Triangulación de Polígonos

Triangulación de Polígonos
comp-420
Triangulación de polígonos
Triangulación: descomposición de un polígono simple en triángulos.
Cualquier triangulación de un polígono simple con n vertices tiene n-2
triángulos.
El algoritmo más simple, llamado de corte de orejas (ear clipping) es de
orden O(n2).
El método antes visto para particionar polígonos en partes monotonas es
útil porque podemos triangularlas con complejidad O(n).
Ear clipping triangulation
Una oreja de un polígono es un triángulo formado por tres vertices consecutivos
dentro del cual no hay otro vértice del polígono.
El segmento de recta entre vi-1 e vi+1 se llama diagonal.
El vértice vi se llama punta de la oreja.
Un triángulo consiste en una sola oreja aunque se puede poner como punta de la
oreja cualquiera de los tres vértices.
Un polígono de cuatro o más lados siempre tiene al menos dos orejas que no
traslapan ( probado por G.H. Meisters, Polygons have ears, Amer. Math. Monthly). Esto
sugiere un algoritmo recursivo para la triangulación.
Si podemos encontrar una oreja en un polígono con n≥4 vertices y removerla,
tendremos un polígono de n-1 vertices y podemos repetir el proceso.
Una implementacion inmediata tomaría O(n3).
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
Ear clipping triangulation
Almacenar el polígono como una lista doblemente ligada de manera a poder eliminar
rapidamente las puntas de las orejas:
construir la lista toma O(n).
Iterar sobre los vertices para encontrar orejas.
para cada vértice vi y su triángulo correspondiente (vi-1, vi, vi+1) (el indexado es
módulo n por lo que vn=v0 y v-1 = vn-1) probar todos los otros vértices para ver si
hay alguno dentro del triángulo.
Si no hay ninguno dentro del triángulo es una oreja, si hay al menos uno no lo es.
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
Ear clipping triangulation
Es suficiente considerar solamente los vertices reflex
para ver si estan contenidos en el triangulo.
vertice reflex - el ángulo interior formado entre las
dos aristas que lo comparten es mayor a 180 grados.
vertex convex - el ángulo interior formado entre las
dos aristas que lo comparten es menor a 180 grados.
La estructura de datos de polígono mantiene 4 listas
doblemente ligadas simultáneamente:
los vertices del polígono en una lista ligada cíclica,
los vertices convex en una lista lineal,
los vertices reflex en una lista lineal,
las puntas de orejas en una lista ligada cíclica.
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
convex
reflex
Ear clipping triangulation
Una vez construida la lista inicial de vertices reflex y orejas, se eliminan las orejas una
a una.
si vi es una oreja que se elimina, la configuracion de la arista en los vertices
adyacentes puede cambiar. Si el vertice adyacente es...
convexo es facil convencerse que va a seguir siendo convexo.
oreja, no se queda oreja necesariamente despues de eliminar a vi.
reflex, es posible que se vuelva convex o posiblemente oreja después de eliminar
a vi.
Despues de eliminar a vi, si un vertice adyacente es convex, probar si es una oreja
iterando sobre los vertices reflex y probando si estan contenidos en el triangulo de
ese vertex. Hay O(n) orejas, hay que verificar O(n) veces por oreja. El proceso total
de eliminación de orejas toma O(n2).
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
Ear clipping triangulation
6
9
5
8
4
Vertices reflex R = { 2, 5, 7, 8 }
7
0
Vertices convex C = { 0, 1, 3, 4, 6, 9 }
2
Vertices oreja E = { 3, 4, 6, 9 }
3
1
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
Ear clipping triangulation
Vertices convex C = { 0, 1, 3, 4, 6, 9 }
6
9
5
8
4
Vertices reflex R = { 2, 5, 7, 8 }
7
0
Vertices oreja E = { 3, 4, 6, 9 }
2
3
1
Eliminar oreja 3 :
Primer triangulo en la triangulación T0 =
⟨ 2, 3, 4⟩.
D. Eberly. Geometric Tools. (www.geometrictools.com)
Triangulación de un polígono
monónoto
Sea P un polígono monótono respecto a y con n vértices.
Suponemos que P es estrictamente monótono (que no contiene aristas
horizontales)
Siempre podemos ir hacia abajo al “caminar” en las fronteras izquierda o
derecha del polígono a partir del vértice más alto de P hasta el más bajo.
Podemos seguir a P desde arriba hacia abajo en ambas cadenas en su
frontera agregando diagonales cuando sea posible.
Este es un algoritmo glotón: conectamos la mayor parte de vértices
posible con diagonales en cada iteración.
Triangulación de un polígono
monónoto
El algoritmo maneja los vértices en orden decreciente de su coordenada y.
Se requiere una estructura auxiliar: una pila (stack)
Inicialmente, esta pila está vacía, luego contiene los vértices de P que se
han encontrado (al paso de la línea de barrido) pero que necesitan más
diagonales.
Al manejar un vértice se le añaden tantas diagonales con los vértices de la
pila como sea posible.
Estas diagonales dividen al polígono en triángulos.
El vértice más bajo será el que esté arriba en la pila.
Triangulación de un polígono
monónoto
not contain horizontal edges. Thus we always go down when we walk on the
left or right boundary chain of P from the highest vertex of P to the lowest
POLYGON TRIANGULATION
one. This is the property that makes triangulating a monotone polygon easy:
top toque
bottom
both chains, adding
our way
through P from
La porción de P que we
nocanhawork
sido
triangulada
pero
seonencuentra
arriba
diagonals whenever this is possible. Next we describe the details of this greedy
del último vértice visitado
tiene forma de embudo.
triangulation algorithm.
Chapter 3
triangles
split off
not yet
triangulated
popped
The algorithm handles the vertices in order of decreasing y-coordinate. If two
Una
frontera
dely-coordinate,
embudo
deoneparte
defirst.
una
vertices
have the same
thenconsta
the leftmost
is handled
The
algorithm
requires
a stack
sola
arista
de P
. S as auxiliary data structure. Initially the stack is
empty; later it contains the vertices of P that have been encountered but may
still need more diagonals. When we handle a vertex we add as many diagonals
Lafrom
otra
frontera
esonuna
cadena
queThese
consta
desplit
losoff
this vertex
to vertices
the stack
as possible.
diagonals
P. The (reflex),
vertices thates
have
been handled
but notcuyo
split off—the
triangles from
vértices
reflejo
decir,
aquellos
ángulo
vertices on the stack—are on the boundary of the part of P that still needs to be
interior
al menos
180°.
triangulated.es
Thede
lowest
of these vertices,
which is the one encountered last, is
on top of the stack, the second lowest is second on the stack, and so on. The
P that
still needs
to bealto
triangulated,
and lies
above the last
that
part ofel
Solo
vértice
más
(el más
profundo
envertex
la pila)
has been encountered so far, has a particular shape: it looks like a funnel turned
esupside
convexo.
down. One boundary of the funnel consists of a part of a single edge of
P, and the other boundary is a chain consisting of reflex vertices, that is, the
◦ . Only the highest vertex, which is
interior
angle at these vertices
is at least 180durante
Esta
propiedad
se mantiene
toda la
at the bottom of the stack, is convex. This property remains true after we have
ejecución
delvertex.
algoritmo
handled the next
Hence, it is (invariante).
an invariant of the algorithm.
Now, let’s see which diagonals we can add when we handle the next vertex.
We distinguish two cases: v j , the next vertex to be handled, lies on the same
chain as the reflex vertices on the stack, or it lies on the opposite chain. If v j
lies on the opposite chain, it must be the lower endpoint of the single edge e
triangulation algorithm.
The algorithm handles the vertices in order of decreasing y-co
vertices have the same y-coordinate, then the leftmost one is h
algorithm requires a stack S as auxiliary data structure. Init
empty; later it contains the vertices of P that have been enco
still need more diagonals. When we handle a vertex we add as
from this vertex to vertices on the stack as possible. These di
triangles
triangles from P. The vertices that have been handled but n
manejar un vértice vj distinguimos
entre dos casos.
split off
vertices on the stack—are on the boundary of the part of P tha
triangulated. The lowest of these vertices, which is the one en
vj se encuentra en la misma cadena
queof los
vértices
reflejo
dethe stack
on top
the stack,
the second
lowest(dentro
is second on
still needs to be triangulated,
and lies above th
part of P that
la pila). Se puede triangular a los vértices
inmediatamente
superiores
has been encountered so far, has a particular shape: it looks lik
sobre la mismanotcadena.
upside down. One boundary of the funnel consists of a part of
yet
P, and the other boundary is a chain consisting of reflex ver
triangulated
vj se encuentra en la cadena opuesta
a los
reflejo
debe
elthe highes
interior
anglevértices
at these vertices
is at least
180◦ser
. Only
at the
bottom
of the stack,
convex. This
property remains tr
vértice inferior de la arista frontera
del
embudo.
Se ispueden
agregar
to Hence,
which aitdiagonal
was added
or, algorit
if no d
handled the last
nextvertex
vertex.
is an invariant
of the
diagonales a todos vértices de la pilaNow,
excepto
estará
added,
it isal
theúltimo
neighbor
ofque
v jwe
onya
the boundary
P—see
let’s see
which
diagonals
can
add whenofwe
handlF
popped
conectado con vj.
We distinguish two cases: v j , the next vertex to be handled,
popped and
chain as the reflex vertices on pushed
the stack, or it lies on the oppo
lies on the opposite chain, it must be the lower endpoint of t
bounding the funnel. Due to the shape of the funnel, we can ad
popped
e
v j to all vertices currently on the stack,
except for the last one
at the bottom of the stack); the last vertex on the stack is the u
pushed
so it is already connected to v j . All these vertices are poppe
The untriangulated part of the polygon above v j is bounded
that connects v j to the vertex previously
on top of the stack a
vj
vj
popped and
extending downward from
this vertex, so it looks like a funnel
pushed
pushed
is preserved. This vertex and v j remain part of the not yet trian
¿Dónde agregar diagonales?
Al
pushed
pushed
Triangulación de un polígono
monónoto
has been done we push v j onto the stack. In both cases the invariant is restored:
one side of the funnel is bounded by a part of a single edge, and the other side
is bounded by a chain of reflex vertices. We get the following algorithm. (The
algorithm is actually similar to the convex hull algorithm of Chapter 1.)
Algorithm T RIANGULATE M ONOTONE P OLYGON(P)
Input. A strictly y-monotone polygon P stored in a doubly-connected edge
list D.
Output. A triangulation of P stored in the doubly-connected edge list D.
1. Merge the vertices on the left chain and the vertices on the right chain of P
into one sequence, sorted on decreasing y-coordinate. If two vertices have
the same y-coordinate, then the leftmost one comes first. Let u1 , . . . , un
denote the sorted sequence.
2. Initialize an empty stack S, and push u1 and u2 onto it.
3. for j ← 3 to n − 1
4.
do if u j and the vertex on top of S are on different chains
5.
then Pop all vertices from S.
Insert into D a diagonal from u j to each popped vertex,
6.
except the last one.
7.
Push u j−1 and u j onto S.
8.
else Pop one vertex from S.
9.
Pop the other vertices from S as long as the diagonals from
u j to them are inside P. Insert these diagonals into D. Push
the last vertex that has been popped back onto S.
10.
Push u j onto S.
11. Add diagonals from un to all stack vertices except the first and the last one.
How much time does the algorithm take? Step 1 takes linear time and Step 2
the same side as the
the stack
0
1
2
3
4
6
5
7
8
10
9
11
12
13
14
15
16
18
17
19
21
20
22
23
24
0
0
1
1
2
2
3
4
3
4
6
5
6
5
7
7
8
10
9
8
10
9
11
12
13
14
11
12
13
15
14
16
18
17
15
16
18
17
19
19
20
21
20
21
22
22
23
23
24
24
0
0
1
1
2
2
3
4
3
4
6
5
6
5
7
7
8
10
9
8
10
9
11
11
12
14 15
13
12
14 15
13
16
16
18
17
18
17
19
21
19
20
21
22
20
22
23
23
24
24
Triangulación de un polígono
monónoto
El paso 1 toma tiempo lineal
El paso 2 toma tiempo constante
El ciclo for se ejecuta n-3 veces, una ejecución puede tomar tiempo lineal.
En cada ejecución del ciclo for se insertan a lo más dos vértices en el
stack, entonces el número total de inserciones en el algoritmo está
acotado por 2n-4.
Como el número de operaciones pop no puede exceder el número de
operaciones push, el tiempo total de ejecuciones para el ciclo for es O(n).
El último paso del algoritmo toma a lo más tiempo lineal.
El algoritmo se ejecuta en O(n).