Metodología Box-Jenkins

Econometría II
Grado en finanzas y contabilidad
Metodología Box-Jenkins
Profesora: Dolores García Martos
E-mail:mdgmarto@est-econ.uc3m.es
Este documento es un resumen/modificación de la
documentación elaborada por D. Antoni Espasa
Metodología Box-Jenkins
Metodología Box-Jenkins
Metodología Box-Jenkins
•
La clase general de modelos de la metodología Box-Jenkings es la
familia de modelos ARIMA con elementos determinísticos (constante,
tendencia determinística, estacionalidad determinística, efecto
semana santa, efecto días laborables, atípicos, etc)
•
En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de
parámetros que capturan distintos rasgos de los datos
•
El primer paso es determinar si el modelo se debe formular con los
datos originales o con series transformadas. En todo caso, deben
recoger:
 Evolutividad de la tendencia
 Evolutividad estacional
•
El modelo incorporará:
 Diferencias regulares
 Diferencia estacional
 Constante
 Factores determinísticos
Metodología Box-Jenkins
Expresión general de los modelos ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s :
(1-Φ1 L-Φ2 L2 –Φ3 L3 -………..-Φp Lp) (1-Φ1 L s-Φ2 L2s –Φ3 L3s -………..-ΦP L Ps)
(1-L)d (1-Ls)D log Xt = δ+
(1-θ1 L-θ2 L2 –θ3 L3 -………..-θq L q) (1-θ1 L s-θ2 L2s –θ3 L3s -………..-θQ L Qs )a t
s=4,12 Es decir, hace referencia a la parte estacional
d=0,1,2 Hace referencia al número de diferenciaciones regulares a realizar
de la serie original para hacerla estacionaria
D=0,1 Hace referencia al número de diferencias estacionales a realizar de la
serie original para hacer la parte estacional estacionaria
Otra forma de expresión es:
Φp (L) ΦP(Ls) Δd ΔDs log X = c+ θq (L) θQ (Ls) at
Metodología Box-Jenkins
•
Transformada una serie en estacionaria (diferencias en la parte
regular y estacional y logaritmos), los parámetros que
especifican el modelo ARMA capturan la dependencia
temporal
•
Los correlogramas simples serán de utilidad para saber si se
trata de modelos autorregresivos o de medias móviles
 En el caso de los procesos de medias móviles, también nos
servirá para determinar el orden del proceso
 Para determinar el orden de los procesos autorregresivos se
utilizara el criterio de información de Akaike.
•
Se analizan, por tanto, los gráficos y los correlogramas de las
series: Xt , Δ Xt ,Δ s Xt y ΔΔ s Xt. Si las series son anuales
también habrá que analizar Δ2 Xt .
Metodología Box-Jenkins
1
Hay que garantizarse que la serie de los residuos tiene
estructura de ruido blanco
1. Ver Anexo
Metodología Box-Jenkins
Contraste de raíces unitarias
• Las implicaciones de las raíces unitarias en los datos económicos son relevantes
• Si es I(1), los shocks tendrán efectos permanentes
• Es habitual que la varianza del estimador de ρ pude ser muy pequeña y conducir a que en el
correspondiente intervalo de confianza no entre el valor unitario, cuando realmente existe tal raíz
unitaria. Es decir, el contraste de la t habitual podría conducir a rechazar ρ=1
Cuando hay raíces unitarias, el estimador muestral suele estar sesgado a la baja
Se utilizan unas tablas específicas: las tablas de Dickey-Fuller
Contraste de raíces unitarias
En la ecuación (2) se puede añadir una constante e incluso una tendencia
determinística
• Cuando hay correlación entre las variables es mejor utilizar un modelo
en el que se tenga en cuenta este aspecto. En este caso no estaríamos
ante la hipótesis de que ηt se distribuye como ruido blanco
Contraste de raíces unitarias
Contraste de raíces unitarias
Contraste de raíces unitarias
El valor de la t es
mayor que los
valores críticos, se
acepta la hipótesis
nula de que δ=0 y,
tanto, hay una raíz
unitaria
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
• Estimación del modelo por MCO o Máxima Verosimilitud
• Contrastes de los parámetros por medio de la t
• Varianza residual
• Ver si la correlación entre los parámetros estimados es muy
elevada, de ser así, habría que eliminar alguno
• Contrastar que los residuos tienen estructura de ruido blanco a
partir del correlograma
• Se puede aplicar un test conjunto de la independencia de
las correlaciones muestrales. Test Q
• Si los residuos no son ruido blanco hay que reformular el
modelo
• Criterios de información (Akaike, Schwarz, etc). Cuanto más
pequeños mejor
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
• Si el modelo inicial no es satisfactorio:
 Se recurre a considerar algunas de las hipótesis
manejadas al principio de la identificación del modelo
 Dudas en las diferencias regulares
 Dudas en relación con la estacionalidad
 Dudas en cuanto al orden del modelo AR o MA
 A partir de la estructura que presenten los residuos
se reformula el modelo.
 Aunque el modelo estimado se pueda validar, es
conveniente analizar modelos alternativos y de función del
criterio de información (Akaike, Schwarz ) se puede decidir
sobre el modelo final
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
El contraste de la Q es un contraste conjunto
PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS
• Como se viene diciendo a lo largo del curso, los
objetivos principales de la modelización ARIMA son:
•Predicción
•Estimación de los componente de una serie
temporal: Tendencia, estacional y ciclo
Esperanza y varianza incondicional vs condicional
Esperanza Marginal
W = ΦW t-1 + at
E (W t )= Φ E (Wt-1 )+ E (a t )
µ = Φ µ+ 0 ,
at es un proceso ruido blanco con
esperanza nula
E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ) µ = 0
µ=E (W t )= 0
Varianza Marginal
Var (W t )= Φ2 var (Wt-1 )+ var (a t )
con
γ0 = Φ2 γ0 + σ2 ,
at es un proceso ruido blanco
con varianza σ2
Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ2) γ0 = σ2
γ0 =var (W t )= σ2/ (1- Φ 2)
Esperanza y varianza incondicional vs condicional
Esperanza Condicional
Wt = ΦW t-1 + at
Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 )+ Et-1 (a t )
at es un proceso ruido blanco con
esperanza nula
Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 ) = Φ W t-1
Varianza Condicional
Vart-1 (W t )= Et-1 (Wt –μ condicional )2
Vart-1 (W t ) = Vart-1 (ΦW t-1 + a t) =Var t-1 (ΦW t-1 ) + Vart-1 (at) +
+2 covt-1 (ΦW t-1, a t)= σ2
dado que W t-1 en el periodo t-1 es un dato conocido y, además, en ese
periodo el valor observado, es independiente de la innovación o shock
que se producirá en t
Estos conceptos vienen de la estimación de una regresión, con la que se trata de
estimar la media condicional de la variable dependiente dados los valores de las
variables independientes. La diferencia es la variable residual
PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS
Predicción
•Se apoya en el concepto de expectativa condicional:
Se trata de obtener el valor esperado de la variable
económica en t+1 en función de la información
disponible.
• E(xt+1|Ω t)
•Dependerá del tipo de modelo. Si se trata de un
modelo AR(1), se tendría:
yt = Φy t-1 + a t
Et (y t+1 )= Φ Et (yt ) + E t (a t +1) = Φ y t
•La varianza de la predicción un periodo por delante
es igual a σ2. Y aumenta a medida que aumenta el
horizonte de predicción
ANEXO
ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA