PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Demostrar que el punto medio de un segmento es único
2. Sean A-B-C y D-E-F tales que AC ≅ DF y AB ≅ DE . Demostrar que BC ≅ EF .
(Es una sustracción de segmentos).
3. Sean A y B dos puntos sobre la recta X' O X. Sea O el punto medio de AB .
Expresar a OC en términos de OA y OB sí
a) El punto O ∉ AB ;
b) Si O ∈ AB .
4. Sea D el punto medio del segmento AB y P un punto sobre la prolongación de AB
(A-B-P). Probar que la distancia de D a P es igual a la semisuma de las distancias
de A y B a P.
5. Sean A,B,C,D cuatro puntos colineales en ese orden, tales que BC: m = CD: n con
m y n números reales. Expresar a AC en términos de AB y AD únicamente.
6. Sean A y B dos puntos sobre los rayos OX y OY respectivamente. A partir del punto
medio M de OA se toma sobre OX una longitud MF igual a la mitad de OB y a
partir del punto medio N de OB se toma sobre OY una longitud igual a la mitad de
OA. Demostrar que AF=PB; OF=OP
Ilustración 4
Rayos coplanares forman ángulos adyacentes cuyas medidas son m(AôB)=30°;
m(BôC)=80° ; m(CôD)=70°; m(DôE)=30°;
a) Hallar la medida del ángulo EoA.
b) ¿Cuáles puntos son colineales? ¿Por qué?
C
70º
D
30º
B
80º
30º
O
E
a) m(AôB) + m(BôC) + m(CôD) + m(DôE) + m(EôA)=360°
(Justifique)
30° + 80° + 70° + 30° + m(EôA) = 360° ∴ m(EôA)= 150°
b) m(BôC) + m(CôD) + m(DôE) = 80° + 70° + 30º = 180°
A
∴ B, O y E son colineales porque BôE es recto.
m(AôB) + m(BôC) + m(CôD) = 30° + 80° + 70° = 180°
∴ A, O y D son colineales porque (AôD) es rectilíneo.
Ilustración 5
→
→
Los rayos OA y OB forman con el semieje OX los ángulos a y b. Hallar el ángulo
que hace con OX la bisectriz OC del ángulo AOB.
B
C
A
b
Hipótesis:
O
a
X
m(XôA)= a
m(XôB)= b
OC bisectriz de AôB.
Tesis: m(XôC)=?
m(AôB)= b-a
m (AôB)= m (CôB)=
¿Por qué?
b−a
2
m(XôC)= m(XôA) + m(AôC)
(b − a)
2
a+b
m(XôC)=
2
m(XôC)= a +
¿Por qué?
¿Por qué?
¿Por qué?
¿Por qué?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La m(BôC)= 40° y m(CôD)= 80°. Hallar m(BôD) si:
a) C es interior a BôD
b) C es exterior a BôD
2. Cuatro rayos coplanares OA, OB, OC, OD forman ángulos consecutivos tales que
DôA ≅ CôB; m(CôB)= 2m(AôB) y m(CôD)= 3m(AôB).
a) Hallar la medida de cada ángulo.
b) Determinar si hay bisectrices colineales.
3. En la ilustración 5, ¿cuál es la medida del ángulo XÔC si X pertenece al interior de
(AÔB)?
4.
Los rayos coplanares OA, OB, OC, OD y OE forman ángulos consecutivos tales
que:
OC ⊥ OE . Averiguar de cuáles ángulos es
EôD ≅ DôB, CôB ≅ BôA,
OC bisectriz.
5. Los rayos OX y OY son las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AôB y
BôC respectivamente y cuya diferencia de medidas es 36°. El rayo OZ es bisectriz
del ángulo XOY. Hallar la medida del ángulo que hace OZ con:
a) El lado común OB.
b) La bisectriz OP del ángulo total AOC.
6. Demostrar las siguientes proposiciones
a) Los complementos o suplementos de un mismo ángulo o de ángulos congruentes
son congruentes.
b) Las bisectrices de los ángulos formados por dos rectas incidentes o concurrentes
son perpendiculares.
c) El ángulo formado por la bisectriz de un ángulo agudo y una semi-recta
cualquier trazada por el vértice del ángulo es igual a la semisuma o la
semidiferencia de los ángulos que forman esta semi-recta con los lados del
ángulo original.
d) La bisectriz de un ángulo es única.
e) Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares.