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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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En una prueba de natación, el campeón, A, ha cubierto los 50 metros en 18
segundos, mientras que el subcampeón, B, ha necesitado 20 segundos. Sin embargo, mientras B mantuvo siempre el mismo ritmo, para A la carrera tuvo dos fases.
Salió muy mal, a un ritmo de un metro por segundo, y a partir de los 10 metros incrementó el ritmo de forma constante, llegando a alcanzar a B y ganando la carrera.
a) Construye, en los mismos ejes, las gráficas que reflejan la relación entre el tiempo
empleado, t, y la distancia recorrida, d, para ambos nadadores.
b) ¿Cuáles son las expresiones analíticas de estas relaciones? Ten en cuenta que para
A tienes que distinguir entre si t está por encima o por debajo de 10 segundos.
c) ¿A qué distancia de la salida alcanzó A a B? ¿Cuántos segundos de carrera llevaban hasta ese momento?
a)
e (m)
A
50
B
40
30
20
10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t (s)
b) B 8 y = 50 t 8 y = 2,5t
20
°10t
A 8 y=¢
£5t – 40
si 0 ≤ t ≤ 10
si 10 < t ≤ 18
La recta A pasa por (10, 10) y (18, 50). Su pendiente es:
m = 50 – 10 = 40 = 5
18 – 10 8
c) Punto de alcance: 2,5t = 5t – 40 8 t = 16 s
A alcanza a B a los 16 segundos; habrán recorrido 40 m.
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Al nivel del mar, el agua hierve a 100 ºC (punto de ebullición, PE). A medida
que se asciende, el PE disminuye a razón de una décima de grado por cada 100 metros de elevación.
a) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona a (altura, en metros)
con T (temperatura de ebullición). Construye la gráfica.
b) ¿A qué altura hervirá el agua en Ciudad de México (2 000 m de altura)? ¿A qué
altitud estaremos si el agua hierve a 90 ºC?
Unidad 8. Funciones lineales
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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
c) Juan es montañero, y sus padres viven en una ciudad costera. Ha coronado el
Everest (8 850 m) y, en contacto por radio, quiere celebrar la hazaña con ellos,
tomando todos una taza de té.
Se sabe que, a la misma temperatura ambiente (unos 20 ºC), y aplicando el mismo tipo e intensidad de calor, el agua para una taza de té va aumentando su temperatura, hasta llegar al PE, a un ritmo de 16 ºC por minuto.
¿Cuál será el PE del agua para la taza de té de Juan? ¿Cuánto tiempo les llevará
prepararla en cada sitio?
a) T = 100 – 0,1 a 8 T = 100 – 0,001a
100
T (°C)
100
98
96
94
92
90
1
2
3
4
5
ALTURA
(km)
b) Ciudad de México: T = 100 – 0,001 · 2 000 = 98º
Si el agua hierve a 90º, la altura será:
90 = 100 – 0,001 · a 8 a = 10 000 m = 10 km
c) Punto de ebullición en el Everest: T = 100 – 0,001 · 8 850 = 91,15º
Tiempo de preparación en el Everest: (91,15 – 20) : 16 = 4,45 min 8 4' 26''
Tiempo de preparación en la costa: (100 – 20) : 16 = 5 min
■ Reflexiona sobre la teoría
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Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella
y comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante. ¿Cómo se
llama esa constante?
Respuesta abierta.
La constante se llama “constante de proporcionalidad”.
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En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decreciente?
Para que sea decreciente m tiene que ser negativa.
Unidad 8. Funciones lineales
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Representa cada una de estas rectas, e indica en cada caso si la gráfica corresponde a una función o no:
a) y = 5
b) x = –2
c) 3y + 2 = 0
a) Sí, es una función constante.
d) x – 4 = 0
Y
b) x = –2
b) No es una función.
c) Sí, es una función constante.
a) y = 5
d) No es una función.
X
–2
c) y = —
3
d) x = 4
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Escribe la ecuación de una recta paralela al eje vertical y que pase por el punto
(3, 5).
Paralela a x = 0, pasa por el punto (3, 5).
Ecuación de la recta: x = 3.
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Sean las rectas:
a) y = 5x – 1
b) 5x – y + 3 = 0
d) y = 5x – 1
2
c) y = –5x + 1
Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cuáles son paralelas.
Después, represéntalas gráficamente y comprueba tus respuestas.
Son paralelas las rectas a) y b).
Y
a) y = 5x – 1
–1
—
d) y = 5x
2
X
b) y = 5x + 3
c) y = –5x + 1
Unidad 8. Funciones lineales
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Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas:
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a) La recta x = 5 es paralela al eje de abscisas.
b) La recta x – 2 = 0 es paralela al eje de ordenadas.
c) La recta y = – 4 es paralela al eje de abscisas.
d) Las rectas y = 3x – 2 e y = 2x – 3 son paralelas.
a) Falsa. Porque x = 5 es paralela al eje de ordenadas.
b) Verdadera.
c) Verdadera.
d) Falsa. Porque la pendiente de la primera recta es 3 y la pendiente de la segunda recta
es 2.
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Halla, sin representar las rectas, el punto de corte con el eje X y el punto de
corte con el eje Y de cada una de estas rectas:
a) x – y = 4
c) y = x – 2
4
b) 3x – y = 6
a) • x – 0 = 4 8 x = 4
Punto de corte con el eje X: (4, 0)
•0 – y = 4 8 y = – 4
Punto de corte con el eje Y: (0, –4)
b) • 3x – 0 = 6 8 x = 2
Punto de corte con el eje X: (2, 0)
• 3 · 0 – y = 6 8 y = –6
Punto de corte con el eje Y: (0, –6)
c) • 0 = x – 2 8 x = 2
4
Punto de corte con el eje X: (2, 0)
• y = 0 – 2 8 y = –1
4
2
(
Punto de corte con el eje Y: 0, –1
2
)
d) • 0 = –2 x + 1 8 x = 3
3
2
Punto de corte con el eje X:
( 32 , 0)
• y = –2 · 0 + 1 8 y = 1
3
Punto de corte con el eje Y: (0, 1)
Unidad 8. Funciones lineales
d) y = – 2 x + 1
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