9 FUENTES CONTROLADAS

9 FUENTES CONTROLADAS
9
FUENTES CONTROLADAS.....................................................328
9.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................329
9.2 IMPEDANCIAS COMO FUENTES CONTROLADAS. ....329
9.3 TRANSFORMADORES Y AMPLIFICADORES...............341
9.4 AMPLIFICADORES DE GANANCIA INFINITA. ............348
9.5 AMPLIFICADOR INVERSOR Y AMPLIFICADOR NO
INVERSOR. ...................................................................................351
9.6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL. ................357
328
9.1 INTRODUCCIÓN.
En general, se entiende por “fuente controlada” cualquier
fuente de voltaje, corriente o mixta cuyo valor dependa de
una cantidad cualquiera. Si esa cantidad es independiente
del circuito la fuente se denomina fuente independiente; si
la cantidad controlada es una de las variables del circuito la
fuente se llamará fuente dependiente. Estas últimas en
realidad no se comportan matemáticamente como fuentes
sino más bien como “impedancias” controladas. Por ejemplo,
cuando se plantean las ecuaciones de un circuito las fuentes
independientes siguen siendo “reconocibles” entre los
términos de las ecuaciones, en cambio las fuentes
dependientes desaparecen, sus ecuaciones se mezclan y
confunden con las ecuaciones de las
impedancias.
Desgraciadamente en los últimos tiempos se ha perdido la
sistematización del estudio de los circuitos (¡quien lo creyera
teniendo en cuenta la fiebre de axiomatización de la
matemática!) y se obtienen excelentes libros sobre circuitos,
pero casuísticos y no muy preocupados por una presentación
moderna de la teoría, que inquieren poco sobre la verdadera
naturaleza de las fuentes dependientes. Nosotros aceptamos
las definiciones usuales pero dejamos constancia de la
necesidad de una revisión mas profunda a este tema.
9.2 IMPEDANCIAS COMO FUENTES
CONTROLADAS.
Consideremos el circuito de la figura 9.2.1. En el caso b)
mostramos su equivalente de Thévenin (que por cierto es
sencillísimo). Ahora caigamos en cuenta que : v a = −5 i .
329
Figura 9.2.1 Equivalente de thevenin.
Pero como V = −7 i , tendremos: va = −5 (
−V
5
)= V.
7
7
Como ya tenemos un voltaje que depende de otro voltaje
podemos definir una fuente controlada y representar el
circuito como el de la figura 9.2.2 Este circuito funciona como
el original pero tiene características especiales. Por ejemplo
intentemos deducir el equivalente de Thévenin por alguno de
los métodos que se pueden usar con circuitos que sólo tienen
fuentes independientes.
Figura 9.2.2. Impedancias como fuentes
controladas.
Z
V
Thévenin
Thévenin
= Zab con fuentes anuladas = 2 Ω
= Vab circuito abierto (i = 0) ( Figura 9.2.3)
330
Figura 9.2.3. Impedancias como fuentes
controladas.
De ese circuito:
5
v
7
5
v (1 − ) = 0
7
∴v = 0
v=
V
Thévenin
= 0.
¡Imposible! Este solo ejemplo (Recordando: “Un solo
contraejemplo acaba con cualquier teoría”), nos pone en
alerta y nos obliga a aceptar que las fuentes dependientes
no deben tratarse como fuentes en ningún teorema de
transformación de circuitos. ¿Entonces, como tratar esas
fuentes? De las siguientes formas:
A) Planteando ecuaciones. En este caso no existe problema.
Si se pide una transformación como la de Thévenin o la
Norton
se debe efectuar mediante el planteamiento de
ecuaciones. Por ejemplo, para el caso anterior (Figura 9.2.4,
caso a) se coloca una Z en los terminales del circuito y se
encuentra la corriente. Esta corriente se lleva a la “forma”
331
que correspondería a un equivalente de Thévenin mostrado
en el caso b (Figura 9.2.4)
Figura 9.2.4. Impedancias como fuentes
controladas.
I=
Entonces:
V
Z
Thévenin
Théveinin
+Z
5
v = i (2 + Z ) , pero como: v = Zi
7
5
∴ z i = i (2 + Z )
7
5
∴ i( z − 2 − Z ) = 0
7
∴ i (5 z − 14 − 7 Z ) = 0
∴ i (−14 − 2 Z ) = 0
0
0
∴i = − 2 =
7+Z 7+Z
De este resultado:
V Thévenin = 0V
ZThévenin = 7Ω
332
Cuando no existe ni una fuente independiente en el circuito
este procedimiento puede traer problemas pues la corriente
0
0
es nula y como, por ejemplo,
=
, es común que
7+Z 2+Z
resulten errores.
Si se colocan en los terminales fuentes de voltaje o de
corriente de valor determinado (algunos textos recomiendan
fuentes de 1 voltio o 1 amperio) también pueden resultar
errores. Basta considerar el caso a mostrado en la figura 9.2.5
Figura 9.2.5. Impedancias como fuentes
controladas.
i=
VThévenin − 1 4 − 1 3 6 7 − 1
=
= = =
ZThévenin
2
2 4
4
De modo que el circuito del caso b de la figura 9.2.5 cumple la
misma ecuación del circuito anterior, aunque los equivalentes
son muy distintos, lo que nos podría conducir a errores, pues
obtendríamos igual corriente, y si intentamos interpretar la
ecuación como:
VThévenin = Z Thévenin i + 1 ,
333
a pesar de tener la misma corriente los valores del voltaje de
Thevenin y la impedancia de Thevenin siguen inciertos.
En conclusión, el mejor método para encontrar el equivalente
de Thévenin y el de Norton es colocar una fuente de valor
indeterminado y reducir la ecuación a la correspondiente del
equivalente de Thévenin o Norton (Figura 9.2.6, caso a)
V
−V
i = Thévenin
ZThévenin
Figura 9.2.6. Equivalente de Thevenin y de
Norton colocando una fuente indeterminada.
Para el caso b que nos sirve de referencia (Figura 9.2.2.6):
5
v = 2i + v
7
v =V
5
v−v
5v − 7v − 2v − 2V VThévenin − V
0 −V
i= 7
=
=
=
=
∴i =
2
2*7
2*7 2*7
ZThévenin
7
334
Con esta ecuación sí determinamos el verdadero equivalente.
B) Transformando la fuente dependiente en independiente
por un cambio en la variable de control.
Lo que hacemos es “sacar” la variable de control del circuito,
o de la parte del circuito que estamos transformando, que
estamos transformando. Usaremos el mismo ejemplo que
estamos trabajando aunque resulte un poco artificial el
“método” en ese caso. (Figura 9.2.7 caso a).
Como v = i z , el circuito queda como en la figura 9.2.7 caso b.
Como ya la fuente no depende del voltaje en bornes (al menos
explícitamente) podemos aplicar el método normal de Norton:
Figura 9.2.7. Impedancias como fuentes
controladas.
I Norton = iCon ab en corto
5
iz
= 7
2
Z Norton = ZabCon fuentes independientes anuladas = 2Ω
El equivalente de Norton queda (Figura 9.2.8).
335
Figura 9.2.8. Equivalente Norton con fuente
indeterminada.
En definitiva, una fuente dependiente puede tratarse
como una independiente en cualquier transformación
de un circuito siempre y cuando no “desaparezca” en la
transformación la variable de control.
Como método general para la obtención de los equivalentes
de Norton y Thévenin recomendamos usar la conexión de una
fuente de voltaje ó corriente pero de valor no determinado y
plantear las ecuaciones correspondientes. Veamos un ejemplo
(Figura 9.2.9, caso a). Primero, haremos aparecer una fuente
de voltaje controlada por corriente (Figura 9.2.9, caso b), con
v = 3 i en la resistencia de 3 Ω .
Como:
2
v
i1 =
→ 2i1 = 3i ∴ i = i1
2
3
Ya tendremos una variable de control diferente (Figura
9.2.9, caso c). Pero:
2
5
i2 = i1 + i
∴ i2 = i1 + i1 ∴ i2 = i1
3
3
Podemos volver a dibujar el circuito con una nueva variable
de control (Figura 9.9.2, caso d).
Pero como:
6
20
26
v, = v + 4 i2 ∴ v´, = i2 + i2 ∴v , =
i2 = 5 i3
5
5
5
25
∴ i2 =
i3
26
336
El circuito final quedará como se muestra en el caso e de la
figura 9.2.9.
Figura 9.2.9. Impedancias como fuentes
controladas.
Hallemos el equivalente de Thévenin entre a y b.
30
−v = −
i3 = 2 IA
(1)
26
30
v=
i3 = 9 I B − 5 I C
( 2)
26
− V = 5 IC − 5 I B
(3)
i3 = I B − I C
( 4)
Como objetivo tendremos hallar una expresión para Ic .
Reemplazando (4) en las ecuaciones anteriores:
337
( 2) ,
(3),
30
( I B − IC ) = 2I A
26
30
+ ( I B − IC ) = 9I B − 5IC
26
V
I B = IC + ( )
5
−
(1),
(3) , en (1) , y (2),
(1), ,
(2),,
(1),
(2),
V
2 * 26
) − IC = −
IA
5
30
30
V
V
( I C + − I C ) = 9( I C + ) − 5 I C
26
5
5
V * 15
V *3
= −26 I A → I A = −
5
26
30 * V
V
= 9 IC + 9 − 5IC
26 * 5
5
6 9
V (15 − 9 * 13)
∴ V ( − ) = 4IC → IC =
26 5
4 * 5 * 13
V
0 −V
IC =
=
20 * 13
130
− 102
51
I B − IC = ( IC +
El equivalente de Thévenin se muestra en la figura 9.2.10.
Para comprobar el resultado hallemos la resistencia
equivalente del circuito original (Figura 9.2.9, caso a).
Figura 9.2.10. Impedancias como fuentes
controladas.
El procedimiento se ilustra en la figura 9.2.11.
338
Figura 9.2.11. Resistencia de Thevenin.
Ra =
2*3 6
=
2+3 5
6 26
=
5
5
5 * Rb
26 * 5
5 * 26
Rc =
=
=
5 + Rb 25 + 26
51
Rb = 4 + Ra = 4 +
339
Como este tema esta particularmente mal tratado en los
textos modernos de circuitos (se recomienda estudiar con
detenimiento los métodos propuestos en esos textos antes de
aplicarlos), nos permitiremos otro ejemplo al respecto (Figura
9.12).
Figura 9.2.12. Cambio de la variable de control.
Empezamos con un circuito resistivo y hacemos aparecer una
fuente dependiente de corriente.
Como (ver figura 9.12, caso b)
v
v1 = 4 i1 , i2 = 1
4
Cambiamos la variable de control a i2 (Figura 9.2.12, caso d)
Para ilustrar como hallar el equivalente de Norton colocamos
una fuente de corriente indeterminada, y planteamos las
ecuaciones de malla.
(1)
2i2 = 6 I1 + 4 I = 2( I1 + I )
( 2)
+ V = 10 I + 4 I1
Debemos llevar el voltaje en los terminales a la forma que
tiene el voltaje en el equivalente de Norton (Figura 9.2.13):
340
Figura 9.2.13. Impedancias como fuentes
controladas.
V = Z N (I N + I )
De (1) :
6 I1 + 4 I = 2 I1 + 2 I
∴ I1 = −
∴ 4 I1 = −2 I
I
2
I
V = 10 I + 4(− )
2
∴ V = I (10 − 2) = 8 I = 8( I + I N )
Reemplazando en (2)
∴ ZN = 8Ω
e
IN = 0
Recomendamos estos métodos para hallar los equivalentes de
circuitos cuando existen fuentes dependientes.
9.3 TRANSFORMADORES Y AMPLIFICADORES.
El hombre investiga la naturaleza y la controla. Para
investigarla tiene que medir y examinar sus manifestaciones
más minúsculas y variadas. Muchas veces tiene que
amplificar
o
transformar
esas
manifestaciones
(vibraciones, emisiones de ondas o de partículas, ligerísimos
cambios de calor, temperatura, etc). Incluso algunas veces se
ve obligado a “debilitar” esas manifestaciones para su
análisis, por ser muy grandes ó violentas. Esas
manifestaciones, producidas por la naturaleza, o producidas
por el hombre manipulando la misma naturaleza, las
llamamos señales, y los dispositivos para analizarlas, ó
simplemente detectarlas, se denominan sensores. Los
341
sensores toman las señales de entrada y las devuelven
transformadas ó amplificadas (o atenuadas algunas veces)
para que el hombre las maneje mejor. Como, en último
término, toda señal es un flujo de energía, el manejo de
señales es en definitiva un manejo de energía. Esto nos
permite dividir los sensores y manipuladores de señales en
dos grupos:
A)Transformadores: son sensores ó manipuladores de señal
que no cambian la energía de la señal. En realidad siempre la
disminuyen un poco debido a las pérdidas del proceso, por eso
se habla de transformadores ideales para referirse a
aquellos, imaginarios, que no presentan pérdidas.
El prototipo mecánico es la palanca. Si se desea que el peso
M, por cualquier razón suba y baje de acuerdo a alguna
función del tiempo (Figura 9.3.1), el extremo de la fuerza
aplicada debe seguir un desplazamiento mucho mayor que la
del extremo del peso. Pero como el trabajo de ambas fuerzas
debe ser igual F1dy1 = F2 dy2 , las funciones de las fuerzas en el
tiempo deben ser “reciprocas” a las funciones de los
desplazamientos. Es decir, como en este caso F2 es constante
(igual al peso de la masa) F1 y1 = F2 y2 ; o sea, simplemente las
fuerzas
son
inversamente
proporcionales
a
sus
desplazamientos.
Figura 9.3.1. La palanca como transformador.
En electricidad el prototipo de transformador es precisamente
el transformador electromagnético formado por dos bobinas
que comparten un núcleo magnético común (Figura 9.3.2,
caso a). El símbolo de este dispositivo se muestra en la figura
342
9.3.2, caso b. Como se asume que la energía que entra es
siempre igual a la que sale en cualquier intervalo de tiempo
: dEnergía entrada = P1 dt = dEnergía salida = P2 dt ,
donde P1 es la potencia de entrada, y P 2 es la de salida.
Figura 9.3.2. Transformadores.
Como p1 = v1 i1 , dEnergía de entrada = v1 i1 dt
De la misma forma: dEnergía de salida = v2 i2 dt
∴ v1 i1 = v2 i2
Pero este aparato puede aumentar, de acuerdo a su
funcionamiento físico, el nivel del voltaje de un devanado
aumentando las espiras de las bobinas de ese devanado:
v1
v
= 2
N1 N 2
Haciendo N 2 mucho mayor que N1 podemos obtener,
idealmente, voltajes v2 mucho mayores que v1 . Pero la
restricción de igualdad de energía, de potencia en este caso,
obliga a que a mayores voltajes de salida se obtengan
343
menores corrientes de salida. Se entiende entonces que la
señales muy débiles energéticamente de voltaje no se puedan
amplificar por este dispositivo, pues en el caso no ideal, la
débil energía de la señal generalmente se gasta en calor en
las resistencias y demás causas de pérdidas, y en el caso ideal
la corriente obtenida será tan pequeña que solo otro
dispositivo ideal será capaz de responder a ella. En definitiva,
un transformador raramente se usa como sensor de señales
débiles.
El modelaje de un transformador ideal y su representación en
bloques se muestra en la figura 9.3.3. Para el circuito
equivalente se usaron fuentes mixtas de voltaje y corriente.
Figura 9.3.2. Transformadores.
El símbolo de las fuentes mixtas trata de ser general y
representar cualquier dispositivo de esta familia, no
importando su realización física, el símbolo con bobinas es el
344
símbolo tradicional desde que no se conocía ningún otro
medio de lograr el propósito de estos aparatos. En definitiva
es válido cualquiera de los dos símbolos. Solo trabajaremos
con transformadores ideales y lineales, en los que, como lo
insinúa su nombre, los voltajes y las corrientes de un lado son
funciones lineales de los voltajes y corrientes del otro lado.
B) Amplificadores y atenuadores. Son sensores ó
manipuladores de señal que cambian (aumentan o
disminuyen) la energía de las señales. Evidentemente
requieren una fuente de energía, los amplificadores, para
obtener la energía adicional, o un pozo de energía, los
atenuadores, para deshacerse de la energía sobrante.
En la figura 9.3.4 hemos tratado de mostrar un ejemplo
mecánico de un amplificador. La señal de entrada sería la
variación de los pares de válvulas A y B. Abriendo el par A y
cerrando el par B el embolo se mueve hacia la derecha, con
una energía mucho mayor que la que se requirió para
controlar las válvulas. La operación contraria produce un
efecto inverso en el émbolo.
Figura 9.3.4. Amplificador mecánico.
El prototipo eléctrico más sencillo sería el interruptor, pues la
energía que controla puede ser mucho mayor que la
345
requerida para accionarlo. Pero el amplificador electrónico es
ahora el amplificador por excelencia, y de aquí en adelante
nos referiremos a su modelo ideal. No trataremos
explícitamente los atenuadores, considerándolos simplemente
como casos especiales de los amplificadores, y regidos por las
mismas ecuaciones pero con algunos términos negativos.
Como el manejo de la potencia es independiente del manejo
de la señal, en los amplificadores y atenuadores no existirá
necesariamente una ecuación de corrientes “contraria” a la
ecuación de voltajes, como en los transformadores. Aunque,
lógicamente existen “amplificadores de corriente” (Figura
9.3.5, caso b) no los trataremos sino como casos especiales de
los amplificadores de voltaje. Por último, de todas las
funciones que pueden relacionar el voltaje de salida con el
voltaje de entrada solo veremos el caso lineal. Después de ese
recorte tan drástico de posibilidades nos quedamos con el
simple amplificador lineal de voltaje, cuyo símbolo en bloques
damos en la figura 9.3.5, caso a. La representación por
fuentes controladas se muestra en la figura 9.3.6.
Figura 9.3.5. Amplificadores de voltaje y de corriente.
346
Figura 9.3.6. Amplificadores.
Observamos que llevamos la idealización al extremo.
Ahora, como asumiremos una fuente de corriente cero en la
entrada, el amplificador no tomará corriente de la señal de
entrada, de modo que la potencia de entrada en cero. Esto
permite, idealmente, sensar señales muy débiles en la
naturaleza. Ahora, como i2 no tiene relación con i1 , su valor
solo dependerá de los dispositivos que se conectan en los
terminales de salida.
Esto equivale a que el amplificador ideal puede suministrar,
teóricamente un potencia infinita. (Figura 9.3.7)
Figura 9.3.7. Amplificador ideal.
psalida = A v1 i2
psalida = A v1
Av1
R salida
A2v12
R salida
Sí R salida → 0 , P salida → ∞
psalida =
Evidentemente esto solo se cumple idealmente. En los
amplificadores reales la situación es distinta. La potencia de
salida de un amplificador proviene de la potencia extra que
347
entra. Llamaremos esa potencia “potencia de polarización”.
Este término proviene del hecho que los dispositivos
electrónicos generalmente deben tener unos voltajes dados,
con una polaridad determinada, para que funcionen
correctamente.
9.4 AMPLIFICADORES DE GANANCIA INFINITA.
Con el modelo visto se podría trabajar normalmente con
cualquier amplificador físico y resolver los circuitos que
contienen esos amplificadores pero, desgraciadamente, el
rápido desarrollo de la técnica ha impedido que la teoría se
ponga al día, de modo que se ha introducido en el análisis de
circuitos métodos no muy ortodoxos, plagados de errores
conceptuales. Uno de estos métodos es el de considerar
amplificadores de “ganancia infinita”, dispositivos absurdos
de por si, inexistentes aún como idealizaciones pero que
“funcionan” simplemente como aproximaciones válidas. Su
uso está tan extendido, sin embargo, que no tenemos más
remedio que aceptarlo. Pero tratamos de paliar su problema
conceptual no diciendo “amplificador de ganancia infinita”
sino la expresión equivalente, pero no conceptualmente
errónea, “amplificador de ganancia que tiende a infinito”. Y
por “tendencia a infinito” simplemente se entiende un valor
mayor que cualquier otro valor concebible.
Cuando se asume una amplificación infinita, A → ∞ , en el
amplificador ideal que acabamos de estudiar (Figura 9.4.1),
tendríamos un voltaje de salida infinito ( v2 → ∞ ) para
cualquier valor finito de voltaje de entrada ( v1 ). ¡Como esto es
imposible, la única solución es aceptar un valor de entrada
infinitesimal! es decir:
v1 → 0
A → ∞
v2 = v1 A = Finito
348
Figura 9.4.1. Amplificador de ganancia infinita.
Debemos aclarar que no podemos decir que v1 sea cero
estrictamente, pues el producto de un cero por cualquier
número, aún “infinito”, es cero. Cuando se dice que cero*
infinito es indeterminado siempre se refiere a una cantidad
que tiende a cero por alguna razón (un límite) multiplicado
por una cantidad que tiende a infinito (un límite) y la
tendencia de una de las cantidades anula la tendencia de la
otra.
El amplificador de ganancia infinita queda como se muestra
en la figura 9.4.2. El extraño elemento de entrada que se
representa por una fuente mixta de corriente cero y de voltaje
tendiente a cero, se conoce con el nombre no menos extraño
de “tierra virtual”. Este amplificador no tiene explicación
física, repetimos, y solo representa dispositivos idealizados;
sin embargo, los amplificadores reales que se encuentran en
el mercado quedan excelentemente representados por él, y de
ahí
su
importancia
y
necesidad
de
estudiarlo
cuidadosamente. En último término actúa como dos fuentes
separadas que solo funcionan cuando la entrada y la salida se
interconectan mediante algunos elementos. En particular no
se puede conectar directamente a una fuente de voltaje pues
la condición de que v1 cero lo hace comportar como un corto;
pero de otro lado esa es una condición común a todas las
fuentes de voltaje: nunca se pueden conectar directamente en
paralelo a otras fuentes de voltaje.
349
Figura 9.4.2. Amplificadores de ganancia infinita.
Veamos un ejemplo. (Figura 9.4.3)
Figura 9.4.3. Amplificadores de ganancia infinita.
La suma de corrientes en el nodo A nos da la relación:
( A)
ie + i2 = i1 = 0
En la malla (B) tendremos:
( B)
ve = v1 + R1 ie
Ahora consideremos a v1 menor que cualquier valor dado por
pequeño que sea de modo que lo podemos tomar cero sin
introducir errores apreciables:
∴ ( B)
ve = R1 ie
Pero en la malla (C):
(C )
De (A)
v2 = i2 R2 + v1 = i2 R2
i2 = −ie
∴ (C )
v2 = R2 (−ie )
350
∴ ie =
− v2
R2
Reemplazando en (B):
ve = R1 ie =
Si tomamos:
− R1
v2
R2
R2 = 100000Ω
R1 = 1000Ω
− 100000
v2 =
v1 = −100 v1
1000
Tendremos, entonces, un voltaje v2 igual a cien veces el
voltaje v1 negativo, es decir mayor en magnitud (amplificado)
pero de polaridad inversa. Se consigue un amplificador
inversor, con esta combinación de resistencias y de un
amplificador de ganancia infinita.
9.5 AMPLIFICADOR INVERSOR Y AMPLIFICADOR
NO INVERSOR.
En el modelo anterior hablamos del amplificador de ganancia
infinita. Este amplificador toma un voltaje infinitesimal (más
pequeño que cualquier cantidad concebible) y lo amplifica
hasta convertirlo en un voltaje finito (Figura 9.5.1).
Figura 9.5.1. Amplificador inversor y amplificador no inversor.
Evidentemente se trata de un dispositivo ideal. Pero el
dispositivo tiene el enorme inconveniente, aún como
dispositivo ideal, de no permitir ningún voltaje finito de
351
entrada pues equivaldría a un voltaje infinito de salida. Así
mismo, no puede conectarse en serie con ninguna fuente de
corriente finita, pues sería una contradicción, ya que la
fuente de entrada es de corriente nula.. Para trabajar con
este amplificador se hace lo siguiente:
a) Se aproxima el voltaje de entrada a cero, es decir, ya
no se considera que tiende a cero sino que se toma
como cero.
b) El voltaje de salida y la corriente de entrada quedan
así
completamente
indefinidos,
completamente
independientes del voltaje y la corriente de entrada
que siempre son nulos (Figura 9.5.2, caso a).
c) Como en forma independiente este dispositivo no
funciona, siempre se le incorpora una red externa de
impedancias y un terminal común de “tierra” ó de
referencia. (Figura 9.5.2, caso b)
En la figura 9.5.2, caso c) mostramos el símbolo usado para
representar este amplificador. Debido a la poca
sistematización del estudio de estos dispositivos, en el
símbolo se “pierde” uno de los terminales de salida y se
invierten los terminales de la fuente de entrada. Pero se
agregan los terminales de polarización, por los cuales el
amplificador recibe la potencia que se le añade a la señal de
salida.
El valor de las seis impedancias de la red determina la
función del dispositivo. Veamos algunos casos.
352
Figura 9.5.2. Amplificador inversor y amplificador no inversor.
Amplificador inversor (Figura 9.5.3)
353
Figura 9.5.3. Amplificador inversor.
ve1 = ie Rc − v1 = ie Rc
v2 = i2 Rd − v1 = i2 Rd
i2 + ie + i1 = 0
∴ v2 = ve1
Rd i2
R
= − d ve1
Rc ie
Rc
Amplificador no inversor (Figura 9.5.4)
Figura 9.5.4. Amplificador no inversor.
354
(1)
ve2. = ie Re + v1 + i2 Re
( 2)
i2 = i1 = 0
v2 = i2 ( R b + Re )
De (1) y (2) ve2 = −i2 Re
∴ v2 = −
(Rb + Re ) ve
2
Re
= 1+
Rb
ve2
Re
Amplificador restador (Figura 9.5.5)
Figura 9.5.1. Amplificador restador.
Haciendo suma de corrientes en los nodos:
ie2 = 0
ie1 + i1 + i2 = 0
∴ ie1 = −i2
Suma de voltajes en las dos mallas.
355
ve1 = ie1 Rc − v1 − ie2 Ra + ve2
v 2 = i 2 Rd − v1 − ie2 Ra + ve2
∴ v 2 = (−ie1 ) Rd + ve2
∴ ve1 = ie1 Rc + ve2
∴ ie1 =
ve1 − ve2
Rc
∴ v 2 = ve2 − Rd
∴ v2 =
v2 =
ve1 − ve2
Rc
1
(Rc ve2 − Rd ve1 + ve 2 Rd )
Rc
1
( ve2 [Rc + Rd ] − Rd ve1 )
Rc
Haciendo Rc = α Rd
Rd
( ve2 [α + 1] − ve1 )
v2 =
Rc
Veamos otra configuración (Figura 9.5.6).
Figura 9.5.6. Amplificador inversor y amplificador no inversor.
356
ve2 = ie2 ( Ra + Rf )
→ ie2 =
ve2
( Ra + Rf )
ve1 = ie1 Re+ ie2 Rf − v1
v2 = i2 Rd + ie2 Rf − v1
i2 + ie1 + i1 = 0
→ ie1 = −i2
Rf ve2
( Ra + Rf )
Rf ve2
∴ v2 = i2 Rd +
( Ra + Rf )
Rf ve2
ve
∴ i2 =
− 1
Re ( Ra + Rf ) Re
∴ ve1 = (−i2 ) Re+
∴v2 =
Rf Rd ve2
ve Rd
ve2 Rf
− 1
+
Re( Ra + Rf )
Re
( Ra + Rf )
∴v2 = ve2
Rf [Rd + Re]
ve Rd
− 1
Re( Ra + Rf )
Re
9.6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL.
Hasta ahora hemos trabajado un modelo ideal de
amplificador ideal. Las características “ideales” de este
amplificador son la ausencia de pérdidas (que se traduce
en ausencia de resistencias, pues las resistencias representan
esas pérdidas) y la amplificación infinita. Estas
características se traducían en un circuito equivalente como
el mostrado en la figura 9. 6.1. Otra característica ideal, que
no habíamos mencionado, era la capacidad de amplificar
igual las señales de los terminales inversor (-), y no inversor
(+), de entrada. Es decir, el amplificador funcionaba
exactamente igual para la señal ve2 y para la señal ve1 .
357
Figura 9.6.1. El amplificador operacional real.
Ahora introduciremos un modelo más real de amplificador
que incluya las pérdidas, una amplificación finita y un
manejo no parejo a las señales de entrada. Este modelo se
representa en la figura 9.6.2. Los nuevos elementos
introducidos son:
1) Re, la resistencia de entrada. Esta resistencia
reemplaza ahora la fuente ideal de voltaje cero y
corriente cero. Para un amplificador comercial típico
Re es de un valor alrededor de 2 × 106 Ω. .
2) Rs, la resistencia de salida. Es una resistencia baja de
alrededor de 100 Ω en los amplificadores comerciales.
3) A1, A2 , son las amplificaciones de las dos señales. Su
valor puede estar alrededor de 105 para los
amplificadores más comunes.
4) La razón de rechazo en modo común. Debido al uso tan
frecuente
del
amplificador
operacional
como
comparador de señales, la diferencia en amplificación
de las dos señales de entrada, ve1 y ve 2 , es un problema
de primer orden en el diseño. Lo ideal es que esa
amplificación fuera idéntica, ó, ya que eso es imposible,
al menos que fuera tan igual como lo permita la
tecnología. Para medir esta diferencia, no en forma
absoluta sino relativa a la amplificación total, se ideó
“la razón de rechazo en modo común”. Esta frase tan
extraña se puede leer como que el amplificador
rechazará, no amplificará dos señales iguales, ó sea
358
comunes a las dos entradas. En la figura 9.6.3
tratamos de hacer claridad al término común referido
a las dos señales de entrada.
Figura 9.6.2. El amplificador operacional real.
En la figura 9.6.3 observamos como los voltajes de entrada
tienen un voltaje común, vc , y un voltaje diferente, vd 2 y vd 1 .
El voltaje de salida, supuesto que no existe carga, es decir
nada conectado al terminal de salida, es:
vs = A2 ve 2 − A1 ve1 = A2 (vc + vd 2 ) − A1 (vc + Vd 1 )
∴ v s = v c ( A2 − A1
)
+ A2 v d 2 − A1 Vd 1
Figura 9.6.3. El amplificador operacional real para medir rechazo de modo común.
Para medir la razón de rechazo en modo común hacemos:
v
− v d 1 = +v d 2 = d
2
359
Obtenemos para el voltaje de salida:
∴ v s = vc ( A2 − A1
)
+ A2 v d 2 − A1v d 2 = vc ( A2 − A1 ) + A2
vd
v
+ A1 d
2
2
En el caso ideal las amplificaciones son iguales para ambas
entradas, A2 = A1 = A, y la salida queda:
v
v s = vc ( A − A) + d ( A + A) = v d A
2
Pero este sería el caso ideal. El caso real presupone una
diferencia, Ac, entre ambas amplificaciones:
A1 = A
,
A2 = A + Ac
∴ vs = vc ( A + Ac − A) +
∴ vs = vc Ac +
Al valor
(2 A + Ac )
diferencial:
2
vd
( A + Ac + A)
2
vd
(2 A + Ac )
2
se le llama amplificación en modo
Ad =
1
(2 A + Ac ) = 1 ( A2 + A1 )
2
2
Y al valor Ac se le denomina amplificación en modo
común:
Ac = A2 + A1
El voltaje de salida quedará:
vs =v c Ac + vd Ad ,
A
la razón d se denomina razón de rechazo de modo común:
Ac
Razón de rechazo de modo común =
Ad
.
Ac
Pero se suele expresar en “decibeles”:
360
Razón de rechazo de modo común = 20 Log10
típicos oscilan entre 60 y 120 decibeles.
361
Ad
Ac
y los valores