CONDUCCIÓN. FUNDAMENTOS

Tema 2: Conducción. Fundamentos. Rafael Royo, José Miguel Corberán. Curso 2000-2001
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Tema2:Conducción.Fundamentos
CONDUCCIÓN.
FUNDAMENTOS
JM Corberán, R Royo (UPV)
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ÍNDICE
1. CONDUCCIÓN. LEY DE FOURIER
2. ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN DEL CALOR
3. PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA
3.1. CONDUCTIVIDAD DE DISTINTAS SUSTANCIAS.
VALORES CARACTERÍSTICOS DIFERENTES
MATERIALES
3.2. CALOR ESPECÍFICO. VALORES CARACTERÍSTICOS
DIFERENTES MATERIALES
3.3. DIFUSIVIDAD TÉRMICA. EFECTO SOBRE LA
EVOLUCIÓN DELA TEMPERATURA EN PROCESOS
TRANSITORIOS.
4. SIMPLIFICACIONES DE LA ECUACIÓN GENERAL
5. ECUACIÓN GENERAL EN DIFERENTES SISTEMAS DE
COORDENADAS.
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1.CONDUCCIÓN. LEY DE FOURIER
•Fenomenológica. Basada en la observación empírica.
•Flujo de calor q proporcional al gradiente de temperaturas a través de la
conductividad térmica (k)
•El signo negativo indica que el calor se transmite en sentido contrario al
gradiente de temperaturas.
A
qρ = −k ⋅ ∇T
q = −k ⋅
∂T
∂n
Q = ∫ q ⋅ dA = − ∫ k ⋅
• El calor que atraviesa la superficie A:
A
•El valor medio del flujo de calor qm:
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Q
q =
∫ dA
A
∂T
⋅ dA
∂n
m
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2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR
• Primer Principio de la Termodinámica: Conservación de la Energía
W
Q=-Qtermodinámico
Q
dU
= −Q − W + G
dt
G
V
Sólidos o fluidos en reposo, W=0
dU d (m ⋅u )
du
dT
=
= m = m ⋅C ⋅
dt
dt
dt
dt
m ⋅C ⋅
siendo C el calor específico
[
∂T
G
= G − Q ⇒ definimos g =
W / m3
∂t
V
Q = −∫q ⋅ d A
]
sc
∂T
∫VC ñC ⋅ ∂ t ⋅ dV =VC∫ gdV −SC∫ (− k∇T )dA
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∫ ñ C ⋅ dt ⋅ dV = ∫ g⋅ dV − ∫ (− k∇T )dA
dT
VC
VC
SC
Según el teorema de la divergencia de Gauss:
∫ (k ∇T )⋅ dA = ∫ ∇(k ∇T ) dV
SC
VC
•Ecuación general de la conducción del calor:
∂T
ρ ⋅ C⋅ = g + ∇(k ∇T )
∂t
En régimen unidimensional
∂T
∂
∂T
ρ ⋅C⋅
=g+
(k ⋅ )
∂t
∂x
∂x
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3. PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA
3.1. CONDUCTIVIDAD TÉRMICA “k”.
qρ = − k ⋅ ∇T
k: W/ m K
Es un tensor simétrico: puede tener valores diferentes en función de
la dirección espacial, pero el mismo en ambos sentidos (simétrico)
 k11
k
 12
 k13
k12
k 22
 k x′′

0
0

0
k 23
k y′′
0
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k13 
k 23 

k 33 
0

0
k z ′′ 
q x = − k11
∂T
∂T
∂T
− k12
− k13
∂x
∂y
∂z

∂T
 q x′′ = −k x ′′ ∂ x′′

∂T

 q y ′′ = −k y ′′
∂ y′′

∂T

q
=
−
k
z ′′
 z ′′
∂ z ′′

6
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• Normalmente para materiales homogéneos
k isótropa
la
conductividad será la misma independientemente de la dirección
espacial: k=k(T)
∂T
dk ∂ T
∂ 2T
ρ ⋅C ⋅
∂t
=g+
dT
⋅(
∂x
)2 + k ⋅
∂ x2
•Normalmente supondremos que k es independiente de T y
tomaremos k (T promedio del problema):

∂T

∂T
∂ 2T


ρ
⋅
C
⋅
=
g
+
k
⋅
∆
T
ρ ⋅C ⋅
=g+k⋅ 2

∂
t


∂t
∂x
• Si la conductividad presenta una acusada variación con Tª, se
aplican leyes lineales: k=k0 (1+bT(ºC)) (k0 conductividad a 0ºC)
k
ko
bk o
0 ºC
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T(ºC)
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CONDUCTIVIDAD TÉRMICA (k) DE DIFERENTES SUSTANCIAS:
SUSTANCIAS
CONDUCTIVIDAD
TÉRMICA (W/m K)
Gases:
Amoniaco ( 0ºC, 1 atm)
0.022
Aire ( 0ºC, 1atm)
0.024
Líquidos:
Aceite de motor (0ºC)
0.147
Etilen Glicol (0ºC)
0.242
Agua (líq. sat., 0ºC)
0.55
Sólidos:
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Vidrio (20ºC)
0.75
Hielo (0ºC)
2.25
Ladrillo (200ºC)
4.0
Cuarzo (20ºC)
7.5
Acero inoxidable (18% Cr, 8%Ni)
16
Hierro puro (0ºC)
75
Zinc puro (0ºC)
110
Aluminio puro (0ºC)
200
Cobre puro (0ºC)
390
Plata pura (0ºC)
420
8
d
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d
a
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i
SÓLIDOS HOMOGÉNEOS k=k (T)
Comportamiento:
t
70
c
60
u
50
d
i
v
•Metales purosÞ
ÞT-Þ
-Þk¯
¯
•Aleaciones Þefecto pronunciado de las impurezas
40
Hierro puro
1% Cr
5% Cr
n
10% Cr
C
o
30
20% Cr
20
18% Cr-8% Ni
10
0
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100
200
300
Temperatura ºC
400
500
9
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LÍQUIDOS k=k(T) T-Þ
-Þk¯
¯
Agua comportamiento atípico:
•T-Þ
-Þk•k más alta de los líquidos no metálicos
Líquidos cerca punto crítico Þk=k(p,T)
0.8
Agua
0.6
0.4
Amoniaco
Dióxido de azufre
0.2
d a d i v i t c u d n oC
Aceite lubricante
Freón-12
0
-50
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0
50
100
150
200
250
Temperatura ºC
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GASES k=k(T)
Comportamiento:
d
•Peso molecular-Þk ¯
a
•T -Þk-Þ -
0.4
0.3
H2
c
t
i
v
i
d
Cerca de línea de saturación Þk=k(p,T)
u
He
0.1
CH4
Aire
C
o
n
d
0.2
Freón-12
0 -50
0
50
100
150
200
250
300
Temperatura ºC
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3.2. CALOR ESPECÍFICO
•Aplicando la ecuación de conservación de la energía para
sistemas rígidos, sin generación de calor:
C=
1 dU
⋅
m dT
 J 
 kg ⋅ K 


Calor específico: aumento de la energía interna por unidad de
masa, que se produce en un sistema al aumentar su temperatura
Calor absorbido
Variación de T ª
Caloría: energía necesaria para elevar un grado centígrado la
temperatura de un gramo de agua: 1 caloría = 4.18 J
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COMPORTAMIENTO DEL CALOR ESPECÍFICO
•Sólidos y líquidos: C=C(T)@@cteÞ
Þpequeña variación con T.
•Gases: C=C(T) a presión atmosférica
C=C(p,T) a presiones cercanas a saturación.
dU = V ⋅ ρ ⋅ C ⋅ dT
•El producto r·C caracteriza la inercia térmica Þ capacidad de
almacenamiento de energía.
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CALORES ESPECÍFICOS DE DIVERSAS SUSTANCIAS:
SUSTANCIA
CALOR ESPECÍFICO
INERCIA
C (J/kg K)
TÉRMICA
Gases:
Hidrógeno
Dióxido de carbono
Aire
14000
850
1000
Líquidos:
Aceite
1800
Etilen Glicol
2300
Freón (R-12)
900
Sólidos:
Cuarzo
780
1100
Hielo
Lana de vidrio
Madera seca (pino)
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2000
770
2740
Mármol
900
Vidrio
950
Yeso
820
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3.3. DIFUSIVIDAD “ a”. EFECTO SOBRE LA EVOLUCIÓN DE
TEMPERATURAS EN PROCESOS TRANSITORIOS
α=
k
ρ ⋅C
Caracteriza la rapidez con la que varía la temperatura ante una
solicitación térmica:
∂T
∂ 2T
ρ⋅ C ⋅
=g+k⋅ 2
∂t
∂x
si g=0
∂T
k ∂ 2T
=
⋅
∂ t ρ ⋅ C ∂ x2
a-:
a- conduce muy rápido
a¯:
a¯ conducción lenta
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EFECTO DE LA DIFUSIVIDAD TÉRMICA SOBRE LA VARIACIÓN DE LA
TEMPERATURA DE UN CUERPO:
En una placa semiinfinita inicialmente a Ti ºC, la temperatura de
la superficie exterior se modifica de forma instantánea a 0 ºC:
Ti
0º T(t)
Material
Plata
Cobre
α (10 6 ∗ m 2/s)
170
100
Tiempo
9.5 min 16.5 min
Acero Vidrio
Corcho
13
0.6
0.1
2.2 h
2 días
77días
(En esta tabla se ha calculado el tiempo que se tarda en alcanzar una temperatura de T i /2 a
partir de una temperatura T i , a 30 cm. de la superficie exterior que se somete a T=0ºC).
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DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES BÁSICOS (METALES):
MATERIALES
-6
2
α ⋅10 (m /s)
Aluminio
85.9
Cobre
114.1
Oro
120.8
Hierro, puro
1801
Plomo
25.5
Mercurio
4.44
Níquel
15.5
Plata
170.4
Acero, dulce
12.4
Tungsteno
61.7
Zinc
41.3
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DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE MATERIALES BÁSICOS NO METALES:
MATERIALES
Corcho
Ladrillo, refractario
Vidrio, pirex
Granito
α⋅10-6 (m2/s)
0.155
0.516
0.594
1.291
DIFUSIVIDAD TÉRMICA DE OTROS NO METALES:
MATERIALES
Hielo
Madera
Arena
Piedra
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α⋅10-6 (m2/s)
1.002
0.131
0.222
1.369
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4. SIMPLIFICACIONES DE LA ECUACIÓN GENERAL.
ρ ⋅C ⋅
∂T
= g + ∇(k ⋅ ∇T )
∂t
•Caso habitual: k=cte
ρ ⋅C ⋅
∂T
= g + k ⋅ ∆T
∂t
•Régimen permanente:
 ∂T

= 0

 ∂t

k ⋅ ∆T + g = 0
(Ecuación de Poisson)
•Si no hay generación de calor (g=0):
∆T = 0
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(Ecuación de Laplace)
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5. ECUACIÓN GENERAL EN DIFERENTES SISTEMAS DE
COORDENADAS
ρ⋅C ⋅
∂T
= k ⋅ ∆T + g
∂t
Expresión desarrollada en diferentes sistemas de cooordenadas
•Cartesianas:
ρ ⋅C ⋅
 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 
∂T
= k ⋅  2 + 2 + 2  + g
∂t
∂ x ∂ y ∂ z
•Cilíndricas:
∂T
∂ 2T 1 ∂ T 1 ∂ 2T ∂ 2 T
ρ ⋅C ⋅
= k ⋅( 2 + ⋅
+ ⋅
+
)+g
∂t
∂r
r ∂ r r 2 ∂θ 2 ∂ z2
• Esféricas:
ρ⋅C⋅
 1 ∂  2 ∂T 
∂T
1
∂ 
∂T 
1
∂ 2T 
=k⋅ 2
 r
 + 2
 sen θ
 + 2
+g
2
2
∂t
r
∂
r
∂
r
r
sen
θ
∂θ
∂
θ
r
sen
θ
∂
φ






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