas con la de la circulo.
Registre, sistematice y analicé los datos. Escriba su análisis.
¿Qué cambia en la figura cuando varia la longitud de sus lados pero no su
perímetro?
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA:
Elabore en cartulina un cuadrado, un rectángulo y un triangulo y un circulo que
tenga de perímetro 54 cm, calcule sus áreas, compárelas y escriba una
conclusión.
BIBLIOGRAFIA
Brousseau, G. (1993). Objeto de los estudios en didáctica. En: Didáctica de
las Matemáticas. CINVESTAD-IPN. México.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. (1998). Lineamientos Curriculares
de Matemáticas. Cooperativa Editorial Magisterio. Santa Fe de Bogotá.
Sánchez, J. (2003). ¿COMO REPRESENTAN GRÁFICAMENTE: 1cm2, 2cm2 y
3cm2 ESTUDIANTES DE LA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE
IBAGUÉ (ENSI)?. En: Cuadernos de Investigación 1. Programa de
Formación Docente. Ciclo Complementario. E.N.S.I.
Vergnaud, G. (1993).La teoría de los campos conceptuales. En: Didáctica de
las Matemáticas. CINVESTAD-IPN. México.