Algebra Lineal VII: Independencia Lineal.

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1.
Independencia Lineal.
Definición de independencia lineal. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. El conjunto S se dice que es
linealmente dependiente sobre el campo K si existen escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K no todos iguales a 0
tal que
c1~v1 + c2~v2 + · · · + cn~vn = ~0.
(1)
En caso contrario; es decir, si los únicos escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K que satisfacen la ecuación (1) son
c1 = c2 = · · · = cn = 0,
entonces el conjunto S se dice que es linealmente independiente sobre el campo K. En otras palabras,
el conjunto S es linealmente independiente si la única combinación lineal de los vectores de S que es igual
al vector ~0 es aquella para la cual todos los escalares son cero.
Definición Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } un conjunto finito de vectores del espacio vectorial. Un vector ~v ∈ V se dice que es linealmente dependiente
sobre S si ~v es una combinación lineal de los vectores de S. En caso contrario, se dice que ~v es linealmente
independiente sobre S.
Teorema. Las siguientes afirmaciones son correctas
1.
Cualquier conjunto que contenga al vector ~0 es linealmente dependiente.
2.
Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, ~v 6= ~0, es linealmente independiente.
3.
Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {~v1 , ~v2 }, donde ~v1 6= ~0, ~v2 6= ~0,
es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
4.
Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
5.
Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
Prueba: Las pruebas de estos resultados son bastante sencillas.
1
1.
Cualquier conjunto que contenga al vector ~0 es linealmente dependiente. Sea S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , ~0}
y considere la combinación lineal, con λ 6= 0
0 ~v1 + 0 ~v2 + · · · + 0 ~vn + λ ~0 = ~0
Este es una combinación lineal donde no todos los escalares son iguales a 0 –λ ya se indicó que no
es igual a 0 y por lo tanto el conjunto es linealmente dependiente.
2.
Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, ~v 6= ~0, es linealmente independiente. Considere la combinación lineal
λ ~v = ~0.
Por las propiedades iniciales de los espacios vectoriales, se probó que si en la ecuación anterior
~v 6= 0, entonces λ = 0, por lo tanto el único escalar que hace que esta ecuación sea cierta es λ = 0;
por lo tanto, el sistema es linealmente independiente.
3.
Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {~v1 , ~v2 }, donde ~v1 6= ~0, ~v2 6= ~0,
es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. Suponga
que ~v2 = λ ~v1 , entonces
~v2 = λ ~v1
o
λ ~v1 − 1 ~v2 = ~0.
y la ecuación generada a partir de una combinación lineal de los vectores de S tiene una solución
distinta de la trivial y S es linealmente dependiente.
En la dirección contraria, suponga que S = {~v1 , ~v2 } es linealmente dependiente, entonces existe una
solución distinta de la trivial de la ecuación
λ1 ~v1 + λ2 ~v2 = ~0.
sin pérdida de generalidad, suponga que λ1 6= 0, entonces existe λ−1
1 =
1
λ1 ,
tal que
1 ~ ~
1
(λ1 ~v1 + λ2 ~v2 ) =
0=0
λ1
λ1
Por lo tanto
1
1
λ1 ~v1 + λ2 ~v2 = ~0
λ1
λ1
o, finalmente
~v1 = −
λ2
~v2
λ1
y ~v1 es un múltiplo escalar de ~v2 .
4.
Cualquier conjunto que contenga un conjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
Sea S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn } un vector linealmente dependiente y sea S1 = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn , ~vn+1 , ~vn+2 , . . .,
~vn+k } un conjunto tal que S ⊆ S1 . Puesto que S es linealmente dependiente existen excalares
λ1 , i = 1, 2, . . . , n ∈ R tal que
λ1~v1 + λ2~v2 + · · · + λn~vn = ~0.
entonces, la combinación lineal de S1 dada por
λ1 ~v1 + λ2 ~v2 + · · · + λn ~vn + 0 ~vn+1 + 0 ~vn+2 + · · · + 0 ~vn+k = ~0.
es igual a ~0 y no todos los escalares son iguales a 0, por lo tanto S1 es linealmente dependiente.
5.
Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente. La
prueba es por contradicción, suponga S1 es el conjunto inicial y que S ⊆ S1 es un subconjunto linealmente dependiente, entonces por el resultado anterior S es linealmente dependiente, una
contradicción.
2
Teorema. Sea Rn un espacio vectorial real sobre un campo R y sea S = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vr } un conjunto
finito de vectores del espacio vectorial donde
~v1
=
(a11 , a21 , . . . , an1 ),
~v2
..
.
~vr
= (a12 , a22 , . . . , an2 ),
.. ..
. .
= (a1r , a2r , . . . , anr ).
Entonces, el conjunto S es linealmente dependiente sobre R si, y sólo si, el sistema de n ecuaciones
con r incógnitas dado por
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1r xr
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2r xr
..
.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anr xr
= 0
= 0
.. ..
. .
= 0.
tiene una solución, para x1 , x2 , . . . , xr ∈ K, diferente de la trivial, x1 = x2 = . . . = xr = 0.
2.
Ejemplos.
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de determinación de la independencia o dependencia
lineal de un conjunto de vectores de diferentes espacios vectoriales.
Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo
de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
1.
Considere el conjunto S1 = {~v1 , ~v2 , ~v3 } del espacio vectorial R3 , donde
~v1 = (1, −3, 2) ~v2 = (0, −1, 3) ~v3 = (7, 1, −3)
Entonces el conjunto S1 es linealmente independiente.
Prueba: Considere la ecuación dada por
λ1~v1 + λ2~v1 + λ3~v1
λ1 (1, −3, 2) + λ2 (0, −1, 3) + λ3 (7, 1, −3)
= ~0
= (0, 0, 0)
Esta ecuación vectorial conduce al sistema de ecuaciones lineales homogéneas
1λ1 + 0λ2 + 7λ3
= 0.
−3λ1 − 1λ2 + 1λ3
2λ1 + 3λ2 − 3λ3
= 0.
= 0.
Después de la primera etapa de reducción, el sistema se reduce a
1λ1 + 0λ2 + 7λ3
=
0.
−1λ2 + 22λ3
3λ2 − 17λ3
=
=
0.
0.
3
(2)
Figura 1: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 2.
Figura 2: Dos vistas de los vectores cuya independencia lineal se desea probar.
Al finalizar, del proceso de reducción, el sistema se reduce a
1λ1 + 0λ2 + 7λ3
−1λ2 + 22λ3
=
=
0.
0.
49λ3
=
0.
Es pues evidente que la única solución del sistema de ecuaciones es la trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0 y el
conjunto S1 es linealmente independiente.
La figura 1 muestra los tres planos asociados a las tres ecuaciones lineales y la única solución, la
trivial, del sistema de ecuaciones dado por la ecuación (2).
La figura 2 muestra dos vistas de los tres vectores cuya independencia lineal se desea probar. Las
dos vistas verifican que los vectores no son coplanares.
4
2.
Considere el conjunto S2 = {~v1 , ~v2 , ~v3 } del espacio vectorial R3 , donde
~v1 = (−2, 3, 1) ~v2 = (5, −1, 2) ~v3 = (−1, 8, 5)
Entonces el conjunto S2 es linealmente dependiente.
Prueba: Considere la ecuación dada por
λ1~v1 + λ2~v1 + λ3~v1
λ1 (−2, 3, 1) + λ2 (5, −1, 2) + λ3 (−1, 8, 5)
= ~0
=
(0, 0, 0)
Esta ecuación vectorial conduce al sistema de ecuaciones lineales homogéneas
−2λ1 + 5λ2 − 1λ3
= 0.
3λ1 − 1λ2 + 8λ3
1λ1 + 2λ2 + 5λ3
= 0.
= 0.
(3)
Después de la primera etapa de reducción, el sistema se reduce a
1λ1 + 2λ2 + 5λ3
=
0.
λ2 + λ3
λ2 + λ3
=
=
0.
0.
Al finalizar, del proceso de reducción, el sistema se reduce a
1λ1 + 2λ2 + 5λ3
=
0.
λ2 + λ3
=
0.
Es pues evidente que el sistema de ecuaciones dado por la ecuación (3) tiene soluciones distintas de
la trivial. De manera mas especı́fica, el conjunto solución del sistema de ecuaciones, tiene múltiples
soluciones, y está dada por
CS = {(−3λ3 , −λ3 , λ3 |λ3 ∈ R3 }
Si λ3 = 1, entonces una posible solución es (−3, −1, 1). Por lo tanto, el conjunto S2 es linealmente
dependiente. La figura 3 muestra dos vistas de los tres planos asociados a las tres ecuaciones lineales
y la solución, no trivial, del sistema de ecuaciones.
La figura 4 muestra otra interpretación de la dependencia lineal de los tres vectores. Es evidente
que los tres vectores son coplanares.
Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial P2 (x) de polinomios de coeficientes reales, sobre el campo
de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
Considere el conjunto
CS = {p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = (1 − x)2 }
Determine si el conjunto es o no linealmente independiente.
5
Figura 3: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 3.
Figura 4: Dos vistas del plano definido por tres vectores cuya dependencia lineal se verifica.
6
Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial P2 (x) de polinomios de coeficientes reales, sobre el campo
de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real.
Considere el conjunto
CS = {p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 − x, p3 (x) = (1 − x)2 , p4 (x) = x2 }
Determine si el conjunto es o no linealmente independiente.
Ejemplo 4. Considere el espacio vectorial M2×2 de matrices 2 × 2 de coeficientes reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere el conjunto
¸¾
¸
·
¸
·
¸
·
½
·
0 −1
0 1
1 0
1 0
, M4 =
, M3 =
, M2 =
CS = M1 =
1 0
1 0
0 −1
0 1
Determine si el conjunto es o no linealmente independiente.
Ejemplo 5. Considere el espacio vectorial M2×2 de matrices 2 × 2 de coeficientes reales, sobre el
campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar
real. Considere el conjunto
½
·
¸
·
¸
·
¸¾
1 0
1 0
3 0
CS = M1 =
, M2 =
, M3 =
0 1
0 −1
0 2
Determine si el conjunto es o no linealmente independiente.
Ejemplo 6. Considere el espacio vectorial C(−∞, +∞) de funciones reales continuas de variable real,
en el intervalo (−∞, +∞), definidos sobre el campo de los números reales, R. Determine si los siguientes
conjuntos son linealmente independientes o no.
1.
El conjunto C = {f1 (x), f2 (x)}, donde las funciones están dadas por
f1 (x) = cos x, ∀ x ∈ (−∞, +∞)
f2 (x) = sin x, ∀ x ∈ (−∞, +∞)
Prueba: Es importante señalar que a diferencia de los anteriores ejemplos, en los que la igualdad
de dos vectores conduce a un sistema finito de ecuaciones lineales homogeneas, en el caso de los
espacios vectoriales de funciones, la igualdad 1
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) = z(x)
(4)
conduce a
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) = 0
∀x ∈ (−∞, +∞)
(5)
Es decir, a un número infinito de ecuaciones, una ecuación para cada valor de x comprendido en
el intervalo de definición de la función. Sin embargo, si la ecuación (2) es cierta, también debe ser
cierta cualquier operación que se realize en ambos lados de la ecuación. En particular, si se derivan
ambos lados de la ecuación (2), se tiene que
1 La
función z(x) se define de la siguiente forma
z(x) = 0∀ x ∈ (−∞, +∞)
7
df1 (x)
df2 (x)
dz(x)
+ λ2
=
= z(x)
dx
dx
dx
Nuevamente, esta ecuación puede escribirse como
λ1
λ1
(6)
df1 (x)
df2 (x)
+ λ2
= 0 ∀x ∈ (−∞, +∞)
dx
dx
(7)
Las ecuaciones (3) y (5) conducen a un sistema de ecuaciones que, en forma matricial, está dado
por
¸
¸·
¸ ·
·
λ1
0
f1 (x) f2 (x)
∀x ∈ (−∞, +∞)
=
0
λ2
f1′ (x) f2′ (x)
Una condición suficiente2 para que la única solución de este sistema de ecuaciones sea la trivial,
y por lo tanto para que el conjunto C = {f1 (x), f2 (x)} sea linealmente independiente, es que
¯
¯
¯ f1 (x) f2 (x) ¯
¯
¯ ′
¯ f1 (x) f2′ (x) ¯ 6= 0 para algún x ∈ (−∞, +∞)
En particular, para las funciones de este ejemplo
¸
¸ ·
·
cos(x) sin(x)
f1 (x) f2 (x)
= cos2 (x) + sin2 (x) = 1
=
− sin(x) cos(x)
f1′ (x) f2′ (x)
∀x ∈ (−∞, +∞)
Por lo tanto, el conjunto es linealmente independiente, y el determinante, W (x), dado por
¯
¯
¯ f1 (x) f2 (x) ¯
¯
¯
W (x) = ¯ ′
f1 (x) f2′ (x) ¯
se denomina el Wronskiano del conjunto C = {f1 (x), f2 (x)}.
2.
El conjunto C = {f1 (x), f2 (x)}, donde las funciones están dadas por
f1 (x) = x,
∀x ∈ (−∞, +∞)
f2 (x) = |x|,
∀x ∈ (−∞, +∞)
es linealmente independiente. Las gráficas de las funciones están dadas en la figura 5.
Primeramente, es importante explicitar que la función valor absoluto está definida como
½
x ∀x ≥ 0
f2 (x) = |x| =
−x ∀x < 0
Considere, ahora, el Wronskiano del conjunto de funciones, entonces
Para x > 0, se tiene que
¯
¯ f (x)
W (x) = ¯¯ 1′
f1 (x)
Para x < 0, se tiene que
¯
¯ f (x)
W (x) = ¯¯ 1′
f1 (x)
¯ ¯
¯
f2 (x) ¯¯ ¯¯ x x ¯¯
=
=x−x=0
f2′ (x) ¯ ¯ 1 1 ¯
¯
¯ ¯
f2 (x) ¯¯ ¯¯ x −x ¯¯
= −x + x = 0.
=
f2′ (x) ¯ ¯ 1 −1 ¯
2 En este caso, la condición es suficiente para asegurar la independencia lineal del conjunto, sin embargo, como la condición
no es necesaria, existen conjuntos que no satisfacen esta condición y aún ası́ son linealmente independientes.
8
Figura 5: Gráficas de las funciones f (x) = x y g(x) =| x |.
Puesto que el Wronskiano es igual a 0 para todo x 6= 0, el resultado no es concluyente, además
el Wronskiano no está definido para x = 0, pues f2 (x) = |x| no es diferenciable para x = 0.
Sin embargo, de la definición básica de la independencia lineal, el conjunto C = {f1 (x), f2 (x)} es
linealmente independiente si y solo si, la única solución del sistema de ecuaciones
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) = 0
∀x ∈ (−∞, +∞)
(8)
es la trivial; es decir, λ1 = λ2 = 0.
En particular, si se seleccionan x1 = 1 y x2 = −1, se tiene que
λ1 f1 (1) + λ2 f2 (1)
=
0.
λ1 1 + λ2 1 = 0.
λ1 f1 (−1) + λ2 f2 (−1)
=
0.
λ1 (−1) + λ2 1 = 0.
(9)
(10)
Evidentemente, la única solución es λ1 = λ2 = 0 y el conjunto C = {f1 (x), f2 (x)} es linealmente
independiente.
9