Ejercicios Práctica 4 Abr-Jul 2016 - LDC

Cada palabra tiene su olor, y
del mismo modo que hay una armonía y una disonancia de los perfumes, las hay también de las palabras.
El viajero y su sombra, Federico Nietzsche.
Olor de las palabras.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
Ejercicios para la Práctica 4Grupos Cíclicos,
Grupos de Permutaciones y Teorema de Lagrange
NOMBRE
1.
CARNET
NOTA
fácil e ilustrativo Dado el grupo ⟨Z3 × Z8 , +⟩ donde la suma es coordenada a coordenada. Responda
con una buena justicación:
a ) ¾Es cíclico? De serlo, diga cuántos generadores tiene y muestrelos. No tiene que mostrar que, en
efecto, generan todo.
b ) ¾Cuántos sub-grupos tiene? Indique algunos.
c ) Halle las clases laterales de los dos subgrupos no triviales más grandes y de ellos halle su conjunto
cociente.
2.
3.
ilustrativo Demustre que si ⟨G, ∗⟩ es un grupo cíclico de orden n, es isomorfo a ⟨Zn , +⟩.
Alerta rojo Sea H un subgrupo cíclico de G tal que H es normal en G. Demuestre que si K
subgrupo propio de H , entonces K es normal en G.
es un
4.
ilustrativo Si G es un grupo nito de orden n > 1 que no tiene sub-grupos própios distintos de {e},
entonces G es cíclico y n es primo.
5.
relavante Muestre que si G es un grupo de orden n con identidad e, entonces para todo a ∈ G se tiene
que an = e.
6.
conceptual Se dice que un subgrupo H de G es normal en G, si y sólo si para todo g ∈ G se tiene
que su clase lateral a derecha de H es igual a su clase lateral a la izquierda de H . Esto es, si para todo
g ∈ G se tiene que gH = Hg . Demuestre que si A y B son subgrupos del grupo G y A es normal en
G, entonces A ∩ B es normal en B .
7.
calentamiento
(
1
σ=
(3
1
µ=
5
Dadas las siguientes tres permutaciones en S6 :
2 3 4
1 4 5
2 3 4
2 4 3
5
6
5
1
)
(
6
1 2
,ρ=
2)
2 4
6
.
6
3 4
1 3
5
6
)
6
,
5
a ) Expréselas como productos de ciclos disjuntos, luego como producto de transposiciones y diga si
son pares o impares.
b ) Halle sus inversas.
c ) Calcule: u) σρ,
8.
interesante
v) σρ2 ,
w) σ 2 µ,
x) ρσ −2 ,
y) σρσ −1 .
Demuestre que si σ es un ciclo de longitud impar, entonces σ 2 es un ciclo.
Ejercicios Complementarios
1. Demuestre que si ⟨G, ∗⟩ y ⟨H, ·⟩ son grupos cíclico de igual cardinalidad, entonces son isomorfos.
2.
bonito e interesante Pruebe que para cada subgrupo H de Sn para n ≥ 2, todas las permutaciones
en H son pares o exactamente la mitad de ellas son pares.
3.
medio Sea A un conjunto innito. Sea H el conjunto de todos los σ ∈ SA que mueven únicamente a
un número nito de elementos de A.
4.
medio e interesante Demuestre que todo grupo de orden primo es cíclico.
interesante Considere Sn para un n ≥ 2 jo y sea σ una permutación impar ja. Muestre que toda
5.
permutación impar en Sn es un producto de σ y alguna permutación en An .
6. Demostrar que la intersección de dos subgrupos normales de un grupo G es un subgrupo normal de G.
7. Sea p el número primo más pequeño que divide al orden de un grupo G de orden n. Demuestre que si
H es un subgrupo de G de índice p, entonces H es normal en G.
8.
fácil
Demuestre que todo grupo de orden primo es abeliano.
Del salón en el ángulo oscuro,
de su dueña tal vez olvidada,
silenciosa y cubierta de polvo
veíase el arpa.
Yo soy ardiente, yo soy morena,
yo soy el símbolo de la pasión,
de ansia de goces mi alma está llena.
¾A mí me buscas? No es a ti, no.
½Cuánta nota dormía en sus cuerdas
como el pájaro duerme en las ramas,
esperando la mano de nieve
que sabe arrancarlas!
Mi frente es pálida, mis trenzas de oro:
puedo brindarte dichas sin n,
yo de ternuras guardo un tesoro.
¾A mí me llamas? No, no es a ti.
½Ay! pensé; ½cuántas veces el genio
así duerme en el fondo del alma,
y una voz, como Lázaro, espera
que le diga: ½Levántate y anda.
Yo soy un sueño, un imposible,
vano fantasma de niebla y luz;
soy incorpórea, soy intangible:
no puedo amarte. ½Oh ven, ven tú!
Rimas y leyendas, Gustavo Adolfo Becquer.
Rimas y leyendas, Gustavo Adolfo Becquer.