Relaciones entre causalidad, exogeneidad y predetermineidad *

r
ESTADISTICA ESPANOLA
Vol. 30, Núm. 1 17, 1988, pggs. 51 a 69
Relaciones entre cau salidad,
exogen eidad y predetermineid a d *
Por
Antonio Aznar
Y
Francisco Javier Trivez
Departamento de Econometria. Facultad de CC. Econdmicas
Universidad de Zaragoza
C/ Doctor Cerrada, 3- 50005-Zaragoza
RESUMEN
En los últimos años ha aparecido una extensa literatura sobre
los conceptos de causalidad, exogeneidad y predetermineidad y
sus interacciones. En este artículo se examinan, en el contexto
de un modelo dinámico lineal bivariante gaussiano, las distintas
definiciones sobre los conceptos citados, así como las relaciones
existentes entre elios. La principal conclusión que se obtiene es
que estas relaciones dependen del particular régimen de identificación econométrica impuesta a la forma estructural del modelo.
Pa/abras clave: Causalidad de G ranger, exogeneidad, predetermineidad, identificación econométrica.
` Este trabajo ha sido realizado dentro del Proyecto CAYCIT PB85-0339. Los autores agradecen los comentarios y sugerencias de dos evaluadores anánimos
^ 5T ^[)I^ i^I( ^1 E-SF'^^ti<)L A
1.
INTRODUCCION
La distinción entre variables endógenas y exógenas es un tema bien
conocido en los libros de texto de Econometría. Las primeras eran aquellas
cuyo comportamiento se expYcaba por el modelo especificado y 1as segundas se consideraba que eran explicadas fuera del modelo. En la mayor
parte de !os casos se tomaban como fijas; si se especificaba una estructura
estocástica para las mismas, se Ilevaba a cabo un análisis condicionado
sobre los valores tomados por esas variables. Sea cual fuera la especificación, el carácter distintivo de estas variables exógenas radicaba en que
eran independientes de 1a perturbacíón aleatoria de la relación considerada.
A pesar ^de la aceptación generalizada de lo comentado hasta este punto, el
papel que el concepto de exogeneidad desempeña en !a inferencia ha sido
objeto de una extensa discusión, cuyo último exponente puede encontrarse
en Engle, Hendry y Richard (1983), quienes distinguen entre exogeneidad
débil y fuerte, definiendo estos conceptos en términos de las densidades
conjuntas de las variables observables y de determinados parámetros de
interés y relacionándolos explícitamente con la función de verosimilitud y,
por lo tanto, con la estimación eficiente, entendiendo por tal la «conducción
de la inferencia sin pérdida de información relevante».
Un concepto relacionado con exogeneidad es el de causalidad, que
Granger (1969) define asociándolo a la mejora en la predictibilidad de una
variable, dada una base informativa en la que se considera incluido el
pasado de la propia variable. En !os últimos años ha habido una enorme
proliferación de trabajos en torno a este concepto de causalidad; y a pesar
de las duras críticas de que ha sido abjeto (véase al respecto, por ejemplo,
Zellner (1979)), el mismo ha pasado a engrosar una sección en !os més
recientes libros de texto de esta materia (basten como referencia, Harvey
(1981), Greenberg y Webster (1983), Chow (1983), y Judge et a/.
(1985)).
La relación entre causalidad (en el sentido de Granger} y exogeneidad ha
sido analizada con conclusiones dispares a partir del trabajo de Sims
(1972), en el que se establecía un teorema rnediante el cual podía afirmarse la equivalencía entre (no) causalidad y exogeneidad en sentido extricto.
A partir de este resultado el test de (noÍ causalidad de Sims equivalía, por
lo tanto, a un test de exogeneidad, el cual ha contado con numerosos
seguidores (Barth y Bennet (1974), Sharpe y Mi11er (1975), Williams,
Goodhart y Gowland (1 976}, Kraft y Kraft (1977), Black C 1 978), Ciccolo
(1978), Caves y Feige (1980), Perryman (1982), Smith (1984), entre
otros}. La equivalencia aducida por Sims ha seguido, pues, siendo sostenida, bien por simple referencia al teorema de dicho autor, bien mediante la
RELAC'IONES ENTRE CAUSALIDAD. EXCx;ENEIDAD Y° PREDE-TERMINEIUAD
S^
aportación de demostraciones alternativas en diferentes trabajos como los
de Hosoya (1977), Pierce y Haugh (1977), Geweke (1 978), Kohn (19$1 ) y
Florens y MOUChart (1985).
Pero frente a estos trabajos, han aparecido otros en los que se demuestra que ambos conceptos no son equivalentes. Por ejemplo, pueden verse
Jacobs, Leamer y Ward (1979), S^r+gent 11979), Hansen y Sargent (1980),
Geweke (1982, 1984), Engle, Hendry y Richard (1983), Wu { 1983) y
Cooley y LeRoy (1985). Asímismo, en
. la literatura en español puede verse
Arellano y García Villar (1983).
Todavía no se ha aclaraçlo cuál es la clave de esta disparidad de conclusiones respecto a la relación entre causalidad y exogeneidad. EI objetivo del
presente trabajo es de llegar a aclarar este punt0 relativo a la equivalencia
o no equivalencia de ambos conceptos. Veremos que las equivalencias
establecidas, principalmente a partir del trabajo de Sims (1972), dependen
del modelo de que se parta con especial énfasis en la información a priori
que se incorpore al mismo para su identificación. Distinguiremos, además,
diversos conceptos de causalidad y exogeneidad.
Las definiciones de estos conceptos, así como la descripción del modelo
en el que centramos nuestro estudio, un modelo dinámico lireal bivariante
gaussiano con representación autorregresiva, se considera en la sección
segunda. En la tercera, se procede al estudio de la equivalencia entre
causalidad y exogeneidad. Finaliza este estudio con la sección cuarta, en la
cual se incluyen las principales conclusiones del mismo.
2.
MODELO Y DEFINICIONES DE CAUSALIDAD Y
EXOGENEIDAD
Suponemos el caso más simple de dos variables {y^, x^) que siguen un
proceso estacionario en covarianza.
Pod e m os escri b i r e f m o d e l o en s u re pres ent ac i ó n au torre gre s i v a como :
A I L^ B ( L )
Y^
(2.1 )
C( L) D ( L )
xr
en donde A(L), B(L), C(L) y D(L) son polinomios de retardos que bajo el
supuesto de normalización definimos:
A( L) = 1- a, L- a2L^-. ..;
D( L)=1- d, L- d2L2- ...
B( L) _-bo - b, L- b2 L2-. ..;
C( L)= - e^c, L- c2L2- ...
54
ESTADISTICA ESPAÑOLA
siendo L el operador de retardos, tai que L" zt = zr_„ y donde u,t y u2r son
perturbaciones aleatorias que cumplen:
.
^ si t = s
E
(2.2)
i
0 si t ^ s
en donde:
^r^
d^2
(2.3)
^^2
^2^
También escribiremos:
^4(L) B1L)
_
_
(L) D(L)
^
C(L)
A(L) B(L)
1
-bo
(2.4}
C(L) D(L)
D(Li
-co
-ca
t1
La forma reducida de (^.1) puede escribirse como:
^r
_
Yr
+
=^(L)
Xt
V^r
Xr
^^(L^
r
_
^2 ^ i-)
V2t
Xt
Y^r
V2t
^>>(L^ ^^2(L
_
_
n^ ^( L} ^^,z t L^
Yr
Xt
+
V^r .
(2.5)
V2r
en donde:
^t„ (Li nf2(L1
n( L)
_
_
1--bo "'
--
n2,(L) nz^(L)
Aí L)
B I L)
_
-ca 1
C(L)
_
D(L)
-
AIL)+boC(L) B(L)+boDIL)
1
(2.6)
1-b ^o C( L1+coA ( L)
u^t
v^,
v2t
E
_
-co
C)
^^t
u2t
D( L)+co B^ L)
0
1
1-óoco
0 si t ^ s
Í u^t+^ou^^
(2.7)
uzt+co^^t
RELACIONES ENTRE CAUSAL.IDAD. EXOGENEIDAD Y PREDETERMINEIDAD
SS
siendo:
.
)
a, ,+ 2 bo a,2 + bó a22
1
(1 _boco)z
coa»+bocea^2+O'^2+boffa^
(2.8)
co a, ,+ bn co a,,^ + bo a2?'+ a, Z
có a, ,+ 2 ca a12 + a22
Adem^s, suponiendo q^ue la matriz de operadores autorregresivos en
(2.1), en estacionaria, puede representarse la forma de medias móviles
como:
y^
x^
A(b)
B(^)
C( L)" ` D( LI
-^
u^t
uzt
-
w>>(^)
^^^(^)
U^^
^2^( ^)
SI/^2( ^)
u^:
(2.9)
A partir
. de estas expresiones vamos a establecer una serie de definiciones sobre los conceptos de causalidad y exogeneidad. Consideramos que
estamos interesados en estimar los parámetros de la prirnera relación de
(2.1) o(2.5) y que esos son los parámetros de interés.
Definición 1. NO CAUSALI DAD'j^ Se dice que la variable y no causa a la
variable x si el pasado de la variable y no ayuda a mejorar la predicción de
la variable x que se obtendría utilizando sólo el pasado de esta variable. Es
decir, la variable y no causa a la variable x si:
ir21( L) ^ p
Definición 2. NO CAUSALIDAD INSTANTANEAZ^^ Se dice que la variable
y no causa instant^neamente a la variable x si la inforrnación sobre la
variable y no ayuda a mejorar la predicción de x en ese mismo periodo. Es
decir, la variable y no causa instatáneamente a la variable x si:
w,^ = O
1/.
Jacobs, ^eamer y Ward 11979) se refieren a este concepto como «y no es informativo
acerca del futuro de x».
2/.
Ver Pierce y Haugh { 1977, 1979) donde se caracteriza ia no causalidad instantánea
como bo--co-= Q^^. Es evidente a partir de (2.8) que esta condición implica en la forma
reducida que w,^, pero la i mplicacidn inversa no se da con carácter general. Por otra
parte, debe observarse que cuando se da no causalidad instantánea de y hacia x, también se da la inversa de x hacia y.
56
ESTADISTIC.a ESPA^^OLA
Definición 3. NO CAUSALiDAD EN SENTIDO ESTRICTO: Se dice que la
variable y no causa a la varíable x en sentído estrícto si ia información
sobre fa variable y, pasada y contemporánea, no ayuda a mejorar la predicción de la variable x que se obtendría utilizando sólo el pasado de la propia
variable, Es decir, fa variable y no causa en sentido estricto a la variable x
si:
^2^ b} _ ^ Y W^^ - 0
Definic^ón 4. PREDETERMlNEIDAD: Se dice que x es una variable predeterminada en una relación dada, si es contemporáneamente independiente
de la perturbación aleatoria de esa relación. Es decir, la variable x es
predeterminada en la primera relación de nuestro modelo si:
COV ^Xr ^ u^r-s) = O
b S< O
o lo que es lo misma:
cov ( v2t , u,^) = D
lo que implica que:
^, z+ co d„ = 4
3/
Definición 5. EXOGENEIDAD ESTRICTA^^^ Se dice que la variable x es
exógena, en sentido estricto, en una relación dada, si es índependiente de
todos los valores de la perturbación aleatoria corrc^spondiente a esa relación. Es decir, la variable x es estrictamente exógena en la prímera relación
de nuestro modelo si:
Cov (xr u,,^ s) = 4
ds
Y utilizando ^2.9), tenemos que la exogeneidad estrictamente implica
^21 ^s} ^» + ^^^^s) Q12 = (3
Q12+coQ„=0
para s > O
paras=0
3/.
Wu 11983) define la predetermíneidad como co=0 y a12=0, lo cual implica nuestro
resultado, por lo cual satisface la condicidn sufíciente pero no la necesaria. Jacobs,
Leamer y Ward ( ^ 979) se refieren a este concepto como exogeneidad contemporánea.
4,/.
Wu ( 1983) defíne la exogeneidad estricta como C(Li = 0 y R,^, lo cual igual que sucede
en su definicián de predetermineidad, satisface la condición suficíente de exogeneidad
estricta, pero no la necesaria.
REI^AC'1(^NES E!^ 1^RE C'Al.'SALIDAD. EX(^(:;ENEIDA[^ 1^' PRE[^E TERM[tiE{[)AL1
S^
Definición 6. EXOGENEIDAD DEBIL5'^ Se dice que la variable x es débi!mente exógena, respecto a unos definidos parámetros de interés, en una
relación, cuando la función de densidad conjunta de los datos puede expresarse como un producto de una función de densidad de la variable y
condicionada sobre el valor contemporáneo de la variable x, dados los
valores pasados de ambas variables ( con parárnetros igual a los parámetros
de interés), y de la función de densidad marginal de x, dados los valores
pasados de ambas variables ( con parámetros diferentes a los de interés).
Es decir, se dice que la variable x es débilmente exógena en la primera
relación de nuestro modelo, con parámetros de interés igual a!os parámetros de esa relación [A^L), B(L) y o-„] si se cumple que:
D^zt I Zr->,- ^^^)-n>=D(Yt^ x^ z^-^•AiLI,Bf^).^>>y.Dcxr I Zt_,,c(^),D(^I,d^^)
donde:
Zt
Y Z^_, recoge !a información disponible de ambas variables en ei periodo
t-ésimo.
Es interesante destacar que la distribución conjunta de ias dos variables,
dados sus valores pasados, puede escribirse como:
zr ^ N [^^ L)zt, S^]
(2,10)
Por lo tanto, podemos escribir:
y^^xr Zt ^ ~ N{^^(L) zt + w^2w^^^ [xr ^^^^)z ^] : ^r^-w^zW22^w^ ^}
^2-1 1)
v
X^ ^ Zt-^ ^ N{^2^ ^)Zt,
c2.,^)
Definición 7. EXOG EN EI DAD FU ERTE: Se dice que la variable x es fuertemente exógena, respecto a unos definidos parámetros de interés, en una
relación, cuando se cumple, simulténeamente, que x es variable exógena
débil, respecto a dichos parámetros de interés, e y no causa a x.
5/.
Véase Richard 11980, 19$2) y Engle, Hendry y Richard ^ 1983).
58
ESTADISTICA ESPAf^OLA
ESTUDIO DE LA EQUIVALENCIA EIVTRE CAUSALIDAD Y
EXOGENEIDAD
A la hora de estudiar tas relaciones entre fas diferentes definiciones
apuntadas en !a sección anterior, hay que observar que algunas de ellas se
concretan en t^rminas de par^metros de la forma reducida y otras en
términos de parámetros de la forma estructural. Los primeros estfin identificados y, a partir de una información muestral dada, se pueden contrastar
las restricciones implicadas por las definiciones. Para que !as par^imetros
de la forma estructura! estén identificados hace falta introducir algún tipo
de informac^ón a pria^ri. Esta información a priori, necesaria para la identificacion econom^trica del modelo, se precisa para estudiar las equivalencias de
los conceptos sobre causalidad y exogeneidad enunciados; los resultados
sobre las relaciones entre dichas definiciones varían. En este punto reside,
precisamente, el origen de las díscrepancias en la literatura comentadas en
la introducc^ón de este ttabajo. Entre las muchas posibilidades existentes g!
vamos a examinar tres formas distintas de identificar el modelo '^-
3.1 Identificacián a io Sims
Un primer tipo de modelos ampliamente considerado 8^ ha tomado como
restricciones de identificación:
(3.1)
Con estos supuestos, se obtiene que:
A( L)+boG( L)
ñ(L) _ -.
_
()
C(L)
B( L^ + boD( L)
_
(i
DIL)
(3.2)
J
6/ Las reglas generales para identificar modelos del tipo (2.1) pueden verse en Hsiao (1983).
7/ Cuando hablamos de ^jdentificación a lo Sims^, ^Identificación a lo Sargent» o ^cldentificaciór^ a lo Engle, Hendry y Richarda^, no queremos decir que en la literatura estén
reconocidos esos regímenes de identificación, sino que lo empleamos, simplemente, porque fueron las restriccione de identificación utilizadas por los autores mencionados en los
trabajos donde se abordó el tema que aquí estamos analizando.
$/ Caben destacar los trabajos de 5ims (1972, 1977) y Pierce y Haugh 11977 ^.
RELACIONES ENTRE CAUSALIDAD, EXOGENEIDAD Y PREDETERMINEIDAD
59
^ 1 l+ V Ó^22 60 ^ 22
^
(3.3)
bo ^22
^22
^^:
^
v2 t
u^t + bo uat
(3-^)
^2t
En este caso, (2 . ^^} y( 2 .12) pueden escribirse como:
Yr^x:, Z^^~ N{,boXr_. A(L)Yr - B(^-)X^ ^»}
(3.5)
_
xt^ Z^^ ~ N -C(L)yr- ^(L)Xt ^z2}
(3•6}
A partir de estas dos últimas expresiones se deduce directamente que,
con ia identificación ( 3. i), la variable x es débilmente exágena. Adem^s,
dado que Cov ( v2t , u,^} = O, también podremos decir que la variable x es,
por definición, una variable predeterminada en la primera relación.
En este caso, la no causalidad puede establecerse en términos de los
parámetros de la forma estructural como ha sido habitual en fa mayor
parte de los trabajos e^ que han caracteriiado la no causalidad de y hacia x
con el cumplimiento de la condicián C(L} = C'1. También se observa que en
este caso se da la equivalencia entre la no causalidad y la exogeneidad
estricta; así como la de estos dos conceptos con la exogeneidad fuerte.
Todas ias relaciones o equivalencias existentes entre las definiciones aquí
consideradas a^arecen en la Tabla 1. Esta tabla tiene tres columnas; en la
primera, aparece el resultado supuesto; en la segunda, la forma que toman
las matrices n(L} y S^ bajo ese supuesto, escribi^ndolas solamente si varían
de sus formas genéricas bajo este régimen de identificacián, esto es, si
difieren de (3.2) y/o ( 3.3}; en la tercera, aparece el resultado implicado
haciendo referencia solamente a1 resultado más fuerte; asi, si los resultados
implicados son que la variable x es prederterminada y que la variable x es
estrictamente exógena, entonces sólo aparecerá esta úitima.
9/ Ási lo han hecho, entre otros, Granger y Newbold (1977), Pierce y Haugh ^1977),
G ranger (1980) y G reenberg y Webster (19$31.
r:sr^nisTtc^ rsp4tiot.A
TABLA 1 ESTUDIO DE RELACIONES CON UNA IDENTIFICACION A LO
SIMS
RESULTADO
^ (L)
SUPUESTO
^
A( L)
y no causa a x.
_
_
_
n21 { L}=4=^ C(L)=0
nl L}=
y no causa instantáneamente a x:
_
A( L)
n( L)=
C(L)
^2 =
^21( L}=0
C( L)=0
yw, 2=0
b^=0
_
D(L)
0
w^ ^=0=^ bo=0
y no causa a x en sentido
estricto:
B ( L)+boD( L)
0
o
^22
nC L1=
D
^_ ^r ^
La variable x es estricta-
_
mente exágena:
n( L)=
A(L)
0
trictamente exógena.
- La variable x es fuertemente exógena.
B( L)
_
- La variable x es es-
O^ L^
-- La variable x es fuer-
trictamente exógena.
D
a22
B(L)+boDIL)
- y no causa a x.
_
- La variable x es fuer-
D(L}
^I'2f(L^=(}^ C(L}^n2^(L)=0
La variabie x es fuertemen- _
n2^ (L}-0 =^ C(L}-0
- La variabte x es es-
temente exógena.
0
te exógena:
IMPLICADO
B( L)
_
D(L)
^, ,
A( L)
_
RESULTADO
A(L)
B{L)+boD(L)
nlL}-
^ exógena.
temente
- y no causa a x.
- La variable x es es-
,^
^{L}
trictamente exógena.
RELACIONES ENTRE CAUSALIDAD. EXOGENEIDAD Y PREDETERMINE[DAD
t^ 1
TABLA 2^ ESTUDIO DE RELACIONES CON UNA IDENTIFICACION A LO
SARCENT
RESULTADO
PROPUESTO
y no causa a x.
_
n2 ^ ( L)=0=^^ C( L)=0
^c(L)
S^
A(L)
6( L)
O
_
D(L)
Ql,
0
^t( L.}^
y no causa instantáneamente
RESULTADO
IMPLICADO
a x.
y no causa a x en sentido
estricto.
_
^2, ( L)=0
C( L)=0
y
^
w, ^^=0
minada.
S2=
w,^--0^ a^^-O
_
^r( L)=--
-La variable x es predeter--La variable x es débil-
O
cr22
AtL)
B(L)
_
O
D(L)
Q„
0
O
Q22
Q„
O
- y no causa instantáneamente a x.
0
^22
- La variable x es débil-
mente exágena.
--La variable x es estrictamente exógena.
-La variable x es fuertemente exágena.
S^
rr, z=0
La variable x es predeterminada:
Sl=
v^ ^-o
mente exágena.
La variable x es estrictamente exógena:
^2^ ( L)=©
y
^^^=-O
^{ L)=^2, t L^=o
A{ L)
B( L)
0
-D{L)
_
^( L^^--
=^
6,z=0
La variable x es débilmente exógena:
Q12=0
La variable x es fuertemente
exógen ^
Q^ z- 0
^^ 2=0
Y
^
_
_
n21 ( L)-0
C( L)=0
- y no causa a x en sentido
estricto.
-La variable x es fuerternente exógena.
cr„
0
^
622
d„
O
0
a22
A( L)
- y no causa a x en sentido
estricto.
0
B{ L)
_
D( l.,l^
Q, ^
0
- La variable x es estrictamente exógena.
0
^zz
S^=
S^=
_
^r( L)=--
S2=
_y no causa instantáneamente a x.
- La variable x es predeterminada.
62
ESTAD(STICA ESPAÑOL.A
TA B LA 3.
ESTUDIO DE RELACIONES CC3N UNA IDENTIFICACII)N A LO
ENGLE, HENDRY Y RICHARD
RESULTADO
PROPIJEST^,I
x no causa,.^ x.
n^, ( L1=O=7 C{ L)=0
n{L)
S^
_
n{ L.)=
y no causa instantáneamente a x.
^_
wr z-- Q=^ cr ^ 2+ bo c^2^-' D
y no causa a x en sentido
estricto:
.
^^r 0
C{ L)= 0
-^
^ Q^2 + bo ^z,r= 0
cr, ^+ b© cr^a
0
0
a2z
_
0
n{ L)= -
Sl =
La variabfe x es predeterminada:
d12=0
0
ba D(L)
_
DIL)
.
_
^r2f ( L)= 0
O
RESULTADC^
IMPLiCAD4
D
^> > + bo ^^2
bo D( L)
'
D i L)
D
0
ar22
crr ^+ bó Q22
6o a22
bo ^z2
Qa^
- La variabfe x es
débilmente exógena.
S^ -
La variable x es estrictamente
exágena:
0
_
, boD(L)
cr^Z = 0
0
_
DtL)
_
. C( L)=n2 ^( L)^^
cr12 + bó Q22
bo az2
bo °'zz
d2^
v^ ^+ bó cr22
bo Q^2
^(L)_
Q^? = 0
_^
y^21( L)=0
- La variable x es
fuertemente
exágena.
- y no causa a x.
S^ _
La variable x es débiimente
exágena:
cr^Z =0
predeterrninada.
.
:C^
bo ^22
La variable x es fuertemente
exógena:
Q^z=- D
y
tr2^ (L) = 0
cr^2 = O
^(Lj = p
^z2
_
bo D(L)
_
_
n(L) ;
^,
- La variable x es
0
D ( L)
a^ ^+ bá ^22
bo ^22
bo ^zz
°'za
^_
-- y no causa a x.
- La variable x es
estrlctamente
exógena.
6^
RELACIONES ENTRE CAUSALIDAD, EXOGENEIDAD Y PREDETERMINEIDAD
3.2.
Identificación a lo Sargent
Esta segunda forma de identificar consiste en tomar como restricciones
de identificación:
bo = co = 0
( 3. 7)
AI denominar a esta forma de identificar «identificación a lo Sargent» no
se pretende indicar que este autor identifique todos los modelos que estu-dia con la información a priorí dada en (3.7}; la hemos denominado de esta
manera simplemente porque es la que utiliza en el modelo descrito en
Sargent (1979}, donde hace referencia explícita a la relación entre la causalidad y la exogeneidad, concluyendo que la no causalidad de ia variable y
hacia la variable x es una condición necesaria, pero no suficiente de que la
variable x es estrictamente exógena.
Teniendo en cuenta (3.7 } se obtiene que:
_
n( L) _
^rt
v^t
A(L}
6(L)
_
C^L}
_
D(L}
^
_
(3.8}
^r^
(3.9}
V2t
^a=E
( 3.14)
Cov {v2t , u,t} _. c,z
(3.1 1 }
Én este caso (2.1 1} y{2.12) pueden escribirse como:
Q ,^
_
Q f2 _
yt I xr, Z^, ^ N {--- xt - IA(^}-- -- C(L}
^zz
^z^
Xrl Zt r~ N{- C(L^yr - ^(L}x^ % Q22}
_
^ Y^
a r^ _
Q ,2
----}
C^ ( ^} -^22o^ ^}^ Xt- ^r r-- ^^^
{3.12 )
(3.13 )
Se ve como en este caso hay coincidencia entre la forma estructural y la
reducida. Nuevamente puede establecerse la no causalidad en términos de
la forma estructural, dado que se da equivalencia entre ^2^(L)=0 y C(L)= D,
^4
ESTADISTICA ESPAÑOLA
pero bajo este régimen de identificación la no causalidad ya no es idéntica
a la exogeneídad estricta, puesto que ahora para que x sea estrictamente
exágena en ia prirnera relación debe darse que y no cause a x y, además,
que or1z.=0. Vemos, pues, como bajo esta condición de identificacián la
conslusión de Sargent (1979) es correcta.
De (3.12) y(3.13) se deduce directamente que basta con que cr,^-0 para
que la variable x sea débilmente exógena. Esta es la misma condición que
debe cumplirse, ver (3.1 1), para que x sea una variable predeterminada. Se
da, por tanto, equivalencia entre exogeneidad dóbil y predetermeneidad, y
entre estas dos y la no causalidad instant^nea. Por lo tanto, ahora, mientras
ei resultado «y no causa a x» no implica nada, es suficiente con que «y no
cause ^nstantáneamente a x» para que x sea una variable predeterminada y
débilmente exógena. Este resultado es importante, puesto que basta con
que la variable x sea predeterminada, para que puedan estimarse los parámetros de la primera relación del modelo sin prestar atencián al proceso
estoc^stico que genera la varíable x, sin que ello suponga ninguna pérdida
de informacián relevante. Ahora bien, la exogeneidad débil no especifica
nada acerca de las relaciones entre xr e yt_; bi > 1, por ello si ^lo que queremos es vaiidar la predicción a partir del modelo condicíonal se requerir^i
que la variable x sea fuertemente exógena; esto es, que además de que la
variable x sea dóbilmente exógena, sea predecible autónomamente durante
el horizonte temporal de !a predicción (o sea, no sea causada, en el sentido
de Granger, por la otra variable y). Esta exogeneidad fuerte es equivalente
con la exageneidad estricta y con el resultado «y no causa a x en sentido
estricto».
Todas las reiaciones existentes entre las definiciones analizadas se resumen en la Tabla 2, cuya interpretación es análoga a la descrita para la
Tabla 1.
3.3.
Identificción a lo Engle, Hendry y Richard
Esta última forma de identificar que vamos a considerar responde a la
especificación del modelo que Engle, Hendry y Richard ( 1983) estudian en
el ejempio ( 3.2) de su trabajo. La forma estructural de este modelo, adaptando la nomenclatura utilizada por estos autores a la del presente trabajo,
puede escribirse como:
1
=^
^
(3.14)
RELACIONES ENTRE CAUSALIDAD, EXOGENEIDAD Y PREDETERMINEIDAD
65
Se ve como en este modelo las restricciones de identificac ión son:
có- a,= b,= 0
(3.15)
Las matri es de la forma reducida son :
^oC(L) b oD(L)^ ^bo c , l bod, L
nIL) _ -
Sl =
(3.16)
C(L)
D^L) J \ c,L
d, L
o'„+2ba^12+bóo^22 Q^z+bo ^^^
^^
o a2
(3.17)
^^2
Teniendo en cuenta que:
V r:^ ^V ^ r^`bou2r
(3.18)
se cumple:
Cov (v2t, u,t) _ ^,2
(3.19 ^
En este caso, (2.1 1) y(2.12^ pueden escribirse como:
Yt^xt-Z^^~N{(b
+^)x-c
^12
^
r
o
^zz
xt ^ Z t ^ ~ N {c, yt , + d, x^ , ; ^^^}
a2z
Yr->
}
-d> -^-x_
r > ;a> > Q^2
c s .2o)
d22
( 3 . 21)
al igual que en el caso anterior, basta con que ^r12 = 0 para que xt sea
débilmente exógena y predeterminada en la prirnera relación.
En la Tabla 3 presentamos las equivalencias que se dan entre las distintas
definicianes de causalidad y exogeneidad, bajo este supuesto de identificación. Conviene destacar el hecho de que, en este caso, ningún resultado de la
causalidad implica nada en términos de los otros resuftados. La única
equivalencia que se produce es, nuevamente, entre exogeneidad débil y
predetermineidad y entre exogeneidad fuerte y exogeneidad en sentido
extricto.
Podrían pensarse otras formas alternativas de identificar un modelo, pero
las tres consideraciones permiten enunciar como conclusión, el que
constituye el principal mensaje del presente estudio: que el tipo de relaciones
b6
ESTAdISTICA ESPAI^fJLA
restricciones de identificacián del modelo, sin las cuales no se podría entrar en
el análisis adecuado de las interrelaciones de estos conceptos. Asi, la principal
conclusión a que se ha Ilegada es que el tipo de relación resultante entre las.
diferentes definiciones depende de lo que se consideren como parámetros de
interés y de la forma en que se identifique el modeio.
También hemos visto como, bajo todos los regtmenes de identificación aquf
considerados para el madelo de dos variables, nuestra definición de no
causalidad que establecernos, como en Granger (1969), a partir de la forma
reducida del modelo, coincide con la tan frecuentemente citada en la
literatura, en t^rminos de parámetros estructurales. Debe advertirse, sin
embargo, _que este resultado no puede aceptarse
con carácter general, pues la
_
condición^r2f{L) = 0 lo que implica es que C(L^ + co Á(L) = 0, por lo cual,.bajo
cualquier régimen de identificacián que no incluya como restricción co= 0(por
ejemplo, si se considera bo = Q12 = 0), la equivalencia entre ^tz,{L) = 0 y C(L)=0,
esto es, entre la no causalidad definida en términos de la forma reducida y
de la forma estructural, no se cumplirá.
que pueden establecerse entre las diferentes definiciones dependen de cuales
hayan sido los parámetros de interés determinados y la forma como se haya
identificad0 el modelo.
'4.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha intentado aclarar la naturaleza de las diferentes
posturas que ante la relación {no) causalidad-exogeneidad se encuentran en
la literatura. EI mensaje que aquí se da es que ninguno de los autares que han
participado en la controversia estaba equivocado en sus razonamientos y/o
demostraciones, sino que la disparidad en las conclusiones se sustentaban en
sus distintos puntos de partida, como consecuencia de aplicar unas u otras
REI.ACIONES ENTRE CAUSALIDAD, EXOGENEIDAD Y PREDETERMINEIDAD
67
SUMMARY
RELATIONS AMONG CAUSALITY, EXOGENEITY AND
PREDETERtVIINEDNESS
In last years has been a growing literature on causality, exogeneity and predeterminedness concepts and their interaction. In
this paper, definitions and relations among these concepts are
examined for the Gaussian bivariate linear dynamic model. The
main conclusion obtained is that the relation depend on the
particular econometric identification regime adopted in the
structural form of the model.
Key words: Granger Causality, Exogeneity, Predeterminedness,
Econometric Identification.
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