Series de Tiempo Miguel Ángel Chong R. miguel@sigma.iimas.unam.mx 12 de abril del 2012 Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Introducción Una primera defición de serie de tiempo es Un conjunto de observaciones de cierto fenomeno registradas secuencialmente en el tiempo. Estas observaciones serán denotadas por {xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {xti : i ∈ T } = {xti }i∈T donde xti es el valor de la variable x en el instante ti . Y donde T es un conjunto de ı́ndices. Si el cojunto de ı́ndices es numerable, es decir, T = N ó T = Z, diremos que la serie es a tiempo discreto, mientras que si el conjunto de ı́ndices es un conjunto no numerable (T = R), dirémos que la serie de tiempo es continua. Cuando ti+1 − ti = k, para i ∈ {1, . . . , n − 1}, se dice que la serie es equiespaciada. En adelante trabajarémos con el supuesto de que tenemos series de tiempo discreta, equiespaciadas en cuyo caso asumiremos sin perdida de generalidad que: {xt1 , xt2 , . . . , xtn } = {x1 , x2 , . . . , xn } n = {xi }i=1 Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Objetivo Descripción Con la información que nos da una serie de tiempo observada usaremos métodos descriptivos y gráficos para saber como está conformada la serie, si existen datos atı́picos. Explicación En este paso buscaremos un modelo del cual podamos decir que nuestra serie observada es una realización de ese modelo. Predicción Una vez que podamos asumir que nuestra serie observada es una realización de un modelo buscaremos hacer predicción de valores futuros a partir de los datos del presente y el pasado. Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Ejemplos de Series de tiempo Series económicas: Precios de divisas, tasas, ı́ndice de precios Series Fı́sicas: Meteorológica, temperatura, energia solar Series de telecomunicacion: Análisis y procesamiento de señales El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. A continuación graficaremos las siguientes series 1 uspop 2 USAccDeaths 3 sunspot.year 4 JohnsonJohnson 5 AirPassengers Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM USAccDeaths 7000 9000 11000 200 150 100 uspop 50 0 1800 1850 1900 1950 1973 1975 1977 1979 Time 10 0 5 JohnsonJohnson 100 50 0 sunspot.year 150 15 Time 1700 1800 1900 Time 1960 1965 1970 Time Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM 1975 1980 600 500 400 AirPassengers 300 200 100 1950 1952 1954 1956 1958 Time Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM 1960 La inspeción gráfica puede sugerir la posibilidad de representar los datos como una realización de un proceso que puede tener todas o alguna de las siguientes componentes: ( mt + st + Yt Xt = f (mt , st , Yt ) = mt · st · Yt modelo aditivo , modelo multiplicativo donde mt es la componente de tendencia, st es el componente estacional de periodo d, Yt es el componente aleatorio. A continuación vamos a veremos algunos métodos que se han propuesto para identificar y describir la serie. Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Eliminación de la Tendencia en ausencia de la parte estacional Xt = mt + Yt , t ∈ {1, . . . , n} Un ejemplo de este tipo de series es el crecimiento poblacional de los Estados Unidos. Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Método 1 Estimación de mt vı́a mı́nimos cuadrádos Procederemos a estimar la tendencia de entre una familia de funciones mt = a0 + a1 t + a2 t 2 , y escogeremos al a0 , a1 y a2 que minimize Y ası́ obtener P t (Xt − mt )2 . m̂t = â0 + â1 t + â2 t 2 . Y por lo tanto Ŷt = Xt − m̂t , t ∈ {1, . . . , n} Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Método 2 Suavizamineto de la media vı́a un promedios moviles. Sea q un entero no negativo y considederemos el promedio movil de dos lados como m̂t = q X aj Xt+j , para t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} , j=−q donde q X aj = 1. j=−q Un caso particular de este tipo de ajuste de la tendencia es si 1 , es decir suponemos que aj = 2q+1 q 1 X m̂t = Xt+j , t ∈ {q + 1, q + 2, . . . , n − q} . 2q + 1 −q P 1 Notemos que hay 2q + 1 sumandos, por lo tanto, q−q 2q+1 = 1. Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Antes de describir el siguiente método introduzcamos los operadores retraso y diferencia. El operador retraso, denotado por B, actua sobre el tiempo de la siguiente manera BXt = Xt−1 B 2 Xt = B (BXt ) = BXt−1 = Xt−2 .. . B j Xt = Xt−j . Definamos a B 0 Xt = Xt . A partir del operador retraso definimos el operador diferencia como ∇Xt = (1 − B) Xt = Xt − Xt−1 . Entonces el operador diferencia lo podemos manipular como si fuera un polinomio es decir Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM Método 3 Cuando tenemos una tendencia lineal, digamos mt = at + b entonces al aplicar un el operador diferencia ∇ obtenemos ∇mt = a. De la misma forma, si nosotros tenemos una serie de tiempo Xt = mt + Yt donde la tendenca es polinomial de grado k, k X mt = aj t j , entonces al aplicar el operador diferencia a la j=0 tendencia tenemos que ∇k mt = k!ak y por lo tanto tenemos que ∇k Xt = k!ak + ∇k Yt . Miguel Chong CNSF IIMAS-UNAM