5.5. Unicidad y completaciones

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5.5. UNICIDAD Y COMPLETACIONES
5.5.
Unicidad y completaciones
En esta sección estableceremos dos resultados de unicidad para medidas positivas. Nuestro
primer obejtivo es probar que dos medidas positivas que coinciden en un álgebra de conjuntos,
necesariamente coinciden en la σ-álgebra más pequeña que contiene al álgebra.
Definición 5.45. Sea X un conjunto. Decimos que una colección A de subconjuntos de X es
un álgebra si la siguientes condiciones se satisfacen.
(i) A ∈ A entonces Ac ∈ A,
(ii) A ∩ B ∈ A si A, B ∈ A.
Definición 5.46. Sea X un conjunto. Decimos que una coleción de subconjuntos M de X es
una clase monótona si se satisfacen las siguientes propiedades.
(i) Si An ∈ M y An ⊂ An+1 , para todo natural n, entonces
A=
∞
[
An
n=1
también está en M.
(ii) Si Bn ∈ M y Bn+1 ⊂ Bn , para todo natural n, entonces
B=
∞
\
Bn
n=1
también está en M.
El siguiente resultado es conocido como el Teorema de Clase Monótona, y se deja como
ejercicio al lector, ya que su prueba no requiere más que un poco de astucia, junto con la
definición de clase monótona y álgebra de conjuntos.
Teorema 5.47 (Clase Monótona). Sea A una álgebra de conjuntos que contiene el vacı́o y
M una clase monótona que contiene a A. Luego σ(A) ⊂ M.
Definición 5.48. Decimos que una medida positiva µ definida en un espacio de medida (X, M)
es σ-finita si existe una sucesión {A n } ⊂ M tal que X = ∪∞
n=1 An y µ(An ) < ∞. Si M = σ(A)
para algún álgebra A, decimos que µ es fuertemente σ-finita si existe una sucesión A n en el
álgebra A tal que X = ∪∞
n=1 An y µ(An ) < ∞.
Observación. Toda medida positiva σ-finita es semi-finita. Sin embargo, existen medidas
semi-finitas que no son σ-finitas. Por ejemplo, sea X = R, M la potencia de X y µ se define
como
µ({x}) = 1,
para cada real x,
µ(A) =
X
µ({x}),
x∈A
para A finito o numerable y µ(A) = ∞ para A no numerable. Luego µ es semi-finita, pero no
es σ-finita.
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CAPÍTULO 5. MEDIDA E INTEGRACIÓN
Proposición 5.49. Sea X un conjunto no vacı́o, A un álgebra de conjuntos de X que contiene
al vacı́o y σ(A) la σ-álgebra más pequeña conteniendo A. Sea µ 1 una medida en σ(A) que es
fuértemente σ-finita. Supongamos que existe otra medida positiva µ 2 en σ(A) tal que µ1 (A) =
µ2 (A) si A ∈ A. Luego µ1 = µ2 en σ(A).
Demostración. Supongamos primero que µ1 es finita. Sea
R := {A ∈ σ(A) : µ1 (A) = µ2 (A)}.
Probaremos que R = σ(A). En efecto, notemos que A ⊂ R. Además, si A = ∪ ∞
n=1 An , con
An ∈ R y An ⊂ An+1 tenemos
µ1 (A) = lı́m µ1 (An ) = lı́m µ2 (An ) = µ2 (A).
n→∞
n→∞
Similarmente tenemos igualdad cuando A = ∩ ∞
n=1 An con An+1 ⊂ An . Por lo tanto R es una
clase monótona. Por el teorema de la clase monótona concluı́mos que R = σ(A).
En general, si µ1 es
fuertemente σ-finita sobre σ(A), elegimos A n ∈ A disjuntos con medida
`∞
finita tales que X = n=1 An . Luego para cada B ∈ σ(A) tenemos
µ1 (B) =
∞
X
n=1
µ1 (B ∩ An ) =
∞
X
µ2 (B ∩ An ) = µ2 (B).
n=1
En efecto, para cada n, An ∩ σ(A) = σ(An ∩ A) y por lo tanto aplicando la el resultado para
el caso de medidas finitas concluı́mos que
µ1 (B ∩ An ) = µ2 (B ∩ An ).
Ejercicio. Pruebe la afirmación A ∩ σ(A) = σ(A ∩ A), de la Proposición 5.49. Además
demuestre que se puede elegir una sucesión disjunta A n de elementos del álgebra tal que
X = q∞
n=1 An .
Queremos ahora mostrar como se puede extender una medida positiva definida en una
σ-álgebra a una σ-álgebra completa.
Definición 5.50. Consideremos un espacio de medida (X, M, µ). Llamamos M ∗ a la colección
de todos los subconjuntos E ⊂ X tales que µ(B − A) = 0 para A, B ∈ M tales que A ⊂ E ⊂ B.
A la colección M∗ la llamamos la completación de M respecto a µ.
Teorema 5.51. Consideremos un espacio de medida (X, M, µ). La completación M ∗ de M
respecto a µ es una σálgebra. Además µ tiene una extensión única como medida positiva a la
completación M∗ de M.
Demostración. Dado un conjunto E ∈ M∗ , definimos
µ(E) := µ(A),
donde A, B ∈ M son tales que A ⊂ E ⊂ B y µ(B − A) = 0. Notemos que esta extensión
está bien definida. En efecto, si A1 ⊂ E ⊂ B1 y µ(B1 − A1 ) = 0, entonces
A − A 1 ⊂ E − A 1 ⊂ B1 − A1 ,
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y por lo tanto µ(A − A1 ) = 0. Luego µ(A) = µ(A ∩ A1 ). Por simterı́a µ(A1 ) = µ(A ∩ A1 ). Es
decir µ(A) = µ(A1 ). Por otra parte es obvio que la extensión que hemos definido es única.
Ahora, notemos que X ∈ M∗ . Además, si A ⊂ E ⊂ B, entonces B c ⊂ E c ⊂ Ac y
c
A − B c = B − A. Luego E c ∈ M∗ . Y si Ai ⊂ Ei ⊂ Bi , claramente A ⊂ E ⊂ B, donde
A = ∪Ai , E = ∪Ei y B = ∪Bi , y B − A ⊂ ∪(Bi − Ai ). Esto implica que E ∈ M∗ . Es fácil ver
que la extensión de µ sigue siendo σ-aditiva.