Rotación del plano de oscilación de un péndulo por

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Rotación del plano de oscilación de un
péndulo por efecto gravitomagnético
1.13 Rotación del plano de un péndulo
por efecto del gravitomagnetismo
Supongamos un péndulo que oscila en el plano x-z (figura 1.13) a una latitud geográfica. Sea l la longitud del péndulo y 0 su máxima amplitud, supongamos también que en el momento inicial su amplitud tenga ese mismo valor, encontrándose tal
como se representa en el siguiente dibujo.
z
y
t
0s
z
x
90 -
Figura 1.13
Si tratamos con pequeñas amplitudes se cumple la relación
0 cos 0 t
donde es la amplitud en el instante t y 0 es la pulsación del péndulo. Para pequeñas
amplitudes, el desplazamiento x del péndulo es
x l
y el módulo de su velocidad lineal
Wenceslao Segura González: Gravitoelectromagnetismo y principio de Mach, ISBN: 978-84-616-3522-1
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GRAVITOELECTROMAGNETISMO Y PRINCIPIO DE MACH
v l 0 0 sin 0 t
vectorialmente queda
v l 0 0 sin 0 t i
que nos muestra que inicialmente la velocidad se dirige hacia la parte positiva del eje x.
El vector momento angular de la Tierra tiene las componentes
J J cos i J sin k .
El rotacional del potencial gravitomagnético es
G
A 5 2 r 2 J 3r r J
2r c
en el caso considerado en que el vector r rk
GJ
cos i sin k
r 3c 2
donde r es el radio de la Tierra. El correspondiente término de la ecuación de movimiento (12.4) es
A dv
4GJ
4 v A 3 2 sin l 0 0 sin 0t j.
dt
r c
Esta aceleración, que tiene la dirección del eje y, produce el giro del plano de oscilacion
del péndulo. Para calcular la velocidad angular de este giro hay que resolver la ecuación
d 2 y 4GJ
sin l 0 0 sin 0t
dt 2 r 3c 2
al integrar queda
4GJ
sin 0t t ,
sin l 0 3 2
r c
0
que cumple el requirimiento de que inicialmente la velocidad de rotación del plano de
vibración es nulo.
En medio periodo de oscilación del péndulo hay un desplazamiento del plano de
oscilación. El péndulo se traslada a lo largo del eje y la cantidad
y
4 GJ sin l 0
r 3 c 2 0
mientras que la variación de la coordenada del eje x es
y y 0 y 0 x 2l 0 ,
entonces el ángulo descrito es
y 2 GJ sin ,
x
r 3 c 2 0
al dividirlo entre el tiempo transcurrido, que es medio periodo, se encuentra la velocidad angular de rotación del plano de oscilación del péndulo
2 GJ sin r 3 c 2 0
2GJ sin .
0
r 3c 2
(1.13)
Rotación del plano de oscilación de un péndulo por efecto gravitomagnético
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Debemos de notar que el efecto es máximo en los polos y nulo en el ecuador. En el
caso de que el experimento se realizase en el hemisferio norte, la rotación del plano de
oscilación sería del mismo sentido que las agujas del reloj y contrario si el montaje se
encuentra en el hemisferio sur.
Si suponemos una Tierra esférica de radio 6,378 kilómetros y densidad uniforme, se
encuentra aplicando (1.13) que la velocidad con que gira el plano del péndulo en el
polo es
al tener en cuenta los valores reales del radio y del momento angular de la Tierra se
encuentra el valor
Este experimento tiene que ser hecho en los polos, porque allí el efecto es más
acusado como hemos señalado, pero sobre todo para poder anular la rotación de
Foucault que si existiera enmascararía al pequeño efecto gravitomagnético. El polo sur
es preferible por la existencia en la zona de instalaciones científicas donde se podría
hacer el experimento.
2.13 Referencias
1.- PASCUAL-SÁNCHEZ, J. F.: «TELEPENSOUTH project: Measurement of the Earth gravitomagnetic
field in a terrestrial laboratory», Current Trends in relativistic astrophysics, edited by L.
Fernández-Jambrina and L. M. González Romero, Lecture Notes in Physics 617 (2003) 330.
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