Presentación y Análisis del Teorema de Bernoulli

Taller de Enseñanza de Física
Año 2010
Presentación y Análisis del Teorema de Bernoulli
Estas líneas pretenden ayudar a comprender Fluidodinámica. Introducirán primero el
Teorema de Bernoulli estableciendo su deducción y luego algunos comentarios sobre su
significado.
Deducción del Teorema de Bernoulli
1. Vamos a trabajar con fluidos, entonces abandonamos el modelo de partícula . Pero no
del todo porque nuestro objetivo es estudiar la dinámica de los fluidos. Por las
características de los fluidos, necesitamos “darle volúmen a la partícula”. El nuevo
modelo es el de elemento de volumen.
2. No vamos a estudiar cualquier fluido. Vamos a comenzar con el fluido ideal:
incompresible (la densidad del fluido es constante, o sea el fluido se deforma pero su
volumen y su masa no cambian) y no viscoso (no existen fuerzas de roce entre los
distintos elementos de volumen).
Vamos a estudiar el movimiento de un fluido por un tubo. Veremos cómo aplicar el Teorema
de Trabajo y Energía en este caso donde hemos cambiado el modelo. Extendemos las
herramientas que aprendimos en Dinámica, al estudio de la Dinámica de fluidos.
3. Tomamos un elemento de volumen δV =A·δr muy pequeño.
4. Identificamos los objetos que interactúan con el mismo: el Fluido y la Tierra. Esto
implica que tenemos dos acciones sobre nuestro elemento de volumen, y tenemos
que considerar el Trabajo realizado por ambas fuerzas.
Calculamos el trabajo realizado por el resto del fluido sobre el elemento de volumen N en la
trayectoria A-B, es decir estudiaremos el proceso que tiene estado inicial EA y final EB.
5. En un fluido ideal las fuerzas entre los elementos de fluido no son constantes en el
trayecto de A a B.
6. Las fuerzas debidas a los otros elementos de volumen que actúan sobre el elemento
de volumen que elegimos estudiar son F01 = FA y F21 . Las fuerzas sobre el siguiente
elemento de volumen son F12 y F32. Y así sucesivamente.
FN+1 N
VolZ
F32
F21
VolM
Vol N
F01
A
-F12
-FN-1 N
B
7. Si utilizamos la Tercera Ley de Newton vemos que F12 = F21, es decir que las fuerzas que
actúan sobre el elemento M son las mismas que actuarán sobre el elemento N cuando
éste llegue hasta el lugar donde está M.
8. Si dividimos el trayecto A-B en n partes de longitud δr, podemos aproximar
𝐹 ∙ 𝑑𝑟 =
𝐹 𝑑𝑟 ≈ 𝐹01 − 𝐹21 𝛿𝑟 + 𝐹12 − 𝐹32 𝛿𝑟 + . . . + 𝐹𝑁−1 𝑁 − 𝐹𝑁+1 𝑁 𝛿𝑟
Pero usando la tercera Ley de Newton vemos que F12 = - F21 , F23 = - F32 , FN-1 N = - FN N-1 , con
lo cual se anulan los términos y sólo quedan los términos F01 = FA y FN+1 N = Fb. Por lo tanto
el trabajo sobre el elemento de volumen debido a las fuerzas aplicadas por el resto del
fluido será (FA - FB) δr
(A).
Por otro lado, calculemos la variación de energía potencial del elemento de volumen
en el proceso de ir de A a B
∆Ep = δm g (hB – hA) (B)
De manera similar, para la variación de la energía cinética tenemos:
∆Ec = ½ δm (vB2– vA2)
(C)
Juntamos estos resultados ((A), (B) y (C)) en el teorema del trabajo y la energía, para
obtener
(FA – FB) δr = δm g (hB – hA) + ½ δm (vB 2– vA2)
Pero ya sabemos que la fuerza que hace el fluido sobre el elemento de volumen será (FA –
FB) = (pA AA – pB AB) por lo que reemplazando en el primer miembro de la igualdad nos
queda
(pA AA - pB AB) δr = δm g (hB – hA) + ½ δm (vB2– vA2)
Reescribiendo δV = AA δr = AB δr en el primer miembro
(pA - pB ) δV = δm g (hB – hA) + ½ δm (vB 2– vA2)
Si dividimos toda la expresión por δV,
(pA - pB) = (δm / δV) g (hB – hA) + ½ (δm / δV) (vB2– vA2)
y usamos la definición de la densidad ρ = δm / δV, de aquí podemos obtener la relación
pA + ρ g hA+ ½ ρ vA2= pB + ρ g hB + ½ ρ vB 2
Esta expresión es la que conocemos como Teorema de Bernoulli.
Algunos comentarios sobre el Teorema de Bernoulli
Como la elección de los puntos A y B es arbitraria (es decir puedo elegir cualesquiera
puntos A y B sobre el fluido), el resultado anterior lo que nos dice es que hay cierto número
que se conserva sobre líneas de corriente. Miremos con atención ese número:
p + ρ g h+ ½ ρ v2 = Constante sobre línea de corriente
(1)
Tomemos un elemento de volúmen δV mientras se mueve con el fluído. Ese elemento tiene
velocidad v y coordenada y. Si multiplicamos la cantidad (1) por δV (que es constante sobre
líneas de corriente si el fluído es incompresible) nos queda
p δV + ρ δV g h+ ½ ρ δV v2 = Constante de movimiento
pero ρ δV = δm, por lo que (reemplazando en la expresión de arriba)
p δV + δm g h+ ½ δm v2 = Constante de movimiento
p δV + ECin + EPot Grav = Constante de movimiento
(2)
Esta última expresión es llamativa, es casi la expresión de la conservación de la energía
mecánica. Como vimos antes, ∆ (p δV) es el trabajo que el fluído hace sobre el elemento de
volúmen, y vemos que este trabajo no depende de los detalles del proceso, sino sólo de los
estados inicial y final. Por lo tanto, es tentador pensar en (p δV) como en el potencial asociado
a la fuerza que el resto del fluído hace sobre el elemento de volúmen, y entonces (2)
expresaría la conservación de la energía mecánica del elemento de volúmen. Para que todo
esto sea cierto, deberíamos responder la siguiente pregunta:
¿Es conservativa la fuerza que el fluído hace sobre un objeto sumergido en él?
La respuesta más general a esta pregunta es un rotundo NO. Pero será un SÍ si nos
restringimos a las siguientes hipótesis:
1) El objeto interactúa con el fluído sólo a traves de la presión (no hay “rozamiento”, ni
fuerzas vinculadas a la existencia de una interfase, ni nada).
2) El objeto no cambia de volúmen.
3) El objeto no modifica el estado del fluído circundante.
4) El fluído fluye en forma LAMINAR y ESTACIONARIA.
Si respondemos con un sí a la pregunta bajo las hipótesis enumeradas, entonces podremos
encontrar un potencial para la fuerza que hace el fluído sobre un objeto sumergido. Ahora,
para hallar Bernoulli, el objeto sumergido a estudiar será un elemento de fluído, pero sobre
eso volveremos más adelante.
Para responder esto, deberemos repensar un poco la definición de “fuerza conservativa”.
Ese es el principal beneficio de seguir esta línea: una vez comprendido el razonamiento
tendremos una idea mucho más firme de lo que es la energía mecánica, la energía potencial y
la fuerza conservativa.
Lo primero que tenemos que restringir es al objeto de estudio. La definición de fuerzas
conservativas se aplica a partículas con masa. Es decir, el objeto deberá ser realmente muy
pequeño, de modo que su posición sea algo bien definido en las “escalas naturales del
problema”. Qué queremos decir con esto? Bueno, el fluído circundante está descripto por dos
funciones, una escalar p(x,y,z) y otra vectorial v(x,y,z). Tanto p como v varían en el espacio, y
esas variaciones son las únicas referencias legítimas de longitud. Esto es: un objeto es “grande”
si p o v varía apreciablemente en su extensión. Es “chico” (una “partícula”) si p y v pueden
tomarse como un único valor. Por ejemplo: ¿es posible considerar un submarino U-boat como
una partícula? Cualquiera que haya estado en la sala de máquinas de un submarino
probablemente va a decir que ni a palos, pero en ese caso la escala en que está midiendo al
submarino es la de su propio cuerpo. A los efectos de estudiar el submarino en un problema
de fluídos, si podemos o no considerarlo como una partícula va a depender del “mar” en que
navegue; si la presión y la velocidad varían en una escala de kilómetros no habrá problema,
pero si el submarino está en un remolino de 10 metros de radio, seguro que no podremos
pensarlo como partícula.
Ahora una frase que seguramente va a ameritar un “pero, me están jodiendo!”: lo dicho
más arriba no significa que podemos ignorar las variaciones de p y v. Paciencia. Un ejemplo
nos va a aclarar la cosa: recordemos la definición de velocidad de una partícula. La velocidad
es “instantánea”, pero en un instante la partícula no se mueve en absoluto! La aparente
contradicción la arreglamos mirando el movimiento en intervalos arbitrariamente chicos;
haciendo el cociente δr / δt y haciendo tender δt a cero. El resultado es la “variación
instantánea” de la posición. Acá ocurre exactamente lo mismo: si nuestro objeto de estudio
puede ser considerado una partícula, entonces sólo puede ser sensible a cosas locales: los
valores de p y v en el punto y los valores de las “variaciones locales” ∂p/∂x, ∂p/∂y, etc.
También va a depender de “cuánto ocupa” δV pero no de detalles como si tiene forma de
rosquilla o de papa. Esto es muy útil, porque nos permite elegir una forma arbitraria que
resulte útil para hacer las cuentas. En particular, vamos a usar un cubito, pero ya sabiendo que
un objeto con forma de perro salchicha con el mismo δV nos va a dar lo mismo. Por supuesto,
reiteramos, esto es cierto siempre que podamos considerar al objeto como partícula, o sea si
en la extensión del objeto ni p ni v varían apreciablemente.
Empieza repaso de fuerzas conservativas
Recordemos qué entendemos por fuerza conservativa F. Una fuerza en general puede
hacer trabajo no nulo sobre una partícula, basta con que ésta se mueva más o menos en la
dirección de la fuerza (o en contra). Pero por definición, lo usual es que ese trabajo dependa
de los detalles de cómo movemos la partícula de un sitio a otro. Si no depende de esos detalles
(y sólo depende de las posiciones inicial y final de la partícula) entonces el trabajo puede
asignarse a una función de estado EPot F (x,y,z), y tenemos
L F r1 a r2 = - ( EPot F (x2, y2, z2)- EPot F (x1, y1, z1))
El punto importante acá es que si encontramos la función EPot F (x, y, z), para la fuerza
conservativa F , podemos calcular fácilmente el trabajo de esa fuerza en términos de las
posiciones inicial y final. Ya tenemos dos ejemplos de esas fuerzas:
 la gravitatoria cerca de la superficie terrestre
EPot Grav (x, y, z) = m g y

la de un resorte con posición de equilibrio x0, y0, z0
EPot Elast (x, y, z), = (k/2) [(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2] .
Tenemos tres condiciones equivalentes que nos aseguran que la fuerza es
conservativa:
I.
El trabajo de la fuerza sobre cualquier camino cerrado es cero.
II.
El trabajo de la fuerza entre dos puntos es el mismo para cualquier camino.
III.
Existe una función EPot F (x,y,z), para la que
FX = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂x
FY = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂y
FZ = - ∂ EPot F (x, y, z) / ∂z
Si se cumple cualquiera de estas cosas, entonces la fuerza F es conservativa y existe
EPot F . Aunque es una cuestión de gustos, opinamos que la opción I es la más abstracta
(seguramente opinás que la III lo es mucho más, pero eso es sólo por la matemática
involucrada). La II muestra mejor que debería existir la función EPot F , pero no nos dice cuál es.
Lo que sí, se ve bastante fácil la equivalencia con I: basta con pensar en dos caminos
conectando los puntos y usar ambos para hacer el camino cerrado. La tercera es la más
directa, porque ya figuran allí todos los ingredientes involucrados: la fuerza F y su potencial
asociado, EPot F (x, y, z). Pero es la más difícil de conectar con I y II. Los “creyentes” pueden
saltear la pseudodemostración que sigue a continuación, que tiene un cierto parecido con la
demostración de Bernoulli que ya hemos visto.
Pseudodemostración de la condición III
Supongamos que tenemos una función EPot F (x, y, z) tal que la fuerza es como en el
ítem 3). La partícula va de la posición ri = (xi , yi , zi ) a la posición rf = (xf , yf , zf ) por algún
camino, que lo vamos a pensar como una serie de desplazamientos muy chiquitos (lo bastante
chicos como para que F sea constante en ellos)
rf = ri + ∆ r1 + ∆ r2 + ... + ∆ rN
El trabajo en ir de i a f es la suma de los trabajos en cada intervalo ∆ r. Y si la fuerza en cada
intervalo es constante, el trabajo es
L Intervalo = F desp |∆ r|
(3)
donde F desp es la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento ∆ r. Pero las
componentes de F son “menos” las derivadas de EPot F en esa dirección y, son aproximables por
el cociente incremental, así que la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento
es:
F desp ≈ - (EPot F (r + ∆ r) - EPot F (r ) ) | ∆ r|
de modo que el trabajo en el intervalo es (reemplazando la última línea en (3)
L Intervalo = EPot F (r ) - EPot F (r +∆ r)
Al hacer la suma de todos estos trabajitos, vemos que se van cancelando los E intermedios y
finalmente queda
L f = - (EPot F (rf ) - EPot F (ri ) )
Esta última expresión muestra que el trabajo no depende del camino, sólo de las posiciones
inicial y final.
Conclusión de la pseudodemostración: Entonces, cada vez que una fuerza F es
conservativa, tendremos una función EPot F asociada con la que podemos calcular
la fuerza en cualquier punto, o bien el trabajo en cualquier proceso. También
podemos incluír EPot F en la llamada “energía mecánica”, y la variación de esa
energía es el trabajo de todas las fuerzas cuyos potenciales no existan o no
hayamos incluído en la energía mecánica.
Estudiando Fuerzas Conservativas en Fluidos
Volvamos a los fluídos. Supongamos que sumergimos en un fluído un objeto de
volúmen δV, lo bastante chico para ser considerado una partícula (según el criterio explicado
más arriba). Como se explicó, esa fuerza no puede depender de la forma del objeto, por lo que
vamos a usar un cubito de tamaño dx dy dz, en la dirección de los ejes coordenados x, y, z. La
fuerza que el fluído hace sobre el cubo es la suma de las fuerzas sobre cada una de las seis
caras del cubo. Por cada eje habrá dos planos con fuerzas opuestas sobre cada eje. Por
ejemplo, la fuerza sobre el eje x será
Ffluido cara x = p(x) δA – p(x+dx) δA
= (p(x) – p(x+dx)) dy dz
= - (∂p /∂x) dx dy dz
= - ∂(p δV ) /∂x
Lo mismo puede hacerse para las componentes y,z. Se observa que el volúmen puede
meterse adentro de la derivada siempre que éste se mantenga constante.
Si comparamos este resultado con la condición (III) para fuerzas conservativas, esto
significa que podemos pensar la función
EPot Fluido = δV p(x,y,z)
como la energía potencial asociada a la fuerza que el fluído hace sobre el objeto de volúmen
δV. Significa que el trabajo que el fluído hace sobre el objeto al ir de un punto con presión p1 a
otro con presión p2 será - δV (p2 – p1 ), que es el resultado para un elemento de volúmen que
se encontró al principio de estas notas.
Ahora reobtengamos Bernoulli. El objeto de estudio es ahora un elemento de volúmen
del propio fluído. Repasemos si estamos cumpliendo las tres condiciones para las que la fuerza
del fluído es conservativa: III es automático (qué mejor objeto para no alterar al fluído que el
propio fluído). Por otra parte, II es cierto siempre que el fluído sea incompresible. El elemento
de fluído interactúa con la Tierra y con el resto del fluído, todas fuerzas conservativas. La
energía mecánica de un elemento de fluído de volúmen /delta V se conserva:
EMec = ECin + EPot Grav + EPot Fluido = Constante para el elemento de fluído
El elemento de fluído tiene masa δm = ρ δV, con lo que la expresión anterior puede escribirse
δV( ½ ρ v2 + ρ g h + p) = Constante elemento fluído
(4)
La energía mecánica es una cantidad extensiva: cuanto más volúmen tomemos, mayor
será la energía mecánica. Pero existe una cantidad “intensiva”, “local”, definida en cada punto,
que es la energía mecánica por unidad de volúmen EMec (δV), que es la densidad de energía. La
densidad de energía mecánica se obtiene dividiendo la energía mecánica (4) por δV. Como el
elemento de fluido se mueve, por definición, por líneas de corriente, de (4) llegamos a
½ ρ v2 + ρ g h + p = Constante sobre líneas de corriente
que no es más que el ya visto Teorema de Bernoulli.