corriente alterna - Facultad de Ingeniería

CORRIENTE ALTERNA
SILVIA E. ELÍAS
DERECHOS DE COPIA:
Estos Apuntes se presentan en forma digital para su consulta por los alumnos de
las Asignaturas Electromagnetismo y Física II de las carreras: Ingeniería
Electrónica, Ingeniería Electromecánica, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil,
Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Ingeniería Industrial, Ingeniería en
Minas e Ingeniería en Metalurgia Extractiva, de la Facultad de Ingeniería de la
UNSJ.
De forma general, se autoriza su impresión, pero nunca su modificación y/o
utilización con fines diferentes al mencionado.
2
ÍNDICE
Introducción ________________________________________________________ 4
Corriente Continua y Corriente Alterna __________________________________ 5
Corriente Sinusoidal__________________________________________________ 8
Ventajas de la Señal Alterna __________________________________________ 10
Circuitos de Corriente Alterna _________________________________________ 12
Relación de fase en circuitos de corriente alterna _____________________________ 12
Análisis de Circuitos de Corriente Alterna_______________________________ 13
Consideraciones generales _______________________________________________
Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna __________________
Un condensador conectado a un generador de corriente alterna__________________
Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna__________________
13
15
17
19
Circuito RCL Serie __________________________________________________ 23
Generalidades _________________________________________________________
Solución analítica ______________________________________________________
Solución mediante el empleo de fasores _____________________________________
Empleo de números complejos ____________________________________________
23
25
27
30
Circuito RCL Paralelo _______________________________________________ 34
Generalidades _________________________________________________________
Solución analítica ______________________________________________________
Solucion mediante el empleo de fasores _____________________________________
Empleo de números complejos ____________________________________________
34
36
38
40
Circuitos Mixtos ____________________________________________________ 43
Resonancia ________________________________________________________ 46
Circuito resonante serie _________________________________________________
Circuito resonante paralelo_______________________________________________
Características de los circuitos resonantes serie ______________________________
Características de los circuitos resonantes paralelo ___________________________
Aplicaciones de los circuitos resonantes _____________________________________
46
46
47
48
48
Valores Medios y Eficaces ____________________________________________ 49
Potencia en los Circuitos de Corriente Alterna____________________________ 53
Potencia en un circuito resistivo puro_______________________________________
Potencia en un circuito capacitivo puro _____________________________________
Potencia en un circuito inductivo puro ______________________________________
Potencia en un circuito cualquiera _________________________________________
Potencia activa y reactiva ________________________________________________
Factor de potencia______________________________________________________
Potencia compleja ______________________________________________________
54
56
57
58
60
61
62
Ejercicios resueltos __________________________________________________ 66
Ejercicio Nº 1: Modelo del motor eléctrico___________________________________ 66
Ejercicio Nº2 __________________________________________________________ 69
3
CORRIENTE ALTERNA
INTRODUCCIÓN
Casi todos los días de nuestra vida usamos aparatos eléctricos que funcionan con
corriente alterna, entre los que se encuentran las radios, los televisores, ordenadores,
los teléfonos, los frigoríficos, etc. Lo que hace a la electricidad alterna generalmente
más útil que la continua, es que la primera puede ser controlada más fácilmente.
La frecuencia de las instalaciones de producción de energía eléctrica está
normalizada. Esto se debe a que las máquinas y aparatos eléctricos de corriente alterna
funcionan normalmente a una frecuencia determinada para la cual están calculados. En
la mayoría de los países del mundo la frecuencia normalizada es de 50Hz ó 60Hz. La
disminución de la frecuencia por debajo de los 40Hz es inadmisible, ya que con ello es
perceptible para la vista el centelleo de las lámparas de incandescencia; el aumento de
la frecuencia tampoco es deseable ya que da lugar al crecimiento proporcional de la
f.e.m. de autoinducción, lo que dificulta sustancialmente la transmisión de energía por
los hilos de las líneas aéreas.
En la industria para fines especiales se aplican ampliamente corrientes alternas de
las más variadas frecuencias: en los motores rápidos de 400 a 2000Hz, en hornos
eléctricos de 500Hz a 50MHz, etc. Las corrientes alternas de altas frecuencias son
necesarias para la transmisión sin cables de cantidades relativamente pequeñas de
energía mediante ondas electromagnéticas, en la radiotécnica, televisión (de hasta
3.1010Hz) y en la mayoría de los dispositivos de electrónica industrial.
Para los dispositivos de alta frecuencia, en lugar de la frecuencia se emplea
ampliamente el concepto de longitud de onda. Para la frecuencia industrial de 50Hz, la
longitud de onda es de 6000km, pero para la frecuencia de 30.109Hz es igual a 1cm.
Un alto porcentaje de la energía generada en el mundo está en forma de corriente
alterna. El uso preferente de la corriente alterna en las instalaciones electroenergéticas
e industriales se explica principalmente por el hecho de que con corriente alterna
trabajan los transformadores, y los motores de corriente alterna son más sencillos,
resistentes y baratos que los motores de corriente continua. Tiene especial importancia
la posibilidad de transformar la energía eléctrica, o sea, una transformación sencilla y
con pequeñas pérdidas, de la corriente de gran intensidad y baja tensión, en corriente
de pequeña intensidad y alta tensión o la transformación inversa.
Una bobina giratoria dentro de un campo magnético induce una f.e.m. alterna de
una manera muy eficiente.
En este capítulo se presentan algunos aspectos sobre la corriente alterna en
circuitos eléctricos.
4
CORRIENTE CONTINUA Y CORRIENTE ALTERNA
La corriente eléctrica puede ser continua o alterna.
La corriente continua se abrevia con las letras C.C. (Corriente Continua) o D.C.
(Direct Current); y la alterna, por C.A. (Corriente Alterna) o A.C.(Alternated Current).
La C.C. implica un flujo de carga que fluye siempre en un solo sentido. Una
batería produce C.C. en un circuito porque sus bornes tienen siempre el mismo signo
de carga. Los electrones se mueven siempre en el circuito en el mismo sentido: del
borne negativo que los repele al borne positivo que los atrae. Aún si la corriente se
mueve en pulsaciones irregulares, en tanto lo haga en un solo sentido, es C.C.
La C.A. se comporta como su nombre lo indica, los electrones del circuito se
desplazan primero en un sentido y luego en sentido contrario, con un movimiento de
vaivén en torno a posiciones relativamente fijas. Esto se consigue alternando la
polaridad del voltaje del generador o de otra fuente.
La ventaja de la corriente alterna proviene del hecho de que la energía eléctrica
en forma de corriente alterna se puede transmitir a grandes distancias por medio de
fáciles elevaciones de voltaje que reducen las pérdidas de calor en los cables.
La aplicación principal de la corriente eléctrica, ya sea C.C. o C.A., es la
transmisión de energía en forma silenciosa, flexible y conveniente de un lugar a otro.
Las Figs.1 y 2 muestran graficas de V = V ( t ) correspondientes a distintos tipos
de corriente continua.
V
V
t
t
Fig. 1
Fig. 2
Corriente continua constante.
Corriente continua variable.
La representación de la C.C., es la de la Fig.1 , si el valor de la tensión es
constante durante todo el tiempo y la de la Fig.2 si dicho valor varía a lo largo del
tiempo (pero nunca se hace negativa).
Ahora bien, existen generadores en los que la polaridad está constantemente
cambiando de signo, por lo que el sentido de la corriente es uno durante un intervalo
de tiempo, y de sentido contrario en el intervalo siguiente.
5
Obsérvese que siempre existe paso de corriente; lo que varía constantemente es
el signo (el sentido) de ésta.
V
t
Fig.3
Corriente alterna.
Las corrientes alternas más importantes son las llamadas corrientes alternas
periódicas: son aquellas que se repiten cada cierto intervalo de tiempo llamado
PERÍODO, se expresa en unidades de tiempo y se representa por la letra T .
En las Figs.4 a 7 se muestran varios tipos de corrientes alternas periódicas.
V
V
t
t
Fig. 4
Fig. 5
Corriente rectangular.
Corriente triangular.
V
V
t
t
Fig. 6
Fig. 7
Corriente diente de sierra.
Corriente sinusoidal.
Históricamente, las primeras corrientes eléctricas utilizadas fueron las C.C. que,
debido a las grandes pérdidas que implica su transporte, eran utilizadas en lugares
próximos al sitio donde se generaban. El uso de C.A. permitió el transporte de energía
a grandes distancias.
6
Los voltajes bajos son más prácticos para uso local, porque se aíslan con más
facilidad y no hay peligro de descargas disruptivas como cuando los voltajes son altos.
En reciprocidad, como mostraremos, es mucho más eficiente transmitir la energía
eléctrica a altos voltajes, desde una planta generadora hasta los lugares donde se vaya
a utilizar. Los transformadores nos permiten reconciliar las distintas necesidades de
voltaje de la transmisión a grandes distancias y del uso local. El hecho de que los
transformadores requieren C.A. para funcionar, ha determinado el papel del la C.A. en
nuestro uso de la electricidad.
Se puede demostrar que es más eficiente transmitir energía eléctrica a altos
voltajes, sea de C.A. o de C.C.
El hecho de que la misma potencia puede ser transmitida a una baja tensión y
gran intensidad de corriente o bien a una alta tensión y pequeña intensidad de corriente
tiene un gran valor práctico.
Un circuito elemental de transmisión de energía eléctrica consta de un generador
que suministra energía eléctrica sobre una línea de transporte formada por dos
conductores de resistencia r , a una carga de resistencia R . De acuerdo con la Ley de
Ohm la tensión de este circuito es:
ε = I r + I R = I r + VC
(1)
Multipliquemos la Ec. (1) por la intensidad de corriente, transformándola de esta
manera en la ecuación de distribución de potencia en el circuito:
ε I = I 2 r + I VC
(2)
Donde ε I es la potencia entregada por el generador; I 2 r es la pérdida de potencia en
los conductores de la línea y PC = I VC es la potencia consumida por la carga.
Si aumentamos dos veces la tensión en los bornes de la carga, para obtener igual
potencia es necesario disminuir dos veces la intensidad de corriente de carga, o sea,
I
2
hasta el valor I ′ = . En este caso las pérdidas en los conductores de la línea (para r
invariable) disminuyen cuatro veces ya que:
I ′2 r =
I2 r
4
Por lo tanto, al aumentar dos veces la tensión, si se mantiene invariable el
porcentaje de pérdidas en la transmisión, se puede disminuir cuatro veces la sección de
los conductores o aumentar cuatro veces la longitud de la línea de transmisión.
7
CORRIENTE SINUSOIDAL
Las funciones seno y coseno son funciones periódicas. La función coseno es la
π⎞
⎛
función seno desfasada hacia la izquierda un cuarto de ciclo: cos (ω t ) = sen ⎜ ω t + ⎟
2⎠
⎝
y = sen x
y = cos x
y
T
1
−2π
2π
−1
x
π⎞
⎛
cos ω t = sen ⎜ ω t + ⎟
2⎠
⎝
T=
f =
2π
ω
( Período ) =
1
f
ω
(Frecuencia)
2π
La más importante de las corrientes alternas periódicas es la llamada corriente
sinusoidal o senoidal, porque es la única capaz de pasar a través de resistencias,
bobinas y condensadores sin deformarse. Puede demostrarse que cualquier otra forma
de onda se puede construir a partir de una suma de ondas sinusoidales de determinadas
frecuencias. Se llama sinusoidal porque sigue la forma de la función matemática
SENO. Esta función es: donde:
v : es el valor instantáneo de la tensión, es decir, el valor en un determinado
instante t .
i : es el valor instantáneo de la corriente, es decir, el valor en un determinado
instante t .
V : es el valor de pico de la tensión, también llamado amplitud de la tensión.
I : es el valor de pico de la corriente, también llamado amplitud de la corriente.
ω : es una constante propia de la corriente de que se trate, relacionada con la
frecuencia.
t : es el tiempo expresado en segundos.
8
Los parámetros que caracterizan la señal en C.A. son: la amplitud, la frecuencia
angular y la fase inicial.
Frecuencia angular
v( t ) = V sen (ω t + φ )
Amplitud
Fase inicial
Las Figs. 8 a 10 muestran la influencia de la variación de estos parámetros.
Variación de amplitud
v
V1
t
V1 ⟨ V ⟨ V2
Fig. 8
Variación de amplitud en la Función SENO.
Variación de frecuencia
v
ω1 ⟨ ω
t
ω
ω2 ⟩ ω
Fig. 9
Variación de frecuencia angular en la Función SENO.
9
Variación de fase inicial
v
φ1
t
φ =0
φ2 ⟩ φ1
Fig. 10
Variación de fase en la Función SENO.
10
VENTAJAS DE LA SEÑAL ALTERNA
Frente a la corriente continua, la alterna presenta las siguientes ventajas:
ƒ Se genera en los alternadores sin grandes dificultades.
ƒ Los generadores de C.A. (alternadores) son más eficaces y sencillos que los de C.C.
(dínamos).
ƒ La tecnología necesaria para el transporte de energía a grandes distancias es mucho
más económica y accesible.
ƒ Su elevación y reducción, necesarias para reducir las pérdidas de energía, se realiza
con altos rendimientos y bajo costo mediante los transformadores.
ƒ Los receptores de C.A. son más numerosos y utilizables en casi todas las
aplicaciones.
ƒ La conversión de C.A. en C.C. no presenta complicaciones.
Además, frente a otros tipos de onda, la señal senoidal tiene las siguientes
propiedades:
ƒ La función seno se define perfectamente mediante su expresión matemática.
ƒ Es fácil de operar.
11
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
En este capítulo, la discusión queda limitada a circuitos que sólo contengan
elementos lineales; de modo que las relaciones entre las corrientes, voltajes, sus
derivadas y sus integrales sean lineales, siendo las constantes de proporcionalidad los
parámetros R, L y C o sus recíprocos.
El único elemento de importancia en el circuito de C.C. (además de la fuente de
f.e.m.) es el resistor.
Puesto que la C.A. se comporta en forma distinta de la C.C., los elementos
adicionales del circuito adquieren importancia. Además de la resistencia, tanto la
inducción electromagnética como la capacitancia desempeñan papeles importantes.
En electricidad aplicada los circuitos de C.A. son de gran importancia, pero aquí
nos limitaremos a discutir los circuitos elementales y al estudio de algunos métodos
sencillos para su análisis, cuando tales circuitos están conectados a una fuente de
tensión senoidal.
El análisis de los circuitos de C.A. exige el planteamiento y la solución de ciertas
ecuaciones diferenciales. Para profundizar más en el conocimiento de estos circuitos,
examinaremos el problema desde varios puntos de vista.
Además de desarrollar las ideas necesarias para discutir las relaciones tensiónintensidad en los circuitos de C.A., discutiremos la disipación de potencia en tales
circuitos.
Relación de fase en circuitos de corriente alterna
En todos los circuitos de C.C., el voltaje y la corriente alcanzan sus valores
máximos y el valor cero al mismo tiempo, por lo que se dice que están en fase. Los
efectos de la inductancia y la capacitancia en circuitos de C.A. evitan que el voltaje y
la corriente alcancen sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo. Es decir, la
corriente y el voltaje en la mayoría de los circuitos de C.A. están fuera de fase.
12
ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Consideraciones generales
Un circuito de C.A. consta de una combinación de elementos (resistencias,
capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.
Una f.e.m. alterna senoidal se produce mediante la rotación de una bobina con
velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme.
ε = ε m sen ω t
(3)
Para analizar los circuitos de corriente alterna se emplean dos procedimientos,
uno geométrico denominado de vectores rotatorios o fasores, y otro que emplea los
números complejos.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del
Movimiento Armónico Simple como proyección sobre el eje “y” de un vector rotatorio
de longitud igual a la amplitud y que rota con una velocidad angular igual a la
frecuencia angular.
Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la
amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha
cantidad. Los vectores se hacen rotar en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Con letras mayúsculas representaremos los valores de la amplitud y con letras
minúsculas los valores instantáneos.
En la Fig.11 , se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre
el eje “y”, del extremo de un vector rotatorio de módulo igual a la amplitud A.
y
JG
A
a = A sen (ω t + φ)
ωt
φ
x
Fig. 11
Interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple.
13
Este vector rota con velocidad angular ω igual a la frecuencia angular del M.A.S,
en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale a = Asen (ω t + φ ) .
El ángulo (ω t + φ ) que forma el vector rotatorio con el eje de las “x” se
denomina fase del movimiento. El ángulo φ que forma en el instante t = 0 , se
denomina fase inicial.
En la Fig.12 se muestra el vector rotatorio (fasor) en su movimiento durante un
intervalo [0, T ] , para φ = 0 . T es el tiempo que tarda el punto en recorrer la
circunferencia, es decir, el PERÍODO del movimiento circular, que es el mismo que el
del movimiento armónico correspondiente.
ε, i
Ver animación
π
0
2π
θ
Fig. 12
Función armónica generada por un vector rotatorio (fasor).
14
Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna
Consideremos un circuito que contiene un resistor puro en serie con un generador
de C.A. como se observa en la Fig. 13 .
ε = ε m sen (ω t )
R
Fig. 13
Fuente de corriente alterna conectada a una resistencia.
Este es un circuito ideal en el que los efectos inductivos y capacitivos son
despreciables.
Numerosos dispositivos de uso doméstico como lámparas, calentadores y
tostadores, se aproximan a una condición de resistencia pura.
Aplicando la ley de las mallas de Kirchhoff a este circuito:
ε − vR = 0
(4)
encontramos que la diferencia de potencial entre las terminales de la fuente, es igual a
la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia, por tanto:
vR = ε m sen (ω t ) = iR R
(5)
donde vR es la caída de tensión instantánea en la resistencia, por lo tanto la corriente
instantánea será:
iR =
ε
R
=
εm
R
sen ω t
(6)
Si la resistencia es óhmica ( R independiente de v e i ), la dependencia temporal de i
es:
iR = I R sen (ω t ) ,
IR =
εm
R
(7)
donde la amplitud de la corriente, I R es constante.
15
La Fig. 14 muestra los fasores generatrices de i y ε para el circuito resistivo
puro de la Fig. 13 .
ε, i
Ver animación
iR
vR
ωt
0
Fig. 14
Fasores generatrices de i y v para un circuito resistivo puro.
Como iR y vR varían según sen (ω t ) , Ecs. (5) y (7), alcanzan sus valores máximos al
mismo tiempo, por lo tanto se dice que están en fase.
7π
,
4ω
como la de la Fig.15 , vemos que los extremos de las flechas corresponden a los
valores de tensión y corriente máximos, que desplazados sobre el eje vertical nos dan
los valores instantáneos de la tensión y corriente en la resistencia.
Haciendo una instantánea de la animación mostrada en la Fig.14 , para t ′ =
En la Fig.15( b ) puede verse que para un circuito de corriente alterna puramente
resistivo, el voltaje y la corriente están en fase o dicho de otro modo, el ángulo de fase
entre el voltaje y la corriente es cero.
JJG
JJG
El diagrama de fasores, Fig.15( a ) nos muestra esta relación con I R y VR
paralelos, mientras rotan en sentido antihorario.
ε, i
iR
t' =
vR
7π/4
7π
4ω
ω t’
JJG
G
VR JJ
=Gε
ωt
IR
(a)
(b)
Fig. 15
(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.13. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.
EN LOS CIRCUITOS RESISTIVOS PUROS LA CORRIENTE Y LA TENSIÓN
ESTÁN EN FASE.
16
Un condensador conectado a un generador de corriente alterna
En la Fig.16 se muestra una fuente de corriente alterna conectada a un
condensador, formando un circuito de corriente alterna puramente capacitivo.
ε = ε m sen (ω t )
C
Fig. 16
Fuente de corriente alterna conectada a un condensador.
La regla de las mallas de Kirchhoff aplicada al circuito da:
ε − vC = 0
(8)
Por lo tanto:
vC = ε m sen (ω t )
donde vC =
(9)
q
es la caída de tensión en el capacitor.
C
Para obtener la corriente debemos despejar q y derivarla respecto del tiempo.
q = C ε m sen (ω t )
iC =
dq
= ω C ε m cos (ω t )
dt
π⎞
⎛
Usando la relación cos( ω t ) = sen ⎜ ω t + ⎟ , podemos escribir:
2⎠
⎝
π ⎞
⎛
iC = I C sen ⎜ ω t + ⎟
I C = ω C ε m = ε m ( 1 ωC )
2 ⎠
⎝
(10)
(11)
donde I c es la amplitud de la corriente oscilante.
En la sección anterior vimos que para un circuito resistivo I R = ε m R , por
analogía definimos la reactancia capacitiva X C como:
XC =
1
ωC
(12)
17
Por lo tanto, la amplitud de la corriente es:
Ic =
εm
(13)
XC
La amplitud de la corriente resulta inversamente proporcional a la reactancia
capacitiva. Obsérvese que las unidades de la reactancia capacitiva son las mismas que
las de la resistencia, así que la unidad SI de la reactancia capacitiva es también el
ohmio ( Ω ) .
En los circuitos puramente capacitivos, la reactancia capacitiva limita la amplitud
de la corriente de forma similar a como la limita la resistencia en los circuitos
resistivos. Sin embargo, al contrario de lo que ocurre con la resistencia, la reactancia
capacitiva depende de la frecuencia; es proporcional a la inversa de la frecuencia. La
reactancia capacitiva es también proporcional a la inversa de la capacidad del
condensador, de manera que para una misma frecuencia, un condensador de menor
capacidad impide el paso de la corriente en mayor medida que otro de capacidad más
alta.
Comparando las expresiones de vC e iC , Ecs. (9) y (11), observamos que se
encuentran desfasadas en (π/2) rad.
La Fig.17 muestra cómo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir
del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia
de fase entre ellas.
ε, i
Ver animación
iR
vR
ωt
0
Fig. 17
Fasores generatrices de i y v para un circuito capacitivo puro.
La Fig.18 muestra la instantánea de la Fig.17 , para t ′ =
7π
.
4ω
El máximo de vC está siempre desplazado (π/2) radianes (o 90°) hacia la derecha
del máximo de iC .
18
Esto significa que el voltaje alcanza su máximo valor un cuarto de período más
⎡ t π / 2⎤
y podemos decir que “el voltaje se encuentra
tarde que la corriente ⎢ =
ω ⎥⎦
⎣4
retrasado 90° respecto de la corriente” o que “la corriente
adelanta al voltaje en 90°”.
JJG
En el diagrama de fasores, Fig. 18( a ) , el fasor VC va siempre (π/2) por detrás del
JJG
fasor I C , conforme ambos rotan en sentido contrario a las agujas del reloj.
ε, i
JJG
IC
7π/4
t' =
iC
7π
4ω
vC
ω t’
JJG
G
VC = ε
ωt
(a)
(b)
Fig. 18
(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.16. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.
EN LOS CIRCUITOS CAPACITIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ
ADELANTADA 90° RESPECTO DE LA TENSIÓN.
19
Una inductancia conectada a un generador de corriente alterna
En la Fig. 19 se muestra una fuente de corriente alterna conectada a una
inductancia, formando un circuito puramente inductivo.
ε = ε m sen (ω t )
L
Fig. 19
Fuente de corriente alterna conectada a una inductancia.
Aunque realmente la mayoría de las inductancias poseen una resistencia
apreciable en sus bobinados, supondremos por simplicidad que esta inductancia posee
una resistencia suficientemente baja como para poderla despreciar.
Aplicando la regla de las mallas de Kirchhoff a este circuito se obtiene:
ε − vL = 0
(14)
Por lo tanto:
vL = ε m sen (ω t )
Como vL = L
(15)
diL
, podemos escribir:
dt
ε m sen (ω t ) = L
diL
dt
(16)
Para obtener la corriente integramos ambos miembros de la ecuación anterior, es decir:
∫ di
L
=
εm
L
∫ sen( ω t ) dt
Los límites de integración se ignoran ya que dependen de las condiciones iniciales, las
cuales no son importantes en esta situación.
Por lo tanto:
iL = −
εm
cos( ω t ) + C
ωL
(17)
20
La constante de integración representa una componente continua de la corriente.
Como la fuente produce una f.e.m. que oscila simétricamente respecto al cero, no
puede existir esta componente continua y la constante de integración debe ser cero.
π⎞
⎛
Usando la relación − cos( ω t ) = sen ⎜ ω t − ⎟ , podemos escribir:
2⎠
⎝
π⎞
⎛
iL = I L sen ⎜ ω t − ⎟ ,
2⎠
⎝
IL =
εm
ωL
(18)
donde I L es la amplitud de la corriente.
Por analogía con la resistencia y con la reactancia capacitiva, definimos la
reactancia inductiva X L , como:
XL = ω L
(19)
de forma que la amplitud de la corriente es:
IL =
εm
(20)
XL
La amplitud de la corriente es proporcional a la inversa de la reactancia
inductiva. La unidad SI de la reactancia inductiva es el ohmio ( Ω ) .
En los circuitos inductivos, la reactancia inductiva limita la corriente, de la
misma forma que la resistencia limita la corriente en los circuitos resistivos y la
reactancia capacitiva lo hace en los circuitos capacitivos.
La reactancia inductiva es directamente proporcional a la inductancia del
inductor y a la frecuencia ω . Una inducción, impedirá poco el paso de una corriente
que varía lentamente, pero impedirá fuertemente el paso de una corriente de variación
rápida.
ε, i
iR
Ver animación
vR
ωt
0
Fig. 20
Fasores generatrices de i y v para un circuito inductivo puro.
21
Al igual que para el circuito capacitivo, la comparación de las expresiones de vL ,
e iL , Ecs. (15) y (18), nos indica que sus oscilaciones se encuentran desfasadas π/2
rad., pero este desfasaje tiene signo contrario al del circuito capacitivo.
La Fig. 20 muestra cómo se generan las gráficas de i y ε frente a ω t a partir
del correspondiente diagrama de fasores, y en ellos se observa claramente la diferencia
de fase entre ellas.
Si, como en los casos anteriores, detenemos la animación de la Fig. 20 para un
7π
, obtenemos la Fig.21 .
instante cualquiera, por ej. para t ′ =
4ω
En la Fig.21( b ) se muestran las gráficas de iL y vL frente a ωt para el circuito
inductivo y el correspondiente diagrama de fasores en la Fig.21( a ) .
En las gráficas de iL y vL , el máximo de vL aparece desplazado π/2 radianes o
90° a la izquierda del máximo de iL , esto significa que el voltaje alcanza su máximo
⎡T π / 2 ⎤
valor un cuarto de período antes que la corriente ⎢ =
. En el diagrama de
ω ⎥⎦
⎣4
JJG
JJG
fasores el fasor VL va π/2 rad. por delante del fasor I L mientras ambos rotan en sentido
antihorario.
Podemos describir este resultado diciendo que “el voltaje adelanta a la corriente
en 90°” o que “la corriente está retrasada 90° respecto del voltaje”.
t′ =
ε, i
7π
4ω
vL
ω ′t
7π/4
JJG
JJG
G
VL = ε
IL
ωt
iL
(a)
(b)
Fig. 21
(a) Diagrama de fasores para el circuito de la Fig.19. (b) Gráficas de i y v frente a ω t para el mismo circuito.
EN LOS CIRCUITOS INDUCTIVOS PUROS LA CORRIENTE ESTÁ
ATRASADA 90° RESPECTO DE LA TENSIÓN.
22
CIRCUITO RCL SERIE
Generalidades
La Fig. 22 muestra un circuito formado por la combinación en serie de una
resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de C.A. En el estudio de este
circuito aparecerán juntos los aspectos estudiados en las secciones anteriores.
R
ε = ε m sen (ω t )
C
L
Fig. 22
Circuito de C.A. que contiene Resistencia, Inductancia y Capacitancia en Serie.
La f.e.m. está dada por la Ec. (3)
ε = ε m sen (ω t )
(3)
Dado que los cuatro componentes de nuestro circuito están conectados en serie,
por todos ellos circula la misma corriente. Considerando los resultados de las
secciones anteriores, podemos esperar que el voltaje oscilante v de la fuente produzca
una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω, pero desfasada respecto a v, por lo
tanto:
i = I sen (ω t + φ )
(21)
en la cual todavía falta determinar los valores de I y φ .
Aplicando la regla de las mallas de Kirchhoff, la suma de los voltajes entre los
extremos de la resistencia, el condensador y el inductor, es igual al voltaje de la fuente,
es decir:
ε = vR + vC + vL
(22)
En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en forma sinusoidal con el
tiempo, y sus valores máximos son, respectivamente:
23
⎧ε m
⎪V = I R
R
⎪ R
⎨
⎪ VC = I C X C
⎪V = I X
L
L
⎩ L
(23)
La Ec. (22) es válida en cualquier instante de tiempo, por lo tanto se puede usar para
calcular i y φ a partir de la Ec. (21). Sin embargo, debido a las diferencias de fase
que existen entre los distintos términos, este método no es sencillo, como veremos a
continuación.
24
Solución analítica
Vamos a obtener la solución del circuito RCL de la Fig. 22 rigurosamente.
Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será también
sinusoidal. Podemos, pues escribir las expresiones siguientes para la intensidad y la
tensión:
i = I sen (ω t ) ,
ε = ε m sen (ω t + φ )
(24)
Deseamos obtener la amplitud y el ángulo de fase. El hecho de que las tensiones
instantáneas en cada elemento se suman para dar la tensión aplicada, Ec. (22), puede
expresarse en la forma:
I R sen (ω t ) + I Lω cos (ω t ) −
I
cos (ω t ) = ε m sen (ω t + φ )
ωC
(25)
Hemos hecho esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las
tensiones empleando la función trigonométrica apropiada. La solución de esta
ecuación nos permite hallar la relación entre ε e i así como el ángulo de fase entre
ellas.
Como la Ec. (25) es válida en cualquier instante, podemos escribir
π
particularizando para ω t = 0 y para ω t = , las ecuaciones:
2
I
= ε m sen φ
ωC
(ω t = 0 )
(26)
⎛π
⎞
I R = ε m sen ⎜ + φ ⎟ = ε m cos φ
⎝2
⎠
π⎞
⎛
⎜ω t = ⎟
2⎠
⎝
(27)
I Lω −
Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando, resulta:
2
⎡ 2 ⎛
1 ⎞ ⎤ 2
2
⎢ R + ⎜ Lω −
⎟ ⎥ I = εm
ωC ⎠ ⎦⎥
⎝
⎣⎢
Despejando I obtenemos:
I=
εm
R + ( X L − XC )
2
2
(28)
Por lo tanto podemos escribir:
25
I=
εm
(29)
Z
la cual recuerda la relación I =
ε
para redes resistivas de una sola malla actuadas por
R
una f.e.m. estacionaria.
La magnitud:
Z =
R2 + ( X L − X C )
2
(30)
se denomina impedancia de un circuito RCL en serie. También podemos escribir:
εm = I Z
o
Z =
εm
I
(31)
Para obtener el ángulo de fase dividimos miembro a miembro las Ecs. (26) y (27):
tan φ =
(VL
− VC )
VR
(32)
La aplicación de este procedimiento a circuitos más complejos, puede resultar
complicado, en consecuencia, se recurre al diagrama de fasores.
26
Solución mediante el empleo de fasores
En la Fig. 23( a ) se han dibujado los tres diagramas de las
Figs. 15( a ), 18( a ) y 21( a ) , modificados en dos aspectos. Se ha cambiado la escala
de modo que la amplitud de la intensidad sea la misma en todos o sea: I R = I C = I L = I
Asimismo, los diagramas se han rotado unos respecto a otros hasta conseguir que los
fasores generatrices de la intensidad sean paralelos. Estas dos modificaciones son las
apropiadas para el circuito serie, en el que la intensidad en todos los puntos del circuito
es la misma.
JJG
VL
JJG JJG
VL − VC
JJG
VC
G
ε
φ
JJG
VR
G
I
JJG
VR
(a)
(b)
Fig. 23
(a) Diagrama de fasores para el circuito RCL Serie de la Fig.22.
JJG JJG JJG
(b)Relación entre los fasores VR , VC , VL y V , para el mismo circuito.
Por
G último, conviene aclarar que, para simplificar el diagrama, se ha trazado el
fasor I de modo que coincida con el eje horizontal, lo cual tiene la siguiente
justificación:
G
La orientación del fasor I , se determina por su fase inicial α . Ésta depende del
instante en que comienza la lectura del tiempo, por lo tanto es arbitraria en la mayoría
de los casos. Aprovechando la posibilidad de elegir arbitrariamente la fase inicial, al
analizar los circuitos de C.A., conviene dirigir por el eje horizontal un vector conocido
cualquiera. De este modo se considera igual a cero su fase inicial. Después de esto,
todos los demás fasores se orientan con relación al fasor conocido.
G
Por lo tanto, un único fasor I representa la corriente en todos los elementos del
circuito, y su componente vertical corresponde a la Ec. (21).
JJG
G
VR es paralelo a I , pues en un componente resistivo, el voltaje está en fase con la
corriente.
JJG
G
JJG
G
VC está retrasado π/2 rad. respecto a I , como ocurre para un componente
capacitivo.
VL está adelantado π/2 rad. respecto a I , como sucede para un componente
inductivo.
27
Habiendo conseguido que la amplitud y fase de la intensidad sean las mismas en
todos los elementos, JJlos
G JJvectores
G JJG generatrices de la tensión correspondientes a
vR , vC y vL , es decir, VR , VC y VL , respectivamente, nos dan ahora las amplitudes y
fases relativas de las tensiones sinusoidales (instantáneas) entre extremos de los
elementos.
El valor instantáneo de la tensión del generador es igual a la suma de las
tensiones instantáneas entre extremos de cada elemento de acuerdo con la Ec. (22).
Además, como la suma de tensiones sinusoidales de la misma frecuencia es
siempre otra tensión sinusoidal, podemos expresar este mismo hecho diciendo que el
fasor generatriz de la tensión resultante, entre extremos de todos los elementos, es
precisamente igual a la suma vectorial de los fasores generatrices individuales, es
decir:
JJG JJG
JJG
G
VR + VC + VL = ε
(33)
En la Fig.23( b ) se ha representado esta relación entre fasores.
JJG
JJG
Como VC y VL están siempre en la misma recta y con sentidos opuestos, han sido
(
JJG
JJG
combinados en un único fasor VL − VC
JG
)
cuyo módulo es (VL − VC ) y dado que
G
JJG
entonces V = ε viene dado por la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos VR y
JJG JJG
(V
L
)
− VC , aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene:
ε m2 = VR2 + (VL − VC )
2
(34)
Sustituyendo los valores de VR , VC y VL dados por las Ecs. (23), tendremos:
2
2
2
ε m2 = ( I R ) + ( I X L − I X C ) = I 2 ⎡ R 2 + ( X L − X C ) ⎤
⎣
⎦
Despejando I llegamos de nuevo a la Ec. (28) deducida anteriormente por el método
analítico.
I=
εm
R + ( X L − XC )
2
I=
2
εm
Z
(35)
Por lo tanto se puede escribir:
Z =
R2 + ( X L − X C )
2
(36)
De este modo, se ha resuelto el primer problema propuesto, es decir determinar
I en términos de los cinco parámetros que caracterizan el circuito: R, C, L ε m y ω .
28
Nótese
JG que siempre que los términos de reactancia contribuyan a Z, el fasor
G
tensión V entre los extremos del circuito está fuera de fase con el fasor intensidad I .
Observando la Fig. 23( b ) , la magnitud del ángulo de fase se puede determinar a
partir de:
tan φ =
(VL
− VC )
VR
(37)
Las Ecs. (23) muestran que el voltaje a través de cada elemento depende
directamente de la resistencia o la reactancia. Como consecuencia de esto, es posible
construir un diagrama de fase alternativo considerando R, X L y X C como cantidades
vectoriales, como el de la Fig. 24 a ) .
Un diagrama de este tipo se puede utilizar para el cálculo de la impedancia, como
se aprecia en la Fig. 24 b ) .
JJJG
XL
(
JJJG JJJG
X L − XC
)
JG
Z
φ
JJJG
XC
JG
R
JG
R
(a)
(b)
Fig. 24
Diagrama de impedancias para el circuito de la Fig. 22.
El ángulo de fase a través del diagrama de impedancias se determina como:
tan φ =
( XL
− XC )
R
(38)
Por supuesto, este ángulo es el mismo que el que se obtiene mediante la Ec. (37)
Obsérvese a partir del diagrama de impedancias, que un valor de X L ⟩ X C da
por resultado un ángulo de fase positivo. En otras palabras, si el circuito es
predominantemente inductivo, el voltaje se adelanta a la corriente. En un circuito
predominantemente capacitivo, X C ⟩ X L y resulta un ángulo de fase negativo, lo cual
indica que el voltaje está atrasado respecto a la corriente. Por lo tanto el segundo
problema propuesto ha quedado resuelto, se ha expresado φ = φ ( R, C, L, ω ) .
29
Empleo de números complejos
El cálculo de los circuitos de C.A. mediante los diagramas vectoriales, resulta
demasiado laborioso para los circuitos complejos. Estos cálculos se simplifican
sustancialmente si representamos las magnitudes sinusoidales por números complejos.
El empleo del método complejo da la posibilidad de expresar en forma algebraica
las operaciones geométricas con los fasores de las corrientes y tensiones alternas. Esto
permite, en particular, aplicar para el cálculo de los circuitos de corriente alterna las
leyes de Kirchhoff y todos los métodos de cálculo de los circuitos complejos de C.C.
Al emplear el método complejo, los fasores se examinan en el plano complejo, o
sea en el sistema de coordenadas cartesianas, cuyo rasgo distintivo es que un eje se
considera real y el otro imaginario.
En los cálculos de los circuitos de C.A. aparecen cantidades complejas que
representan magnitudes sinusoidales de tiempo (corriente alterna, tensión alterna,
f.e.m.) y otras que no lo hacen (por ej., la impedancia Z , la admitancia Y , etc.). En la
mayoría de la bibliografía disponible, no se hace diferencia en su notación, y todas las
cantidades complejas se representan con letras mayúsculas con un asterisco de
superíndice. El módulo de una cantidad compleja se representa por una letra
mayúscula.
En beneficio de los estudiantes que ya conocen los métodos de trabajo con
magnitudes complejas, vamos a discutir su aplicación para resolver problemas de
circuitos de C.A.
Cuando se trabaja en problemas eléctricos, la letra j, comúnmente llamada
operador j, se usa en reemplazo de la i, para evitar confusiones con la corriente.
Las relaciones:
⎧ VR = I R
⎪
⎪ VC = I X C
⎨
⎪ VL = I X L
⎪ε = I Z
⎩ m
(39)
tienen la forma que establece la Ley de Ohm en corriente continua, para los valores
máximos de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos.
Por lo tanto si se obtiene ε m como la suma de VR , VC y VL se comete un
GRAVE ERROR. En cambio en un circuito de C.C. constituido por resistencias puras,
este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes.
Los valores son constantes, independientes del tiempo.
30
Para proceder en C.A. del mismo modo como lo hacemos en C.C., dibujamos el
mismo diagrama fasorial de la Fig. 23 pero considerando que los puntos extremos de
los fasores allí dibujados son puntos de un plano complejo, es decir representan
números complejos, como se hace en la Fig. 25 .
Im
Plano Complejo
VL*
V* = ε*
I*
*
CL
V
φ
ωt
VR*
Re al
VC*
Fig. 25
Representación de los fasores en el plano complejo para el circuito RLC Serie.
Por lo tanto, de acuerdo con este diagrama, podemos escribir las Ecs. (39) con
números complejos, es decir:
⎧VR* = I * R*
⎪ *
⎪VC = I * X C*
⎨ *
* *
⎪VL = I X L
⎪ *
* *
⎩ε = I Z
(40)
Según la Fig.25 , las expresiones complejas de la corriente y las tensiones
usando la representación exponencial serán:
I* = I e jω t
VR* = VR e j ω t
V = VC e
*
C
π⎞
⎛
j ⎜ω t − ⎟
2⎠
⎝
31
V = VL e
*
L
π⎞
⎛
j ⎜ω t + ⎟
2⎠
⎝
ε * = ε m e j (ω t + φ )
*
CL
V
= VC L e
π⎞
⎛
j ⎜ω t + ⎟
2⎠
⎝
VC* L = VL* − VC*
donde
y
VCL = VL − VC
De acuerdo a las Ecs. (40), podemos deducir la forma explícita que deben tener
los números complejos R* , X C* , X *L y Z * :
R =
*
VR*
I
*
*
C
*
C
*
X =
*
L
*
VR e jωt
=
Ie
jωt
=
VR
e
I
π⎞
⎛
j ⎜ωt − ⎟
2⎠
⎝
VC e
V
X =
=
I
I e jωt
*
L
Z* =
V
I
ε*
I
*
VL e
=
=
π⎞
⎛
j ⎜ωt + ⎟
2⎠
⎝
I e jω t
ε m e j (ω t + φ )
Ie
jω t
j (ω t − ω t )
=
VC
=
VL
=
e
I
I
εm
I
e
e
= R ⋅ e j 0 = R + j0
π
⎛
⎞
− ωt ⎟
j⎜ωt −
2
⎝
⎠
π
⎛
⎞
j⎜ωt +
− ωt ⎟
2
⎝
⎠
j (ω t + φ − ω t )
= XC e
= XL e
j
−j
π
2
π
2
= 0 − j XC = − j XC
= 0+ j XL = j XL
= Z e j φ = Z ( cos φ + j sen φ )
Por lo tanto:
R* = R ⋅ e j0 = R + j0 = R
X = X C ⋅e
*
C
X *L = X L ⋅ e
−j
j
π
π
2
= 0 − j XC = − j XC
(41)
(42)
= 0+ j ⋅ XL = j ⋅ XL
(43)
Z * = Z ⋅ e j φ = Z ⋅ ( cos φ + j sen φ )
(44)
2
Observando el diagrama fasorial del circuito RCL serie, Fig. 23 , podemos
obtener las siguientes relaciones:
cos φ =
VR
εm
(45)
32
sen φ =
VL − VC
(46)
εm
Recordando que
Z =
εm
I
, podemos escribir la parte real e imaginaria de Z * del
siguiente modo
Z ⋅ cos φ =
ε m VR VR
⋅
=
=R
I εm
I
Z ⋅ s en φ =
ε m VL − VC VL − VC VL VC
⋅
=
=
−
= X L − XC
I
I
I
I
εm
Con estos resultados, el número complejo Z * se puede expresar:
Z* = R + j ( X L − X C )
(47)
Según las Ecs. (41), (42) y (43), esta ecuación representa la suma de las tres
impedancias complejas, es decir:
Z * = R* + X C* + X *L
(48)
Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera:
En un circuito de C.A. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias
en serie, la impedancia total como número complejo es la suma de las impedancias
complejas de cada uno de los elementos del circuito.
Esta regla es la misma que se aplica en un circuito de C.C. con dos o más
resistencias en serie.
33
CIRCUITO RCL PARALELO
Generalidades
La Fig. 26 muestra un circuito formado por la combinación en paralelo de una
resistencia, un condensador, un inductor y una fuente de C.A.
ε = ε m sen (ω t )
R
C
L
Fig. 26
Circuito de C.A. que contiene Resistencia, Inductancia y Capacitancia en Paralelo.
Los circuitos paralelo son usados en los sistemas eléctricos más frecuentemente
que los circuitos serie. En equipos electrónicos se usan circuitos serie, paralelo y
combinación de éstos. A causa de que todas las bobinas y condensadores tienen alguna
resistencia, no es posible hacer un circuito conteniendo reactancias puras conectadas
en paralelo. Sin embargo, en algunas bobinas y condensadores, especialmente en éstos,
la resistencia es tan baja en comparación con la reactancia que se supone la resistencia
nula. En estas condiciones un circuito puede ser considerado como si sólo contuviera
una combinación de resistencias y reactancias puras conectadas en paralelo.
La f.e.m. está dada por la Ec. (3)
ε = ε m sen (ω t )
(3)
Dado que los cuatro componentes de nuestro circuito están conectados en
paralelo, la diferencia de potencial entre sus extremos es la misma. Considerando los
resultados de las secciones anteriores, podemos esperar que el voltaje oscilante v de la
fuente produzca una corriente oscilante i con la misma frecuencia ω, pero desfasada
respecto a v, por lo tanto:
i = I sen (ω t + φ )
(49)
Aplicando la regla de los nodos, la intensidad de línea es la suma de las
intensidades de cada rama, es decir:
iT = iR + iC + iL
(50)
34
En esta ecuación sólo aparecen cantidades que varían en forma sinusoidal con el
tiempo, y sus valores máximos son, respectivamente:
⎧ IT
⎪
⎪ IR = εm
R
⎪
⎪
⎨ I = εm
⎪ C XC
⎪
⎪I = ε m
⎪ L X
L
⎩
(51)
La Ec. (50) es válida en cualquier instante de tiempo, por lo tanto puede usarse
para calcular i y φ a partir de la Ec. (49).
Los elementos conectados en paralelo a través de un generador de C.A. se
estudian por los mismos procedimientos seguidos para los elementos conectados en
serie.
35
Solución analítica
Vamos a obtener la solución del circuito RCL del la Fig. 26 rigurosamente.
Si se aplica una tensión sinusoidal al circuito, la corriente resultante será también
sinusoidal. Podemos, pues escribir las expresiones siguientes para la tensión y la
intensidad:
ε = ε m sen (ω t )
i = I sen (ω t + φ )
(52)
Deseamos obtener la amplitud y el ángulo de fase.
El hecho de que las corrientes instantáneas en cada elemento se suman para dar
la corriente total, Ec. (50), puede expresarse en la forma:
εm
sen (ω t ) +
R
εm
XC
cos (ω t ) −
εm
XL
cos (ω t ) = I sen (ω t + φ )
(53)
Hemos hecho esta suma teniendo en cuenta el adelanto o retraso de fase de las
corrientes empleando la función trigonométrica apropiada. La solución de esta
ecuación nos permite hallar la relación entre i y ε así como el ángulo de fase entre
ellas.
Como la Ec.(53) es válida en cualquier instante, podemos escribir
π
particularizando para ω t = 0 y para ω t = , las ecuaciones:
2
⎛ 1
1 ⎞
−
⎟ = I sen φ
X
X
L ⎠
⎝ C
εm ⎜
⎛1⎞
⎟ = I cos φ
⎝R⎠
εm ⎜
(ω t = 0 )
(54)
π⎞
⎛
⎜ω t = ⎟
2⎠
⎝
(55)
Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando, resulta:
2
⎡ 1 ⎛ 1
1 ⎞ ⎤ 2
ε ⎢ 2 +⎜
−
⎟ ⎥= I
XL ⎠ ⎥
⎢⎣ R ⎝ X C
⎦
2
m
Despejando ε m obtenemos:
I=
εm
⎛ 1
1
1 ⎞
+⎜
−
⎟
2
R
⎝ XC X L ⎠
2
(56)
36
Por lo tanto podemos escribir:
I=
εm
(57)
Z
la cual recuerda la relación I =
ε
R
para redes resistivas de una sola malla actuadas por
una f.e.m. estacionaria.
La magnitud:
Z =
1
⎛ 1
1
1 ⎞
+
−
⎜
⎟
R2 ⎝ X C X L ⎠
2
(58)
se denomina impedancia del circuito RCL paralelo.
También podemos escribir:
1
=
Z
1 ⎛ 1
1 ⎞
+⎜
−
⎟
2
R
⎝ XC X L ⎠
2
(59)
Para obtener el ángulo de fase dividimos miembro a miembro las Ecs. (54) y (55):
1
1
−
X
X L ωC − 1 / ω L
tgφ = C
=
1/ R
1/ R
(60)
37
Solucion mediante el empleo de fasores
El diagrama de fasores para el circuito de la Fig.26 es el de la Fig.27 .
JJG
IC
JJG JJG
IC − I L
JJG
IL
JJG
IR
JJG
IT
φ
JJG
IR
G
ε
(a)
G
ε
(b)
Fig. 27
(a) Diagrama de fasores para el circuito RCL Paralelo de la Fig.26.
JJG JJG JJG
JJG
(b)Relación entre los fasores I R , I C , I L e IT , para el mismo circuito.
En este caso la diferencia de potencialGinstantánea a través de cada elemento es la
misma en amplitud y fase y solo un fasor ε representa el voltaje entre los bornes, ya
que:
JJG
JJG
JJG
G
VR = VC = VL = ε
(61)
La solución de los circuitos con dos o más receptores en paralelo, requiere la
determinación de las intensidades de las corrientes en cada rama del circuito, para
combinarlas luego vectorialmente y hallar la corriente resultante.
JJG
El fasor I R de amplitud
IR =
εm
(62)
R
G
JJG
y en fase con ε representa la intensidad en la resistencia. El fasor I C de amplitud
IC =
εm
XC
=
εm
1 / ωC
(63)
G
JJG
y avanzado 90º respecto a ε representa la intensidad en el condensador y el fasor I L
de amplitud:
IL =
εm
XL
=
εm
ωL
(64)
G
y retrasado 90º respecto a ε representa la intensidad en la autoinducción.
38
De acuerdo con la regla de los nodos de Kirchhoff, la intensidad instantánea en la
línea es igual a la suma (algebraica) de las intensidades instantáneas iT , es decir:
iT = iR + iC + iL
(65)
JJG
JJG JJG
JJG
y está representada por un fasor IT , suma vectorial de los fasores I R , I C e I L , es decir:
JJG
JJG JJG JJG
IT = I R + I C + I L
(66)
de donde:
IT = I R2 + ( I C − I L )
2
(67)
Sustituyendo los valores de I R , I C e I L dados por las Ecs. (62), (63) y (64),
obtenemos:
IT = ε m
1 ⎛ 1
1 ⎞
+⎜
−
⎟
2
R ⎝ XC X L ⎠
2
(68)
Por lo tanto se puede escribir:
I =
εm
(69)
Z
La magnitud Z dada por la ecuación:
1
=
Z
1 ⎛ 1
1 ⎞
+⎜
−
⎟
2
R ⎝ XC X L ⎠
2
(70)
se denomina impedancia de un circuito RCL paralelo.
En el diagrama φ es el ángulo de fase entre la intensidad resultante y la tensión
aplicada y está determinado por:
1
1
−
X
X L ωC − 1 / ω L
=
tgφ = C
1/ R
1/ R
Que resulta ser idéntica a la Ec. (60).
39
Empleo de números complejos
Las relaciones:
εm
⎧
I
=
R
⎪
R
⎪
⎪I = ε m
⎪ C X
C
⎨
⎪
ε
⎪IL = m
XL
⎪
⎪ε = I Z
⎩ m
(71)
tienen la forma que establece la Ley de Ohm en corriente continua, para los valores
máximos de las corrientes y las tensiones y no son válidas para valores instantáneos.
Por lo tanto si se obtiene I como la suma de I R , I C e I L se comete un
GRAVE ERROR. En cambio en un circuito de C.C. constituido por resistencias puras,
este proceder es correcto ya que no hay diferencias de fase entre tensiones y corrientes.
Los valores son constantes, independientes del tiempo.
Para proceder en C.A. del mismo modo como lo hacemos en C.C., dibujamos el
mismo diagrama fasorial de la Fig. 27 pero considerando que los puntos extremos de
los fasores allí dibujados son puntos de un plano complejo, es decir representan
números complejos, como se hace en la Fig. 28 .
Im
Plano Complejo
I C*
IT*
I *LC
ε*
φ
I *R
ωt
Re al
I *L
Fig. 28
Representación de los fasores en el plano complejo para el circuito RCL Paralelo.
40
Por lo tanto, de acuerdo con este diagrama, podemos escribir las Ecs. (71) con
números complejos, es decir:
⎧ * ε*
⎪ IR = *
R
⎪
⎪ * ε*
⎪I C = X *
C
⎨
*
⎪
ε
⎪ I *L = *
XL
⎪
⎪ *
* *
⎩ε = IT Z
(72)
Según la Fig. 28 , las expresiones complejas de las corrientes y la tensión,
usando la representación exponencial serán:
⎧ε *
⎪ *
⎪IR
⎪
⎪ *
⎨ IC
⎪
⎪ *
⎪IL
⎪ *
⎩ IT
= εm e jω t
= I R e jω t
= IC e
= IL e
= Ie
π⎞
⎛
j ⎜ω t + ⎟
2⎠
⎝
(73)
π⎞
⎛
j ⎜ω t − ⎟
2⎠
⎝
j (ω t + φ )
donde I *LC = I C* − I *L
De acuerdo a las Ecs. (72), podemos deducir la forma explícita que deben tener
los números complejos R* , X C* , X *L y 1 Z * :
R* =
X =
*
C
X =
*
L
ε*
I
*
R
ε*
I
*
C
ε*
I
*
L
=
=
ε m e jωt
IR e
jω t
ε m e j ωt
IC e
=
= R ⋅ e j0 = R + j0
π⎞
⎛
j⎜ωt + ⎟
2⎠
⎝
ε m e j ωt
IL e
π⎞
⎛
j⎜ωt − ⎟
2⎠
⎝
= XC e
= XL e
−j
j
π
2
π
2
= 0 − j XC = − j XC
= 0+ j XL = j XL
1
I* I e ( )
I
1
1
= * =
=
e j φ = e j φ = ( cos φ + j sen φ )
*
j ωt
ε
εm e
εm
Z
Z
Z
j ω t +φ
41
Por lo tanto:
R* = R e j0 = R + j0 = R
X C* = X C e
X = XL e
*
L
−j
j
π
2
π
2
(74)
= 0 − j XC = − j XC
(75)
= 0+ j ⋅ XL = j ⋅ XL
(76)
1
1
= ( cos φ + j sen φ )
*
Z
Z
(77)
Las Ecs.(74), (75) y (76) coinciden con las Ecs.(41), (42) y (43), obtenidas
anteriormente.
Observando el diagrama fasorial del circuito RCL paralelo, Fig. 27 , podemos
obtener las siguientes relaciones:
cos φ =
IR
I
sen φ =
IC − I L
(78)
I
Reemplazando las Ecs (78) en la Ec. (77), y recordando que Z =
εm
I
obtenemos:
⎛I I I I ⎞
1 cos φ
senφ I R I
=
+j
=
+ j⎜ C − L ⎟
*
Z
Z
Z
εm I
⎝ εm I εm I ⎠
1 1
= +
Z* R
⎛ 1
1 ⎞ 1
1
1
j⎜
−
+
⎟= −
⎝ X C X L ⎠ R jX C jX L
Teniendo en cuenta las Ecs. (74), (75) y (76), esta ecuación representa la suma
de las inversas de las tres impedancias complejas, es decir:
1
1
1
1
= *+ * + *
*
Z
R
XC XL
(79)
Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera:
En un circuito de C.A. constituido por resistencias, inductancias y capacitancias
en paralelo, la inversa de la impedancia total como número complejo es la suma de las
inversas de las impedancias complejas de cada uno de los elementos del circuito.
Esta regla es la misma que se aplica en un circuito de C.C. con dos o más
resistencias en paralelo.
42
CIRCUITOS MIXTOS
Cuando se trabaja con circuitos de corriente alterna, interesa conocer las
corrientes y tensiones sobre distintos elementos pasivos (resistencias, capacitores y
bobinas). Asimismo, dado que la f.e.m. que alimenta al circuito varía en el tiempo, es
importante conocer la respuesta de estos elementos como función del tiempo.
E1 análisis de circuitos de corriente alterna se ve simplificado sobremanera si se
utiliza la Ley de Ohm Generalizada, Ec.(80).
V =I Z
*
*
V*
Z = *
I
*
*
(80)
donde Z * es la impedancia del circuito.
Si la tensión aplicada varía senoidalmente, la impedancia puede expresarse como
una función de la frecuencia y de las tres constantes fundamentales del circuito:
R, C y L .
De este modo:
Para un circuito RESISTIVO puro:
La IMPEDANCIA es igual a la RESISTENCIA .
Z* = Z = R
Para un circuito CAPACITIVO puro:
La IMPEDANCIA es igual a la REACTANCIA CAPACITIVA .
X C* = −
1
j
ωC
Para un circuito INDUCTIVO puro
La IMPEDANCIA es igual a la REACTANCIA INDUCTIVA .
X *L = ω L j
Para un circuito RCL serie
La IMPEDANCIA EQUIVALENTE es la SUMA de las impedancias complejas
de cada uno de los elementos que constituyen el circuito
(
)
Z * = R + X *L − X C* j
43
Para un circuito paralelo
La INVERSA DE LA IMPEDANCIA EQUIVALENTE es la SUMA de las
inversas de las impedancias complejas de cada una de las n ramas del circuito.
1
1
1
1
1
= * + * + * + .... + *
*
Z
Z1
Z2 Z3
Zn
Para un circuito RCL paralelo
La INVERSA de la IMPEDANCIA TOTAL es la suma de las inversas de las
impedancias complejas de cada uno de las ramas del circuito.
1
1
1
1
=
+
+
Z* R
X C*
X *L
El uso del álgebra de números complejos hace posible la resolución de problemas
que serían muy difíciles de solucionar por otros métodos y permite un gran ahorro de
tiempo cuando hay que resolver un gran número de problemas simples.
El análisis de circuitos de C.A. mediante el uso de diagramas fasoriales y
números complejos se simplifica teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:
En el caso de un circuito serie, ha de tomarse el fasor intensidad de corriente
como base para determinar la relación de fase, puesto que es el mismo para todos los
componentes del circuito.
En el caso de un circuito paralelo, debe tomarse el fasor tensión como base para
determinar la relación de fase, ya que es el mismo para todas las ramas del circuito.
De este modo, los fasores representativos del circuito, se pueden expresar del
siguiente modo:
CIRCUITO RLC SERIE
CIRCUITO RLC PARALELO
I* = I + 0 j
ε* = εm + 0 j
VR* = VR + 0 j
I *R = I R + 0 j
VL* = 0 + VL j
I C* = 0 + I C j
VC* = 0 − VC j
I *L = 0 − I L j
ε * =VR* + VL* + VC*
IT* = I *R + I C* + I *L
44
Así, la resolución de un circuito de C.A. se limita a asignar las impedancias
correspondientes a cada rama y luego resolverlo como si fuera un circuito de C.C.
La Ley de Ohm Generalizada puede aplicarse para cada elemento del circuito y
esto permite hallar las dependencias temporales y los desfasajes de cada uno de los
elementos.
Dibujar un diagrama fasorial debe ser parte de cada análisis de circuitos. Si el
trazado de los diagramas se efectúa cuidadosamente, constituirá un análisis gráfico del
circuito. Sin embargo, por lo general es más fácil realizar el análisis numéricamente,
dibujando sólo esquemas a mano de los diagramas fasoriales. Estos esquemas nunca
deben ser omitidos, (a menos que el problema sea tan simple que el diagrama pueda
representarse mentalmente sin ayuda de papel y lápiz) ya que no sólo ayudan a
entender lo que está pasando sino que ahorran una cantidad enorme de tiempo al hacer
evidentes los errores muy grandes en la aritmética, como la inversión de un signo o la
colocación equivocada de un punto decimal.
Al trazar el primer fasor de corriente, cualquier longitud es conveniente para
representarlo y la escala del resto de los fasores corriente queda decidida al hacer esta
elección de longitud. Lo mismo sucede con los fasores tensión en relación con el
primer fasor tensión que aparezca en el diagrama.
45
RESONANCIA
La resonancia ocurre a la frecuencia para la cual la corriente terminal y el voltaje
terminal de una red reactiva están en fase uno respecto al otro.
Una red complicada con varias ramas reactivas puede tener varias frecuencias de
resonancia. Nos limitaremos al estudio de circuitos resonantes RCL serie puro y
paralelo puro.
Para la conexión en serie de L y C , aparece la resonancia de tensión, mientras
que para la conexión en paralelo, la resonancia de corriente.
Circuito resonante serie
En el diagrama de la Fig. 23 vemos que la condición de resonancia, exige que
las tensiones entre extremos de C y L sean iguales y opuestas, de modo que el ángulo
de fase sea cero. Por lo tanto:
VL = VC
⇒
X L = XC
por lo tanto
ωL =
1
ωC
⎛ 1 ⎞
Si llamamos ω0 a esta frecuencia de resonancia, tenemos que: ω0 = ⎜
⎟
⎝ LC ⎠
(81)
1/ 2
(82)
Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensión
intensidad coincide con la Ley de Ohm.
Circuito resonante paralelo
El circuito paralelo de la Fig. 26 también presenta un comportamiento
resonante.
En este caso, analizando el diagrama de la Fig. 27 observamos que la condición
de resonancia, exige que las corrientes a través de L y C sean iguales y opuestas, de
modo que el ángulo de fase sea cero. Por lo tanto:
I L = IC ⇒
1
1
=
X L XC
es decir ω L =
1
ωC
⎛ 1 ⎞
Si llamamos ω0′ a esta frecuencia de resonancia, tenemos que: ω0′ = ⎜
⎟
⎝ LC ⎠
(83)
1/ 2
(84)
Para este valor particular de frecuencia i y v están en fase y la relación tensiónintensidad coincide con la Ley de Ohm.
46
Características de los circuitos resonantes serie
En resonancia, la impedancia de un circuito serie es mínima y de valor igual a la
resistencia del circuito.
El circuito se comporta como resistivo puro. La intensidad que pasa por todas las
partes del circuito es la misma y es igual a la intensidad de línea. La corriente llega a
su valor máximo y está en fase con la tensión aplicada.
El factor de potencia del circuito es, por consiguiente, la unidad.
Los voltajes resultantes en las reactancias son aproximadamente iguales y con un
desfasaje entre ellos próximo a 180º, y el voltaje en la resistencia es igual al voltaje
aplicado.
Aumentando el valor de la resistencia disminuirán la intensidad de línea y los
voltajes en las reactancias.
La intensidad de corriente para la resonancia aumenta bruscamente, si la
resistencia es pequeña. Pero es de especial importancia el aumento brusco de las
tensiones en las reactancias, (sobre todo si éstas son grandes) que pueden alcanzar un
valor igual a varias veces la tensión aplicada. Pero en la práctica el límite del aumento
de las tensiones de reactancia será la perforación del aislamiento entre las espiras del
arrollamiento de la bobina o entre las armaduras del condensador.
La resonancia de tensión es un fenómeno peligroso para las instalaciones de
energía eléctrica Puede surgir inesperadamente, además los fusibles no protegen los
circuitos contra la aparición de altas tensiones parciales peligrosas, que pueden hacer
funcionar los dispositivos de protección para desconectar el equipo. Afortunadamente,
tales condiciones de resonancia son relativamente raras.
Para frecuencias menores que la de resonancia, la reactancia capacitiva es mayor
y la corriente va en adelanto.
Para frecuencias mayores que la de resonancia, la reactancia inductiva es mayor
y la corriente va en retraso.
47
Características de los circuitos resonantes paralelo
En resonancia, la impedancia de un circuito paralelo es máxima.
El circuito se comporta como resistivo puro y la corriente y la tensión están en
fase.
El factor de potencia del circuito será, por consiguiente, la unidad.
La intensidad de línea es mínima e igual al voltaje aplicado dividido por la
impedancia del circuito.
Los voltajes resultantes en la inductancia y en la capacitancia son iguales entre sí
e iguales al voltaje aplicado.
En resonancia las intensidades en la bobina y en el capacitor son
aproximadamente iguales y con un desfasaje entre ellas próximo a los 180º.
Aumentando el valor de la resistencia, disminuirá la impedancia del circuito y,
por lo tanto disminuirá la intensidad de línea.
A diferencia de la resonancia de tensión, la resonancia de corriente es un
fenómeno que no es perjudicial para la instalación eléctrica. Aquí no hay nada
inesperado, ya que para producir grandes corrientes reactivas es necesario conectar
bobinas de choque potentes y grandes baterías de condensadores.
Para frecuencias menores que la de resonancia, la intensidad en la bobina
aumenta y la intensidad de línea va en retraso.
Para frecuencias mayores que la de resonancia, la intensidad en el condensador
aumenta y la intensidad de línea va en adelanto.
Aplicaciones de los circuitos resonantes
Los principios de la resonancia se utilizan en radio, televisión y otros circuitos
electrónicos para aumentar la potencia de una señal útil y para disminuir al mínimo la
potencia de señales no convenientes.
Los circuitos resonantes serie se utilizan donde se busca la intensidad máxima
para una frecuencia definida o una banda de frecuencias. Por lo tanto, se aprovechan
en gran escala en la técnica de comunicaciones y en la automatización para sintonizar
los dispositivos transmisores y de recepción a una frecuencia determinada.
Los circuitos resonantes paralelo se utilizan donde la potencia de una señal de
cualquier frecuencia o banda de frecuencias ha de ser reducida al mínimo. También, el
régimen próximo a la resonancia de corriente se aplica en gran escala para aumentar el
factor de potencia de las empresas industriales.
48
VALORES MEDIOS Y EFICACES
La diferencia de potencial instantánea entre dos puntos de un circuito de C.A.
puede medirse conectando a través de ellos un oscilógrafo calibrado, y la intensidad
instantánea, conectando un oscilógrafo entre los extremos de una resistencia que forme
parte de dicho circuito. El galvanómetro ordinario de cuadro móvil tiene un momento
de inercia demasiado grande para seguir los valores instantáneos de una corriente
alterna: promedia el par fluctuante que actúa sobre su cuadro, y su desviación resulta
proporcional a la intensidad media.
La mayor parte de los instrumentos de medida en corriente alterna se calibran
para medir, no el valor máximo de la intensidad o el voltaje, sino el valor eficaz, que
es, como demostraremos a continuación, la raíz cuadrada del valor medio cuadrático
de la intensidad o el voltaje.
Se llama valor eficaz de una señal en corriente alterna al valor de una señal de
corriente continua constante, que desarrolla la misma potencia que la señal de alterna,
al aplicarla sobre una misma resistencia.
Es decir, se conoce el valor máximo de una corriente alterna ( I ) . Se aplica ésta
sobre una cierta resistencia y se mide la potencia producida sobre ella. A continuación,
se busca un valor de corriente continua que produzca la misma potencia sobre esa
misma resistencia. A este último valor, se le llama valor eficaz de la primera corriente
(la alterna).
Deduciremos la relación entre valores máximo y eficaz considerando una
resistencia de valor R recorrida por una intensidad continua I0 durante un tiempo t .
La cantidad de calor desprendida será I 02 R t .
Si sustituimos la C.C. por la C.A. y deseamos que el calor desprendido sea I ef2 R t ,
podemos determinar la relación entre esta I ef así definida y el valor máximo de la
corriente I, siendo i = I sen (ω t ) .
La potencia instantánea será i 2 R , por lo tanto en el tiempo t el calor
desarrollado valdrá:
I ef2 R t =
∫ i R dt
t
2
0
(85)
despejando
I ef2 =
1
t
t
∫I
0
2
sen 2 (ω t ) dt
(86)
Esta integral puede resolverse fácilmente recodando la siguiente definición:
El valor medio de cualquier magnitud. f ( t ) , variable con el tiempo, durante un
intervalo comprendido entre t1 y t2 , se define mediante la expresión:
49
f =
t2
1
f ( t )dt
t2 − t1 ∫t1
(87)
De donde:
f ( t2 − t1 ) = ∫ f ( t )dt
t2
(88)
t1
El valor medio tiene la siguiente interpretación gráfica: la integral
∫
t2
t1
f ( t )dt es
el área comprendida bajo la gráfica de f ( t ) en función de t , entre las ordenadas
correspondientes a t1 y t2 , y el producto f ( t2 − t1 ) es el área de un rectángulo de
altura f y base ( t2 − t1 ) . Ahora bien, según la definición de
iguales.
f dichas áreas son
Apliquemos esta definición a una magnitud que varia sinusoidalmente; por ej.
una intensidad dada por
i = I sen (ω t )
El valor medio de la intensidad para el medio ciclo comprendido entre
t = 0 y t = π / ω es
I=
π πω
2I
I sen (ω t ) dt =
∫
ω 0
π
(89)
Resulta así que la intensidad media es 2 π (aproximadamente 2/3) veces la
intensidad máxima, y el área comprendida bajo el rectángulo de la Fig. 29 es igual al
área bajo un arco de la sinusoide.
I
I=
2I
Fig. 29
π
El valor medio de una corriente sinusoidal,
0
π
ω
2π
ω
Calculado sobre un semiciclo es I
t
=
2I
π
.
El valor medio para un ciclo completo es cero.
La intensidad media para un ciclo completo (o número cualquiera de ciclos
completos) es:
I=
2π
ω
∫
2π
0
ω
I sen (ω t ) dt = 0
(90)
50
Como cabía esperar, ya que el área positiva bajo el arco comprendido entre
t = 0 y t = π / ω es igual al área negativa bajo el arco t = π / ω y t = 2π / ω , por lo
tanto si se envía una corriente sinusoidal a través de un galvanómetro de cuadro móvil,
el aparato señalara cero.
Teniendo en cuenta la definición del valor medio de una función, podemos
determinar el valor de la integral de la Ec. (86).
I ef2 =
t
1 t 2 2
⎞
2⎛1
=
ω
I
sen
t
dt
I
sen 2 (ω t ) dt ⎟ = I 2 sen 2 (ω t )
(
)
⎜
∫
∫
t 0
⎝t 0
⎠
(91)
Este valor puede deducirse examinando la Fig. 30 , en la que se comparan las
funciones sen (ω t ) y sen 2 (ω t ) . Como esta última es también sinusoidal pero
desplazada respecto al eje horizontal, vemos por simetría que su valor medio es 1 2 .
sen (ω t )
t
sen 2 (ω t )
Fig. 30
Demostración gráfica de que
1
sen 2 (ω t ) = 1 2
12
t
Por lo tanto:
sen 2 (ω t ) = 1 2
Analíticamente
trigonométrica:
sen 2 (ω t ) =
(92)
se
llega
1
⎡1 − cos ( 2 ω t ) ⎤⎦
2⎣
al
mismo
resultado
escribiendo
la
relación
(93)
Como el valor medio de cos ( 2ω t ) es cero, se deduce inmediatamente el
resultado de la ecuación (92).
51
Una vez que tenemos este valor el problema está resuelto. En efecto, teniendo en
cuenta las Ecs.(91) y (92),podemos escribir
I2
I =
2
2
ef
(94)
El mismo tipo de razonamiento conduce a:
Vef2 =
V2
2
(95)
De este modo hemos demostrado que los valores eficaces de la corriente y de la
tensión resultan ser los valores cuadráticos medios (RMS) de estas magnitudes, es
decir:
( )
VRMS = Vef = v
VRMS = Vef =
2
V
2
1/ 2
= ⎡V 2 sen 2 (ωt ) ⎤
⎣
⎦
1/ 2
= V ⎡ sen 2 (ωt ) ⎤
⎣
⎦
I RMS = I ef =
I
2
1/ 2
⎛1⎞
=V ⎜ ⎟
⎝2⎠
1/ 2
(96)
Las siglas R.M.S., comúnmente utilizadas para designar valores cuadráticos
medios provienen del término “root mean square”.
La importancia de los valores eficaces radica en que con ellos se obtienen
matemáticamente los mismos resultados que operando con valores instantáneos,
realizando operaciones mucho más sencillas.
Los voltajes y las intensidades en los sistemas de distribución de energía se
expresan siempre en función de sus valores eficaces, así cuando se habla de la red de
suministro de energía eléctrica en corriente alterna a 220V, quiere decirse que el valor
eficaz es 220V. La amplitud del voltaje es: Vm = 2 Vef = 311V .
52
POTENCIA EN LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
La potencia instantánea suministrada a un circuito de C.A. es:
p = vi
(97)
Siendo v la diferencia de potencial instantánea entre los bornes del circuito e i la
intensidad instantánea. Esta potencia proviene de la fuente, el generador (o la batería
para C.C.). La energía electromagnética recorre el circuito y reaparece como energía
térmica en una resistencia, o como energía mecánica en un motor o en una bocina,
como energía luminosa en una lámpara fluorescente, como energía química al cargar
una batería o quizá en alguna otra forma no eléctrica.
La expresión de potencia, Ec. (97), es la misma que la de C.C. donde P = VI pero
las variaciones periódicas de las tensiones y corrientes alternas dan lugar a las
variaciones periódicas de la potencia que éstas desarrollan.
Esta potencia periódica que varía rápidamente es una magnitud poco conveniente
para estimar el estado energético de los dispositivos de C.A. Por esta razón como
magnitud fundamental para valorar las condiciones energéticas en las instalaciones de
corriente alterna, se ha tomado su potencia media por período, llamada potencia activa
o simplemente potencia de corriente alterna, P.
Consideremos a continuación algunos casos especiales.
53
Potencia en un circuito resistivo puro
Si un circuito se compone de una resistencia pura R , como en la Fig.13 , v e i
están en fase. La grafica que corresponde a p se obtiene multiplicando en cada
instante las ordenadas de las gráficas de v y de i en la Fig.15( b ) y está
representada por la curva continua de la Fig.31 . (El producto vi es positivo cuando
v e i son ambas positivas o negativas.) En todo instante se suministra energía a la
resistencia, si bien el ritmo de suministro no es constante.
ε, i, p
iR
p
P
ωt
vR
Fig. 31
Potencia instantánea suministrada a una resistencia. La potencia media es
1
VI .
2
La curva de la potencia es simétrica respecto a un valor igual a la mitad de su
ordenada máxima VI , de modo que la potencia media es
1
P = VI
2
(98)
Se puede obtener el mismo resultado analíticamente. La ecuación de la curva de
potencia es:
P = V sen (ω t ) I sen (ω t ) = VI sen 2 (ω t )
(99)
Teniendo en cuenta la Ec. (93), podemos escribir:
1
1
p = VI − VI cos ( 2ω t )
2
2
(100)
1
VI , ya que es nulo el
2
valor medio del segundo término para un número entero de ciclos, es decir:
Por lo tanto, la potencia media es igual al término constante
54
1
P = VI
2
(101)
La potencia media puede escribirse también así:
P=
V I
= Vef I ef
2 2
(102)
Además, dado que Vef = I ef R , se tiene que:
P = I ef2 R
(103)
y toda la potencia suministrada al circuito se disipa en la resistencia produciéndose
elevación de temperatura o flujo calórico al medio exterior.
De la Ec. (100) se observa que la potencia instantánea “pulsa” con una frecuencia
que es el doble que la de la tensión o corriente. Además, queda claro también, que la
potencia media debe ser siempre positiva (o a lo sumo nula), lo cual pone de
manifiesto que se trata de una potencia consumida en la carga. Es decir, toda la
potencia suministrada a un circuito resistivo puro, se disipa en la resistencia,
produciéndose elevación de temperatura o flujo calórico al medio exterior. Es pues, la
potencia útil, siendo por ello que recibe el nombre de potencia activa.
Obsérvese que las Ecs. (102) y (103) tienen exactamente la misma forma que
para un circuito de C.C.
55
Potencia en un circuito capacitivo puro
Supongamos ahora un circuito capacitivo puro como el de la Fig. 16 . La
intensidad y el voltaje se hallan entonces desfasados 90º. Si se multiplican las curvas
de v y de i de la Fig. 18( b ) (el producto vi es negativo cuando v e i tienen
signos opuestos) se obtiene la curva de potencia de la Fig. 32 , que es simétrica
respecto al eje horizontal. La potencia media es, por lo tanto, nula.
ε, i, p
iC
p
vC
ωt
Fig. 32
Potencia instantánea suministrada a un condensador. La potencia media es nula.
Para comprender por qué sucede esto recordemos que potencia positiva significa
energía suministrada a un dispositivo, y potencia negativa quiere decir energía
suministrada por el dispositivo. El proceso que estamos considerando es, en definitiva,
el de carga de un condensador. Durante los intervalos en que p es positiva, se
suministra energía para cargar el condensador, y cuando p es negativa el condensador
se descarga y devuelve energía al generador.
El valor de la potencia media se obtiene como sigue. La potencia instantánea es:
1
p = VI sen (ω t ) cos (ω t ) = VI sen ( 2ω t )
2
(104)
El valor medio de sen ( 2ω t ) extendido a un número entero de ciclos, es nulo.
Por lo tanto:
P =0
56
Potencia en un circuito inductivo puro
La Fig. 33 es una curva de potencia de un circuito inductivo puro como el de la
Fig. 19 .
Como en el caso del condensador, la intensidad y el voltaje están desfasados 90º.
ε, i, p
iL
p
vL
ωt
Fig. 33
Potencia instantánea suministrada a una autoinducción. La potencia media es nula.
El valor de la potencia media se obtiene también como sigue. La potencia
instantánea es:
1
p = −VI sen (ω t ) cos (ω t ) = − VI sen ( 2ω t )
2
(105)
El valor medio de sen ( 2ω t ) extendido a un número entero de ciclos, es nulo y la
potencia media es nula.
P =0
En particular, cuando en un circuito hay una inductancia pura se producen
oscilaciones de energía entre la fuente y en campo magnético de la autoinducción. En
el campo magnético la energía se acumula mientras aumenta la intensidad de corriente;
cuando ésta decrece, la energía vuelve de nuevo a la fuente. Luego cuando la corriente
al pasar por el valor cero aumenta nuevamente, la energía se acumula otra vez en el
campo magnético, etc. Estas oscilaciones nocivas de energía condicionan la aparición
de la potencia negativa durante una parte de período de corriente alterna.
57
Potencia en un circuito cualquiera
En el caso más general la intensidad y el voltaje presentan un desfasaje φ , y
p = VI sen (ω t ) sen (ω t − φ )
(106)
La curva de la potencia instantánea tiene la forma representada en la Fig.34 . El
área comprendida bajo los arcos positivos es mayor que la situada bajo los negativos,
siendo así positiva la potencia media neta.
ε, i, p
φ
i
p
P
v
ωt
Fig. 34
Potencia instantánea suministrada a un circuito cualquiera de C.A..
La potencia media es
1
P = VI cos φ = Vef I ef cos φ .
2
Esto se demuestra como sigue. Utilizando la relación
sen (ω t − φ ) = sen (ω t ) cos φ − cos (ω t ) sen φ
(107)
la Ec. (106) puede escribirse:
P = VI ⎡⎣ sen 2 (ω t ) cos φ − sen (ω t ) cos (ω t ) senφ ⎤⎦
(108)
El primer término del paréntesis, salvo el factor cos φ , que es constante tiene
sen 2 (ω t ) , cuyo valor medio es ½. El valor medio del segundo término es nulo, puesto
que cos (ω t ) sen (ω t ) es simétrica respecto a cero, y sen φ es constante. Por lo tanto la
potencia media es:
1
P = VI cos φ = Vef I ef cos φ
2
(109)
Esta fórmula es válida independientemente de las causas que han dado lugar al
desfasaje en el circuito.
58
La Ec. (109) es la expresión general de la potencia suministrada a cualquier
circuito de C.A..
Esta ecuación establece que la potencia que entra a cualquier circuito de C.A. es
el producto de los valores eficaces del voltaje terminal por la corriente terminal y el
coseno del ángulo de fase. Sólo se aplica a corriente y voltaje senoidal.
Analizar la validez de la Ec. (109) en los casos citados previamente.
59
Potencia activa y reactiva
Sólo cuando la impedancia de la carga es puramente resistiva la potencia media
es P = Vef I ef , y únicamente con una carga resistiva la corriente se emplea totalmente
en suministrar potencia del generador a la resistencia de la carga. Cuando hay
reactancia así como resistencia, una componente de la corriente del circuito se emplea
en suministrar la energía que es almacenada y descargada periódicamente por la
reactancia. Esta corriente almacenada que está fluyendo a y desde el campo magnético
del inductor o el campo eléctrico del capacitor alternativamente, se suma a la corriente
del circuito pero no contribuye a la potencia media. Provoca pérdidas al hacer circular
más corriente de la necesaria por los conductores y hace que deban
sobredimensionarse.
Desde este punto de vista, la potencia media en un circuito es llamada activa, y la
potencia que suministra el almacenamiento de energía en los elementos reactivos, se
denomina potencia reactiva.
La potencia activa, designada por P es:
P = Vef I ef cos φ
(109')
y la potencia reactiva designada por Q es:
Q = Vef I ef senφ
(110)
La interpretación geométrica de estas ecuaciones es útil. En la Fig. 35( a ) se
JG
G
muestran los fasores V e I . Ambos tienen magnitudes R.M.S. Para calcular la potencia
G
JG
debemos encontrar la proyección de I sobre V y multiplicarla por V .
JG
V
I cos φ
φ
G
I
V sen φ
JG
V
φ
I sen φ
V cos φ
(a)
(b)
G
I
Fig. 35 (a), (b)
Geometría de P y Q
60
G
JG
Como la proyección de I sobre V es I cos φ , este método concuerda con la
Ec.(109'). La potencia activa se considera como el producto del voltaje por la
componente en fase o activa de la corriente.
En forma similar, la potencia reactiva es el producto del voltaje por la
componente reactiva de la corriente. Q es la proyección de I sobre una línea normal a
V, como en la Fig. 35( a ) , multiplicada por V.
JG
G
Alternativamente, los mismos V e I se muestran en la Fig.35( b ) . En este caso
G
JG
JG
la proyección de V se encuentra sobre I , resultando V cos φ . La proyección de V
G
sobre una línea normal a I , resulta V sen φ . Éstas al multiplicarse por I, dan como
resultado P y Q, respectivamente. Los resultados finales son los mismos cuando la
componente de la corriente se encuentra tanto en fase como en cuadratura con el
voltaje, que cuando las componentes del voltaje se encuentran en fase o en cuadratura
con la corriente.
Factor de potencia
El cos φ se usa tan frecuentemente que se le da un nombre especial. Por razones
que se deducen de la Ec. (109') se denomina factor de potencia del circuito.
Es un factor reductor, que es siempre menor o igual a la unidad y representa la
relación entre la potencia entregada a la carga y la potencia consumida (y por lo tanto
aprovechada) por la misma. Éste indica cuánta cantidad de la potencia aparente se usa
realmente, es decir se convierte en activa.
fp =
P
= cos φ
Vef I ef
(111)
Cuanto menor es el factor de potencia, es decir, cuanto mayor es el desfasaje,
tanto peor desde el punto de vista energético se aprovecha la instalación eléctrica: en
sus bornes se mantiene una tensión normal, consume una corriente considerable, sin
embargo su potencia activa es relativamente pequeña. Por ej., si la tensión en los
bornes de la instalación es V = 6kV , ésta carga la red de potencia activa P = 600kW
siendo la intensidad de corriente I = 200 A . El factor de potencia es: cos φ = 0.5
Sin embargo cuando cos φ = 1 , para obtener igual potencia sería suficiente que la
intensidad de corriente sea I = 100 A .
Por lo tanto, cuanto más pequeño sea el factor de potencia menor será la potencia
aprovechada. En la mayoría de los casos no se requiere una compensación total ya que
para cos φ = 0.95 queda una corriente reactiva prácticamente despreciable. Para
compensar esta corriente hay que aumentar considerablemente la capacidad de los
condensadores, lo que económicamente no es ventajoso.
Si no se tratara de tensiones y corrientes senoidales puras, el factor de potencia no
sería el cos φ .
61
Potencia compleja
Al elegir los transformadores, secciones de cables, interruptores, etc., es
necesario saber para qué intensidad de corriente deben ser calculados. Para ello no es
suficiente conocer la tensión y la potencia activa P, hay que determinar también el
cos φ de la instalación. Cuando hay varios receptores de energía con diferentes cos φ ,
estos cálculos se complican sustancialmente. Para facilitar estos cálculos, se introduce
una magnitud auxiliar, la potencia aparente.
La potencia de la corriente alterna no es una cantidad sinusoidal. Se compone de
un término constante y otro sinusoidal de frecuencia doble, por consiguiente no puede
determinarse como producto de los complejos de la tensión y de la corriente del
circuito examinado. Por esta causa para determinar la potencia basándose en los
complejos expresados en forma exponencial:
V * = Ve jα
(112)
I * = Ie j β
(113)
hay que aplicar un procedimiento artificial. Tomemos el complejo conjugado de
corriente:
I * = Ie− j β = I cos β − j I sen β
al multiplicarlo por el complejo de tensión, obtenemos:
S * =V * I * = VI e
j (α − β )
=VI e jφ = VI cos φ + jVI senφ = VI φ = P + jQ
(114)
ya que α − β = φ .
La magnitud obtenida, S * , se denomina potencia compleja. Su parte real es igual
a la potencia activa, P , y la parte imaginaria, es igual a la potencia reactiva Q .
En la Fig.36 se muestran P, Q y S* . P y Q se miden a lo largo de los ejes real
e imaginario, en el plano complejo de potencia.
Im
Plano Complejo
S*
Q
φ
P
Re al
Fig. 36
Potencia Compleja.
62
JG
Consideremos que en la Fig.35( b ) , V , V cos φ y Vsen φ , se multiplican cada
uno por I ef , el valor R.M.S. de la corriente. Cuando las componentes del voltaje se
multiplican por la corriente, se convierten en P y Q , respectivamente.
La potencia compleja es una cantidad compleja con módulo igual al producto del
voltaje por la corriente terminales (ambos R.M .S. ) y con un ángulo igual al ángulo de
fase por el cual la corriente está atrasada respecto al voltaje, como en la Fig. 36 .
La magnitud de S*, es la potencia aparente:
S = Vef I ef
(115)
de manera que:
S 2 = P2 + Q2
(116)
P = S cos φ
(117)
Q = S sen φ ,
Q = P tan φ
(118)
El nombre de potencia aparente proviene del hecho de que el circuito “aparenta”
consumir S , pero en realidad consume P , mientras que el resto corresponde a la
potencia reactiva Q .
Es importante notar que S * es un número complejo, pero no representa una
cantidad que varíe senoidalmente, como v e i . Z * es otro ejemplo de una cantidad
compleja que no representa una cantidad senoidal.
La Ec. (119) muestra una relación entre S * y Z * .
Otra forma útil de la Ec.(114), resulta cuando se introduce la impedancia. De la
definición de la impedancia en la Ec. (80),
Z* =
V * Vef jφ
=
e
I * I ef
usando el ángulo φ de la Fig. 35( a ) .
Entonces, de la Ec.(114):
S * = VIe jφ = I 2
V jφ
e = I 2 Z * = I 2 R + jI 2 X
I
(119)
Como S * = P + jQ , se observa que:
P = I 2R
y
Q = I2X
(120)
63
La Ec. (120) expresa que, así como una carga resistiva consume potencia activa,
una carga inductiva (con reactancia positiva) consume potencia reactiva. Por otro lado,
una carga capacitiva (teniendo reactancia negativa), puede decirse que consume
potencia reactiva negativa.
Si una línea alimenta dos cargas, una inductiva y la otra capacitiva, las dos cargas
juntas consumen únicamente la diferencia entre sus dos potencias reactivas.
El circuito inductivo tiene una potencia reactiva en atraso o negativa y el circuito
capacitivo tendrá una potencia reactiva en adelanto o positiva. Por lo tanto, sus
respectivos triángulos de potencia serán los de la Fig. 37
P
Q
S
Q
S
P
Circuito inductivo
Circuito capacitivo
Fig. 37
Triángulo de potencia.
En cualquier sistema hay conservación de la potencia reactiva al igual que hay
conservación de la potencia activa. Cualquier cantidad consumida por un dispositivo
debe ser producida por otro.
Si bien las tres potencias tienen unidades de V . A , se establecen las siguientes
diferencias:
[ P] = W
(Watt )
[Q ] = VAr
(Volt − Ampere reactivo )
[ S ] = VA (Volt − Ampere )
Por supuesto, el Watt y el VAr son dimensionalmente lo mismo que el VA . Este
cambio de notación, simplifica las indicaciones de la potencia en los catálogos,
cálculos, etc.
En los tableros de los transformadores y generadores, se indica la potencia
aparente. El aislamiento de los transformadores y generadores se calcula para una
determinada tensión nominal y la sección de los conductores de los devanados se
calcula para una determinada corriente nominal. Por lo tanto, la tensión y la corriente
se limitan individualmente, además, estas limitaciones no dependen del desfasaje φ
entre la tensión y la corriente.
64
De acuerdo con la Ec. (115), la potencia aparente de un generador, un
transformador y de otras instalaciones de corriente alterna, está determinada por el
producto de los valores eficaces de la tensión y de la corriente. Por lo tanto, teniendo
en cuenta la Ec. (117), para una potencia aparente constante, el valor de la potencia
consumida admisible, disminuye al disminuir cos φ .
El concepto de la potencia reactiva se aplica para el cálculo de la potencia
aparente de una instalación, por ej. para determinar la potencia de un transformador
necesario para una empresa industrial. Los diferentes receptores de energía eléctrica,
consumen tanto la potencia activa como la reactiva. La potencia aparente para la que
debe instalarse un transformador, se determina por la suma de las potencias activas de
todos los receptores y la suma de sus potencias reactivas, empleando la fórmula:
S=
(∑ P) + (∑Q)
2
2
(121)
Convencionalmente, se suele considerar negativa la potencia reactiva capacitiva,
por lo cual los condensadores hay que considerarlos como generadores de potencia
reactiva QC , mientras que los receptores inductivos, se consideran como sus
consumidores de potencia reactiva QL .
Cuando entre los receptores hay capacidades e inductancias, la potencia total de
la instalación es:
S=
(∑ P) + (∑Q − ∑Q )
2
L
C
2
(122)
Mediante la potencia reactiva capacitiva que compensa la potencia inductiva de
los motores eléctricos, aumenta el cos φ de la empresas industriales.
65
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio Nº 1: Modelo del motor eléctrico
2Ω
120V , 60Hz
C
10mH
a) Encontrar el factor de potencia sin el capacitor.
b) Determinar el valor de C que hace máximo el factor de potencia.
c) ¿Cómo cambia la energía disipada en el motor?
a) Sin el capacitor:
Z* = R + j X L
(
)
X L = ω L = 2 π f L = 2π 60 10 10 −3 Ω
X L = j3.77 Ω = 3.77 Ω 90º
Z * = ( 2 + j3.77 ) Ω
Z = 4.27 Ω
⎛ 3.77 ⎞
⎟ = 1.08rad .
⎝ 2 ⎠
θ = tan −1 ⎜
factor de potencia = 0.468
Vef = 120V ,
I ef =
120V
= 28.1A
4.27 Ω
P =Vef I ef cos φ
P = 120V 28.1A 0.468 = 1.58kW
66
b) Con el capacitor:
factor de potencia máximo = 1 ⇒ φ = 0
Para cumplir esta condición, es necesario que la impedancia sea real.
1
1
1
=
−
*
Z
R + j XL j XC
1
1
R − jωL
=
+ jωC = 2
+ jωC
*
Z
R + jωL
R + ω 2 L2
1 R − jω L + jω R 2C + jω 3CL2
=
Z*
R 2 + ω 2 L2
(
2
2
2
1 R + jω − L + R C + ω CL
=
Z*
R 2 + ω 2 L2
)
En esta ecuación si hacemos nulo los términos entre paréntesis, la parte imaginaria de
Z * será igual a cero y, por lo tanto será satisfecha la condición requerida.
(
L = C R 2 + ω 2 L2
)
⇒ C=
L
R + ω 2 L2
2
C = 549 µ F
El diagrama de la página siguiente proporciona otro camino para determinar el
valor de C que hace máximo el factor de potencia, es decir hace resonante el circuito,
ya que:
I 2 = I1 senθ = 24.82 A⎫
I2
⎪
ε
⎬⇒ C=
I 2 = IC =
= εω C⎪
εω
XC
⎭
∴ C = 549 µ F
c) Cálculo de la potencia:
Con este valor de C , Z * = Z =
Z = 9.11Ω
y
V2
P=
,
Z
R
R + ω 2 L2
2
P = 1.58kW
Se encuentra que la potencia con el capacitor es la misma que sin él.
Justificar este resultado.
67
Diagrama fasorial del circuito del ejercicio Nº1
a) Circuito sin capacitor.
Im
Análisis de la serie R − L .
JJG
VL
G
EstasJJimpedancias
G JJG G tienen en común I .
Dado que I R = I L = I , es conveniente adoptar
estas
JJG corrientes
JJG como referencia y trazar,
VR en fase y VL adelantada 90º.
G
ε
θ
JJG G
VR
Real
I
tan θ =
VL X L
=
,
VR R
θ = 62.05º
b) Circuito con capacitor.
Im
JJG
Análisis de la serie R − L .
VL
G
ε
θ
Este diagrama es el mismo que el
anterior, salvo que la corriente por esta rama
ya no es laJG única del circuito, por lo que la
llamamos I 1 .
JJG JG
VR
I 1 Real
Análisis del paralelo RL − C .
Im
JG
I2
JJG
G
ε
IT
θ
JG
I1
Real
G
Estas impedancias tienen en común ε .
Redibujamos el diagrama anterior rotado un
ángulo θ , en Gsentido horario, para tener, de
como
este modo a ε JJ
G JJG origen de fase. Ahora
podemos trazar I 2 = I C adelantada 90º y cuya
magnitud sea la apropi
JG ada para que al sumarla
vectorialmente con I 1 , dé como resultante la
JJG
G
corriente total IT en fase con ε , tal como lo
requiere el enunciado del problema.
68
Ejercicio Nº2
a
Encontrar las corrientes en todas las ramas y las
diferencias de potencial Vab y Vbc para el circuito de la Fig.
R1
Considerar:
ε = 100V , 60Hz
R1 = 10 Ω
R2
b
ε
R2 = 1Ω
C
L
C = 1mF
c
L = 10mH
La solución de este ejercicio puede obtenerse siguiendo los pasos listados a
continuación.
Calcular Z 1* ,Z 2* , Z 3* y Z 4*
Z 1* = R1 = 10 Ω = 10Ω 0º
Z 2* = R2 = 1Ω = 1Ω 0º
Z 3* = j X L = j ω L
Z 3* = j 3.77 Ω = 3.77 Ω 90º
Z 4* = − j X C = −
j
ωC
Z 4* = − j 2.65Ω = 2.65Ω −90º
Determinar la impedancia equivalente del circuito.
*
En la siguiente Fig. se esquematizan los pasos sucesivos para encontrar Z eq
.
a
a
a
a
Z1
Z2
Z1
Z1
b
b
b
Z4
Z 23
Z4
Z3
Z eq
Z 234
c
c
c
Reducción del circuito.
c
69
*
: impedancia de la serie Z 2 − Z 3 .
Calcular Z 23
*
Z 23
= Z 2* + Z 3*
*
Z 23
= ( 1 + j 3.77 ) Ω = 3.9 Ω 75,14º
*
Calcular Z 234
: impedancia del paralelo Z 23 − Z 4 .
Z
*
234
*
Z 23
Z 4*
= *
Z 23 + Z 4*
*
Z 234
= 6.89 Ω −62.24º = ( 3.21 − j6.10 ) Ω
*
Calcular Z eq
: impedancia de la serie Z1 − Z 234 .
*
*
Z eq
= Z1* + Z 234
*
Z eq
= ( 13.21 − j6.10 ) Ω = 14.55Ω −24.78º
Determinar I *T , I *1 e I *2
ε * = 100 0º
V*
IT = *
Z eq
*
I *T = 6.87 A 24.78º = ( 6.24 + j2.88 ) A
*
Vbc* = IT* Z 234
Vbc* = 47.35V −37.46º = ( 37.59 − j28.80 )V
I1 =
*
Vbc*
*
Z 23
I *1 = 12.14 A −112.6º = ( −4.67 − j11.21) A
70
I2 =
*
Vbc*
Z 4*
I *2 = 17.87 A 52.54º = ( 10.87 + j14.18 ) A
Obtener Vab*
Vab* = IT* Z1*
Vab* = 68.70 A 24.78º = ( 62.37 + j28.79 ) A
Cuando se calcula una división de corriente o de voltaje, hay un medio obvio de
comprobar los resultados: sumando las componentes. Esta oportunidad de encontrar
errores es muy importante y no debe ser pasada por alto.
Comprobaremos a continuación, si la adición de la distribución de corriente y de
voltaje encontradas arroja los mismo resultado que los hallados, para IT y ε .
IT* = I 1* + I 2*
IT* = ( −4.67 − j11.21) A + (10.87 + j14.18 ) A
IT* = ( 6.20 + j2.97 ) A ≅ ( 6.24 + j2.88 ) A
Vac* = Vab* + Vbc*
ε * = ( 62.37 + j28.79 )V + ( 37.59 − j28.80 )V
ε * = ( 99.96 − j0.01)V ≅ 100V 0º
71
Diagrama fasorial del circuito del ejercicio Nº2
Im
Análisis de la serie Z 2 − Z 3 .
JJG
JG
JJG
VL
Vbc
JG
Estas impedancias tienen en común I 1 ,
JJG
JJG
I 1 = I R2 = I L . Por lo tanto, es conveniente adoptar
JJG
estas corrientes como referencia y trazar, VR2 en
θ
JJG
JG
JJG
Real
I1
VR
JG
fase y VL adelantada 90º con I 1 .
Im
JG
I2
Análisis del paralelo Z 23 − Z 4 .
JJG
Estas impedancias tienen en común Vbc .
Redibujamos el diagrama anterior rotado un
, en sentido horario, para tener, de este
ángulo θJJG
modo a Vbc como origen de fase. Ahora podemos
JJG
JJG
I 2 = IC
trazar
adelantada
JG
90º
y
JJG
IT
sumarla
θ
vectorialmente con I 1 para obtener la corriente
α
JJG
Vbc
Real
JJG
total IT .
JG
I1
Im
JJG
JJG
IT
α
JJG
Vbc
φ
Análisis de la serie Z 1 − Z 234 .
Vab
G
ε
Real
Tomando como JJG
referencia
JJG a
IT , podemos trazar VR1 = Vab en
JJG
JJG
G
fase con éste y obtener Vac = ε
como
JJG JJGresultado de la suma de
Vab y Vbc .
72