Boletín de Problemas

D E P A R T A M E N T O
D E
I N G E N I E R Í A
E L É C T R I C A
BOLETÍN DE PROBLEMAS
MÁQUINA ASÍNCRONA
2009/2010
MÁQUINA ASÍNCRONA
Problemas propuestos
1. Un motor asíncrono trifásico con un rotor en jaula de ardilla, tiene los siguientes datos en su placa
de características:
10 kW ; 220/380 V ; 50 Hz ; 19 A; 1425 r.p.m. ; cos ϕ = 0,90
Se conecta a una red de 380 V, 50 Hz. Se suponen despreciables las pérdidas mecánicas y no es
necesario considerar la rama paralelo del circuito equivalente. Calcular:
a) Los parámetros del motor.
b) El par de arranque y el par de plena carga del motor. ¿Qué tipo de par resistente debe de tener el
motor para que pueda arrancar?. ¿Por qué?.
c) El rendimiento del motor con par máximo.
d) La velocidad que deberá darse al motor por medio de un motor primario externo para que la
máquina asíncrona funcione como generador entregando su potencia nominal a la red. Tómese la
velocidad más pequeña de las dos posibles.
2. Se tiene un motor de 19 kW, 230 V, 4 polos, trifásico, a 50 Hz, en estrella. Cuando trabaja a
tensión y frecuencias nominales, las pérdidas en el cobre del rotor para par máximo son 8 veces las
que tendría para par nominal y el deslizamiento a plena carga (nominal) es de 0,03. Se puede
despreciar la resistencia y reactancia del estator y las pérdidas por rozamiento. La resistencia y
reactancia del rotor tienen un valor constante. Se pide:
a) Deslizamiento para par máximo.
b) Par máximo.
c) Par de arranque.
3. Determinar los parámetros del circuito equivalente aproximado correspondiente a un motor
asíncrono conectado en estrella, cuyos ensayos han dado los siguientes resultados:
Vacío: U0 = 220 V, P0 = 1000 W; I0 = 20 A; Pm = 400 W.
Rotor Parado: Ucc = 30 V; Pcc = 1500 W; Icc = 50 A
Con los datos obtenidos y sabiendo que la resistencia por fase del estator es de 0,1 Ω, calcular la
potencia útil cuando el deslizamiento es del 5 %.
1
4. Un motor de inducción trifásico de 7 CV, 220 V, 6 polos, 50 Hz y conexión en estrella absorbe
de la línea de alimentación 7,2 kVA con factor de potencia 0,844 cuando suministra su potencia
nominal, dando un par de salida de 51,2 Nm. Suponiendo unas pérdidas rotatorias constantes de
400 W, calcular, para el motor funcionando en dichas condiciones:
a) El rendimiento del motor.
b) La velocidad del motor.
c) La potencia perdida en el cobre del rotor.
d) La potencia perdida en el cobre del estator.
e) La resistencia por fase del estator.
5. Se ha entregado a un laboratorio de ensayos un motor asíncrono trifásico con conexión en
estrella, en cuya placa de características se lee:
Potencia útil
4 kW.
Tensión nominal
220 V a 50 Hz.
Corriente nominal
14,5 A.
Velocidad síncrona
1500 r.p.m.
Conexión en Y.
y se solicita un certificado en el que se haga constar: el par y la velocidad nominales, y el par y
la corriente de arranque. Los ensayos realizados proporcionan los siguientes datos:
Ensayo en vacío
220 V,
5,1 A,
360 W.
Ensayo en corto circuito
52 V,
14,5 A,
490 W.
Resistencia/fase del estator
0,35 Ω.
Pérdidas mecánicas
250 W.
Se pide:
a) Obtener los parámetros del circuito equivalente aproximado.
b) Determinar los datos técnicos del motor que se han solicitado al laboratorio.
6. Un motor asíncrono trifásico de 12 polos está conectado a una red de 60 Hz y gira con un
deslizamiento de s = 0,02. Determinar:
a) La velocidad del campo magnético giratorio creado por el estator en r.p.m.
b) Velocidad relativa respecto al rotor del campo magnético giratorio creado por el rotor en
r.p.m.
c) Velocidad absoluta del campo magnético giratorio creado por el rotor en r.p.m.
d) Frecuencias de las corrientes del rotor.
e) Ángulo geométrico entre dos polos consecutivos del estator del mismo signo.
f) Si el motor es de rotor bobinado, ¿para cuantos polos debe estar bobinado el rotor?.
g) Si el motor es de rotor en jaula, con 36 barras, ¿cuál es el número de fases del rotor?.
¿Porqué?.
h) Si el motor es de rotor bobinado, con anillos rozantes, y la tensión entre anillos, estando
éstos en circuito abierto, es de 170 V, ¿cuál será la f.e.m. eficaz inducida en el rotor cuando el
motor trabaja en condiciones nominales?.
2
7. Se tiene una estación de bombeo de agua, que lleva una bomba centrífuga que tiene incorporado
un motor asíncrono trifásico en jaula de ardilla de 15 CV, 380 - 220 V, 50 Hz, 6 polos y que tiene los
siguientes parámetros:
R1 = R2’ = 0,8 Ω; X1 = X2’= 2 Ω; PFe = Pm = 0
(se puede prescindir de la rama en paralelo del circuito equivalente).
a) Si la red es de 380 V, 50 Hz, ¿cómo se conectará el motor?. Dibujar el cuadro de bornes,
indicando el nombre normalizado de los terminales.
b) Conectado el motor correctamente, de acuerdo con el apartado anterior, ¿cuál será el par de
arranque del motor con tensión nominal?. Si el par resistente ofrecido por la bomba en el arranque
es de 50 Nm ¿arrancará el motor?.
c) Si en régimen permanente, el par resistente es igual a 100 Nm ¿cuál será la velocidad a la cual
girará el motor?.
d) ¿Qué corriente absorberá el motor en el caso anterior?. ¿Cuánto valdrá la potencia desarrollada
por el motor en el eje?.
e) Si el motor se alimenta por medio de un transformador ideal de relación 15 kV / 380 V ± 5%,
conexión Dy11, a través de una línea trifásica de impedancia 0,1 + j 0,5 Ω/fase ¿arrancará el motor?.
Recuérdese que el par resistente en el arranque es de 50 Nm. En caso negativo, ¿que procedimiento
sería el mas adecuado para que pueda arrancar el motor?.
8. Un motor trifásico de inducción de 6 polos, 50 Hz y 7 CV tiene los siguientes valores, en ohmios
por fase referidos al estator, para una conexión en estrella:
r1 = 0,20;
r2 = 0,15;
x1 = 0,50;
x2 = 0,21;
xm = 14,31
Suponiendo constantes las pérdidas rotatorias de valor 390 W, y sabiendo que las pérdidas en el
cobre del rotor a plena carga son de 115 W, calcular:
a) La velocidad del motor a plena carga.
b) La tensión de alimentación a plena carga.
c) Con la tensión de alimentación calculada en b), el par interno máximo que puede suministrar el
motor.
3
9. Una instalación está alimentada por un transformador trifásico, conexión Y-Y, que alimenta a 380
V tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el esquema de la figura
adjunta.
Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, y los parámetros de su circuito
equivalente son los siguientes:
R1 = 0,5 Ω; R2’ = 0,8 Ω; X1 = 3 Ω; X2’ = 3,5 Ω.
Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas. Se pide:
a) Si en la placa de características de los motores pone 220/380 V, ¿como se conecta el estator de
cada uno de ellos?.
b) Los motores M1 y M2 están trabajando con un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%.
Calcular el rendimiento de cada uno de los motores.
c) Lectura de cada uno de los aparatos de medida de la figura.
d) Tensión en el primario del transformador.
e) Factor de potencia en el lado de alta tensión del transformador, rendimiento del transformador y
rendimiento total de la instalación.
f) Potencia reactiva y capacidad por fase de una batería de condensadores conectados en triángulo
antes del transformador en el lado de alta tensión, que eleve el factor de potencia hasta la unidad.
g) Contestar al apartado c cuando la instalación lleva incorporados los condensadores del apartado f.
10. Para accionar un compresor del sistema neumático de un avión se utiliza un motor de inducción
trifásico de cuatro polos conectado a la red de a bordo de 200 V de tensión entre fases a 400 Hz.
Las resistencias y reactancias de dicho motor, en ohmios por fase para una conexión en estrella, son:
r1 = 1,0;
r2 = 0,7;
x1 = x2 = 1,0
Un ensayo de dicho motor en vacío con la tensión nominal ha dado los siguientes resultados: I0 = 3
A y P0 = 200 W. Calcular:
a) La potencia del motor sabiendo que la velocidad a plena carga es 10.800 r.p.m.
b) El par suministrado al compresor a plena carga.
c) La corriente de arranque.
4
11. Un motor de inducción trifásico de 5 HP, 60 Hz, 220 V, conexión en estrella y 4 polos fue
probado y se obtuvieron los siguientes datos:
Prueba de vacío
Vo = 220 V;
Po = 310 W;
Io = 6,2 A.
Prueba de carga
Vc = 220 V;
Pc = 3650 W; Ic = 11,3 A;
nc = 1710 r.p.m.
La resistencia del estator por fase es de 0,3 Ω. Calcular:
a) La suma de las pérdidas mecánicas y las pérdidas en el hierro.
Con los datos de la prueba de carga calcular:
b) Las pérdidas en el cobre del estator.
c) La potencia de entrada al rotor.
d) Las pérdidas en el cobre del rotor.
e) Potencia de salida en el rotor en W.
f) Potencia de salida en HP.
g) Par desarrollado.
h) Porcentaje de eficiencia bajo carga (rendimiento).
i) Factor de potencia del motor.
12. Un motor de inducción trifásico, de jaula de ardilla, de 6 polos, 25 kW, 230 V y conectado en
triángulo tiene los siguientes parámetros del circuito equivalente en ohmios por fase: R1 = 0,0,045 Ω;
R2’ = 0,054 Ω; X1 = 0,29 Ω; X2’ = 0,28 Ω; Xµ = 9,6 Ω.
a) Calcule la corriente y el par de arranque para este motor, que está conectado directamente a una
fuente de 230 V.
b) Para limitar la corriente de arranque, se propone conectar el devanado del estator en estrella y
luego cambiarlo a conexión triángulo para operación normal. ¿Cuáles son los parámetros del circuito
eléctrico equivalente por fase en la conexión en estrella? ¿Con el motor conectado en estrella y
funcionando directamente de una fuente de 230 V, calcule la corriente y el par de arranque.
13. Un motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado en
vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados:
Vacío:
220 V.
20,8 A.
840 W.
Corto:
45 V.
50 A.
1000 W.
La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W. Se pide:
5
a) Calcular la velocidad de funcionamiento, potencia y par útiles, y el rendimiento si absorbe una
corriente de 62 A con un factor de potencia 0,85.
b) Obtener la corriente y par de arranque del motor.
c) Calcular la corriente que absorbe cuando desarrolla su par máximo y el valor de dicho par.
14. Un motor trifásico de inducción tiene 4 polos, 50 Hz, una resistencia y reactancia del rotor de
0,03 Ω/fase y 0,12 Ω/fase, respectivamente.
¿Cuál es el valor de la velocidad para la cual se obtiene el par máximo?.
Hallar la resistencia exterior del rotor, por fase, que debe insertarse para obtener en el arranque el
75% del par máximo.
¿En qué % se reducirá por ello la corriente y cuál será ahora el f.d.p en reposo?. Re = Xe = 0.
15. Un motor de inducción alimentado con una fuente de tensión trifásica de 220 V, 50 Hz, está
proyectado para funcionar con un deslizamiento y velocidad nominal del 4 por 100 y 1400 rpm,
respectivamente. Los resultados del ensayo en vacío son:
V= 220 V;
I = 1,38 A;
P = 225 W
I = 12,8 A;
P = 450 W
Los resultados del ensayo con rotor fijo son:
V= 45,2 V;
Las tensiones en ambos ensayos es entre fases. La resistencia por fase (conexión en Y) del estator es
de 0,52 Ω. Calcular:
a) La intensidad de arranque.
b) El par de arranque.
c) La resistencia por fase que sería necesario conectar en serie con el estator para que la intensidad
de arranque se reduzca a la mitad.
d) El par de arranque en las condiciones del apartado anterior.
16. Un motor de inducción trifásico tiene una resistencia Rr igual a 1 Ω. Cuando funciona a plena
carga su deslizamiento es del 3%. Al aumentar el par resistente se produce un frenado llegando a
pararse cuando el par sobrepasa los 100 Nm. Para dicho par crítico el deslizamiento es del 10%.
Calcular:
a) La resistencia que hay que poner en serie con Rr para que el par máximo se obtenga en el
arranque.
b) En este ultimo caso, calcular el valor de tal par máximo.
6
Despreciar Re y Xe.
17. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 50 Hz, absorbe una potencia de 20 kW, cuando gira
a 960 r.p.m. Las pérdidas totales del estator son de 0,5 kW y las de rozamiento y ventilación son de 1
kW. Calcular:
a) El deslizamiento.
b) Las pérdidas en el cobre del rotor.
c) El rendimiento.
18. Un motor asíncrono de 6 polos, 400 Hz, 200 V, trifásico, conectado en estrella, tiene las
siguientes constantes referidas al estator:
Resistencia del estator
0,294 Ohm
Reactancia del estator
0,503 Ohm
Resistencia del rotor
0,144 Ohm
Reactancia del rotor
0,209 Ohm
Reactancia de magnetización
13,25 Ohm
Las pérdidas por rozamiento son de 403 W y son independientes de la carga. Para un deslizamiento
del 2%, hallar la velocidad, potencia y par en el eje (útil), corriente en el estator, factor de potencia y
rendimiento cuando el motor trabaja a tensión y frecuencias nominales.
19. Un motor asíncrono trifásico tiene los siguientes parámetros:
R1 =R2’ = 0,5 Ω; Xcc = 5 Ω
Si su capacidad de sobrecarga es igual a 2,2 (Mmáx/Mn), calcular la relación entre el par de arranque y
el par nominal en los siguientes casos:
a) Arranque directo.
b) Arranque por autotransformador con una tensión inicial del 75 % de la nominal.
c) Arranque estrella - triángulo.
20. Un motor de inducción trifásico de 6 polos gira a la velocidad de 950 r.p.m., desarrollando una
potencia de 30 CV. La tensión de funcionamiento es de 380 V y la frecuencia de 50 Hz. Se sabe que
las pérdidas mecánicas son iguales a 1400 W, y el f.p.d. a plena carga es de 0,88. Calcular en estas
condiciones:
a) Las pérdidas en el cobre del rotor.
b) El rendimiento, siendo las pérdidas totales en el estator de 200 W.
c) La corriente absorbida de la red.
d) La frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor.
7
21. Se dispone de un motor de inducción trifásico, tetrapolar, de 208 V y 60 Hz, conectado en
estrella, con una velocidad nominal de 1710 rpm. Se han realizado dos ensayos, obteniéndose los
siguientes valores:
Ensayo de Vacío o de Rotor Libre:
•
Tensión del ensayo: 208 V.
•
Corriente consumida: 1,562 A.
•
Potencia consumida: 450 W.
Ensayo de Cortocircuito o de Rotor Bloqueado:
•
Tensión del ensayo: 27 V.
•
Corriente consumida: 2,77 A.
•
Potencia consumida: 59,4 W.
Las pérdidas mecánicas por fricción y rozamiento son de 18 W. Calcular:
a) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente.
En las condiciones nominales de funcionamiento:
b) Corriente consumida por el motor.
c) Potencia consumida, interna y útil.
d) Par interno y par útil.
e) Rendimiento.
22. Un motor de inducción trifásico de 60 Hz gira a 718 r.p.m. en vacío y a 690 r.p.m. a plena carga.
a) ¿Cuántos polos tiene este motor?.
b) ¿Cuál es su deslizamiento a carga nominal?.
e) ¿Cuál es su velocidad a un cuarto de plena carga?.
d) Cuando tiene un cuarto de plena carga, ¿cuál es la frecuencia del rotor?.
23. Disponemos de un motor trifásico asíncrono conectado en delta de 203 CV, 1732 V, 8 polos y
50 Hz. A este motor se le realizaron los siguientes ensayos:
VACIO:
tensión de línea
1732 voltios.
8
CORTO:
intensidad de línea
18 amperios.
Potencia
4900 vatios.
tensión de línea
254 voltios.
intensidad de línea
35 amperios.
Potencia
2200 vatios.
Conocemos, además, que la resistencia del estator por fase es de 1 Ω (dato real) y que las pérdidas
mecánicas son de 1100 W. Se pide:
a) La velocidad nominal de funcionamiento del motor.
b) El rendimiento nominal.
c) El factor de potencia del motor.
d) El par máximo y el par de arranque.
24. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 50 Hz, absorbe una potencia de 20 kW, cuando gira
a 960 r.p.m. Las pérdidas totales del estator son de 0,5 kW y las de rozamiento y ventilación son de 1
kW. Calcular:
a) El deslizamiento.
b) Las pérdidas en el cobre del rotor.
c) El rendimiento.
25. Un motor de inducción trifásico, de rotor bobinado, de 20 CV, 220 V, 50 Hz, 6 polos, conexión
estrella, se ha ensayado en vacío y en cortocircuito, dando los siguientes resultados:
VACIO:
220 V
20,8 A
840 W
CORTOCIRCUITO:
45 V
50 A
1100 W
La resistencia por fase del estator es de 0,048 Ω y la del devanado rotórico de 0,01 Ω. Las
reactancias del devanado estatórico y la del devanado rotórico, reducida al estator, se supondrán
iguales. Determinar, a partir de estos datos, las constantes del circuito equivalente. Las pérdidas
mecánicas son iguales a 200 W.
26. Un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla de 6 polos, 50 Hz, está conectado en
estrella a una red de 380 V. Los parámetros del circuito equivalente son:
R1 = R2’ = 0,5 Ω; X1 = X2’ = 2 Ω; PFe = Pm = 0
El par resistente de la carga se supone que sigue una ley lineal de la forma:
9
Mr = 35 + 0,06 n
(Par en Nm y n en r.p.m.)
Calcular:
a) El par de arranque y la corriente de arranque del motor.
b) Si la tensión de la red se reduce un 10%, ¿podrá arrancar el motor?. Justificar la respuesta.
c) Con la tensión nominal aplicada al motor ¿a qué velocidad girará el motor con el par resistente
señalado?.
d) ¿Qué potencia desarrolla el motor en el eje en el caso anterior?
Nota: para realizar el apartado c), es preciso resolver una ecuación de tercer grado en función del
deslizamiento. Sugerencia: el valor de s está comprendido entre el 1 y el 2%.
27. Un motor de inducción de doble jaula tiene los siguientes parámetros:
50 Hz.;
Re = 1 Ω;
Xe = 3 Ω;
Jaula exterior:
R2’ = 3 Ω;
X2’ = 1 Ω
Jaula interior:
R2’ = 0,6 Ω;
X2’ = 5 Ω
2p = 4
El primario se conecta en triángulo a una fuente de 440 V. Calcular el par de arranque y el par
nominal para el 4% de deslizamiento.
28. Un motor de inducción de 4 polos, estator conectado en estrella, funcionando en vacío y a la
tensión nominal de 380 V, entre fases, absorbe de la línea una corriente de 4 amperios y una
potencia de 480 W. A plena carga, y con la tensión y corriente nominales, absorbe 4330 W. Se sabe
que en estas condiciones, la corriente por fase del rotor, que está conectado en estrella, es de 7
amperios. Se conoce también que la corriente nominal a plena carga es de 8 A, que la resistencia por
fase de estator es de 1,5Ω, que la del rotor es 1,3 Ω, que la corriente absorbida por fase de la línea al
aplicar la tensión nominal al estator estando el rotor abierto es de 4 A y que la potencia absorbida en
estas condiciones es de 320 W. Calcular a plena carga:
a) La potencia útil.
b La potencia transformada.
c) El rendimiento.
d) La velocidad.
e) El par interno.
29. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, rotor bobinado, funcionando bajo una carga
constante absorbe de la red de 220 V, una potencia de 15 kW con una corriente de 47 A. La
frecuencia de la red durante todo el funcionamiento ha sido de 50,5 Hz y la velocidad de giro del
10
motor 970 r.p.m. El mismo motor funcionando en vacío absorbe una potencia de 760 W con una
corriente de 20,5 A. Se pide:
a) El factor de potencia del motor.
b) El par interno desarrollado en vatios-síncronos y en N.m.
c) Las pérdidas en el cobre del rotor.
d) La potencia útil en kW y el rendimiento.
Se sabe que la resistencia efectiva del devanado estatórico conectado en estrella y medida entre
bornes del motor es 0,38 Ω y que las pérdidas mecánicas del motor son de 220 W.
30. Un motor trifásico de inducción de rotor en jaula de ardilla, de 230 V, 4 polos, 60 Hz, conectado
en estrella, tiene en su circuito equivalente las siguientes constantes, en ohmios por fase, referidas al
estator:
R1 = 0;
X1 = 1,2;
X2 = 1,5;
xm = 60
Las pérdidas rotatorias se suponen despreciables. Calcular:
a) La relación entre el par máximo del motor alimentado a su tensión nominal a las frecuencias de
60 y 50 Hz.
b) La velocidad de giro del par máximo a 50 Hz, sabiendo que el deslizamiento para par máximo a
60 Hz es del 30 por 100.
31. Un motor de inducción trifásico, conectado en estrella de 220 V, 6 polos, 50 Hz, tiene las
siguientes constantes en ohmios por fase:
R1 = 0,7; R2’ = 0,3; X1 = X2’ = 0,6; Xµ = 30
Suponiendo las pérdidas rotatorias constantes de 700 W, con la tensión nominal, a 50 Hz y un
deslizamiento del 2 por 100, se desea conocer:
a)
La velocidad en r.p.m.
b)
La corriente de entrada y su factor de potencia.
c)
La potencia de salida y el par de salida.
d)
Rendimiento del motor.
e)
Par máximo y deslizamiento de par máximo.
f)
Par de arranque.
g)
Par de frenado si se invierten dos fases de la alimentación.
11
h)
Si al motor se le hace girar a una velocidad de 1050 r.p.m. ¿cuál es el par resistente
desarrollado por la máquina?.
32. Las constantes paramétricas de un motor de inducción trifásico de 200 V, 4 polos, 50 Hz,
conexión estrella, rotor bobinado son las siguientes:
R1 = 0,10 Ω; X1 = 0,30 Ω; R2’ = 0,12 Ω; X2’ = 0,30 Ω; Ge = 0,0005 S; Be = 0,07 S
Calcular:
a) La corriente del motor cuando el deslizamiento es igual al 5 %.
b) El par motor y el rendimiento para el mismo deslizamiento.
c) El par motor y la corriente consumida en el arranque.
33. Los parámetros del circuito equivalente de un motor de inducción trifásico, tetrapolar, de 208 V
y 60 Hz conectado en Y son: R1 = 0,4 Ω; R2’ = 0,3 Ω; RFe = 225 Ω; X1 = 0,8 Ω; X2’ = 0,9 Ω; Xµ =
40 Ω. La pérdida en el cobre es de 45 W y las pérdidas por fricción son 160 W. Cuando el motor
opera con un deslizamiento del 5%, determine:
a) La corriente consumida por el motor.
b)La potencia de entrada.
c)La potencia en el entrehierro.
d) La potencia desarrolla.
e) La potencia de salida.
f) El par en el eje.
g) El rendimiento del motor.
h) Deslizamiento de par máximo y par máximo que puede desarrollar el motor.
i) Corriente y par de arranque a la tensión nominal.
34. Un motor de inducción de rotor devanado de cuatro polos, 60 Hz, 208 V, conectado en Y está
especificado para 15 HP. Las componentes de su circuito equivalente son:
R1 = 0,210 Ω; R2’ = 0,137 Ω; Xµ = 13;2 Ω; X1 = 0,442 Ω; X2’ = 0,442 Ω
Pmec = 300 W; Pnúcleo = 200 W
Para un deslizamiento de 0,05, se pide:
a) La corriente de línea.
12
b) Las pérdidas en el cobre del estator.
e) La potencia del entrehierro.
d) La potencia convertida de eléctrica en mecánica.
e) El par producido y el par de carga.
g) El rendimiento total de la máquina.
h) La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo.
i) ¿A qué deslizamiento se presenta el par máximo de salida?. ¿Cuál es la magnitud de ese par?.
j) ¿Cuánta resistencia adicional (referida al circuito del estator) es necesario agregar en el circuito del
rotor para que el par máximo de salida se presente en el momento del arranque (cuando el eje está
quieto)?.
k) Si el motor se conecta a una red de potencia de 50 Hz, ¿cuál debe ser el voltaje alimentación?.
¿Por qué?. ¿Cuáles son los valores de los componentes del circuito equivalente a 50?. Contestar los
apartados anteriores para el motor funcionando a 50 Hz con un deslizamiento 0,05 y el voltaje
apropiado para esta máquina.
35. Un motor de inducción trifásico de cuatro polos, conectado en estrella de 460 V, 25 kW y 60
Hz, tiene los siguientes parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase referidos al estator: R1
= 0,103 Ω; R2’ = 0,225 Ω; X1 = 1,10 Ω; X2’ = 1,13 Ω; Xµ = 59,4 Ω. Las pérdidas totales por fricción
y rozamiento con el aire se consideran constantes a 265 W, y las pérdidas en el núcleo pueden
considerarse igual a 220 W. Con el motor conectado directamente a una fuente de 460 V, calcule la
velocidad, el par y la potencia de salida, el factor de potencia y el rendimiento para los siguientes
deslizamientos: 1, 2 y 3%.
36. Un motor de inducción con condensador de arranque de 220 V, 1,5 HP, 50 Hz, seis polos,
conexión en estrella, tiene las siguientes impedancias en el devanado principal:
R1 = 1,30 Ω; R2’ = 1,73 Ω; Xµ = 105 Ω; X1 = 2,02 Ω; X2’ = 2,01 Ω
Con un deslizamiento de 0,05, las pérdidas rotacionales son de 291 W y pueden asumirse constantes
en el rango de operación normal del motor. Calcular:
a) Corriente en el estator.
b) Factor de potencia del estator.
c) Potencia de entrada y de salida.
d) Par desarrollado y de salida.
e) Rendimiento.
13
f) El par producido en el motor si opera con un deslizamiento del 5 por ciento y su voltaje en
terminales es: 190 V, 208 V y 230 V.
g) Par desarrollado en el arranque en modo directo y corriente consumida cuando la tensión de
alimentación es la nominal.
h) Par máximo que puede desarrollar el motor y el deslizamiento al cuál se produce.
37. El ascensor de una vivienda tiene instalado como máquina motriz un motor de inducción
trifásico, de jaula de ardilla, 220/380 V, 50 Hz y 120 polos. Los resultados obtenidos tras ensayar la
máquina funcionando en vacío y funcionando con el rotor bloqueado, con la conexión estatórica
adecuada e idéntica en ambos ensayos son los siguientes:
Ensayo de Vacío: U0 = 220V; I0 = 7,65 A; P0 = 756 W; n0 = 49,85 r.p.m.
Ensayo de Rotor Bloqueado: Ucc = 220V; Icc =17,11 A; Pcc = 542 W.
Con el objeto de obtener el valor de la resistencia del devanado estatórico, con el motor
conexionado de la misma que en los ensayos, se ha aplicado entre dos de las fases del estator una
tensión de corriente continua de 6 V y se ha medido una intensidad de 9 A. Se desprecia el efecto
piel. La red eléctrica de alimentación es trifásica: 220 V y 50 Hz. Considerando constante el par de
pérdidas mecánicas de la máquina, se pide:
a) Conexión del motor, y el dibujo normalizado de la placa de bornes de la máquina.
b) Circuito equivalente aproximado, por fase, de la máquina.
c) Velocidad de ascenso de la cabina del ascensor sabiendo que transporta 6 personas de 80 kg y que
el radio de la polea que acciona es de 0,2 m. El peso de la cabina se compensa con contrapesos.
(Considerar g =10m/s2).
d) Velocidad de descenso de la cabina del ascensor cuando transporta las mismas personas. El
mecanismo de automatización intercambia dos de las fases de alimentación de la máquina cuando
comienza dicho descenso.
38. En determinadas condiciones de carga, un motor de inducción trifásico, conectado en triángulo,
absorbe de una red de 220 V una potencia de 64300 W con factor de potencia 0,85. La relación
entre la resistencia estatórica y rotórica referida al estator es de 0,7 y se sabe que el par máximo se
produce a 1406 r.p.m. Considerando despreciables las pérdidas mecánicas y la rama de vacío,
calcular:
a) Intensidad absorbida, balance de potencias y par desarrollado a 1455 r.p.m.
b) Intensidad absorbida y par desarrollado en un arranque directo.
c) Velocidad de giro funcionando como freno a contracorriente con un par de 40 Nm.
39. Las impedancias por fase de un motor de inducción de 15 kW, 690/400V, 50 Hz, 4 polos,
referidos a la frecuencia de 50 Hz, son las siguientes:
14
R1 = 0,5 Ω; R2’ = 0,75 Ω; X1 = X2’ = 2,6 Ω; Xµ = 50 Ω
Se alimenta desde una red de 400 V y acciona una carga de tipo ventilador cuya característica de par
resistente par de un valor de 15 Nm en reposo, presenta un mínimo de 2,3 Nm a 220 rpm y llega a
valer 105 Nm a 1500 rpm. Se desprecian las pérdidas mecánicas. Se pide:
a) Calcular la corriente y el par de arranque directo.
b) Comprobar si se puede arrancar mediante arranque estrella-triángulo.
c) Calcular la intensidad absorbida de la red, el factor de potencia, el par en el eje, la velocidad de
giro y el rendimiento del motor cuando funciona a plena carga en conexión triángulo sobre una red
de 380 V.
40. En una industria se dispone de motores idénticos de las siguientes características: motor trifásico
de inducción tetrapolar tipo jaula y conectado en tríangulo. Se sabe que en unas pruebas realizadas
sobre uno de los motores, éste desarrolló un par en el rotor de 58,67 Nm con un deslizamiento del
5%, consumiendo una intensidad de 16 A con un factor de potencia de 0,9015 y una potencia
reactiva de 4608 Var.
Para el suministro eléctrico a esta industria se dispone de dos transformadores tipo Yy acoplados en
paralelo y alimentados a 20 kV, cuyos datos de ensayos, en condiciones distintas al régimen nominal,
son:
Transformador A
• Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V.
• Ensayo de cortocircuito (valores medidos en baja tensión):
• Tensión aplicada: 40 V.
• Corriente consumida: 1732 A.
• Potencia consumida: 20837 W.
Transformador B
• Relación de tensiones en vacío: 230/4,63 V.
• Ensayo de cortocircuito (valores medidos en baja tensión):
• Tensión aplicada: 25 V.
• Corriente consumida: 1082,5 A.
• Potencia consumida: 8139,5 W.
En un instante determinado, las máquinas que están funcionando en la industrial son cinco motores
idénticos al descrito, teniendo cada uno de ellos un deslizamiento del 8%. En estas condiciones y
despreciando las ramas de vacío de todas las máquinas, se pide:
a) Obtener la intensidad que circula por los devanados de cada transformador.
b) Calcular el valor de la regulación del transformador A.
c) Calcular el par desarrollado en el rotor de cada motor.
15
41. Se dispone de una instalación industrial donde dos transformadores acoplados en paralelo
alimentan, como únicas cargas, a tres motores de inducción idénticos. Se conoce lo siguiente:
Motores de Inducción
• Rotor en jaula de ardilla.
• Tensiones nominales: 380/660 V.
• Frecuencia de alimentación: 50 Hz.
• Velocidad nominal rotórica: 959 r.p.m.
• Rama de vacío despreciable, Pmec = 80 kW (constantes). Las pérdidas por efecto Joule
en el estator y en el rotor son iguales.
• El arranque se realiza mediante un arrancador estrella-triángulo a su tensión nominal,
siendo la corriente consumida del embarrado en B.T. por cada motor de 1000 A y el
par desarrollado por cada uno de ellos en el eje de 1000 Nm.
Alimentados a su tensión nominal, el régimen de carga diario de los motores es el siguiente:
•
12 horas: funcionando los tres motores a plena carga.
•
6 horas: dos motores desarrollan el 80% de su potencia a plena carga en el eje y el tercero
está en vacío.
•
6 horas: los tres motores están desconectados de la red.
Transformadores
•
UN1A/ UN2A = UN1B/ UN2B = 20000/390 V.
•
SNA = SNB.
•
Igual conexión: Yz11.
•
UccA = 5 %; UccB = 4 %; φccA = 60º; φccB = 65º.
•
En el régimen de mayor carga de los descritos: U1 = 20000 V, U2 = 380 V.
Se pide:
a) Rendimiento energético diario del conjunto de motores.
16
b) Factor de potencia medio en el embarrado de B.T.
c) Impedancia de cortocircuito y potencia nominal de cada transformador.
d) Tensión de alimentación de los transformadores en el segundo régimen de carga.
42. Una bomba instalada en una autopista para la eliminación del agua de la lluvia es accionada
mediante un motor de inducción trifásico de 2 pares de polos que tiene las curvas características de
la siguiente figura.
El motor se alimenta a una tensión de 380 V (50 Hz). La bomba presenta, incluidas las pérdidas
mecánicas, un par resistente dado por la siguiente expresión (el par en Nm y la velocidad ω en
rad/s): M res = 3, 2 + 0, 0017ω 2 . Determinar en el punto de funcionamiento:
a) La velocidad de rotación del motor, el par desarrollado, el deslizamiento y el rendimiento.
b) Las potencias activa, reactiva y compleja y el factor de potencia.
c) La corriente de línea (módulo y fase).
Determinar, en el instante de arranque:
d) El par motor, el par resistente y el factor de potencia. Determinar si podrá arrancar la bomba.
Si se desea arrancar la bomba con el par máximo que puede proporcionar el motor,
17
e) Calcular, en función de la resistencia interna del rotor, las resistencias que deben añadir en serie
con el rotor.
Si la tensión de alimentación se reduce un 10%,
f) Determinar el valor del nuevo par de arranque de la máquina. ¿Podría ahora arrancar la bomba?
43. Se dispone de un motor de inducción trifásico de 6 polos y conexión en triángulo con las
siguientes características medidas a plena carga: 36,08 A; 400 V; 50 Hz, fdp = 0,982.
El motor acciona una carga cuyo par resistente expresado en Nm viene dado en función de la
velocidad de giro del motor expresada en r.p.s., según la siguiente expresión:
TR = 0, 6847 ⋅ n 2 + 46, 23
Alimentado desde una red de 400 V, la intensidad consumida en un arranque directo es 5 veces la
corriente nominal con un f.d.p. de 0.3163, y siendo el par desarrollado en el eje de 200 Nm.
El Reglamento Electrotécnico de Baja Tesión (R.E.B.T.) limita el valor de la intensidad consumida
en el arranque en función de la potencia y de la corriente nominal del motor. Para corriente alterna
ha de cumplirse:
Potencia nominal del motor
Kmáxima=Iarranque/INominal
De 1,5 kW a 5 kW
3
De 5 kW a 15 kW
2
De más de 15 kW
1,5
Despreciando la rama del vacío del circuito eléctrico equivalente del motor y considerando las
pérdidas mecánicas constantes, analizar con cuál o cuáles de los siguientes métodos es posible
arrancar este motor cumpliendo con el R.E.B.T. Justificar numéricamente las respuestas:
1. Arranque por inserción de una impedancia en serie con la alimentación al estator.
2. Arranque por autotransformador (se considerará ideal).
3. Arranque estrella-triángulo.
4. Arranque por variación de la resistencia retórica, suponiendo que el motor es de rotor
bobinado.
44. Se dispone de una línea de alimentación a dos motores de inducción trifásicos idénticos. El
circuito parte de un embarrado que se encuentra a la tensión constante de 400 V y 50 Hz. La
longitud del circuito entre el embarrado y los motores es de 20 m, presentando una impedancia de
(22,5+j10,9)Ω/km.
18
Las características de cada motor son: rotor en jaula de ardilla, 230/400 V, 6 polos, 50 Hz y
resistencia del estator 0,2 Ω. En un arranque directo alimentado a la tensión de 400 V y 50 Hz, el
motor consume una corriente de 182,56 A y desarrolla un par de 191 Nm. Se consideran
despreciables las pérdidas mecánicas y la rama de vacío del circuito eléctrico equivalente de los
motores.
1. Calcular el circuito eléctrico equivalente aproximado de cada motor.
2. Sí solo funciona un motor, ¿cuál es el deslizamiento para el cual se obtiene el par máximo?
3. Uno de los motores trabaja a una velocidad de 950 rpm. Manteniéndose constante esta
velocidad, se conecta el segundo motor. Determinar en ese instante: la tensión de
alimentación de los dos motores, el par desarrollado por el primer motor y el valor máximo
del par resistente que puede haber en el eje del segundo motor para que este comience a
girar.
4. Girando ambas máquinas a una velocidad constante de 959 r.p.m., se intercambia la
conexión al embarrado de dos de las fases del circuito de alimentación de las mismas.
Determinar en este instante la intensidad consumida (valor complejo) así como el modo de
funcionamiento de las dos máquinas.
5. En determinadas condiciones, las cargas accionadas por las dos máquinas asíncronas llevan
a éstas a trabajar a la velocidad de 1050 r.p.m. Determinar la potencia activa y reactiva
consumida o cedida por las máquinas, así como su modo de funcionamiento.
45. Una empresa dedicada al tratamiento de aguas residuales ha adquirido una máquina de inducción
trifásica de 380 V y 50 Hz, para accionar una bomba de agua. Una vez recibida la máquina, los
ingenieros de planta deciden ensayarla para obtener su circuito eléctrico equivalente aproximado.
Los resultados obtenidos son:
Ensayo de Vacío: U0 = 380 V; I0 = 9 A; P0 = 1141 W; n0 = 1495, 5 rpm
Ensayo de rotor bloqueado: Ucc = 17 V; Icc = 4,82 A; Pcc = 66,44 W.
Con el objeto de obtener el valor de la resistencia del devanado estatórico, con el motor
conexionado de la misma forma que en los ensayos, se ha aplicado entre dos de las fases fases del
estator una tensión de corriente continua de 10 V y se ha medido una intensidad de 15, 15 A. Se
desprecia el efecto piel.
Se pide:
1. Con los datos que han obtenido los ingenieros de planta, obtener el circuito eléctrico
equivalnte aproximado por fase de la máquina asíncrona.
2. Calcular el par de pérdidas mecánicas que se consideraran constantes.
3. Si el deslizamiento de la máquina asíncrona es 0,018, calcular la potencia desarrollada, la
potencia consumida y el rendimiento de la máquina.
19
4. Calcular la corriente que consumiría la máquina si en la tubería de admisión de la bomba
penetra una rama de árbol que hace que se pare por completo, continuando alimentada la
máquina asíncrona a su tensión nominal.
5. Calcular la velocidad de giro del rotor si se cierra bruscamente el paso de agua a la bomba,
de forma que el par de carga se pueda considerar nulo.
6. Cuando la máquina está trabajando con un deslizamiento de 0,018 y, por un error del
operario, se intercambian dos de las fases de alimentación de la máquina, calcular el par
desarrollado en ese instante.
46. Se dispone de un motor de inducción trifásico de 6 polos y tensiones nominales 400/692 V.
Para el arranque del motor se emplea un arrancador estrella-triángulo, cambiando la conexión
cuando el motor alcanza el 75% de su velocidad de sincronismo. Se conocen los siguientes datos del
arranque del motor, según el procedimiento descrito anteriormente: Corriente consumida 100 A;
Factor de Potencia 0,25; Par de arranque 75 Nm.
Se pide:
1. Circuito monofásico equivalente del motor, despreciando la rama de vacío.
2. Potencia compleja consumida por el motor cuando desplaza una carga determinada a 970
rpm.
3. Pérdidas mecánicas si el par resistente anterior es de 440 Nm.
47. En una fábrica se alimenta un banco de 10 motores de inducción mediante dos transformadores
de potencia conectados en paralelo. Las características de los transformadores y de los motores son
las siguientes:
Transformador A:
Conexión YY
Tensiones nominales 20kV/400V
Ensayo de cortocircuito, realizado por el lado de baja tensión: Tensión de alimentación 30
V; Corriente consumida 1300 A; Potencia del ensayo 11500 W.
Transformador B:
Conexión YY
Tensiones nominales 20kV/400V
Ensayo de cortocircuito, realizado por el lado de baja tensión: Tensión de alimentación 20
V; Corriente consumida 850 A; Potencia del ensayo 5250 W
Motores Asíncronos (los 10 son idénticos):
20
Conexión en triángulo
4 Polos y 50 Hz de frecuencia
Datos en condiciones nominales de funcionamiento: Par en el rotor 60 Nm; Deslizamiento
5%; Corriente consumida 14,14 A; Potencia consumida 9800 W; Factor de Potencia 0,902.
Se pide:
1. Dibujar un esquema (diagrama unifilar) de la instalación de la fábrica.
2. Obtener el circuito monofásico equivalente de la instalación.
3. En un determinado instante, todos los motores giran a la misma velocidad de 1380 rpm.
Calcular cuál será la regulación a la que estarán trabajando los transformadores.
4. En otro instante determinado, 2 motores están parados, 3 motores están girando a 1400
rpm, 3 motores a 1380 rpm y el resto a 1450 rpm. Calcular la potencia compleja que aporta
cada transformador al conjunto de motores y la tensión en el secundario.
5. Si se dispusiera de un sistema automático de compensación de la potencia reactiva que
consumen los motores (conectado en paralelo en el lado de baja tensión de los
transformadores), calcular la tensión en el secundario de los transformadores en el apartado
3 y 4.
48. En una instalación industrial se emplea un transformador para alimentar dos motores de
inducción trifásicos, con las siguientes características:
Rotor de Jaula de Ardilla
Tensión nominales: 400V/692V
6 Polos y 50 Hz de frecuencia de alimentación
Pérdidas por rozamiento y ventilación 80 kW
Velocidad nominal del motor 950 rpm
La resistencia del inducido referida al estator es igual que la del inductor.
El motor se pone en marcha mediante un arrancador estrella-triángulo. El pico de corriente
en el arranque es de 1000 A y el par de arranque desarrollado es 1000 Nm.
El transformador tiene las siguientes características:
Tensiones nominales 20kV/400 V
Conexión Yz11
ε cc = 5%; ϕ cc = 60º
21
Potencia nominal: 1400 kVA
Se pide:
1. Esquema unifilar de la instalación y circuito monofásico equivalente de las tres máquinas.
2. ¿Cuál es la potencia nominal del motor?
3. Suponiendo que la tensión de alimentación del transformador es constante e igual a la
nominal y que los motores están accionando sendas cargas girando a 940 rpm, calcular cuál
será la tensión de alimentación de los motores y el índice de carga del transformador.
4. En otro régimen de funcionamiento, la carga accionada por uno de los motores incrementa
su par resistente en un 15%. El otro motor sigue accionando la misma carga y girando a 940
rpm. Volver a realizar los cálculos del apartado anterior.
5. A la vista de los resultados anteriores, razone si el ingeniero encargado del diseño de la
instalación realizó una correcta elección del transformador.
49. Se dispone de un motor asíncrono que acciona una carga que ejerce un par resistente según la
siguiente ecuación: Tr = 50 + 0, 65 n 2 (donde n es la velocidad de giro del motor en rps y el par
resistente está expresado en Nm). Del motor de inducción se conocen los siguientes datos:
Conexión en triángulo, 6 polos, 50 Hz
Datos en condiciones nominales: I n = 36 A; Vn = 400 V ;fdp = 0,98
Datos
en
un
arranque
directo
I arr = 165 A; cos (ϕ ) = 0,3; Tarr = 210 Nm
a
la
tensión
nominal:
Según el R.E.B.T. la tabla de intensidades de arranque para motores de inducción es al siguiente:
Potencia
Kmáxima=Iarr/Inominal
1,5-5kW
3
5-15 kW
2
>15 kW
1,5
Indique cuál o cuáles de los siguientes métodos de arranque se ajustan al R.E.B.T., considerando que
el par de pérdidas mecánicas es despreciable:
1. Arranque directo a la tensión nominal.
2. Arranque por autotransformador.
22
3. Arranque estrella-triángulo.
4. Arranque por inserción de resistencia retóricas.
50. En una instalación industrial se emplea, para alimentar un motor de inducción trifásico, un
transformador de potencia con las siguientes características:
Tensiones nominales 11kV/400V
Potencia nominal 25 kVA
Datos del ensayo de cortocircuito: Pcc = 250 W ; ε cc = 8%
El motor asíncrono que alimenta este transformador tiene las siguientes características:
Conexión en estrella, 2 pares de polos
Corriente nominal 29 A
Tensión de alimentación nominal 400 V
Potencia nominal 15 kW
Velocidad de giro en condiciones nominales de funcionamiento 1440 rpm
Factor de potencia 0,9
Pérdidas mecánicas por rozamiento y ventilación 300 W
Se pide:
1. Esquema unifilar de la instalación y circuito monofásico equivalente.
2. En un determinado instante, la máquina accionada por el motor le impone un par resistente
de 80 Nm. Calcular la velocidad de giro de motor y la tensión de alimentación del mismo (se
considera constante la tensión de alimentación del transformador).
23
51. Una instalación industrial está alimentada por un transformador trifásico, conexión Yy, que
alimenta a tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el esquema de la
figura adjunta.
Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, tensiones nominales 220/380 V y los
parámetros de su circuito equivalente son los siguientes:
R1 = 0,5 Ω; R2’ = 0,8 Ω; X1 = 3 Ω; X2’ = 3,5 Ω
Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas en los motores asíncronos. La
tensión de alimentación del transformador es 13200 V. Los motores M1 y M2 están trabajando con
un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%.
Se pide:
1. Tensión en el secundario del transformador.
2. Potencia total (activa y reactiva) suministrada por el transformador al conjunto de los tres
motores.
3. Par desarrollado por cada uno de los motores.
4. Rendimiento global de la instalación.
24
MÁQUINA ASÍNCRONA
Problemas resueltos
P R O B L E M A 1
U
n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha
dado los siguientes resultados en unos ensayos:
Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W,
Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W.
La resistencia de cada fase del devanado primario o del estator es igual a 0,5 Ω, las pérdidas
mecánicas son 250 W y se consideran constantes.
Calcular:
a) La velocidad de sincronismo.
b) La resistencia de pérdidas en el hierro, RFE, y la reactancia de magnetización, Xµ.
c) La resistencia y la reactancia de cortocircuito.
d) La resistencia del rotor referida al estator R2’.
El motor, alimentado a la tensión nominal, está funcionando a plena carga con un
deslizamiento del 5%.
e) Dibujar el circuito equivalente del motor.
Calcular:
f) La corriente del rotor referida al estator.
g) La corriente de vacío, indicando las componentes de pérdidas en el hierro y de
magnetización.
h) La corriente del estator.
i) Las pérdidas en el hierro.
j) Potencia mecánica interna.
k) Potencia mecánica útil.
l) Rendimiento del motor.
m) Velocidad de giro del motor.
n) Par desarrollado por el motor y el par útil.
25
Solución
Notación empleada
n1
n
Ω
P0
Pm
PFE
Pcu1
Pcc
R1
R2’
Rc’
E0
I0F
I0
IFE
Iµ
RFE
Xµ
Ecc
Icc
Rcc
Xcc
E1
I1
I2’
f
P1
Pu
η
m1
s
Mmi
Mu
Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en rad/seg.
Potencia activa del ensayo de vacío.
Potencia de pérdidas mecánicas.
Potencia de pérdidas en el hierro.
Potencia de pérdidas en el cobre del estator.
Potencia del ensayo de cortocircuito.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga referida al estator.
Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente de vacío.
Corriente de pérdidas en el hierro.
Corriente de magnetización.
Resistencia de pérdidas en el hierro.
Reactancia de magnetización.
Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Resistencia de cortocircuito.
Reactancia de cortocircuito.
Tensión de fase del estator.
Corriente de fase del estator.
Corriente de fase del rotor, referida al estator.
Frecuencia de la red.
Potencia absorbida por el motor.
Potencia útil.
Rendimiento.
Número de fases del estator.
Deslizamiento.
Par mecánico interno.
Par útil.
Apartado A
El número de pares de polos, p, es 2, y la frecuencia de la red 50 Hz. Por tanto la velocidad de
sincronismo vale:
n1 =
60 ⋅ f 60 ⋅ 50
=
= 1.500 r.p.m.
p
2
Apartado B
En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el
hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en
el cobre del estator.
P0 = PFE + Pcu1 + Pm
26
Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro:
PFE = P0 − Pm − Pcu1
Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 250 W. Las pérdidas en el cobre del
estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la
resistencia del estator R1.
Pcu1 = 3 ⋅ R 1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,5 ⋅ 3 2 = 13,50 W
Entonces las pérdidas en el hierro valen:
PFE = P0 − Pcu1 − Pm = 700 − 13,50 − 250
PFE = 436,50 W
El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El
procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la
máquina asíncrona el siguiente:
PFE = 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos ϕ 0
cos ϕ 0 =
PFE
436,50
=
= 0,22
380
3 ⋅ E 0 ⋅ I 0F
3⋅
⋅3
3
senϕ 0 = 0,98
Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:
I FE = I 0 F ⋅ cos ϕ 0 = 3 ⋅ 0,22 = 0,66 A
Iµ = I 0 F ⋅ senϕ 0 = 3 ⋅ 0,98 = 2,93 A
Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de RFE, y Xµ:
E 0 = R FE ⋅ I FE
R FE =
E 0 380 3
=
= 330,81 Ω
I FE
0,66
E 0 = X µ ⋅ Iµ
Xµ =
E 0 380 3
=
= 74,99 Ω
Iµ
2,93
27
Apartado C
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado es el siguiente.
Hay que tener en cuenta que en el arranque el deslizamiento del motor vale uno, y que podemos
despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular Rcc y Xcc es el mismo que en
los transformadores.
Pcc = 3 ⋅ E cc ⋅ I cc ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
=
3 ⋅ E cc ⋅ I cc
1.200
= 0,35
100
3⋅
⋅ 20
3
senϕ cc = 0,94
La resistencia de cortocircuito es la siguiente:
E cc ⋅ cos ϕ cc = R cc ⋅ I cc
100
R cc
E ⋅ cos ϕ cc
= cc
=
I cc
R cc = 1 Ω
La reactancia de cortocircuito vale:
28
Fase
3
⋅ 0,35
20
E cc ⋅ senϕ cc = X cc ⋅ I cc
100
X cc
E ⋅ senϕ cc
= cc
=
I cc
X cc = 2,71 Ω
3
⋅ 0,94
20
Fase
Apartado D
Resistencia del rotor referida al estator:
R cc = R 1 + R 2 '
R 2 ' = R cc − R 1 = 1 − 0,5
R 2 ' = 0,5 Ω
Fase
Apartado E
Circuito equivalente aproximado del motor por fase.
Apartado F
Ahora el motor está funcionando a plena carga con un deslizamiento s igual a 0,05. Del circuito
equivalente del motor se puede deducir la siguiente ecuación, que nos permite encontrar el valor de
la corriente del rotor referida al estator.
29
E 1 = ((R cc + R c ') + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2 '
I2 '=
E1
(R cc + R c ') + j ⋅ X cc
Se toma como origen de fases la tensión de alimentación del estator:
E1 =
380
3
∠0º V
Rc’ es la resistencia de carga. Teniendo en cuenta que el deslizamiento es 0,05, el valor de la
resistencia de carga es el siguiente:
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
− 1⎟ = 9,5 Ω
R c ' = R 2 '⋅⎜ − 1⎟ = 0,5 ⋅ ⎜
Fase
⎝s ⎠
⎝ 0,05 ⎠
Sin olvidar que estamos trabajando con valores de fase, la corriente del rotor referida al estator es la
siguiente:
380
∠0º
3
I2 '=
= 20,23∠ − 14,47º A
(1 + 9,5) + j ⋅ 2,71
Apartado G
La corriente de vacío I0 se puede descomponer en la suma de dos términos: la corriente de pérdidas
en el hierro IFE, y la corriente de magnetización Iµ.
I 0 = I FE + I µ
La corriente de pérdidas en el hierro está en fase con la tensión de alimentación del estator, que sigo
tomando como origen de fases.
E 1 = R FE ⋅ I FE
380
I FE
∠0º
E1
3
=
=
R FE
330,81
I FE = 0,66∠0º A
Sin embargo, la corriente de magnetización retrasará 90º respecto a la misma tensión.
30
E1 = j ⋅ X µ ⋅ I µ
380
∠0 º
E1
3
Iµ =
=
j⋅ Xµ
j ⋅ 74,99
I µ = 2,93∠ − 90º A
La corriente de vacío se obtendrá sumando fasorialmente IFE e Iµ.
I 0 = I FE + I µ = 0,66 + 2,93∠ − 90º
I 0 = 3∠ − 77,23º A
Apartado H
La corriente que el motor está consumiendo en esta situación de carga será, como se puede deducir
del circuito equivalente del motor, la suma de la corriente del rotor referida al estator más la
corriente de vacío:
I1 = I 2 '+ I 0 = 3∠ − 77,23º +20,23∠ − 14,47 º
I1 = 21,77∠ − 21,51º A
Apartado I
Las pérdidas en el hierro equivalen a las pérdidas de potencia por efecto Joule en la resistencia RFE.
Se podría utilizar cualquiera de las dos siguientes expresiones:
PFE = 3 ⋅ E 1 ⋅ I FE
PFE = 3 ⋅ R FE ⋅ I 2FE
y el resultado sería el siguiente:
PFE = 432,3 W
Apartado J
La resistencia de carga Rc’ se utiliza para representar el efecto de la carga mecánica que tiene que
mover el motor. La potencia mecánica interna que desarrolla el motor, para mover la carga y superar
las pérdidas mecánicas por rozamiento, equivale a la potencia disipada en esa resistencia.
31
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
Pmi = m1 ⋅ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ ⋅ I1 ' 2 = 3 ⋅ 0,5 ⋅ ⎜
− 1⎟ ⋅ 20,23 2
⎝s ⎠
⎝ 0,05 ⎠
Pmi = 11.663,71 W
Apartado K
La potencia útil es la que realmente se utiliza para mover la carga, es decir, la potencia mecánica
interna menos las pérdidas.
Pu = Pmi − Pm = 11.663,71 − 250
Pu = 11.413,71 W
Apartado L
Potencia consumida por el motor.
P1 = 3 ⋅ E 1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1
El cosϕ1 es el coseno del argumento de la corriente absorbida por el estator.
P1 = 3 ⋅
380
3
⋅ 21,77 ⋅ cos(21,51) = 13.330,63 W
Rendimiento del motor en la situación de plena carga.
η=
Pu
⋅ 100 = 85,62%
P1
Apartado M
Velocidad de giro del motor.
s=
n1 − n
n1
n = (1 − s ) ⋅ n 1 = (1 − 0,05) ⋅ 1.500
n = 1.425 r.p.m.
Apartado N
32
Par mecánico interno.
Pmi = M mi ⋅ Ω
Ω es la velocidad de giro del motor en rad/seg.
M mi =
Pmi
Pmi
11.663,71
=
=
2 ⋅ π ⋅ n 2 ⋅ π ⋅ 1.425
Ω
60
60
M mi = 78,16 N ⋅ m
Par útil.
Pu = M u ⋅ Ω
Mu =
Pu
Pu
11.413,71
=
=
Ω 2 ⋅ π ⋅ n 2 ⋅ π ⋅ 1.425
60
60
M u = 76,49 N ⋅ m
33
P R O B L E M A 2
U
n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 380 V, 50 Hz y 4 polos, ha dado los
siguientes resultados en unos ensayos:
Ensayo de Vacío: 380 V, 3,2 A, 710 W,
Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1250 W.
La resistencia de fase del devanado primario o del estator es igual a 0,6 Ω. Las pérdidas mecánicas
son 260 W y se consideran constantes.
Calcular:
a) La resistencia de pérdidas en el hierro, RFE, y la reactancia de magnetización, Xµ.
b) La resistencia y la reactancia de cortocircuito.
El motor, alimentado a la tensión nominal, está funcionando a un determinado régimen de carga
con un deslizamiento del 4,5%.
Calcular:
c) La corriente que está consumiendo el motor y su factor de potencia.
d) El rendimiento del motor.
e) El par total desarrollado por el motor y el par útil.
34
Solución
Notación empleada
n1
n
ω
P0
Pm
PFE
Pcu1
Pcc
R1
R2’
Rc’
E0
I0F
I0
IFE
Iµ
RFE
Xµ
Ecc
Icc
Rcc
Xcc
E1
I1
I2’
f
P1
Pu
Pmi
η
s
Tmi
Tu
Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en rad/seg.
Potencia activa del ensayo de vacío.
Potencia de pérdidas mecánicas.
Potencia de pérdidas en el hierro.
Potencia de pérdidas en el cobre del estator.
Potencia del ensayo de cortocircuito.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga referida al estator.
Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente de vacío.
Corriente de pérdidas en el hierro.
Corriente de magnetización.
Resistencia de pérdidas en el hierro.
Reactancia de magnetización.
Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Resistencia de cortocircuito.
Reactancia de cortocircuito.
Tensión de fase del estator.
Corriente de fase del estator.
Corriente de fase del rotor, referida al estator.
Frecuencia de la red.
Potencia absorbida por el motor.
Potencia útil.
Potencia mecánica interna.
Rendimiento.
Deslizamiento.
Par mecánico interno.
Par útil.
Apartado A
En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el
hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en
el cobre del estator.
P0 = PFE + Pcu1 + Pm
Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro:
PFE = P0 − Pm − Pcu1
Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 260 W. Las pérdidas en el cobre del
estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la
resistencia del estator R1 por fase.
Pcu1 = 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,6 ⋅ 3,2 2 = 18,43 W
35
Entonces las pérdidas en el hierro valen:
PFE = P0 − Pcu1 − Pm = 710 − 18,43 − 260
PFE = 431,57 W
El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El
procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la
máquina asíncrona el siguiente:
PFE = 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos ϕ 0
cos ϕ 0 =
PFE
=
3 ⋅ E0 ⋅ I 0 F
431,57
= 0,20
380
3⋅
⋅ 3,2
3
sen ϕ 0 = 0,98
Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:
I FE = I 0 F ⋅ cos ϕ 0 = 3,2 ⋅ 0,20 = 0,64 A
Iµ = I 0 F ⋅ sen ϕ 0 = 3,2 ⋅ 0,98 = 3,14 A
Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de RFE, y Xµ:
E 0 = RFE ⋅ I FE
RFE =
E 0 380 3
=
= 342,80 Ω
0,64
I FE
E0 = X µ ⋅ I µ
Xµ =
E 0 380 3
=
= 69,87 Ω
Iµ
3,14
36
Apartado B
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado es el siguiente.
Hay que tener en cuenta que en el ensayo de cortocircuito el deslizamiento del motor vale uno, y
que podemos despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular Rcc y Xcc es el
mismo que en los transformadores.
Pcc = 3 ⋅ E cc ⋅ I cc ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
=
3 ⋅ E cc ⋅ I cc
senϕ cc
1.250
= 0,36
100
3⋅
⋅ 20
3
= 0,93
La resistencia de cortocircuito es la siguiente:
E cc ⋅ cos ϕ cc = Rcc ⋅ I cc
100
E ⋅ cos ϕ cc
Rcc = cc
=
I cc
Rcc = 1,04 Ω
3
⋅ 0,36
20
Fase
La reactancia de cortocircuito vale:
E cc ⋅ senϕ cc = X cc ⋅ I cc
100
X cc
E ⋅ senϕ cc
= cc
=
I cc
X cc = 2,69 Ω
37
3
⋅ 0,93
20
Fase
Apartado C
Circuito equivalente aproximado del motor por fase.
El motor está funcionando a un determinado régimen de carga con un deslizamiento s igual a 0,045.
Del circuito equivalente del motor se puede deducir la siguiente ecuación, que nos permite encontrar
el valor de la corriente del rotor referida al estator.
E 1 = ((R cc + R c ') + j ⋅ X cc ) ⋅ I 2 '
I2 '=
E1
(R cc + R c ') + j ⋅ X cc
Tomo como origen de fases la tensión de alimentación del estator:
E1 =
380
3
∠0º V
Rc’ es la resistencia de carga. Teniendo en cuenta que el deslizamiento es 0,045, el valor de la
resistencia de carga es el siguiente:
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
− 1⎟ = 9,37 Ω
Rc ' = R2 '⋅⎜ − 1⎟ = 0,44 ⋅ ⎜
Fase
⎝s ⎠
⎝ 0,045 ⎠
Previamente hemos de haber encontrado el valor de la resistencia del rotor referida al primario R2’, a
partir de Rcc y R1.
Rcc = R1 + R2'
R2' = Rcc − R1
R2' = 1,04 − 0,6 = 0,44 Ω
Fase
Sin olvidar que estamos trabajando con valores de fase, la corriente del rotor referida al estator es la
siguiente:
38
380
∠0º
3
I 2 '=
= 20,40∠ − 14,49º A
(1,04 + 9,37 ) + j ⋅ 2,69
La corriente de vacío I0 se puede descomponer en la suma de dos términos: la corriente de pérdidas
en el hierro IFE, y la corriente de magnetización Iµ.
I 0 = I FE + I µ
La corriente de pérdidas en el hierro está en fase con la tensión de alimentación del estator, que sigo
tomando como origen de fases.
E 1 = R FE ⋅ I FE
380
I FE
∠0º
E1
3
=
=
R FE
342,80
I FE = 0,64∠0º A
Sin embargo, la corriente de magnetización retrasará 90º respecto a la misma tensión.
E1 = j ⋅ X µ ⋅ I µ
380
∠0º
E1
3
Iµ =
=
j⋅ Xµ
j ⋅ 69,87
I µ = 3,14∠ − 90º A
La corriente de vacío se obtendrá sumando fasorialmente IFE e Iµ.
I 0 = I FE + I µ = 0,64 + 3,14∠ − 90º
I 0 = 3,2∠ − 78,48º A
La corriente que el motor está consumiendo en esta situación de carga será, como se puede deducir
del circuito equivalente del motor, la suma de la corriente del rotor referida al estator más la
corriente de vacío:
I 1 = I 2 '+ I 0 = 20,40∠ − 14,49º +3,2∠ − 78,48º
I 1 = 21,99∠ − 22,01º A
El factor de potencia será el siguiente:
cos ϕ 1 = cos(22,01) = 0,92 (Inductivo )
39
Apartado D
El rendimiento de una máquina es la relación entre la potencia de salida, o potencia útil, y la potencia
de entrada o consumida.
η=
Pu
⋅ 100
P1
La potencia de entrada del motor es la que está consumiendo por el estator.
P1 = 3 ⋅ E1 ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ 1
P1 = 3 ⋅
380
3
⋅ 21,99 ⋅ 0,92 = 13.416,67 W
La resistencia de carga Rc’ se utiliza para representar el efecto de la carga mecánica que tiene que
mover el motor. La potencia mecánica interna que desarrolla el motor, para mover la carga y superar
las pérdidas mecánicas por rozamiento, equivale a la potencia disipada en esa resistencia.
Pmi = m1 ⋅ Rc '⋅I 2 ' 2 = 3 ⋅ 9,37 ⋅ 20,40 2
Pmi = 11.696,53 W
La potencia útil es la que realmente se utiliza para mover la carga, es decir, la potencia mecánica
interna menos las pérdidas.
Pu = Pmi − Pm = 11.696,53 − 260
Pu = 11.436,53 W
Rendimiento del motor en esta situación de carga es el siguiente:
η=
Pu
⋅ 100 = 85,24%
P1
Apartado E
Una vez conocidas las potencias interna y útil del motor, podemos calcular el par mecánico interno,
o total, desarrollado por la máquina, y el par útil. Pero antes es necesario conocer la velocidad de
giro del motor.
40
s=
n1 − n
n1
n = n1 ⋅ (1 − s ) =
n=
60 ⋅ f
⋅ (1 − s )
p
60 ⋅ 50
⋅ (1 − 0,045) = 1432,50 r. p.m.
2
2π ⋅ n
ω=
= 150,01 rad
s
60
El par mecánico interno es el siguiente:
Pmi = Tmi ⋅ ω
Pmi
11.696,53
ω
150,01
Tmi = 77,97 N ⋅ m
Tmi =
=
El par útil se obtiene empleando la potencia útil:
Pu = Tu ⋅ ω
Pu
11.436,53
ω
150,01
Tu = 76,24 N ⋅ m
Tu =
=
41
P R O B L E M A 3
U
n motor de inducción trifásico, conectado en estrella, de 220 V, 6 polos, 50 Hz y 2,2 kW
(potencia útil en condiciones nominales), tiene los siguientes parámetros del circuito
equivalente en ohmios por fase:
R1 = 0.7 ; R2’ = 0.3 ; X1 = X2’ = 0.6 ; Xµ = 30
Las pérdidas mecánicas se suponen constantes e iguales a 700 W.
A. Calcular en condiciones de plena carga la velocidad de giro, el factor de potencia, rendimiento y
potencia consumida por el motor.
B. Determinar el par máximo que es capaz de desarrollar la máquina y el deslizamiento al que se
produce.
C. En un arranque de tipo directo, y considerando el par resistente constante, indicar si el motor es
capaz de arrancar en los siguientes casos:
•
Par resistente de 10 Nm,
•
Par resistente de 50 Nm,
•
Par resistente de 70 Nm.
¿En cuál de estos tres casos el motor arrancará más rápidamente?
D. Se quiere reducir la corriente de arranque del motor en al menos un 25%. Se dispone de un
transformador trifásico ideal de relación de transformación 220/130 V. Si el arranque del motor se
realiza empleando este transformador, ¿se consigue el objetivo buscado? ¿Cuál es el % de reducción
de la corriente de arranque?
E. En las condiciones del apartado anterior calcular el % de reducción del par de arranque.
Determinar si, con este tipo de arranque, el motor es capaz de ponerse en marcha para los tres casos
del apartado C.
42
Solución
Notación empleada
n1
n
Ω
P0
Pm
PFE
Pcu1
Pcc
R1
R2’
Rc’
E0
I0F
I0
IFE
Iµ
RFE
Xµ
Ecc
Icc
Rcc
Xcc
E1
I1
I2’
f
P1
Pu
Pmi
η
m1
s
Mmi
Mu
Velocidad de sincronismo del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en r.p.m.
Velocidad de giro del motor, en rad/seg.
Potencia activa del ensayo de vacío.
Potencia de pérdidas mecánicas.
Potencia de pérdidas en el hierro.
Potencia de pérdidas en el cobre del estator.
Potencia del ensayo de cortocircuito.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga referida al estator.
Tensión del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente del ensayo de vacío, en valor de fase.
Corriente de vacío.
Corriente de pérdidas en el hierro.
Corriente de magnetización.
Resistencia de pérdidas en el hierro.
Reactancia de magnetización.
Tensión del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Corriente del ensayo de cortocircuito, en valor de fase.
Resistencia de cortocircuito.
Reactancia de cortocircuito.
Tensión de fase del estator.
Corriente de fase del estator.
Corriente de fase del rotor, referida al estator.
Frecuencia de la red.
Potencia absorbida por el motor.
Potencia útil.
Potencia mecánica interna.
Rendimiento.
Número de fases del estator.
Deslizamiento.
Par mecánico interno.
Par útil.
Apartado A
En este primer apartado del problema se pide calcular la velocidad, factor de potencia, rendimiento
y potencia consumida por el motor en condiciones de plena carga. En esta situación particular de
funcionamiento, la potencia útil desarrollada por el motor es la nominal. Este dato es conocido,
junto con las pérdidas mecánicas, que se consideran constantes. Entonces se puede calcular la
potencia mecánica interna desarrollada por el motor:
Pu ,nom = 2, 2 kW
Pm = 700 W
Pmi = Pu ,nom + Pm = 2,9 kW
Para resolver este apartado va a ser necesario antes determinar el deslizamiento de la máquina
cuando trabaja a plena carga. Los siguientes pasos van encaminados a obtener una ecuación o
fórmula que permita determinar el valor de s.
43
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono es el siguiente:
En nuestro caso particular, la resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro, RFe, suponemos que
es nula, debido a que no hay datos para calcularla, por lo que no debe aparecer en el circuito
equivalente. La potencia mecánica interna Pmi que se acaba de calcular equivale a las pérdidas por
efecto Joule en la resistencia equivalente de carga Rc’.
Pmi = 3 ⋅ Rc' ⋅ I 2' 2
Si se utiliza el circuito equivalente de la máquina se puede obtener una expresión para la corriente I2’.
La aplicación de la segunda ley de Kirchoff da lugar a la siguiente expresión para el módulo de esta
corriente:
E1
I 2' =
(R
+ Rc' ) + X cc2
2
cc
Se eleva al cuadrado esta expresión, y se sustituye en la fórmula de la potencia mecánica interna:
Pmi =
(R
cc
3 ⋅ Rc' ⋅ E12
+ Rc' ) + X cc2
2
En esta expresión de la potencia mecánica interna, en principio, no aparece el deslizamiento s de la
máquina. Sin embargo, la resistencia equivalente de carga Rc’ si que depende de s.
⎛1 ⎞
Rc' = R2' ⋅ ⎜ − 1⎟
⎝s ⎠
Si sustituimos esta última relación en la expresión de la Pmi, se obtiene una ecuación que permite
calcular el valor del deslizamiento a plena carga.
44
⎛1 ⎞
3 ⋅ R2' ⋅ ⎜ − 1⎟ ⋅ E12
⎝s ⎠
Pmi =
2
⎛
⎞⎞
'
' ⎛1
2
⎜ R1 + R2 + R2 ⋅ ⎜ s − 1⎟ ⎟ + X cc
⎝
⎠⎠
⎝
Esta ecuación de segundo grado tiene una única incógnita, que es el deslizamiento. Al resolverla se
van a obtener los dos siguientes valores para s:
sI = 0, 64
sII = 0, 02
En este caso, las dos soluciones corresponden a un funcionamiento de la máquina como motor. Sin
embargo, es fácil decidir que la primera solución no es válida según las condiciones normales de
funcionamiento. Se ha visto, en el curso de máquinas, que este tipo de máquina funciona con
deslizamientos bajos, o lo que es lo mismo, con velocidades próximas a la de sincronismo. Por eso,
aceptamos como solución válida la segunda. Ya estamos en condiciones de poder calcular los
valores pedidos:
•
Velocidad de plena carga.
s=
n1 − n
n1
n = (1 − s ) ⋅ n1 = (1 − s ) ⋅
•
60 ⋅ f
= 979, 76 r. p.m.
p
Potencia consumida.
P1 = 3 ⋅ E1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1
Necesitamos calcular previamente la corriente consumida por el motor y su factor de potencia.
Tomamos como origen de fases la tensión de fase de alimentación del motor. Hay que tener en
cuenta que el estator está conectado en estrella.
E1 =
220 0
∠0 V
3
La corriente del rotor referida al estator se obtiene de la siguiente forma:
I 2' =
0
E1
=
∠
−
8,16
4,
42
⎛
R2' ⎞
+
R
⎜ 1
⎟ + j ⋅ X cc
s ⎠
⎝
A
Para obtener el valor de la corriente consumida por el motor, habrá que sumar a la corriente que
circula por el rotor, la corriente de magnetización:
45
Iµ =
E1
= 4, 23∠ − 900
j ⋅ Xµ
A
La corriente del estator es por tanto:
I1 = I 2' + I µ = 9, 48∠ − 30,87 0
A
El factor de potencia de la máquina, al haber escogido como origen de fases la tensión de
alimentación, es igual al coseno del argumento de la corriente I1:
cos ϕ1 = cos ( −30,87 0 ) = 0,86
( Inductivo )
Ya se han calculado las variables necesarias para determinar la potencia consumida por el motor a
plena carga:
P1 = 3099, 70 W
•
Factor de potencia.
El factor de potencia a plena carga del motor ha sido determinado con anterioridad.
cos ϕ1 = cos ( −30,87 0 ) = 0,86
•
( Inductivo )
Rendimiento del motor.
La potencia consumida ya es conocida, y la potencia útil a plena carga es un dato del enunciado del
problema. Por lo tanto el rendimiento queda:
η=
Pu ,nom
P1
⋅100 = 70,97 %
Apartado B
En este segundo apartado, se pide el par máximo que es capaz de desarrollar el motor, y el
deslizamiento al cuál se produce. Se sobreentiende que la alimentación del motor seguirá siendo de
220 voltios. Para obtener estos dos datos, basta con emplear las fórmulas desarrolladas en la teoría y
que han sido empleadas en los problemas realizados en clase.
•
Par máximo.
M max =
(
3 ⋅ E12
2 ⋅ Ω1 ⋅ R1 + R12 + X cc2
46
)
= 110, 61 N ⋅ m
•
Deslizamiento de par máximo.
sM max =
R2'
R12 + X cc2
= 0, 22
Apartado C
Ahora tenemos que determinar si el motor va a ser capaz de arrancar en tres casos diferentes de par
resistente. El arranque es de tipo directo a la tensión nominal de alimentación del motor. Hay que
calcular el par de arranque del motor, y compararlo con los pares resistentes propuestos. Cuando el
par de arranque sea mayor que el resistente la máquina será capaz de ponerse en marcha.
Se va a determinar el par de arranque de esta máquina en un arranque de tipo directo, sabiendo que
el deslizamiento en esta situación vale 1.
M arr = M i ( s = 1) =
3 ⋅ R2' ⋅ E12
= 56, 83 N ⋅ m
Ω1 ⋅ ( Rcc2 + X cc2 )
Este par es mayor que el par resistente cuando éste vale 10 y 50 Nm. En estos dos casos la máquina
consigue arrancar. En el tercero ocurre todo lo contrario. El par resistente de 70 Nm es mayor que
el par que la máquina es capaz de desarrollar en el instante de arranque. Ahora queda determinar en
cuál de los dos casos en los que la máquina arranca, ésta lo hace más rápido. Planteamos la ecuación
mecánica que rige el movimiento de rotación del rotor del motor en el instante de arranque.
M arr − M res = J ⋅
dΩ
dt
La aceleración inicial del motor depende de la diferencia entre el par de arranque y el par resistente.
Esta diferencia es mayor cuando el par resistente es de 10 Nm. Por lo tanto, es en este caso en el
que se produce el arranque más rápido.
Apartado D
Ahora se quiere reducir la corriente de arranque en al menos un 25%. Como solución se plantea el
alimentar al motor a través de un transformador ideal. Éste va a reducir la tensión de alimentación
del motor a 130 voltios. Al considerar que es ideal no se producen pérdidas ni caídas de tensión
adicionales. Entonces, podemos considerar que el motor estará alimentado, en este caso, a 130
voltios. Para ver si se consigue el objetivo, se calculará la corriente de arranque en los dos casos
planteados: arranque directo a 220 voltios, y arranque a través del transformador a 130 voltios.
47
I1,arr = I µ + I 2,' arr
I 2,' arr =
E1
Rcc + j ⋅ X cc
La corriente de magnetización fue calculada en un apartado anterior.
•
Corriente de arranque con alimentación a 220 voltios.
I 2,' arr ,220
220 0
∠0
3
=
= 81,31∠ − 50,190
1 + j ⋅1, 2
I1, arr ,220 = 84, 61∠ − 52, 030
•
A
A
Corriente de arranque con alimentación a 130 voltios.
I 2,' arr ,130
130 0
∠0
3
=
= 48, 05∠ − 50,190
1 + j ⋅1, 2
I1, arr ,130 = 50∠ − 52, 030
A
A
La corriente de arranque se ha reducido en el siguiente porcentaje:
I1,arr ,220 − I1,arr ,130
I1,arr ,220
⋅100 = 43, 21%
El porcentaje de reducción ha sido del 43,21%. Por lo tanto, empleando el transformador para
alimentar el motor en el arranque se consigue reducir la corriente en al menos un 25%.
Apartado E
Al emplear el transformador para alimentar el motor durante el arranque surge un problema: el par
de arranque es proporcional a la tensión de alimentación al cuadrado. Como hemos reducido la
tensión de alimentación, también ha bajado el par de arranque de la máquina.
El nuevo par de arranque valdrá:
2
'
M arr
⎛ 130 ⎞
3 ⋅ 0,3 ⋅ ⎜
⎟
'
2
3 ⋅ R2 ⋅ E1
⎝ 3 ⎠ = 19,84 N ⋅ m
=
=
Ω1 ⋅ ( Rcc2 + X cc2 ) Ω1 ⋅ (12 + 1, 22 )
El % de reducción del par de arranque se calcula de la siguiente manera:
48
M arr ,220 − M arr ,130
M arr ,220
⋅100 = 65, 08%
Ahora el motor no va a ser capaz de arrancar cuando el par resistente sea de 50 Nm. Por supuesto
que tampoco cuando valga 70 Nm. Con este tipo de arranque el motor solo se pondrá en
movimiento para el par resistente de 10 Nm.
49
P R O B L E M A 4
U
n motor asíncrono trifásico de rotor en jaula de ardilla, tiene una placa de características en
la que se leen únicamente los siguientes datos:
380/660 V; 50 Hz; 585 r.p.m.
Los parámetros del circuito equivalente del motor son:
IFe = Iµ = 0; Pm = 0; R1 = 0,5 Ω; R2’ = 0,7 Ω; X1 = X2’ = 3 Ω
Si se conecta el motor a una red de 380 V y 50 Hz, indicar:
a) La forma de conexión del estator del motor y dibujo de la placa de bornes correspondiente.
b) Conectado el motor correctamente, de acuerdo con el apartado anterior, hallar en el caso en que
el motor gire a plena carga a una velocidad de 585 r.p.m., el valor de la corriente absorbida por el
motor de la línea, el f.d.p. del motor en estas condiciones y la potencia absorbida por el motor de la
red.
c) Potencia desarrollada por el motor en las condiciones del apartado anterior, par mecánico en el
eje y rendimiento del motor.
d) Si girando la máquina como motor a 585 r.p.m., se intercambian súbitamente dos fases de la red
de alimentación, ¿cuál será, en esos momentos, el par de frenado desarrollado por la máquina?.
e) Si la máquina se hace girar a 615 r.p.m. movida por un motor diesel acoplado a su eje, en el
mismo sentido que funcionaba como motor y sin cambiar la secuencia de fases, hallar la potencia
mecánica absorbida y la potencia eléctrica que la máquina entrega a la red.
50
Solución
Notación empleada
n
n1
s
Ω
E1
i1
I1
i2’
R1
R2’
Rc’
X1
X 2’
f1
P1
Pu
Pm
Pmi
Pabs
Pent
Mu
Mi
Mf
ζ
Velocidad de giro del motor en r.p.m.
Velocidad de sincronismo en r.p.m.
Deslizamiento del motor.
Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo.
Tensión de fase del estator.
Intensidad de corriente del estator.
Intensidad de corriente de línea.
Intensidad de corriente de rotor referida al estator.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga.
Reactancia por fase del estator.
Reactancia por fase del rotor referida al estator.
Frecuencia de la red de alimentación.
Potencia activa absorbida por el estator.
Potencia útil.
Potencia de pérdidas mecánicas.
Potencia mecánica interna.
Potencia absorbida por la máquina cuando funciona como generador.
Potencia entregada por la máquina cuando funciona como generador.
Par útil desarrollado por el motor.
Par mecánico interno.
Par de frenado.
Rendimiento del motor.
Apartado A
Las tensiones de alimentación del motor son 380/660 V. La primera corresponde a la conexión en
triángulo del motor y la segunda a la conexión en estrella. En los dos tipos de conexión, las fases del
estator están sometidas a la misma tensión de 380 voltios. Como la red de alimentación es de 380
voltios entre fases, la conexión del estator del motor deberá ser en triángulo.
380 V
51
El dibujo de la placa de bornes correspondiente a la conexión en triángulo del estator del motor es el
siguiente:
Apartado B
El motor a plena carga tiene que funcionar a un deslizamiento s bajo. Si la velocidad de giro del
motor a plena carga es 585 r.p.m., para que el deslizamiento sea bajo la velocidad de sincronismo n1
deberá ser un valor muy próximo a n.
n1 =
60 ⋅ f 1 60 ⋅ 50 3.000
=
=
p
p
p
El número de pares de polos del motor es desconocido, pero como n1 debe ser próximo a 585
r.p.m. se puede adivinar que el motor tendrá 10 polos.
n1 =
3.000
= 600 r.p.m.
5
El deslizamiento de plena carga será por tanto:
s=
n 1 − n 600 − 585
=
n1
600
s = 0,025
El circuito equivalente por fase del motor es el siguiente:
52
En este circuito no aparece la rama en paralelo porque en el enunciado se indica que la corriente de
magnetización Iµ y la corriente de pérdidas en el hierro IFE son nulas. La impedancia equivalente de
todo el motor es la siguiente:
R '⎞
0,7 ⎞
⎛
⎛
Z eq = ⎜ R 1 + 2 ⎟ + j ⋅ (X 1 + X 2 ') = ⎜ 0,5 +
⎟ + j ⋅ (3 + 3)
0,025 ⎠
s ⎠
⎝
⎝
Z eq = 28,5 + j ⋅ 6
Si se toma como origen de fases la tensión de alimentación del motor E1, la corriente de fase
absorbida por el motor es la siguiente:
i 2 ' = i1 =
380∠0º V
E1
=
Z eq 28,5 + j ⋅ 6 Ω
i1 = 13,047∠ − 11,889º A
La corriente absorbida por el motor de la línea es, por tanto, la siguiente:
I1 = 3 ⋅ i1 = 3 ⋅ 13,047
I1 = 22,599 A
El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo que existe entre la tensión y corriente de
fase:
f .d.p. = cos(−11,889º ) = 0,979 (Inductivo)
Y por último queda determinar la potencia absorbida por el motor de la red:
P1 = 3 ⋅ E 1 ⋅ i1 ⋅ cos(ϕ1 ) = 3 ⋅ 380 ⋅ 13,047 ⋅ 0,979
P1 = 14.561,235 W
Apartado C
En el enunciado del motor se indica que la potencia de pérdidas mecánicas Pm se considere nula, por
tanto, la potencia útil del motor Pu coincide con la potencia mecánica interna Pmi. Esta potencia
coincide con la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga Rc’.
⎞
⎛ 1
⎛1 ⎞
Pu = Pmi = 3 ⋅ R c '⋅i 2 ' 2 = 3 ⋅ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ ⋅ i 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎜
− 1⎟ ⋅ 13,047 2
⎝s ⎠
⎝ 0,025 ⎠
Pu = 13.941,363 W
Una vez encontrada la potencia útil que está suministrando el motor podemos conocer el par útil
Mu. En este caso, al ser despreciables las pérdidas mecánicas, el par útil coincide con el par mecánico
interno Mi.
53
Mu =
Pu
Pu
13.941,363
=
=
2π
Ω 2π
⋅n
⋅ 585
60
60
M u = 227,573 N ⋅ m
El rendimiento del motor es la relación entre la potencia de salida o útil del motor, y la potencia
consumida por el mismo.
ζ=
Pu
13.941,363
⋅ 100 =
⋅ 100
P1
14.561,235
ζ = 95,743%
Apartado D
Este método de frenado de máquinas asíncronas se denomina frenado por contra-corriente. Al
invertir dos fases de la alimentación se invierte el sentido de giro del campo magnético giratorio
producido por el estator en el entrehierro. El rotor, debido a su inercia, sigue girando en el mismo
sentido. Si se sigue tomando como sentido positivo el de giro del campo magnético del entrehierro,
está claro que el par desarrollado por el motor, cuando se produce el intercambio de dos fases de la
alimentación, pasa a ser negativo. Lo mismo ocurre con la velocidad de giro del motor.
54
En la gráfica anterior se puede observar que cuando se produce el intercambio de las dos fases
cambia la curva característica par-velocidad del motor. Inicialmente el punto de trabajo del motor se
encontraba en la zona de funcionamiento como motor. La curva característica par-velocidad del
motor corresponde a la no sombreada de la figura. Al cambiar las dos fases y comenzar el campo
magnético a girar en sentido contrario, la curva característica par-velocidad cambia. Ahora es la
curva sombreada de la gráfica la que rige cuál es el comportamiento del motor. El deslizamiento
pasa a tomar un valor mayor que uno, y por lo tanto el punto de trabajo corresponde a la zona de
funcionamiento como freno de la máquina.
s=
n 1 − n 600 − (− 585)
=
n1
600
s = 1,975
La velocidad n de giro del motor lleva signo negativo porque ahora el rotor gira en sentido contrario
al campo magnético del entrehierro, que es el que marca el sentido de giro positivo. El par de
frenado Mf se puede obtener a partir de la potencia desarrollado por el motor, Pmi. Se sigue
utilizando el mismo circuito equivalente por fase del motor, pero teniendo en cuenta que el
deslizamiento ahora es mayor que 1. La intensidad que consume el motor en el instante de
intercambio de las dos fases de la alimentación es la siguiente:
i 2 ' = i1 =
380∠0º V
E1
E1
=
=
R '⎞
0,7 ⎞
⎛
Z eq ⎛
⎟ + j ⋅ (3 + 3)
⎜ R 1 + 2 ⎟ + j ⋅ (X 1 + X 2 ') ⎜ 0,5 +
s ⎠
1,975 ⎠
⎝
⎝
i1 = 62,701∠ − 81,895º A
Entonces el par de frenado será el siguiente:
55
⎞
⎛ 1
⎛1 ⎞
− 1⎟ ⋅ 62,7012
3 ⋅ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ ⋅ i 2 ' 2 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎜
P
P
⎝ 1,975 ⎠
⎝s ⎠
M f = mi = mi =
=
2π
2π
2π
Ω
⋅n
⋅ (− 585)
⋅n
60
60
60
M f = 66,531 N ⋅ m
Apartado E
En este apartado se obliga al motor a girar a una velocidad superior a la de sincronismo. Entonces la
máquina va a funcionar como generador. Absorberá una potencia mecánica, que es la que
proporciona el motor diesel que hace girar el rotor de la máquina, y entrega a la red una potencia
útil, que es potencia eléctrica. Ahora el deslizamiento tomará un valor negativo, que corresponde a la
zona de funcionamiento como generador, como se puede observar en la siguiente gráfica.
El circuito equivalente por fase es el mismo que se ha utilizado durante todo el problema. El
deslizamiento de la máquina correspondiente a este funcionamiento como generador es el siguiente:
s=
n 1 − n 600 − 615
=
n1
600
s = −0,025
Si se sigue tomando como origen de fases la tensión del estator E1, la intensidad de corriente
proporcionada por la máquina a la red es la siguiente:
i 2 ' = i1 =
380∠0º V
E1
E1
=
=
R '⎞
0,7 ⎞
⎛
Z eq ⎛
⎜ R 1 + 2 ⎟ + j ⋅ (X 1 + X 2 ') ⎜ 0,5 +
⎟ + j ⋅ (3 + 3)
s ⎠
− 0,025 ⎠
⎝
⎝
i1 = 13,501∠ − 167,692º A
La potencia que la máquina absorbe del motor diesel esta representada, en este caso, por la potencia
disipada por efecto Joule en la resistencia de carga Rc’.
56
⎞
⎛ 1
⎛1 ⎞
Pabs = 3 ⋅ R c '⋅i 2 ' 2 = 3 ⋅ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ ⋅ i 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,7 ⋅ ⎜
− 1⎟ ⋅ 13,5012
⎝s ⎠
⎝ − 0,025 ⎠
Pabs = 15.694,050 W
La potencia entregada a la red es la calculada anteriormente menos la potencia perdida en las
resistencia del estator y del rotor.
Pent = Pabs − 3 ⋅ (R 1 + R 2 ') ⋅ i 2 ' 2 = 15.694,050 − 3 ⋅ (0,5 + 0,7 ) ⋅ 13,5012
Pent = 15.037,853 W
57
P R O B L E M A 5
U
n motor de inducción de 4 polos, 460 V, 60 Hz, conectado en Y tiene las siguientes
impedancias en Ω/fase referidas al circuito del estator:
R1 = 0,641 Ω; R2’ = 0,332 Ω; X1 = 1,106 Ω; X2’ = 0,464 Ω; Xµ = 26,3 Ω
Las pérdidas rotacionales son 1100 W y se asumen como constantes. Las pérdidas en el hierro están
incluidas en las pérdidas rotacionales. Si el motor se alimenta a voltaje y frecuencia nominales y gira
con un deslizamiento del 2,2 %, calcular:
a) La velocidad.
b) La corriente en el estator.
c) El factor de potencia.
d) Potencia mecánica y potencia de salida.
e) Par producido y par de salida.
f) El rendimiento.
Suponiendo, ahora, que el motor anterior es de rotor devanado, calcular:
g) Par máximo. ¿A qué velocidad y a que deslizamiento se presenta?.
h) Par de arranque del motor.
i) Cuando se duplica la resistencia del rotor, ¿cuál es la velocidad a la que ocurre el par máximo?.
¿Cuál es el nuevo par de arranque del motor ?.
58
Solución
Notación empleada
n
n1
nM,max
s
sM,max
Ω
p
E1
I1
I2’
R1
R2’
Rc’
X1
X 2’
Xm
f1
P1
Pu
Pm
Pmi
Pa
Mu
M1
Mmax
M
Marr
ζ
Velocidad de giro del motor en r.p.m.
Velocidad de sincronismo en r.p.m.
Velocidad de par máximo.
Deslizamiento del motor.
Deslizamiento de par máximo.
Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo.
Número de pares de polos.
Tensión de fase del estator.
Intensidad de corriente del estator. Valor de fase.
Intensidad de corriente de rotor referida al estator.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga.
Reactancia por fase del estator.
Reactancia por fase del rotor referida al estator.
Reactancia de magnetización.
Frecuencia de la red de alimentación.
Potencia activa absorbida por el estator.
Potencia útil.
Potencia de pérdidas mecánicas.
Potencia mecánica interna.
Potencia del entrehierro.
Par útil desarrollado por el motor.
Par mecánico interno.
Par máximo.
Par.
Par de arranque.
Rendimiento del motor.
Apartado A
En las pérdidas rotacionales se han incluido las pérdidas en el hierro, y se suponen constantes. Para
calcular la potencia útil del motor habrá que restar a la potencia mecánica interna las pérdidas
rotacionales antes mencionadas.
En el enunciado del problema se proporcionan los parámetros del circuito equivalente del motor
excepto la resistencia de pérdidas en el hierro RFE, por lo que ésta no aparecerá en el circuito
equivalente.
Circuito equivalente por fase del motor asíncrono.
59
Para determinar la velocidad n de giro del motor hay que utilizar la expresión del deslizamiento.
s=
n1 − n
n1
n = (1 − s) ⋅ n 1
El deslizamiento s es conocido. Sólo hay que calcular la velocidad de sincronismo n1.
n1 =
60 ⋅ f 1 60 ⋅ 60
=
= 1.800 r.p.m.
p
2
La velocidad de giro del motor es:
n = (1 − s) ⋅ n 1 = (1 − 0,022) ⋅ 1.800
n = 1760,4 r.p.m.
Apartado B
Para determinar I1 se va a emplear el circuito equivalente por fase del motor. Se va a reducir todo el
circuito a una sola impedancia equivalente. La resistencia total de la rama en serie del circuito
equivalente es la siguiente:
R '
⎛1 ⎞
R s = R 1 + R 2 '+ R c ' = R 1 + R 2 '+ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ = R 1 + 2
s
⎝s ⎠
0,332
R s = 0,641 +
= 15,733 Ω
Fase
0,022
La reactancia total de la rama serie del circuito equivalente del motor es:
X s = X 1 + X 2 ' = 1,106 + 0,464
X s = 1,570 Ω
Fase
La impedancia total de la rama en serie es:
Z s = R s + j X s = 15,733 + j 1,570 = 15,811∠5,699º Ω
Fase
Esta impedancia está en paralelo con la reactancia de magnetización Xm. La impedancia equivalente
de la asociación en paralelo de ambas es la siguiente:
Z eq
1
1
1
=
+
Z eq j X m Z s
= 12,993∠35,144º Ω
60
Fase
Si se toma como origen de fases la tensión de fase del estator E1 la corriente del estator es:
460 ∠0º V
E1
3
=
I1 =
Z eq 12,993∠35,144º Ω
I1 = 20,440∠ − 35,144º A
Apartado C
cos ϕ1 = cos(− 35,144º ) = 0,818 (Inductivo )
Apartado D
La potencia del entrehierro Pa está relacionada con la potencia mecánica Pmi y la potencia de
pérdidas en el cobre del rotor Pcu2.
Pa =
P
Pmi
= cu 2
1− s
s
Entonces se puede calcular la potencia mecánica del motor a partir de la potencia de pérdidas en el
cobre del rotor y conociendo también el deslizamiento s.
Pmi =
1− s
Pcu 2
s
Es necesario determinar la intensidad de corriente del rotor I2’, para poder calcular la pérdidas en el
cobre del rotor. Si se utiliza el circuito equivalente por fase del motor y tomando, como antes, la
tensión de fase del estator como origen de fases se puede escribir:
460 ∠0º V
E1
3
= 16,797∠ − 5,699º A
I2 '=
=
15
,
811
∠
5,699º Ω
Zs
Las pérdidas en el cobre del rotor son:
Pcu 2 = 3 ⋅ R 2 '⋅I 2 ' 2 = 3 ⋅ 0,332 ⋅ 16,797 2 = 281,011 W
y la potencia mecánica:
Pmi =
1 − 0,022
281,011 = 12.492,201 W
0,022
La potencia útil o de salida se obtendrá restando a la potencia mecánica la potencia de pérdidas, que
el enunciado dice que consideremos constantes.
Pu = Pmi − Pm = 12.492,201 − 1.100 = 11.392,201 W
61
Apartado E
El par total desarrollado por el motor hay que calcularlo a partir de la potencia mecánica interna.
Pmi
P
12.492,201
= mi =
2π
2π
Ω
n
1.760,4
60
60
M 1 = 67,764 N ⋅ m
M1 =
El par útil o de salida se obtiene a partir de la potencia útil desarrollada por el motor:
Mu =
Pu
P
11.392,201
= u =
2π
Ω 2π
n
1.760,4
60
60
M u = 61,797 N ⋅ m
Apartado F
La potencia consumida por el motor es la siguiente:
P1 = 3 ⋅ E 1 ⋅ I1 ⋅ cos ϕ1 = 3 ⋅
460
3
⋅ 20,440 ⋅ 0,818 = 13.321,485 W
El rendimiento de la máquina será:
ς=
11.392,201
100 = 85,517%
13.321,485
Apartado G
El par máximo se puede calcular empleando la siguiente expresión:
M max =
3 ⋅ E 12
2⋅
(
2π
2
⋅ n 1 ⋅ R 1 + R 12 + X cc
60
)
En esta expresión se conocen todos los parámetros. Como se puede observar el par máximo que es
capaz de desarrollar el motor es independiente de la resistencia del rotor. Sustituyendo todos las
variables por sus valores, el par máximo es el siguiente:
M max =
3 ⋅ ⎛⎜ 460 ⎞⎟
3⎠
⎝
(
2
2π
2⋅
⋅ 1800 ⋅ 0,641 + 0,6412 + 1,570 2
60
62
)
= 240,193 N ⋅ m
Sin embargo el deslizamiento de par máximo si que es función de la resistencia del rotor:
s M ,max =
R2'
R +X
2
1
2
cc
0,332
=
0,6412 + 1,570 2
= 0,196
La velocidad a la que el motor es capaz de proporcionar el par máximo es:
n M ,max = (1 − s M ,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,196) ⋅ 1800 = 1.447,603 r.p.m.
Apartado H
En el arranque la velocidad n del rotor es nula, y por lo tanto el deslizamiento vale uno.
s arr =
n 1 − n arr n 1 − 0
=
=1
n1
n1
El par en el arranque se encontrará empleando la expresión del par mecánico en función de los
parámetros del circuito equivalente del motor:
R2' 2
⋅ E1
s
M=
2
⎞
⎛⎛
R2'⎞
2π
2
⎜
⋅ n1 ⋅ ⎜ R 1 +
⎟ + X cc ⎟
⎟
⎜⎝
60
s ⎠
⎠
⎝
3⋅
Si se sustituye el deslizamiento por uno, correspondiente a la situación inicial del arranque, se
obtiene el valor del par en dicho momento:
M arr =
0,332 ⎛ 460 ⎞
⋅⎜
3⋅
⎟
1 ⎜⎝ 3 ⎟⎠
2
2
⎛⎛
⎞
2π
0,332 ⎞
⎜
⋅ 1.800 ⋅ ⎜ 0,641 +
+ 1,570 2 ⎟
⎟
⎜⎝
⎟
60
1 ⎠
⎝
⎠
M arr = 109,242 N ⋅ m
Apartado I
Al aumentar la resistencia del rotor se modifica la característica par-deslizamiento del motor. Como
consecuencia cambian la velocidad a la que se obtiene el par máximo, y el par de arranque del
motor. La corriente consumida por el motor durante el arranque disminuye, pero el par máximo que
es capaz de desarrollar el motor no varía.
El nuevo deslizamiento de par máximo al duplicar la resistencia del rotor es:
63
s M ,max =
2⋅R2'
2
R 12 + X cc
=
2 ⋅ 0,332
0,6412 + 1,570 2
s M ,max = 0,392
La nueva velocidad a la que el motor es capaz de proporcionar el par máximo es la siguiente:
n M ,max = (1 − s M ,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,392) ⋅ 1.800
n M ,max = 1.095,205 r.p.m.
El par máximo que es capaz de desarrollar el motor, al no depender de la resistencia del rotor, no
varía.
250
200
P ar en Nm
150
100
50
r2=0,332 ohmios
r2=0,664 ohmios
0
0
200
400
800 1000 1200
600
Velocidad del motor en r.p.m.
1400
1600
1800
En la gráfica anterior se encuentran representadas la característica par-velocidad del motor para los
dos valores de la resistencia del rotor. Al aumentar dicha resistencia se puede observar que el par
máximo no ha variado, aunque si lo ha hecho la velocidad a la que se obtiene. El par máximo se
obtiene ahora a una velocidad menor. El par de arranque también ha aumentado. Se podría llegar a
conseguir el par máximo del motor en el momento del arranque si se aumenta la resistencia del rotor
lo suficiente. En este caso si se añade a la resistencia inicial del rotor una resistencia adicional de
1,364 ohmios se obtendrá el par máximo en el arranque como se puede observar en la siguiente
representación gráfica.
64
250
200
P ar en Nm
150
100
50
0
0
r2=0,332 ohmios
r2=0,664 ohmios
r2=1,696 ohmios
200
400
600
800 1000 1200
Velocidad del motor en r.p.m.
1400
1600
1800
Para completar las preguntas del apartado queda calcular el par de arranque cuando se duplica la
resistencia inicial del rotor:
M arr = 178,83 N ⋅ m
Este nuevo valor es mayor que el calculado para la resistencia inicial del rotor.
65
P R O B L E M A 6
U
n motor de inducción trifásico de 37 kW, 2200 V, 8 polos, da los siguientes resultados en
un ensayo de cortocircuito: 740 V; 20 A; 7,3 kW. Con 2200 V en el estator, la tensión
entre anillos deslizantes en circuito abierto es 275 V, y la resistencia del estator es 2,75
Ω/fase.
Calcular la resistencia que debe de añadirse por fase en el rotor para obtener el par máximo en el
arranque. Estator y rotor en estrella. Admítanse iguales las dos relaciones de transformación.
66
Solución
Notación empleada
sM,max
E1
icc
R1
R2’
Rcc
Ra
Ra’
X1
X 2’
Xcc
Zcc
Pcc
rt
Deslizamiento de par máximo del motor.
Tensión de fase del estator.
Intensidad de corriente del ensayo de cortocircuito. Valor de fase.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de cortocircuito.
Resistencia adicional del rotor, referida al rotor.
Resistencia adicional del rotor, referida al estator.
Reactancia por fase del estator.
Reactancia por fase del rotor referida al estator.
Reactancia de cortocircuito.
Impedancia de cortocircuito.
Potencia activa del ensayo de cortocircuito.
Relación de transformación del rotor al estator.
El objetivo de este problema es determinar el valor de la resistencia adicional, que hay que añadir
por fase al rotor, para obtener el par máximo en el arranque. Con esta operación se consigue,
además, reducir la corriente de arranque, y se modifica la curva característica par-deslizamiento del
motor, desplazando el par máximo a valores de mayor deslizamiento, pero sin modificar el par
máximo. El deslizamiento de par máximo se obtiene mediante la siguiente expresión:
R'2
s M , max =
2
R + X cc
2
1
R2’ es la resistencia del devanado del rotor, R1 del devanado del estator, y Xcc es la reactancia de
cortocircuito. En el arranque la velocidad de giro del motor, n, es cero, y por lo tanto el
deslizamiento s del motor será igual a 1. Habrá que añadir al rotor una resistencia externa adicional
Ra’ para conseguir que el deslizamiento de par máximo sea igual a 1.
s M , max = 1 =
R ' 2 +R a '
2
R 12 + X cc
De la expresión anterior se obtiene el valor de la resistencia adicional Ra’:
2
R a ' = R 12 + X cc
− R2'
En la expresión anterior desconocemos Xcc y R2’. Debemos de ser capaces de determinar estos
parámetros con los datos proporcionados en el enunciado del problema. Se conocen los resultados
de un ensayo de cortocircuito, o de rotor bloqueado, realizado sobre la máquina asíncrona, con los
67
que se puede determinar la impedancia de cortocircuito. Hay que tener en cuenta que los datos
proporcionados en el enunciado son de línea, y que el estator está conectado en estrella.
Pcc = 3 ⋅ E cc ⋅ i cc ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
7.300 w
=
= 0,29
3 ⋅ E cc ⋅ i cc 3 ⋅ 740
V ⋅ 20 A
3
sen ϕ cc = 0,96
Una vez conocido el coseno y seno de ϕcc se pueden calcular los valores de Rcc y Xcc.
E cc ⋅ cos ϕ cc = R cc ⋅ i cc
R cc
740
V ⋅ 0,29
3
= 6,08 Ω
Fase
20 A
740
V ⋅ 0,96
3
= 20,48 Ω
Fase
20 A
E ⋅ cos ϕ cc
= cc
=
i cc
E cc ⋅ sen ϕ cc = X cc ⋅ i cc
E ⋅ sen ϕ cc
X cc = cc
=
i cc
La impedancia de cortocircuito será:
Z cc = R cc + j ⋅ X cc = 6,08 + j ⋅ 20,48 Ω
Fase
La resistencia R2’ del rotor se puede encontrar a partir de Rcc y la resistencia del estator R1,
proporcionada en el enunciado.
R cc = R 1 + R 2 '
R 2 ' = R cc − R 1 = 6,08 − 2,75 = 3,33 Ω
Fase
Ya podemos determinar el valor de la resistencia adicional del rotor:
2
R a ' = R 12 + X cc
− R 2 ' = 2,75 2 + 20,48 2 − 3,33 2
R a ' = 17,33 Ω
Fase
Pero esta resistencia está referida al estator. Para reducirla al rotor deberemos encontrar el valor de la
relación de transformación. En el enunciado se indica que las dos relaciones de transformación del
motor son iguales, luego las relaciones entre las magnitudes del rotor y el estator son exactamente
iguales a las que existen en un transformador entre el secundario y el primario. Si el rotor bobinado
no está cortocircuitado, al alimentar el motor, no se inducen corrientes y el motor no gira. En este
caso se comporta como un transformador. En el secundario, en este caso el rotor, se induce una
68
fuerza electromotriz. La relación entre la tensión de alimentación del estator y la f.e.m. inducida en el
rotor nos proporcionará la relación de transformación que estamos buscando.
E 1 = rt ⋅ E 2 , 0
2200
E1
3
rt =
=
=8
275
E 2, 0
3
La resistencia adicional referida al rotor será:
Ra =
Ra '
r
2
t
=
17,33
= 0,271 Ω
Fase
82
69
P R O B L E M A 7
U
n motor asíncrono trifásico, conectado en estrella, de 37 kW, 440 V, 60 Hz, 4 polos,
desarrolla la plena carga a 1746 r.p.m. cuando trabaja a tensión y frecuencia nominales con
sus anillos rozantes cortocircuitados. El par máximo es doble que el par nominal. La
resistencia del rotor es de 0,1 Ω por fase y está conectado en estrella. Se suponen
despreciables los parámetros del estator así como las pérdidas mecánicas. Se pide:
a) Las pérdidas en el cobre del rotor a plena carga.
b) La velocidad para par máximo.
c) ¿Qué resistencia se debe poner en serie con el rotor para producir el par máximo en el arranque?.
El motor se conecta ahora a una alimentación de 50 Hz con la tensión aplicada ajustada para que la
intensidad del motor y el par motor sean los mismos que a 60 Hz.
d) Calcular la tensión aplicada.
e) Calcular la velocidad a la que girará el motor en este caso con los anillos deslizantes
cortocircuitados.
70
Solución
Notación empleada
n
n1
nM,max
s
sM,max
Ω
p
E1
E1,50
I1
I2’
R1
R2
R2’
Rc’
Ra
Ra’
RFE
X1
X2
X 2’
X2,50
X2,60
Xµ
Xcc
L
rt
f1
f1,50
f1,60
Pu
Pmi
Pa
Pcu,2
Mu
Mmax
Mn
Velocidad de giro del motor en r.p.m.
Velocidad de sincronismo en r.p.m.
Velocidad de par máximo.
Deslizamiento del motor.
Deslizamiento de par máximo.
Velocidad de giro del motor expresada en radianes/segundo.
Número de pares de polos.
Tensión de fase del estator.
Tensión de fase del estator, cuando la frecuencia es de 50 Hz.
Intensidad de corriente del estator. Valor de fase.
Intensidad de corriente de rotor referida al estator. Valor de fase.
Resistencia por fase del estator.
Resistencia por fase del rotor referida al rotor.
Resistencia por fase del rotor referida al estator.
Resistencia de carga.
Resistencia adicional del rotor referida al rotor.
Resistencia adicional del rotor referida al estator.
Resistencia de pérdidas en el hierro.
Reactancia por fase del estator.
Reactancia por fase del rotor referida al rotor.
Reactancia por fase del rotor referida al estator.
Reactancia por fase del rotor referida al rotor, cuando la frecuencia es de
Reactancia por fase del rotor referida al rotor, cuando la frecuencia es de
Reactancia de magnetización.
Reactancia de cortocircuito.
Inductancia del rotor.
Relación de transformación del rotor al estator.
Frecuencia de la red de alimentación.
Frecuencia de la red de alimentación igual a 50 Hz.
Frecuencia de la red de alimentación igual a 60 Hz.
Potencia útil.
Potencia mecánica interna.
Potencia del entrehierro.
Potencia de pérdidas en el cobre del rotor.
Par útil desarrollado por el motor.
Par máximo.
Par nominal.
50 Hz.
60 Hz.
Apartado A
Como las pérdidas mecánicas se consideran despreciables, la potencia mecánica interna Pmi coincide
con la potencia útil del motor.
Pmi = Pu = 37.000 W
La potencia del entrehierro Pa está relacionada con la potencia mecánica interna y con la potencia de
pérdidas en el cobre. Se puede aprovechar esta relación para calcular la potencia de pérdidas en el
cobre del rotor a partir de la potencia mecánica del motor.
71
Pa =
Pcu 2
P
Pmi
= cu 2
1− s
s
s
=
⋅ Pmi
1− s
Para poder utilizar esta última expresión es necesario determinar el deslizamiento s a partir de los
datos de funcionamiento del motor a plena carga. La velocidad de sincronismo es:
60 ⋅ f 1 60 ⋅ 60
=
p
2
n 1 = 1.800 r.p.m.
n1 =
Entonces el deslizamiento será:
s=
n 1 − n 1.800 − 1.746
=
n1
1.800
s = 0,030
La potencia de pérdidas en el cobre del rotor es:
0,030
⋅ 37.000
1 − 0,030
Pcu 2 = 1.144,330 W
Pcu 2 =
Apartado B
En el enunciado del problema no se proporcionan los parámetros de la rama en paralelo del circuito
equivalente del motor. Tampoco se dan datos para calcularlos, y por eso no se consideran la
resistencia de pérdidas en el hierro RFE, y la reactancia de magnetización Xµ en el circuito equivalente
del motor. También se suponen despreciables los parámetros del estator. Teniendo en cuenta todas
estas consideraciones el circuito eléctrico equivalente del motor asíncrono, para este problema, es el
siguiente:
De los distintos parámetros del circuito equivalente del motor conocemos los siguientes:
72
* La tensión de alimentación del estator E1 (tensión de fase). Como el estator está conectado en
estrella y la tensión proporcionada en el enunciado es un valor de línea, E1 vale:
E1 =
440
3
V
* La resistencia del rotor R2. Pero necesitamos la misma resistencia referida al estator, R2’. Será
necesario calcular la relación de transformación del rotor al estator rt.
R 2 = 0,1 Ω
Fase
R 2 '= r ⋅ R 2
2
t
* La resistencia de carga Rc’ tiene la siguiente expresión en función de la relación de transformación:
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
R c ' = R 2 '⋅⎜ − 1⎟ = 0,1 ⋅ rt2 ⋅ ⎜
− 1⎟
⎝s ⎠
⎝ 0,030 ⎠
R c ' = 3,233 ⋅ rt2
Para conocer la velocidad de par máximo es necesario calcular antes el deslizamiento de par
máximo:
s M ,max =
R2'
R2'
X2 '
=
2
R 12 + X cc
Aprovechando que conocemos la potencia mecánica del motor, y que el par máximo es el doble del
par nominal, vamos a calcular los valores de R2’ y X2’. A partir del circuito equivalente por fase del
motor se puede calcular la corriente I2’ que circula por el rotor. La potencia mecánica desarrollada
por el motor será igual a la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia Rc’.
I2 '=
440
E1
(R 2 '+ R c ')
2
+ X2 '
=
(r
2
440
3
2
t
)
2
=
⋅ 0,1 + r ⋅ 3,233 + X ⋅ r
2
t
2
2
4
t
3
2
t
r
3,333 + X 22
2
Pmi = 3 ⋅ R c '⋅I 2 ' 2
2
⎛ 440 ⎞
⎜
⎟
3⎠
⎝
2
37.000 = 3 ⋅ rt ⋅ 3,233 ⋅ 4
rt ⋅ 3,333 2 + X 22
(
)
(
rt2 ⋅ 3,333 2 + X 22 = 16,916
(1)
)
Como tenemos una ecuación (1) con dos incógnitas, rt y X2, necesitamos una segunda ecuación.
Podemos calcular el par nominal con los datos proporcionados en el enunciado del problema. El
par máximo será el doble.
73
Pmi
P
37.000
= mi =
2π
2π
Ω
n1
1.746
60
60
M n = 202,362 N ⋅ m
Mn =
M max = 2 ⋅ M n = 404,724 N ⋅ m
La expresión del par máximo del motor en función de los parámetros del circuito equivalente es la
siguiente:
M max =
3 ⋅ E 12
(
2π
2
⋅ n 1 ⋅ R 1 + R 12 + X cc
2⋅
60
)
3 ⋅ E 12
=
2π
⋅ n 1 ⋅ rt2 ⋅ X 2
2⋅
60
= 404,724
2
3 ⋅ ⎛⎜ 440 ⎞⎟
3⎠
⎝
= 404,724
2π
2
2⋅
⋅ 1.800 ⋅ rt ⋅ X 2
60
rt2 ⋅ X 2 = 1,269 (2)
Ya tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (ecuaciones (1) y (2)).
(
)
rt2 ⋅ 3,3332 + X 22 = 16,916
rt2 ⋅ X 2 = 1,269
Al resolver dicho sistema nos quedamos con el siguiente par de soluciones:
X 2 = 0,893 Ω
Fase
rt = 1,193
El deslizamiento de par máximo es:
s M ,max =
R 2 ' rt2 ⋅ R 2 R 2
0,1
= 2
=
=
X 2 ' rt ⋅ X 2 X 2 0,893
s M ,max = 0,112
La velocidad de par máximo es la siguiente:
s M ,max =
n 1 − n M ,max
n1
n M ,max = (1 − s M ,max ) ⋅ n 1 = (1 − 0,112) ⋅ 1.800
n M ,max = 1.598,432 r.p.m.
74
Apartado C
Ahora queremos que el motor de su par máximo en el arranque, es decir, que sM,max sea igual a uno.
La resistencia adicional Ra será la siguiente:
s M ,max =
R 2 '+ R a ' R 2 + R a
=
=1
X2 '
X2
R a = X 2 − R 2 = 0,893 − 0,1
R a = 0,793 Ω
Apartado D
Al variar la frecuencia de 60 Hz a 50 Hz cambia la reactancia X2:
X 2,50 = 2 ⋅ π ⋅ f 50 ⋅ L
X 2, 60 = 2 ⋅ π ⋅ f 60 ⋅ L
X 2,50
X 2,60
f 50 50 Hz
=
f 60 60 Hz
=
50
50
= 0,893 ⋅
60
60
X 2 = 0,744 Ω
Fase
X 2 = X 2,50 = X 2,60 ⋅
La intensidad antes del cambio de frecuencia era:
440
I2 '=
3
1,193
3,333 + 0,893 2
2
2
I 2 ' = 51,728 A
Este es el valor de la intensidad del motor que debe mantenerse con el cambio de frecuencia:
E 1,50
I2 '=
2
⎛R ⎞
r ⋅ ⎜ 2 ⎟ + X 22
⎝ s ⎠
E 1,50
51,728 =
2
⎛ 0,1 ⎞
1,193 2 ⎜ ⎟ + 0,744 2
⎝ s ⎠
2
t
75
(1)
Es necesario calcular el nuevo deslizamiento porque al cambiar la frecuencia cambia la velocidad de
sincronismo.
60 ⋅ f 1 60 ⋅ 50
=
p
2
n 1 = 1.500 r.p.m.
n1 =
Al realizar el cambio de frecuencia tampoco debe variar el par nominal del motor.
⎛1 ⎞
3 ⋅ R 2 '⋅⎜ − 1⎟ ⋅ I 2 '
3 ⋅ R c '⋅I 2 '
P
⎝s ⎠
M n = mi =
=
π
2
2
π
Ω
⋅ n 1 ⋅ (1 − s )
⋅n
60
60
2 ⎛1− s ⎞
2
3 ⋅ (1,193 ⋅ 0,1) ⋅ ⎜
⎟ ⋅ 51,728
⎝ s ⎠
202,362 =
2π
⋅ 1.500 ⋅ (1 − s )
60
s = 0,036
El valor del deslizamiento se puede sustituir en la ecuación (1) y calcular así E1:
E 1,50
51,728 =
2
⎛ 0,1 ⎞
1,193 ⎜
⎟ + 0,744 2
⎝ 0,036 ⎠
E 1,50 = 211,7 V
2
Apartado E
n = (1 − s ) ⋅ n 1 = (1 − 0,036) ⋅ 1.500
n = 1.446 r.p.m.
76
P R O B L E M A 8
U
na instalación industrial está alimentada por un transformador trifásico, conexión Y-Y, que
alimenta a 380 V tres motores asíncronos trifásicos de jaula de ardilla, como se indica en el
esquema de la figura adjunta.
Los tres motores trifásicos son idénticos, tienen 10 polos, y los parámetros de su circuito equivalente
son los siguientes:
R1 = 0,5 Ω; R2’ = 0,8 Ω; X1 = 3 Ω; X2’ = 3,5 Ω.
Se puede despreciar la rama en paralelo y las pérdidas mecánicas. Se pide:
1. Si en la placa de características de los motores pone 220/380 V, ¿como se conecta el estator de
cada uno de ellos?.
2. Suponiendo que la tensión de alimentación de los motores es 380 V, y que los motores M1 y M2
están trabajando con un deslizamiento del 4%, y el motor M3 del 2%, calcular la tensión en el
primario del transformador.
3. Calcular la tensión en el secundario del transformador en el instante de arranque de los tres
motores, suponiendo que arrancan simultáneamente y que la tensión en el primario del
transformador es de 13200 V.
77
Solución
1. El estator de los tres motores se conecta en estrella.
2. El circuito equivalente por fase de cada motor es el mostrado en la siguiente figura.
Circuito equivalente del motor de inducción, despreciando la rama en paralelo.
Todos los motores tienen la misma impedancia interna y la misma resistencia del rotor referida al
estator. El único parámetro distinto es la resistencia equivalente de carga debido a que cada motor
trabaja en un régimen de funcionamiento distinto.
•
Impedancia interna.
Rcc = R1 + R2 ' = 0,5 + 0,8 = 1,3 Ω fase
X cc = X 1 + X 2 ' = 3 + 3,5 = 6,5 Ω fase
•
Resistencia equivalente de carga.
o Motores M1 y M2, trabajando con un deslizamiento del 4%.
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
Rc ' = R2 ' ⎜ − 1⎟ = 0,8 ⎜
− 1⎟ = 19, 2 Ω fase
⎝s ⎠
⎝ 0, 04 ⎠
o Motor M3, trabajando con un deslizamiento del 2%.
78
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
Rc ' = R2 ' ⎜ − 1⎟ = 0,8 ⎜
− 1⎟ = 39, 2 Ω fase
⎝s ⎠
⎝ 0, 02 ⎠
Debemos tener en cuenta que la conexión del motor es en estrella, y la tensión de alimentación es de
380 V (valor de línea). Tomamos como origen de fases, en el circuito eléctrico equivalente por fase,
la tensión de alimentación.
r 380
E=
∠0º V
3
Teniendo en cuenta que hemos despreciado la rama de vacío en los motores, la corriente de fase
consumida por cada uno de ellos es la siguiente:
•
Motores M1 y M2.
r
r
IM1 = IM 2 =
•
380
r
∠0º
E
3
=
= 10, 20∠ − 17, 60º A
( Rcc + j ⋅ X cc ) + Rc ' (1,3 + j ⋅ 6,5) + 19, 2
Motor M3.
r
IM 3 =
380
r
∠0º
E
3
=
= 5,35∠ − 9,12º A
( Rcc + j ⋅ X cc ) + Rc ' (1,3 + j ⋅ 6,5) + 39, 2
La corriente total que consumen los tres motores, y que es la que suministra el transformador será la
siguiente:
r r
r
r
I 2 = I M 1 + I M 2 + I M 3 = 25, 71∠ − 15,84º A
La corriente anterior es la corriente, valor de fase, que entrega el transformador en su secundario a la
carga. Ya conocemos en los terminales de salida del transformador los valores de fase de la tensión y
de la corriente:
79
r
I 2 = 25, 71∠ − 15,84º A
r 380
E2 =
∠0º V
3
Circuito eléctrico equivalente por fase del transformador referido al secundario.
Vamos a emplear el circuito eléctrico equivalente por fase del transformador, referido al secundario,
para obtener la tensión en su devanado primario. Primero vamos a calcular su impedancia interna
referida al secundario:
Sn = 3 ⋅U 2n ⋅ I 2n
I 2n =
Sn
400.000
=
= 607, 74 A
3 ⋅U 2n
3 ⋅ 380
ε Rcc =
ε ⋅E
Rcc 2 ⋅ I 2 n
0, 03 ⋅ 380 3
= 0, 010830 Ω
; Rcc 2 = Rcc 2 n =
E2 n
I 2n
607, 74
ε Xcc =
X cc 2 ⋅ I 2 n
ε ⋅E
0, 04 ⋅ 380 3
= 0, 014440 Ω
; X cc 2 = Xcc 2 n =
E2 n
I 2n
607, 74
La tensión de fase en el primario del transformador referida al secundario, se obtendrá de la
siguiente forma:
80
r
r
r
E12 = E2 + ( Rcc 2 + j ⋅ X cc 2 ) ⋅ I 2
r
380
∠0º + ( 0, 010830 + j ⋅ 0, 014440 ) ⋅ 25, 71∠ − 15,84º
E12 =
3
r
E12 = 219, 76∠0, 07º V
Para obtener la tensión real en el primario, primero debemos referir este valor a su propio devanado
multiplicando por la relación de transformación:
E1n 13200 3
=
= 34, 74
E2 n
380 3
E1 = E12 ⋅ rt = 7633,85 V
rt =
La tensión en el primario del transformador será:
U 1 = 3 ⋅ E1 = 13222, 22 V
3. En este apartado tenemos que determinar la tensión en el secundario del transformador en el
instante de arranque de los tres motores. Ahora es conocida la tensión en el primario del
transformador, 13200 V (valor de línea). Vamos a emplear el circuito equivalente por fase de todo el
sistema como herramienta de cálculo. El circuito eléctrico equivalente por fase de los motores queda
reducido sólo a su impedancia interna. Justo en el instante de arranque, la resistencia equivalente de
carga es nula. El circuito equivalente total, referido al secundario del transformador, es el siguiente:
81
Circuito eléctrico equivalente referido al secundario del transformador.
La tensión en los terminales del devanado primario (valor de fase), referida al secundario tendrá el
valor 380/√3 V. Además tomamos esta tensión como origen de fases:
r
380
E12 =
∠0º V
3
Teniendo en cuenta que los tres motores está representados por tres impedancias idénticas
conectadas en paralelo, podemos determinar la corriente que está suministrando el transformador
justo en el instante de arranque:
r
I2 =
r
E12
(R
cc 2,t
r
I2 =
+ j ⋅ X cc 2,t ) +
Rcc , m + j ⋅ X cc ,m
3
380
∠0º
3
1,3 + j ⋅ 6,5
3
r
I 2 = 98,57∠ − 78,5º A
( 0, 010830 + j ⋅ 0, 014440 ) +
La tensión en el secundario del transformador será la siguiente:
82
r
R + j ⋅ X cc , m r
E2 = cc , m
⋅ I2
3
r 1,3 + j ⋅ 6,5
98,57∠ − 78,5º
E2 =
3
r
E2 = 217, 79∠0, 2º V
Por lo tanto la tensión en el secundario del transformador será:
U 2 = E2 3 = 377, 22 V
83
P R O B L E M A 9
E
l esquema eléctrico unifilar de una instalación industrial se muestra en la siguiente figura.
Para el suministro eléctrico se dispone de dos transformadores de potencia, tipo Yy, acoplados en
paralelo y alimentados a 20 kV. Se conocen los siguientes datos, correspondientes a sus ensayos de
cortocircuito:
Transformador A
•
Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V.
•
Ensayo de cortocircuito (valores medidos en el lado de baja tensión):
•
Tensión de alimentación: 40 V.
•
Intensidad consumida: 1732 A.
•
Potencia consumida: 20837 W.
Transformador B
•
Relación de tensiones en vacío: 230/4,6 V.
•
Ensayo de cortocircuito (valores medidos en el lado de baja tensión):
84
•
Tensión de alimentación: 25 V.
•
Intensidad consumida: 1082,5 A.
•
Potencia consumida: 8139,5 W.
Todos los motores que hay en la industria son idénticos y con las siguientes características:
•
Motores trifásicos de inducción de tipo jaula.
•
Tetrapolares.
•
Conexión estrella.
En una de las pruebas realizadas sobre uno de los motores, éste desarrolló un par interno en el rotor
de 58,67 Nm con un deslizamiento del 5%, absorbiendo una intensidad de 9 A, con un factor de
potencia de 0,9015 y una potencia reactiva de 4608,6 VAr.
Se desprecian las ramas en paralelo de todas las máquinas.
Se pide:
1. Impedancia interna de los dos transformadores.
2. Parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase de los motores de inducción.
3. En un instante determinado, las máquinas que están funcionando en la industria son cinco
motores idénticos al descrito, teniendo cada uno de ellos un deslizamiento del 8%. En estas
condiciones, obtener la corriente que circula por los devanados de cada transformador.
85
Solución
1.
Al despreciar la rama en paralelo, el circuito equivalente por fase de cada uno de los transformadores
queda simplificado al mostrado en la figura 1. Para obtener los valores de la impedancia interna nos
proporcionan los datos de ensayos de cortocircuito de cada transformador. En los dos casos, todos
los valores han sido medidos en el devanado de baja tensión, que es el que consideraremos como
secundario. Los parámetros que obtengamos estarán, por tanto, referidos a dicho devanado.
Figura 1.
Transformador A.
Los datos del ensayo de cortocircuito, realizado en su secundario, son:
•
Tensión de alimentación (valor de línea): U cc ,2,l = 40 V
•
Corriente consumida (valor de línea): I cc ,2,l = 1732 A
•
Potencia consumida: Pcc = 20837 W
La conexión del transformador es Yy. Por lo tanto, la corriente de línea y fase coinciden:
I cc ,2,l = I cc ,2, f = I cc ,2 = 1732 A
86
La tensión de fase se obtiene a partir de la tensión de línea, dividiendo por
U cc ,2, f =
U cc ,2,l
3
=
3.
40
V
3
El valor del módulo de la impedancia interna es el siguiente:
Z ccA ,2 =
U cc ,2, f
I cc ,2
40
3 ≈ 0, 0133 Ω
1732
=
A partir de la potencia de cortocircuito se puede obtener el argumento de la impedancia interna:
Pcc = 3U cc ,2, f I cc ,2 cos (ϕ cc )
cos (ϕ cc ) =
Pcc
3U cc ,2, f I cc ,2
20837
≈ 0,1736
3 ⋅ 40 ⋅1732
3
ϕ cc ≈ arccos ( 0,1736 ) = 80º
cos (ϕ cc ) =
La resistencia y reactancia de cortocircuito serán las siguientes:
RccA ,2 = Z ccA ,2 cos (ϕ cc ) ≈ 0, 002315 Ω
X ccA ,2 = Z ccA ,2 sin (ϕ cc ) ≈ 0, 01313 Ω
Por lo tanto, la impedancia interna del transformador A, referida a su secundario es la siguiente:
r
Z ccA ,2 ≈ 0, 0133∠80º = 0, 002315 + j 0, 01313 Ω
Transformador B.
Los datos del ensayo de cortocircuito, realizado en su secundario, son:
•
Tensión de alimentación (valor de línea): U cc ,2,l = 25 V
•
Corriente consumida (valor de línea): I cc ,2,l = 1082,5 A
87
•
Potencia consumida: Pcc = 8139,5 W
La conexión del transformador es Yy. Por lo tanto, la corriente de línea y fase coinciden:
I cc ,2,l = I cc ,2, f = I cc ,2 = 1082,5 A
La tensión de fase se obtiene a partir de la tensión de línea, dividiendo por
U cc ,2, f =
U cc ,2,l
3
=
3.
25
V
3
El valor del módulo de la impedancia interna es el siguiente:
Z
B
cc ,2
=
U cc ,2, f
I cc ,2
25
=
3 ≈ 0, 0133 Ω
1082,5
A partir de la potencia de cortocircuito se puede obtener el argumento de la impedancia interna:
Pcc = 3U cc ,2, f I cc ,2 cos (ϕ cc )
cos (ϕ cc ) =
Pcc
3U cc ,2, f I cc ,2
8139,5
≈ 0,1736
25
⋅1082,5
3⋅
3
ϕ cc ≈ arccos ( 0,1736 ) = 80º
cos (ϕ cc ) =
La resistencia y reactancia de cortocircuito serán las siguientes:
RccB ,2 = Z ccB ,2 cos (ϕ cc ) ≈ 0, 002315 Ω
X ccB ,2 = Z ccB ,2 sin (ϕ cc ) ≈ 0, 01313 Ω
Por lo tanto, la impedancia interna del transformador B, referida a su secundario es la siguiente:
r
Z ccB ,2 ≈ 0, 0133∠80º = 0, 002315 + j 0, 01313 Ω
88
Los dos transformadores tienen la misma relación de transformación y la misma impedancia interna,
por lo que ya podemos deducir que se repartirán a partes iguales el consumo de todas las cargas
conectadas en su secundario.
2.
El circuito eléctrico equivalente por fase de un motor de inducción trifásico, despreciando la rama
en paralelo, es el mostrado en la figura 2.
Figura 2.
En este caso no conocemos datos del ensayo de rotor bloqueado para calcular los parámetros del
circuito equivalente. La rama en paralelo se desprecia, como se indica en el enunciado del problema.
Por lo tanto, tendremos que trabajar con la información de funcionamiento en carga del motor:
•
Par interno desarrollado: M i = 58, 67 Nm
•
Deslizamiento: s = 0, 05
•
Corriente consumida (valor de línea): I l = 9 A
•
Factor de potencia: cos (ϕcc ) = 0,9015
•
Potencia reactiva consumida: Q = 4608, 6 VAr
El estator de los motores está conectado en estrella, por lo tanto, la corriente de línea y fase
coinciden:
Il = I f = I = 9 A
89
La velocidad de giro del motor puede obtenerse a partir del deslizamiento y la velocidad de
sincronismo, teniendo en cuenta que la máquina tiene 4 polos y la frecuencia de la red es 50 Hz.
n1 =
60 f 60 ⋅ 50
=
= 1500 r. p.m.
p
2
n = (1 − s ) n1 = (1 − 0, 05 )1500 = 1425 r. p.m.
Una vez conocidos el par interno desarrollado por el motor y su velocidad de giro, puede calcularse
la potencia interna del motor:
Pmi = M i Ω = M i
2π
2π
n = 58, 67 1425 = 8755,1 W
60
60
Las pérdidas por efecto Joule en la resistencia del rotor están relacionadas con la potencia mecánica
interna:
Pcu ,2
Pcu ,2
Pmi
s
1− s
sP
Pcu ,2 = mi
1− s
0, 05
=
8755,1 = 460, 79 W
1 − 0, 05
=
Como la corriente que consume el motor es un dato del problema, podemos determinar la
resistencia del rotor, referida al estator:
Pcu ,2 = 3R2' I 2
R2' =
Pcu ,2
3I
2
=
460, 79
≈ 1,9 Ω
3 92
Para calcular la resistencia del estator deberíamos obtener su potencia de perdidas por efecto Joule.
Conocemos la potencia reactiva consumida y el factor de potencia de la máquina. Con estos dos
datos se puede estimar la potencia activa consumida por la máquina:
90
P=
Q
tan (ϕ )
cos (ϕ ) = 0,9015; ϕ = arccos ( 0,9015 )
P=
4608, 6
= 9600 W
arccos ( 0,9015 )
Efectuamos un balance de potencias en el motor:
P = Pperdidas + Pmi = Pcu ,1 + Pcu ,2 + PFe + Pmi
Como hemos despreciado la rama en paralelo en el circuito eléctrico equivalente, también podemos
considerar que las pérdidas en el hierro son despreciables. Entonces, el único valor desconocido en
la ecuación anterior son las pérdidas en el estator por efecto Joule.
Pcu ,1 = P − ( Pcu ,2 + Pmi )
Pcu ,1 = 9600 − ( 460, 79 + 8755,1)
Pcu ,1 = 384,11 W
Entonces la resistencia del estator por fase será por la siguiente:
Pcu ,1 = 3R1 I 2
R1 =
Pcu ,1
3I
2
=
384,11
≈ 1,58 Ω
3 92
Por lo tanto, la resistencia interna o de cortocircuito por fase del motor es la siguiente:
Rcc = R1 + R2' ≈ 3, 48 Ω
El factor de potencia proporcionado coincide con el argumento de la impedancia total del circuito
eléctrico equivalente por fase del motor. La parte real de esta impedancia está formada por la
resistencia interna y la resistencia equivalente de carga:
91
r
⎛1 ⎞
Re Z total = Rcc + Rc = Rcc + R2' ⎜ − 1⎟
⎝s ⎠
r
⎛ 1
⎞
− 1⎟
Re Z total = 3, 48 + 1,9 ⎜
⎝ 0, 05 ⎠
(
)
(
)
La parte imaginaria de esta impedancia es precisamente la reactancia interna o de cortocircuito,
último parámetro que nos queda por calcular.
r
Im Z total = X cc
r
Im Z total
tan ( arccos ( 0,9015 ) ) =
=
r
Re Z total
(
)
(
(
)
)
X cc
⎛ 1
⎞
− 1⎟
3, 48 + 1,9 ⎜
⎝ 0, 05 ⎠
X cc = 19 Ω
3.
El funcionamiento planteado en este apartado del problema es el siguiente: los dos transformadores
en paralelo están conectados a la red de 20 kV (tensión en su primario). Alimentan a 5 motores de
inducción, que trabajan todos con un deslizamiento del 8%. No hay cargas adicionales. No se
conoce la tensión de alimentación de los motores, o lo que es lo mismo, la tensión en el secundario
de los dos transformadores conectados en paralelo. Todas las máquinas están conectadas en estrella.
Entonces, el circuito eléctrico monofásico equivalente de todo el sistema es el mostrado en la figura
3. Todas las impedancias están referidas al secundario de los dos transformadores. Esta va a ser la
herramienta que vamos a emplear para resolver el apartado.
92
Figura 3.
En este circuito monofásico son conocidas: todas las impedancias y la tensión del primario de los
transformadores.
Los dos transformadores están conectados a una red de 20 kV (valor de línea). En el circuito
equivalente por fase, la tensión del primario de los transformadores referida al secundario es la
siguiente:
U1 = 20000 kV
U1
= 11547 V
3
230
= 50
rt =
4, 6
E 11547
= 230,94 V
E1,2 = 1 =
rt
50
E1 =
Los dos transformadores tienen la misma impedancia referida al secundario:
93
r
r
Z ccA ,2 = Z ccB ,2 ≈ 0, 0133∠80º = 0, 002315 + j 0, 01313 Ω
Se pueden reducir, en el circuito equivalente, a una única impedancia, resultante de la asociación en
paralelo de sus impedancias internas.
r
r
r
Z ccA ,2 ⋅ Z ccB ,2
r = 0,001155 + 0,006549 ⋅ j Ω
Z tr = r A
Z cc ,2 + Z ccB ,2
r
Z tr = 0,00665∠80º Ω
Los 5 motores en paralelo son idénticos y están trabajando con el mismo deslizamiento. Por lo tanto
todos estarán representados por la misma impedancia:
r
R '⎞
⎛
Z M = ⎜ R1 + 2 ⎟ + j ⋅ X cc
s ⎠
⎝
r
1,9 ⎞
⎛
Z M = ⎜1,58 +
+ j ⋅19
0, 08 ⎟⎠
⎝
r
Z M = 25,33 + j ⋅19 Ω
r
Z M ≈ 31,664∠36,87º Ω
Los 5 motores idénticos se encuentran en paralelo. Se pueden reducir a una única impedancia en el
circuito monofásico equivalente:
r
Z M 5 ≈ 6,3328∠36,87º Ω
Por lo tanto el circuito monofásico inicial queda reducido sólo a dos impedancias en serie,
r
alimentadas a la tensión E1,2 , que además tomamos como origen de fases.
94
Figura 4.
La corriente que circula por los dos transformadores y que consumen los 5 motores es la siguiente:
r
r
E1,2
r
I1,2 = r
Z M 5 + Z tr
r
I1,2 =
230,94∠0º V
6,3328∠36,87º +0, 00665∠80º Ω
r
I1,2 = 36, 44∠ − 36,91º A
Cada uno de estos dos transformadores suministrará exactamente la mitad de esta corriente:
r
r A r B I1,2
I1,2 = I1,2 =
= 18, 22∠ − 36,91º A
2
95
P R O B L E M A 1 0
U
n motor de inducción de 100 HP, 440 V, 50 Hz, seis polos y conexión en estrella, tiene un
circuito equivalente cuyos parámetros por fase son:
R1 = 0,084 Ω; R2’ = 0,066 Ω; Xµ = 6,9 Ω; X1 = 0,2 Ω; X2’ = 0,165 Ω
Pmec = 1500 W; RFe = 193,6 Ω
Para un deslizamiento de 0,035 se pide:
a) La corriente de línea consumida por el motor.
b) Las pérdidas en el cobre del estator.
e) La potencia en el entrehierro.
d) La potencia convertida de eléctrica en mecánica.
e) El par producido por el motor.
f) El par de la carga.
g) El rendimiento total de la máquina.
h) La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo.
i) ¿Cuál es el par máximo de salida? ¿Cuál es el deslizamiento al que ocurre ese par? ¿Cuál es la
velocidad del rotor en ese momento?
j) Si el motor se conecta a una red de potencia de 440 V y 60 Hz, ¿cuál es su par máximo de salida?
¿A qué deslizamiento ocurre?
96
Solución
a.
El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina es el siguiente:
Figura 1.
Se conocen todos los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor de
inducción trifásico, con conexión estrella en el estator, del enunciado:
• Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: RFe = 193,6 Ω
• Reactancia de magnetización: Xµ = 6,9 Ω
• Resistencia interna o de cortocircuito: Rcc = R1 + R2’ = 0,15 Ω
• Reactancia interna o de cortocircuito: Xcc = X1 + X2’ = 0,365 Ω
• Resistencia del rotor referida al estator: R2’= 0,066 Ω
El deslizamiento tiene un valor de 0,035, por la que la resistencia equivalente de carga es:
⎛ 1
⎞
⎛1 ⎞
Rc ' = R2 ' ⎜ − 1⎟ = 0, 066 ⎜
− 1⎟ = 1,82 Ω
⎝s ⎠
⎝ 0, 035 ⎠
La corriente por fase consumida por el motor es la suma de la corriente de vacío más la
corriente que circula por el rotor, referida al estator.
r r r
I1 = I 2 '+ I 0
Teniendo en cuenta que el estator del motor está conectado en estrella, la tensión de
alimentación por fase (origen de fases) es la siguiente:
r 440
E=
∠0º V
3
La corriente por fase, consumida por el rotor y referida al estator es la siguiente:
97
r
I2 ' =
r
E
( Rcc + Rc ') + j ⋅ X cc
440
∠0º
3
=
( 0,15 + 1,82 ) + j ⋅ 0,365
= 126,81∠ − 10,50º A
La corriente de vacío tiene dos componentes: la corriente equivalente de las pérdidas en el
hierro y la corriente de magnetización.
440
r
∠0º
r
E
3
I Fe =
=
= 1,31∠0º A
193, 6
RFe
440
r
∠0º
r
E
3
Iµ =
=
= 36,82∠ − 90º A
j ⋅ Xµ
j ⋅ 6,9
r r
r
I 0 = I Fe + I µ = 36,84∠ − 87,96º A
La corriente por fase consumida por el motor es:
r r r
I1 = I 2 '+ I 0 = 139,52∠ − 25, 43º A
Como el estator del motor está conectado en estrella, el valor de línea de la corriente
consumida coincide con el valor de fase calculado.
b.
Las pérdidas en el cobre del estator se obtienen empleando la siguiente ecuación:
PCu ,1 = 3R1 I12 = 3 ⋅ 0, 084 ⋅139,522 = 4905, 63 W
c.
La potencia del entrehierro es la potencia que llega al rotor procedente del estator. Una de las
alternativas de cálculo es la siguiente:
Pa =
PCu ,2
98
s
El deslizamiento es conocido, pero es necesario determinar las pérdidas por efecto Joule en el
rotor:
PCu ,2 = 3R2 ' I1'2 = 3 ⋅ 0, 066 ⋅126,812 = 3184, 05 W
Por lo tanto, la potencia del entrehierro es la siguiente:
Pa =
PCu ,2
s
=
3184, 05
= 90972,92 W
0, 035
d.
La potencia convertida de eléctrica en mecánica es la potencia interna, que puede calcularse a
partir de la potencia del entrehierro del apartado anterior.
Pmi = Pa ⋅ (1 − s ) = 90972,92 ⋅ (1 − 0, 035 ) = 87788,87 W
Esta potencia coincide con las pérdidas por efecto Joule en la resistencia equivalente de carga
en el circuito eléctrico equivalente por fase.
e.
El par producido por el motor es el par interno. Una vez calculada la potencia interna en el
apartado anterior y conociendo la velocidad de giro del rotor, se puede emplear la siguiente
relación para su cálculo:
Pmi
P
Pmi
Pmi
= mi =
=
2π 60 f
Ω 2π n 2π n 1 − s
)
(1 − s )
1(
60
60
60 p
87788,87
= 868, 73 Nm
Mi =
2π 60 ⋅ 50
(1 − 0, 035)
60 3
Mi =
f.
El par de la carga es exactamente el par útil entregado por el motor a la máquina accionada. Se
obtiene a partir de la potencia útil, que es la potencia mecánica interna menos las pérdidas de
origen mecánico.
99
Pu Pmi − Pmec
Pmi
Pmi
=
=
=
2π
2π
2π 60 f
Ω
n
n1 (1 − s )
(1 − s )
60
60
60 p
87788,87 − 1500
M Carga =
= 853,88 Nm
2π 60 ⋅ 50
(1 − 0, 035)
60 3
M Carga = M u =
g.
El rendimiento total de la máquina. La potencia entregada a la máquina accionada es:
Pu = Pmi − Pmec = 86288,87 W
La potencia consumida es la siguiente:
( )
r r
440
P1 = 3 ⋅ E ⋅ I1 ⋅ cos E , I1 = 3 ⋅
⋅139,51⋅ cos ( 25, 43º ) = 96025,35 W
3
El rendimiento es:
η=
Pu
⋅100 = 89,86 %
P1
h.
La velocidad del motor en revoluciones por minuto y en radianes por segundo se calcula de la
forma siguiente:
n1 =
60 f 60 ⋅ 50
=
= 1000 r. p.m.
p
3
donde f es la frecuencia de la red, y p el número de pares de polos de la máquina.
n = (1 − s ) n1 = (1 − 0, 035 ) ⋅1000 = 965 r. p.m.
Ω=
2π
⋅ n = 101, 05 rad s
60
i.
¿Cuál es el par máximo de salida? ¿Cuál es el deslizamiento al que ocurre ese par? ¿Cuál es la
velocidad del rotor en ese momento?
Para obtener los valores que se piden, utilizamos las fórmulas obtenidas en el desarrollo teórico
de la asignatura:
100
M max =
2
3 ⋅ E12
⎛ 440 ⎞
3⋅⎜
⎟
⎝ 3⎠
2
=
2π
2π
2 1000 0, 084 + 0, 0842 + 0,3652
n1 R1 + R12 + X cc2
60
60
M max = 2015,90 Nm
(
sM max =
)
R2 '
R12 + X cc2
(
=
(
0, 066
0, 0842 + 0,3652
)
= 0,1762
)
nM max = 1 − sM max ⋅ n1 = (1 − 0,1762 ) ⋅1000 = 823, 78 Nm
j.
Si el motor se conecta a una red de potencia de 440 V y 60 Hz, ¿cuál es su par máximo de
salida? ¿A qué deslizamiento ocurre?
Al cambiar el valor de la frecuencia de la red, se modifican los valores de las resistencias del
circuito eléctrico equivalente, pero sobre todo de las reactancias. El cambio en el valor de las
resistencias se considera despreciable. Las reactancias son proporcionales a la frecuencia, y esto
nos permite calcular sus nuevos valores:
X = ω ⋅ L = 2π ⋅ f ⋅ L
X ' = ω '⋅ L = 2π ⋅ f '⋅ L
⇓
X
f
=
X' f'
X cc ,60 Hz = X cc ,50 Hz ⋅
60
= 0, 438 Ω
50
La velocidad de sincronismo también es diferente:
n1 ' =
60 f 60 ⋅ 60
=
= 1200 r. p.m.
p
3
El nuevo par máximo y deslizamiento de par máximo de la máquina son:
101
M max ' =
3 ⋅ E12
⎛ 440 ⎞
3⋅⎜
⎟
⎝ 3⎠
2
=
2π
2π
2
2
2
2 1200 0, 084 + 0, 0842 + 0, 4382
n1 ' R1 + R1 + X cc
60
60
M max = 1453, 46 Nm
(
)
(
102
)
P R O B L E M A 1 1
S
e dispone de un motor asíncrono de 205 CV, 1800 V, 6 polos y 50 Hz, que fue sometido a
los siguientes ensayos:
•
Ensayo de vacío o de rotor libre:
•
o
tensión
1800 V.
o
intensidad
17 A.
o
potencia
5000 W.
Ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado:
o
tensión
231 V.
o
intensidad
35 A.
o
potencia
2000 W.
Por otra parte, se determinó que la resistencia del estator por fase es de 1 Ω (dato real), las pérdidas
mecánicas son de 1000 W y que el motor está conectado en triángulo.
Se pide:
a) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase.
b) El par de arranque y el par máximo.
En condiciones nominales o de funcionamiento a plena carga:
c) La velocidad nominal de funcionamiento del motor.
d) El factor de potencia del motor.
e) El rendimiento para el régimen nominal.
103
Solución
a.
El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina es el siguiente:
Figura 1.
Los parámetros que hay que calcular son:
• Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: RFe.
• Reactancia de magnetización: Xµ.
• Resistencia interna o de cortocircuito: Rcc (suma de R1 y R2’ en la figura).
• Reactancia interna o de cortocircuito: Xcc (suma de X1 y X2’ en la figura).
• Resistencia del rotor referida al estator: R2’.
A partir de los datos del ensayo de vacío, obtenemos la rama en paralelo del circuito eléctrico
equivalente por fase. No hay que olvidar que el estator del motor está conectado en triángulo,
y que los datos que se ofrecen en el enunciado, son valores de línea, como siempre:
U 0 = 1800 V
E0 = U 0 = 1800 V
I 0, L = 17 A
I 0, F =
I 0, L
3
=
17
A
3
P0 = PFe + Pmec + Pcu1,0
Pcu1,0 = 3 ⋅ R1 ⋅ ( I 0, F )
2
2
⎛ 17 ⎞
= 3 ⋅1 ⋅ ⎜
⎟ = 289 W
⎝ 3⎠
PFe = P0 − Pmec − Pcu1,0 = 5000 − 1000 − 289 = 3711 W
104
El circuito eléctrico equivalente por fase del motor durante el ensayo de vacío es el siguiente:
Figura 2.
PFe = 3 ⋅ E0 ⋅ I 0, f ⋅ cos (ϕ 0 )
cos (ϕ 0 ) =
cos (ϕ 0 ) =
PFe
3 ⋅ E0 ⋅ I 0, f
3711
3 ⋅1800 ⋅
17
3
= 0, 07
ϕ 0 ≈ 86º
I Fe = I 0, f ⋅ cos (ϕ 0 ) = 0, 6872 A
I µ = I 0, f ⋅ sen (ϕ 0 ) = 9, 79 A
RFe =
E0 1800
=
= 2619,33 Ω
I Fe 0, 69
Xµ =
E0 1800
=
= 183,84 Ω
I µ 9, 79
Los datos del ensayo de cortocircuito, nos permitirán obtener los datos de la rama serie y R2’.
Teniendo en cuenta la conexión en triángulo, los cálculos a realizar son los siguientes:
U cc = 231 V
Ecc = U cc = 231 V
I cc , L = 35 A
I cc , f =
I cc , L
3
105
=
35
A
3
Pcc = 3 ⋅ Ecc ⋅ I cc , f ⋅ cos (ϕ cc )
cos (ϕ cc ) =
Pcc
3 ⋅ Ecc ⋅ I cc , f
2000
= 0,1428
3 ⋅ 231⋅ 35
sen (ϕ cc ) = 0,9897
cos (ϕ cc ) =
Ecc ⋅ cos (ϕ cc ) 231 ⋅ 0,1428
=
= 1, 6327 Ω
35
I cc , f
3
E ⋅ sen (ϕ cc ) 231 ⋅ 0,9897
X cc = cc
=
= 11,3143 Ω
35
I cc , f
3
Rcc =
R2 ' = Rcc − R1 = 1, 6327 − 1 = 0, 6327 Ω
El circuito eléctrico equivalente por fase del motor durante el ensayo de cortocircuito es el
siguiente:
Figura 3.
b.
Para calcular el par de arranque se emplea la ecuación, obtenida en teoría, que nos relaciona el
par interno del motor con la tensión de alimentación del motor por fase, los parámetros del
circuito eléctrico equivalente, el deslizamiento y la velocidad de sincronismo. El par de
arranque corresponde al punto singular de funcionamiento donde el deslizamiento vale 1.
s=
n1 − n n1 − 0
=
=1
n1
n1
106
R2 ' 2
E1
s
= M i s =1 =
2
⎤
R2 ' ⎞
2π ⎡⎛
2
n1 ⎢⎜ R1 +
X
+
⎥
⎟
cc
s ⎠
60 ⎣⎢⎝
⎦⎥
3
M arr
M arr =
3 ⋅ 0, 6327 ⋅1800
=
3R2 ' E12
2π
n1 ⎡⎣ Rcc2 + X cc2 ⎤⎦
60
s =1
2
2π
1000 (1, 6327 2 + 11,31432 )
60
= 449,396 Nm
Para obtener el par máximo, utilizamos otra de las fórmulas obtenidas en el desarrollo teórico
de la asignatura:
M max =
2
(
3 ⋅ E12
)
=
3 ⋅18002
(
2π
2π
n1 R1 + R12 + X cc2
2 1000 1 + 12 + 11,312
60
60
M max = 3755,31 Nm
)
c.
En este apartado se pide determinar, en condiciones nominales, la velocidad de giro del motor.
En condiciones de plena carga, el motor estará entregando su potencia nominal (205 CV) en el
eje a la máquina accionada. Ésta es, por lo tanto, la condición que vamos a emplear para
determinar el deslizamiento que luego nos permitirá calcular la velocidad.
Como las pérdidas mecánicas se consideran constantes, la potencia mecánica interna que
desarrolla el motor en condiciones nominales es la siguiente:
Pu ,nom = 205 CV = 150880 W
Pmi ,nom = Pu ,nom + Pmec = 150880 + 1000 = 151880 W
La potencia mecánica interna se modela como las pérdidas por efecto Joule en la resistencia
equivalente de carga. Otra alternativa consiste en obtenerla como el producto del par interno y
la velocidad de giro, expresada en radianes por segundo. En la siguiente ecuación, se ha
empleado la expresión del par interno, empleada para calcular el par de arranque, y la velocidad
de giro se puesto en función del deslizamiento y de la velocidad de sincronismo.
R2 ' 2
E1
2π
s
= M iΩ =
(1 − s ) n1
2
60
⎞
2π ⎛ ⎛
R2 ' ⎞
2
n1 ⎜ ⎜ R1 +
⎟ + X cc ⎟⎟
60 ⎜⎝ ⎝
s ⎠
⎠
3
Pmi ,nom
107
Entonces, queda una ecuación real, de segundo orden, donde la única incógnita es el
deslizamiento. Se supone que el motor está alimentado a su tensión nominal. Si no fuera este el
caso, debería haberse proporcionado este dato.
(R P
2
1 mi , nom
+ X cc2 Pmi , nom + 3E12 R2 ' ) s 2 + ( 2 R1 R2 ' Pmi ,nom − 3E12 R2 ' ) s + R2'2 Pmi ,nom = 0
25744396,84s 2 − 5957655, 05s + 60798,98 = 0
Al resolver la ecuación de segundo grado, se obtienen dos valores posibles para el
deslizamiento:
s1 = 0, 0107
s2 = 0, 2207
Los dos corresponden al funcionamiento como motor, pero sólo el primero es válido, porque
este tipo de máquinas suele trabajar con valores de deslizamiento a plena carga, entre el 10 y
2%.
n = (1 − s ) n1 = (1 − 0, 0107 )1000 = 989,3 R.P.M .
d.
El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo de fase que forman la corriente que
consume con respecto a la tensión de alimentación (valores de fase). Por lo tanto, vamos a
emplear el circuito equivalente para determinar la corriente total que consume la máquina, y así
poder determinar el ángulo que nos hace falta. Tomaremos como origen de fases, la tensión de
alimentación del motor:
r
E1, F = 1800∠0º V
La corriente que consume el motor es la suma fasorial de la corriente que circula por el rotor,
referida al estator, y las dos componentes de la corriente de vacío:
r
r
r
r
I1, f = I 2,' f + I Fe + I µ
r
r
E1, f 1800∠0º
I Fe =
=
≈ 0, 69∠0º A
RFe 2619,33
r
r E1, f
1800∠0º
Iµ =
=
≈ 9, 79∠ − 90º A
Rµ 183,84∠90º
r
I 2,' f =
r
E1, f
1
( Rcc + jX cc ) + R ⎛⎜ − 1⎞⎟
⎝s ⎠
'
2
=
1800∠0º
⎛ 1
⎞
− 1⎟
(1, 63 + j11,31) + 0, 63 ⎜
⎝ 0, 0107 ⎠
108
≈ 29,54∠ − 10º A
r
I1, f = 0, 69∠0º +9, 79∠ − 90º +29,54∠ − 10º = 33, 41∠ − 27, 21º A
El factor de potencia del motor es el coseno del ángulo de fase la corriente que consume el
motor:
f .d . p. = cos(−27, 21º ) = 0,89 ( Inductivo )
e.
Para determinar el rendimiento necesitamos la potencia útil que desarrolla el motor y la
potencia que está consumiendo. La potencia desarrollada es la potencia nominal del motor,
porque estamos en condiciones nominales. Podemos calcular la potencia consumida a partir de
los datos del circuito eléctrico equivalente:
(
)
Pconsumida = 3E1, f I1, f cos E1, f , I1, f = 3 ⋅1800 ⋅ 33, 41 ⋅ 0,89 = 160447, 74 W
El rendimiento a plena carga será el siguiente:
η=
Pútil
Pconsumida
⋅100 =
150880
⋅100 = 94, 04 %
160447, 74
109
P R O B L E M A 1 2
U
n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos,
ha dado los siguientes resultados en unos ensayos:
• Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W.
• Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W.
La resistencia por fase del devanado del estator es igual a 0,5 ohmios. Las pérdidas mecánicas
son 250 W y se consideran constantes.
Calcular:
1) La resistencia de pérdidas en el hierro y la reactancia de magnetización.
2) La resistencia y la reactancia de cortocircuito.
3) La resistencia del rotor referida al estator R2’.
110
Solución
Apartado 1.
En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el
hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en
el cobre del estator.
P0 = PFE + Pcu1 + Pm
Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro:
PFE = P0 − Pm − Pcu1
Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y valen 250 W. Las pérdidas en el cobre del
estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la
resistencia del estator R1.
Pcu1 = 3 ⋅ R 1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0,5 ⋅ 3 2 = 13,50 W
Entonces las pérdidas en el hierro valen:
PFE = P0 − Pcu1 − Pm = 700 − 13,50 − 250
PFE = 436,50 W
El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El
procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la
máquina asíncrona el siguiente:
PFE = 3 ⋅ E 0 ⋅ I 0 F ⋅ cos ϕ 0
cos ϕ 0 =
PFE
436,50
=
= 0,22
380
3 ⋅ E 0 ⋅ I 0F
3⋅
⋅3
3
senϕ 0 = 0,98
Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:
I FE = I 0 F ⋅ cos ϕ 0 = 3 ⋅ 0,22 = 0,66 A
Iµ = I 0 F ⋅ senϕ 0 = 3 ⋅ 0,98 = 2,93 A
Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de RFE, y Xµ:
111
E 0 = R FE ⋅ I FE
R FE =
E 0 380 3
=
= 330,81 Ω
I FE
0,66
E 0 = X µ ⋅ Iµ
Xµ =
E 0 380 3
=
= 74,99 Ω
Iµ
2,93
Apartado 2.
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado es el siguiente.
Hay que tener en cuenta que en el arranque el deslizamiento del motor vale uno, y que podemos
despreciar la rama en paralelo. El procedimiento a seguir para calcular Rcc y Xcc es el mismo que en
los transformadores.
Pcc = 3 ⋅ E cc ⋅ I cc ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
=
3 ⋅ E cc ⋅ I cc
1.200
= 0,35
100
3⋅
⋅ 20
3
senϕ cc = 0,94
La resistencia de cortocircuito es la siguiente:
112
E cc ⋅ cos ϕ cc = R cc ⋅ I cc
100
R cc
E ⋅ cos ϕ cc
= cc
=
I cc
R cc = 1 Ω
3
⋅ 0,35
20
Fase
La reactancia de cortocircuito vale:
E cc ⋅ senϕ cc = X cc ⋅ I cc
100
X cc
E ⋅ senϕ cc
= cc
=
I cc
X cc = 2,71 Ω
3
⋅ 0,94
20
Fase
Apartado 3.
Resistencia del rotor referida al estator:
R cc = R 1 + R 2 '
R 2 ' = R cc − R 1 = 1 − 0,5
R 2 ' = 0,5 Ω
113
Fase
P R O B L E M A 1 3
U
n motor asíncrono trifásico conectado en estrella de 11,2 kW, 380 V, 50 Hz y 4 polos,
ha dado los siguientes resultados en unos ensayos:
• Ensayo de Vacío: 380 V, 3 A, 700 W.
• Ensayo de Cortocircuito: 100 V, 20 A, 1200 W.
La resistencia por fase del devanado del estator es igual a 0,5 ohmios. Las pérdidas mecánicas
son 250 W y se consideran constantes. Los parámetros de su circuito eléctrico equivalente son
los siguientes:
• Resistencia de cortocircuito: 1 ohmio/fase.
• Reactancia de cortocircuito: 2,71 ohmios/fase.
• Reactancia de magnetización: 75 ohmios/fase.
• Resistencia equivalente de las pérdidas en el hierro: 330 ohmios/fase.
Calcular:
1) El par de arranque cuando el motor se conecta directamente a la red.
2) Suponiendo que el motor desarrolla un par interno igual a 1,2 veces el par de arranque:
2.1) Velocidad de giro del motor.
2.2) Potencia total y potencia útil desarrollada.
114
Solución
Apartado 1.
El par de arranque desarrollado por el motor cuando se conecta a la red a su tensión nominal se
puede calcular empleando la expresión del par interno, sustituyendo el deslizamiento por la unidad,
que corresponde a una situación donde el motor está parado.
M arr
⎛
⎜
⎜
= M i , s =1 = ⎜
⎜ 2π
n1
⎜⎜
60
⎝
⎞
⎟
'
2
⎟
3 R2 E1
3 R2' E12
⎟ =
2
2π
⎛⎛
⎞⎟
R2' ⎞
n1 ( Rcc2 + X cc2 )
2
s ⎜ ⎜ R1 + ⎟ + X cc ⎟ ⎟
60
⎜⎝
⎟⎟
s ⎠
⎝
⎠ ⎠ s =1
El estator del motor está conectado en estrella, por lo que la tensión fase neutro E1 vale 380 3 V .
Como el motor tiene cuatro polos y está conectado a una red de 50 Hz, la velocidad de sincronismo,
n1, es 1500 rpm. La resistencia y reactancia de cortocircuito son datos del problema. Por lo tanto, el
par de arranque del motor en estas condiciones es el siguiente:
M arr =
3 R2' E12
2π
n1 ( Rcc2 + X cc2 )
60
=
⎛ 380 ⎞
3 0,5 ⎜
⎟
⎝ 3⎠
2
2π
1500 (12 + 2, 712 )
60
= 55, 09 Nm
Apartado 2.1.
El par interno desarrollado por el motor es 1,2 veces el par de arranque calculado en el primer
apartado.
M i = M arr 1, 2 = 66,10 Nm
Piden calcular la velocidad de giro del motor, suponiendo que está conectado a la tensión nominal.
En la expresión del par interno empleada anteriormente aparece el deslizamiento como incógnita.
Con los datos disponibles y empleando esa expresión, sólo s sería desconocido y se podría plantear
una ecuación de segundo grado:
115
Mi =
3 R2' E12
2
⎛⎛
⎞
R2' ⎞
2π
n1 s ⎜ ⎜ R1 + ⎟ + X cc2 ⎟
⎜⎝
⎟
s ⎠
60
⎝
⎠
2
⎛ 380 ⎞
3 0,5 ⎜
⎟
3⎠
⎝
66,10 =
2
⎛⎛
⎞
2π
0,5 ⎞
+ 2, 712 ⎟
1500 s ⎜ ⎜ 0,5 +
⎟
⎜⎝
⎟
s ⎠
60
⎝
⎠
Operando se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado en s:
2,96 s 2 − 6, 45 s + 0, 25 = 0
La resolución de la ecuación nos ofrece los siguientes valores de s:
s1 = 2,14
s2 = 0, 03945
El primer valor corresponde a un funcionamiento como freno y el segundo al funcionamiento
como motor, por lo tanto descartamos el primero y la velocidad de giro será la siguiente:
n = (1 − s ) n1 = (1 − 0, 03945)1500 = 1440,82 rpm
Apartado 2.2.
La potencia mecánica interna desarrollada por el motor, que es lo que denominamos potencia total,
se obtiene fácilmente conociendo la velocidad de giro del rotor y el par interno desarrollado:
Pmi = M i Ω = 66,10
2π
1440,82 = 9718, 2 W
60
La potencia útil se obtiene restando a la potencia total las pérdidas mecánicas, que se consideran en
este caso independientes de la velocidad:
Pu = Pmi − Pmec = 9718, 2 − 250 = 9462, 2 W
116
P R O B L E M A 1 4
U
•
n motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado
en vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados:
•
Ensayo de Vacío: 220 V, 20,8 A, 840 W
Ensayo de Cortocircuito: 45 V, 50 A, 1000 W
La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W.
Si el motor consume una corriente de 62 A con un factor de potencia de 0,85, calcular:
1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente del motor.
2) La velocidad de funcionamiento.
3) La potencia y par útiles desarrollados.
4) El rendimiento.
117
Solución
Apartado 1.
Para calcular los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor es necesario
emplear los datos del ensayo de vacío o de rotor libre y del ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado que se proporcionan en el enunciado.
En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el
hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en
el cobre del estator.
P0 = PFE + Pcu1,0 + Pm
Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro:
PFE = P0 − Pm − Pcu1,0
Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y ascienden a 200 W. Las pérdidas en el cobre del
estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la
resistencia por fase del estator R1.
Pcu1,0 = 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0, 047 ⋅ 20,82 = 61 W
Entonces las pérdidas en el hierro valen:
PFE = P0 − Pcu1 − Pm = 840 − 61 − 200
PFE = 579 W
El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El
procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la
máquina asíncrona en el ensayo de vacío el siguiente:
118
PFE = 3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f ⋅ cos ϕ 0
cos ϕ 0 =
PFE
579
=
= 0, 0731
3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f 3 ⋅ 220 ⋅ 20,8
3
ϕ 0 = 85,81º
Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:
I FE = I 0 f ⋅ cos ϕ 0 = 20,8 ⋅ cos ( 85,81º ) = 1,52 A
I µ = I 0 f ⋅ sen ϕ 0 = 20,8 ⋅ sen ( 85,81º ) = 20, 74 A
Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de RFE, y Xµ:
E0 f = RFE ⋅ I FE
RFE =
E0 f
I FE
=
220 3
= 83,59 Ω
1,52
E0 f = X µ ⋅ I µ
Xµ =
E0 f
Iµ
=
220 3
= 6,12 Ω
20, 74
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado es el siguiente.
Como la tensión de alimentación en este ensayo es pequeña, se suele despreciar la rama en paralelo
por analogía con en el ensayo correspondiente a los transformadores. El procedimiento a seguir para
calcular Rcc y Xcc es el siguiente:
119
Pcc = 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
1.000
= 0, 2566
3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf 3 ⋅ 45 ⋅ 50
3
ϕ cc = 75,13º
=
sen ϕ cc = 0,9665
La resistencia de cortocircuito es la siguiente:
Eccf ⋅ cos ϕ cc = Rcc ⋅ I ccf
Rcc =
Eccf ⋅ cos ϕ cc
I ccf
45
⋅ 0, 2566
3
=
50
Rcc = 0,1333 Ω
Fase
La reactancia de cortocircuito vale:
Eccf ⋅ sen ϕ cc = X cc ⋅ I ccf
r
e0 f
jX S
r
uf
X cc =
Eccf ⋅ sen ϕ cc
I ccf
45
⋅ 0,9665
3
=
50
X cc = 0,5022 Ω
Fase
A continuación se determina la resistencia del rotor referida al estator:
Rcc = R1 + R2 '
R2 ' = Rcc − R1 = 0,1333 − 0, 047
R2 ' = 0, 0863 Ω
Fase
Apartado 2
Para calcular la velocidad de funcionamiento de la máquina se va a emplear el circuito eléctrico
equivalente por fase siguiente:
120
Se conoce la tensión de alimentación y la corriente consumida por el motor. Las otras dos
corrientes, la de vacío y la del rotor referida al estator, se pueden calcular fácilmente, por lo que la
única incógnita de este circuito es precisamente el deslizamiento que aparece en la resistencia
equivalente de carga. Relacionando tensión y corriente en la rama serie del motor se puede intentar
determinar el valor de esta incógnita.
Primero fijamos como origen de fases la tensión de alimentación. Teniendo en cuenta que el estator
está conectado en estrella, el valor de fase de la tensión de alimentación será el siguiente:
r
220
E1 f =
∠0º V
3
El ángulo de fase de la corriente de fase consumida es precisamente el arcocoseno del factor del
potencia de la máquina:
ϕ1 = arc cos ( 0,85) = −31, 79º
r
I1 f = 62∠ − 31, 79º A
A continuación determinamos la corriente de vacío, para posteriormente encontrar el valor de la
corriente por fase del rotor referida al estator:
r
r
r
E1 f E1 f
I0 f =
+
= 20,8∠ − 85,81º A
RFe jX µ
r
r
r
I1 f = I 0 f + I 2' f
r
r
r
I 2' f = I1 f − I 0 f
r
I 2' f = 62∠ − 31, 79º −20,8∠ − 85,81º
r
I 2' f = 52,55∠ − 13,11º A
121
El módulo de la tensión de alimentación es igual al módulo de la corriente del rotor referida al
estator por el módulo de la impedancia serie (impedancia interna más resistencia equivalente de
carga). De esta forma obtenemos una ecuación real con “s” con única incógnita.
1
E1 f = I
'
2f
r
2
2
⋅ Z cc + Rc' = I 2' f ⋅ ⎡( Rcc + Rc' ) + X cc2 ⎤
⎣⎢
⎦⎥
1
E1 f = I 2' f
2
⎡⎛
⎤2
R2' ⎞
⋅ ⎢⎜ R1 + ⎟ + X cc2 ⎥
s ⎠
⎢⎣⎝
⎥⎦
1
2
⎡⎛
⎤2
220
0, 0863 ⎞
2
0,5022
= 52,55 ⋅ ⎢⎜ 0, 047 +
+
⎥
⎟
s ⎠
3
⎣⎢⎝
⎦⎥
Después de operar, se obtiene la siguiente ecuación:
2,3643 = 0, 047 +
0, 0863
s
s = 0, 0372
Una vez obtenido el deslizamiento se puede calcular de forma muy sencilla la velocidad de giro del
motor:
s=
n1 − n
n1
60 ⋅ f
p
60 ⋅ 50
n = (1 − 0, 0372 ) ⋅
3
n = (1 − s ) ⋅ n1 = (1 − s ) ⋅
n = 962, 76 rpm
Apartado 3
En este primer apartado se pide la potencia y el par útil desarrollado por el motor. Primero es
necesario calcular la potencia interna desarrollada por la máquina a partir de los datos del circuito
eléctrico equivalente que ha sido resuelto totalmente en el apartado anterior.
122
⎛1 ⎞
Pmi = 3 ⋅ Rc' ⋅ I 2'2f = 3 ⋅ R2' ⋅ ⎜ − 1⎟ ⋅ I 2'2f
⎝s ⎠
⎛ 1
⎞
Pmi = 3 ⋅ 0, 0863 ⋅ ⎜
− 1⎟ ⋅ 52,552
⎝ 0, 0372 ⎠
Pmi = 18482, 78 W
La potencia útil se obtiene restando las pérdidas mecáncias a la potencia interna desarrollada por el
motor:
Pu = Pmi − Pmec = 18482, 78 − 200
Pu = 18282, 78 W
La par útil es el siguiente:
Mu =
Pu
P
18282, 78
= u =
Ω 2π n 2π 962, 76
60
60
M u = 181,34 Nm
Apartado 4
El rendimiento de cualquier máquina es el cociente de la potencia útil desarrollada por la potencia
consumida. La potencia útil ya fue calculada en el apartado anterior. A partir de los datos del
enunciado se puede calcular la potencia consumida de la siguiente forma:
(
r r
Pab = 3 ⋅ E1 f ⋅ I1 f ⋅ cos E f , I1 f
)
220
⋅ 62 ⋅ 0,85
3
Pab = 20089, 4 W
Pab = 3 ⋅
Por lo tanto, el rendimiento es el siguiente:
η=
Pu
18282, 78
⋅100 =
⋅100
Pab
20081, 4
η = 91, 04%
123
P R O B L E M A 1 5
U
•
n motor de inducción trifásico de 220 V, 50 Hz, 6 polos y conexión estrella se ha ensayado
en vacío y en cortocircuito, obteniéndose los siguientes resultados:
•
Ensayo de Vacío: 220 V, 20,8 A, 840 W
Ensayo de Cortocircuito: 45 V, 50 A, 1000 W
La resistencia del estator por fase es 0,047 Ω y las pérdidas mecánicas son de 200 W.
Calcular:
1) Los parámetros del circuito eléctrico equivalente del motor.
2) Calcular el par y la corriente en un arranque directo a la tensión nominal del motor y a una
tensión 90% de la nominal.
3) Justifique numéricamente si el motor sería capaz de ponerse en marcha en un arranque directo a
su tensión nominal y a una tensión 90% de la nominal en los cuatro casos siguientes (n es la
velocidad expresada en rpm, y el par resistente en Nm):
3.1) Par resistente constante igual a 135 Nm.
3.2) Par resistente dado por la expresión
3.3) Par resistente dado por la expresión
3.4) Par resistente dado por la expresión
4) En un instante determinado la máquina está funcionando como motor girando a una velocidad
de 960 rpm y alimentado a la tensión nominal. Para frenar la máquina, se intercambian entre sí dos
fases de la tensión de alimentación. Calcular el par de frenado desarrollado por la máquina en ese
instante de tiempo.
124
Solución
Apartado 1.
Para calcular los parámetros del circuito eléctrico equivalente por fase del motor es necesario
emplear los datos del ensayo de vacío o de rotor libre y del ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado que se proporcionan en el enunciado.
En un ensayo de vacío o de rotor libre de una máquina asíncrona, además de las pérdidas en el
hierro se contabilizan las pérdidas mecánicas, que se suelen considerar constantes, y las pérdidas en
el cobre del estator.
P0 = PFE + Pcu1,0 + Pm
Si despejamos en la ecuación anterior se pueden calcular las pérdidas en el hierro:
PFE = P0 − Pm − Pcu1,0
Las pérdidas mecánicas son un dato del problema y ascienden a 200 W. Las pérdidas en el cobre del
estator para el ensayo de vacío se pueden calcular, puesto que nos proporcionan el dato de la
resistencia por fase del estator R1.
Pcu1,0 = 3 ⋅ R1 ⋅ I 02F = 3 ⋅ 0, 047 ⋅ 20,82 = 61 W
Entonces las pérdidas en el hierro son las siguientes:
PFE = P0 − Pcu1 − Pm = 840 − 61 − 200
PFE = 579 W
El siguiente paso está encaminado a encontrar las dos componentes de la corriente de vacío. El
procedimiento es el mismo que en los transformadores, utilizando como circuito equivalente de la
máquina asíncrona en el ensayo de vacío el siguiente:
125
PFE = 3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f ⋅ cos ϕ 0
cos ϕ 0 =
PFE
579
=
= 0, 0731
3 ⋅ E0 f ⋅ I 0 f 3 ⋅ 220 ⋅ 20,8
3
ϕ 0 = 85,81º
Las componentes de la corriente de vacío son las siguientes:
I FE = I 0 f ⋅ cos ϕ 0 = 20,8 ⋅ cos ( 85,81º ) = 1,52 A
I µ = I 0 f ⋅ sen ϕ 0 = 20,8 ⋅ sen ( 85,81º ) = 20, 74 A
Ya se disponen de todos los datos necesarios para encontrar los valores de RFE, y Xµ:
E0 f = RFE ⋅ I FE
RFE =
E0 f
I FE
=
220 3
= 83,59 Ω
1,52
E0 f = X µ ⋅ I µ
Xµ =
E0 f
Iµ
=
220 3
= 6,12 Ω
20, 74
El circuito equivalente por fase del motor asíncrono para el ensayo de cortocircuito o de rotor
bloqueado es el siguiente.
Como la tensión de alimentación en este ensayo es pequeña, se suele despreciar la rama en paralelo
por analogía con en el ensayo correspondiente en los transformadores. El procedimiento a seguir
para calcular Rcc y Xcc es el siguiente:
126
Pcc = 3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf ⋅ cos ϕ cc
cos ϕ cc =
Pcc
1.000
= 0, 2566
3 ⋅ Eccf ⋅ I ccf 3 ⋅ 45 ⋅ 50
3
ϕ cc = 75,13º
=
sen ϕ cc = 0,9665
La resistencia de cortocircuito es la siguiente:
Eccf ⋅ cos ϕ cc = Rcc ⋅ I ccf
Eccf ⋅ cos ϕ cc
Rcc =
I ccf
45
⋅ 0, 2566
3
=
50
Rcc = 0,1333 Ω
Fase
La reactancia de cortocircuito vale:
Eccf ⋅ sen ϕ cc = X cc ⋅ I ccf
X cc =
Eccf ⋅ sen ϕ cc
I ccf
45
⋅ 0,9665
3
=
50
X cc = 0,5022 Ω
Fase
A continuación se determina la resistencia del rotor referida al estator:
Rcc = R1 + R2 '
R2 ' = Rcc − R1 = 0,1333 − 0, 047
R2 ' = 0, 0863 Ω
Fase
Apartado 2
El circuito eléctrico equivalente por fase de la máquina asíncrona es el siguiente:
127
En el instante de arranque el deslizamiento de la máquina vale 1 y, por tanto, la resistencia
equivalente de carga Rc ' es nula. La corriente de arranque se calcula a partir del circuito eléctrico
equivalente representado en la anterior figura anulando esta resistencia:
r
r ⎡
1
1
1 ⎤
+
+
I arr = E1 f ⋅ ⎢
⎥
⎢⎣ Rcc + j ⋅ X cc RFe j ⋅ X µ ⎥⎦
La máquina se arranca de forma directa a dos tensiones diferentes: tensión nominal y tensión 90%
de la nominal. Se sustituye la tensión en la expresión anterior, recordando que la escogemos como
origen de fases en los dos casos, y obteniendo los siguientes valores:
•
Arranque directo a la tensión nominal: 220 V.
r
⎡
220
1
1
1 ⎤
I arr ,220 =
∠0º ⎢
+
+
⎥ = 264,93∠ − 75,97º A
3
⎣ 0,1333 + j ⋅ 0,5022 83,59 j ⋅ 6,12 ⎦
• Arranque directo a la tensión 0,9*220V.
r
⎡
0,9 ⋅ 220
1
1
1 ⎤
∠0º ⎢
+
+
I arr ,0,9⋅220 =
⎥ = 238, 44∠ − 75,97º A
3
⎣ 0,1333 + j ⋅ 0,5022 83,59 j ⋅ 6,12 ⎦
El arranque de un motor es un punto singular de su funcionamiento. El par desarrollado se puede
calcular empleando la fórmula obtenida en clase para el par interno, sustituyendo el deslizamiento
por 1.
R2 ' 2
⋅ E1 f
3 ⋅ R2 '⋅ E12f
s
= M i s =1 =
=
2
2π
⎛⎛
⎞
2π
R2 ' ⎞
2
n1 ⋅ ( Rcc2 + X cc2 )
n1 ⋅ ⎜ ⎜ R1 +
X
+
⎟
cc
⎟
60
⎜⎝
⎟
s ⎠
60
⎝
⎠ s =1
3⋅
M arr
El par de arranque en los dos casos propuestos es el siguiente:
128
•
Arranque directo a la tensión nominal: 220 V.
M arr ,220 ==
•
⎛ 220 ⎞
3 ⋅ 0, 0863 ⋅ ⎜
⎟
⎝ 3⎠
2
2π
1000 ⋅ ( 0,13332 + 0,50222 )
60
= 147, 74 Nm
Arranque directo a la tensión 0,9*220V.
M arr ,220 ==
⎛ 0.9 ⋅ 220 ⎞
3 ⋅ 0, 0863 ⋅ ⎜
⎟
3 ⎠
⎝
2
2π
1000 ⋅ ( 0,13332 + 0,50222 )
60
= 0,81⋅147, 74 Nm = 119, 67 Nm
La tensión de alimentación se suele reducir para disminuir el pico de corriente que se produce en el
arranque. Pero se puede observar que el par de arranque también se ve mermado y en una
proporción mayor. En este caso se reduce un 19%, mientras que la corriente de arranque se redujo
un 10%.
Apartado 3
El motor eléctrico lleva acoplada una carga, la máquina accionada, cuyo comportamiento también
viene caracterizado por una curva Par-velocidad, donde ahora el par es de carácter resistente para el
motor principal.
Para que el motor eléctrico se ponga en marcha, se debe cumplir la relación:
Par de Arranque del Motor > Par Resistente en el Arranque
En los 4 casos propuestos hay que determinar el par resistente en el arranque, par a velocidad cero
(n=0), y compararlos con los pares obtenidos en el apartado 2:
• Par resistente constante igual a 135 Nm. El par resistente de esta máquina accionada por el
motor asíncrono no varía con la velocidad, por lo tanto el par resistente en el arranque vale
también 135 Nm. En un arranque directo a la tensión nominal el motor es mayor que el par
resistente y el conjunto motor-máquina accionada se pondría en funcionamiento. En el caso
de un arranque directo al 90% de la tensión nominal, el par de arranque del motor es
inferior al resistente y el conjunto no giraría.
−6
2
• Par resistente dado por la expresión M Resistente = 123 + 1,3 ⋅10 ⋅ n . El par resistente en el
•
•
arranque de esta carga es 123 Nm. Ocurre lo mismo que en caso anterior.
−3
Par resistente dado por la expresión M Resistente = 149 + 2 ⋅10 ⋅ n . El par resistente en el
arranque de esta carga es 149 Nm. En ninguno de los dos tipos de arranque, el motor sería
capaz de mover esta carga.
M Resistente = 22 + 2 ⋅10−3 ⋅ n + 1,3 ⋅10−6 ⋅ n 2 . En este último caso, el par resistente en el
arranque de esta carga es 22 Nm. En ambos tipos de arranque, el motor sería capaz de
mover esta carga.
Apartado 4
129
Un procedimiento empleado para frenar los motores asíncronos es el denominado frenado a
contramarcha que consiste en realizar, mediante un mecanismo adecuado, un intercambio de dos
fases de la alimentación trifásica. Con esto se consigue que el campo magnético giratorio creado por
el estator gire en sentido contrario al original. Debido a la inercia del rotor y de la máquina
accionada, este conjunto sigue girando en el mismo sentido, con la diferencia que ahora el sentido de
giro positivo a cambiado. Por lo tanto, el rotor va a girar a una velocidad negativa con respecto al
campo magnético giratorio y su deslizamiento será mayor que uno, lo que corresponde a un
funcionamiento de la máquina ya no como motor, sino como freno.
El nuevo par de frenado desarrollado por la máquina se calcula muy fácilmente a través de la
expresión del par interno empleada anteriormente. Al realizar el cambio de las dos fases, el motor
sigue girando a 960 rpm, pero ahora en sentido negativo, por lo que el nuevo deslizamiento valdrá:
n − n 1000 − ( −960 )
sFrenado = 1
=
= 1,96
1000
n1
El par de frenado es el siguiente:
R '
3 ⋅ 2 ⋅ E12f
1,96
M Frenado = M i s =1,96 =
= 78,12 Nm
2
⎛⎛
⎞
R2 ' ⎞
2π
+ X cc2 ⎟
n1 ⋅ ⎜ ⎜ R1 +
⎟
⎜
⎟
60
1,96 ⎠
⎝⎝
⎠
130
Soluciones
Problemas seleccionados
131
MÁQUINA ASÍNCRONA
1. a) R1 = 0,68 Ω; R2’ = 0,486 Ω; Xcc = 5,03 Ω; b) 16,85 Nm; 67,32 Nm; c) 79,76 %; d) 1555, 65
r.p.m.
2. a) 0,1162; b) 257,47 Nm; c) 59,04 Nm.
4. a) η = 84,89 %; b) N = 962,2 r.p.m.; c) PCu2 = 219,6 W; d) PCu1 = 292,22 W; e) R1 = 0,194 Ω.
6. a) 600 r.p.m.; b) 12 r.p.m.; c) 600 r.p.m.; d) 1,2 Hz; e) 60º; f) 12 polos; g) 3; h) 3,4 V.
7. a) Conexión en estrella; b) 59,76 Nm; Si; c) 925 r.p.m.; d) 18 A; 9,7 kW; e) ...
8. a) n = 979,91 r.p.m.: b) U1 = 213,21 V; c) Mi,Max = 694,43 Nm.
10. a) Pu = 3704,4 W; b) Mu = 3,28 Nm; c) IArr = 46,67 ∠-51,52º A.
11. a) PFe + Pm = 275,4 W; b) PCu1 = 115 W; c) Pa = 3259,68 W; d) PCu2 =162,98 W; e) Pmi = 3096,69
W; f) Pmi = 4,15 HP; g) Mi = 17,29 Nm; h) η = 84,84 %; i) cosϕ1 = 0,8477.
13. a) n = 962,76 r.p.m.; Mu = 181,34 Nm; Pu = 18282,78 W; η = 91,04 %; b) IArr = 264,92 A; MArr
= 147,74 Nm; c) Im = 185,95 A; Mm = 419,11 Nm.
14. a) nM max = 1125 rpm.; b) Rad1’ = 0,0242 Ω; Rad2’ = 0,2358 Ω; c) Para Rad1’: 6,06%, 0,412; para
Rad2’: 57,59%, 0,911.
15. a) IArr = 63,32 A; b) MArr = 29,32 Nm; c) Rad = 2,7326 Ω; d) MArr’ = 7,33 Nm.
16. a) 9 Ω; b) 100 Nm.
17. a)s = 0,04; b) PCu2 = 0,78 kW; c) η = 88,6 %.
18. 7849 r.p.m.; 4585,2 W; 5,58 Nm; 18,35 A; 0,832 inductivo; 86,70 %.
19. a) 0,468; b) 0,263; c) 0,156.
20. a) PCu2 = 1235,79 W; b) η = 88,62 %; c) I1 = 43,02 A; d) f2 = 2,5 Hz.
23. a) 739 r.p.m.; b) 94 %; c) 0,8723; d) 4250 Nm; 577,4 Nm.
24.a) s = 0,04; b) PCu2 = 0,78 kW; c) η = 88,6 %.
25. RFe = 83,78 Ω; .Xµ = 6,12 Ω; Rcc = 0,15 Ω; Xcc = 0,50 Ω; X1 = 0,25 Ω; X2 = 0,025 Ω.
26. a) MArr = 40,56 Nm; IArr = 53,21 A; b) MArr = 32,89 Nm; No; c) n = 960,3 r.p.m.; d) Pmi = 9316
W.
132
27. 223,7 Nm; 206 Nm.
28. a) Pu = 3442,9 W; b) Pa = 4010 W; c) η = 79,51 %; d) n = 1424,45 r.p.m; e) Mi = 25 Nm.
29. a) 0,8375; b) 13440 W síncronos; 127 Nm; c) 532,2 W; d) 12,7 kW; 84,60 %.
31. a) 980 r.p.m.; b) I1 = 9,39 A; cosϕ1 = 0,86; c) Pu = 2169,66 W; Mu = 21,14 Nm; d) η = 70,79 %;
e) Mmax = 110,61 Nm; SMmax = 0,22; f) Marr = 56,83 Nm; g) MFreno = -32,34 Nm; h) Mres = -93,91
Nm.
32. a) I1 = 47,51 A; b) Mu = 92,46 Nm; η = 91,08 %; c) MArr = 74,82 Nm; IArr = 188,32 A.
34. a) I1 = 43 A; b) PCu1 = 1164,76 W; c) Pa = 12499,35 W; d) Pmi = 11874,38 W; e) Mi = 66,31 Nm;
Mr = 64,64 Nm; f) η1 = 84,75 %; g) n = 1710 r.m.p.; Ω = 179,07 rad/s; h) sm = 0,1508; Mmax =
102,59 Nm; i) Rad’ = 0,7716 Ω/fase; j) U1 = 100,07 V; I1 = 36,62 A; PCu1 = 844,74 W; Pa = 8904,39
W; Pmi = 8459,17 W; Mi = 56,69 Nm; Mr = 54,68 Nm; η = 82 %; n = 1425 r.m.p.; sm = 0,1789;
Mmax = 97,99 Nm; Rad’ = 0,6290 Ω/fase.
36. a) I1 = 3,84 A; b) cos ϕ1 = 0,91; c) Pu = 928,04 W; P1 = 1330 W; d) Mu = 9,33 Nm; Mi = 12,25
Nm; e) η = 69,77 %; f) U1 = 190 V, Mi = 9,14 Nm; U1 = 208 V, Mi = 10,95 Nm; U1 = 230 V, Mi =
13,39 Nm; g) MArr = 31,55 Nm; I1Arr = 26,21 A; h) MMax = 41,83 Nm; sm= 0,4095.
133
Bibliografía recomendada
[1] Guillermo Ortega, Milagros Gómez y Alfonso Bachiller. Problemas resueltos de Máquinas Eléctricas.
Thomson.
[2] Javier Sanz Feito. Máquinas Eléctricas. Prentice Hall, 2002.
[3] Jesús Fraile Mora. Máquinas Eléctricas. McGraw-Hill, 2003, Quinta Edición.
[4] Bhag S. Guru y Hüseyin R. Hiziroglu. Máquinas eléctricas y transformadores. Oxford University Press,
2002, Tercera edición.
[5] Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Ejercicios resueltos
de Tecnología Eléctrica. CEYSA.
[6] Oriol Boix, Luis Sainz, Felipe Córcoles, Francisco J. Suelves y Juan José Mesas. Tecnología Eléctrica.
CEYSA.
[7] Sthepen J. Chapman. Electric machinery fundamentals. McGraw-Hill, 2004, Fourth Edition.
[8] A. E. Fitzgerlad, Charles Kingsley Jr., y Stephen D. Umans. Máquinas eléctricas. McGraw-Hill,
2004, Sexta Edición.
[9] Jim Cathey. Electric machines: Analysis and design applying Matlab. McGraw-Hill, 2000.
[10] Vlado Ostovic. Computer-aided analysis of electric machines: A Mathematica approach. Prentice Hall,
1994.
[11] William H. Yeadon y Alan Yeadon. Handbook of Small Electric Motors. McGraw-Hill, 2001.
[12] Mario Ortiz, Sergio Valero y Carolina Senabre. Resolución paso a paso de problemas de máquinas
eléctricas. ECU, 2009.
134