Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Introducción a la Teorı́a de Portafolios Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Departamento de Ingenierı́a Financiera ITESO Febrero de 2013 Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Formando combinación de activos o Portafolios I I I La teorı́a de portafolios inicia a finales de los años 50 con el trabajo de Harry Markowitz. Se define un portafolio como la combinación de activos financieros. ¿Qué se necesita para una perfecta combinación de estos activos financieros? I I I I Pesos para cada activo financiero del portafolio. Rendimientos esperados para cada activo Varianzas de los rendimientos esperados Covarianzas de los rendimientos para cada activo financiero. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Pesos en el Portafolio I Los pesos indican la fracción del valor total del portafolio que soporta cada activo, i.e. I xi = (valordeli − esimoactivo)/(totaldelvalordelportafolio) I La composición del portafolio puede ser descrita por sus pesos I x = x1 , x2 , ..., xn y el conjunto de activos A1 , A2 , ..., An I Por definición, la suma de los pesos del portafolio debe ser uno: I x1 + x2 + ... + xn = 1 I En un inicio asumiremos que los pesos son no negativos. Pesos negativos representa préstamo y venta de activos en corto. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Datos Requeridos para los Cálculos I E(xi ) Rendimiento esperado para todos los activos i I V (xi ) Varianza de los rendimientos para todos loas activos i I Cov (xi , xj ) Covarianza de los rendimientos para todos los pares de activos i y j. I Toda esta información se estima de datos históricos usando técnicas estadı́sticas. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Simbologı́a griega en la Teorı́a de Portafolios. I µ = E(R) I σ 2 = Var (R) I σ = SD(R) I σij = Cov (Ri, Rj) I ρij = Cor (Ri, Rj) I Obs: σij = ρij ∗ σi ∗ σj Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Portafolio con dos activos financieros I Supuestos I El cliente busca diversificarse en un activo en particular. I El administrador de portafolios busca incrementar un activo el ya existente portafolio I Los puntos 1 y 2 muestran el rendimiento esperado y la desviación estándar de cada uno de los activos. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo ¿Qué caracterı́sticas debe tener un portafolio con los activos 1 y 2? I Al tener un portafolio con un peso x1 del activo 1 y un peso x2 del activo ; la tasa de rendimiento del portafolio dependen de estos pesos: rp = x1 ∗ r1 + x2 ∗ r2 I El rendimiento esperado y la varianza del rendimiento se obtienen como: I E(rp ) = x1 E(r1 ) + x2 E(r2 ) I V (rp ) = x12 V (r1 ) + x22 V (r2 ) + 2x1 x2 Cov (r1 , r2 ) I El rendimiento esperado del portafolio es la suma de los pesos de los rendimientos esperados del activo 1 y 2 I La varianza es la suma de los pesos al cuadrado de las varianzas más dos veces los pesos por la covarianza Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Cálculo de la Varianza de un Portafolio con un enfoque matricial y n=2 I Establece una matriz de 2X2, usando los pesos del portafolio como encabezado. I Llena la matriz con la información que se tiene de las varianzas y covariarianzas : I σ11 = σ12 = V (r1 ) = varianza del rendimiento para el activo i I σij = ρσi σj = covarianza de los rendimientos para los activos i y j I σij = σji las covarianzas son simétricas Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Continuación del Cálculo de la Varianza de un Portafolio con un enfoque matricial y n=2 I Por cada celda, multiplica el peso del renglón por el peso de la columna ´por la entrada de la celda. Realizar esto en todas las celdas y sumarlo. El resultado es: I σp2 = x12 σ11 + x1 x2 σ12 + x2 x1 σ21 + x22 σ22 I σp2 = x12 σ11 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Ejemplo Numérico para un portafolio con dos activos I Considera dos activos, con las siguientes caracterı́sticas: I Rendimientos Esperados I E(r1 ) = 0.12 E(r2 ) = 0.17) I Desviaciones Estándar I I σ1 = 0.20 σ2 = 0.30 Coeficiente de Correlación I ρ12 = 0.4 I Pesos del Portafolio I x1 = 0.25 x2 = 0.75 I Encuentra E(rp ) y V (rp ) Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Diversificación de un Portafolio y su Efecto I La diversificación de un portafolio resulta de tener dos ó más activos en un portafolio. I Generalmente entre mayor sea la diferencia entre los activos, mayor es la diversificación I El efecto de diversificar es la reducción de la desviación estandar del portafolio, comparado conla combinación lineal de las desviaciones estandar. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Diversificación de un Portafolio y su Efecto I El tamaño del efecto de la diversificación depende del grado de correlación entre los rendimientos de los activos que conforman el portafolio: I σp2 = x12 σ11 + x1 x2 σ12 + x2 x1 σ21 + x22 σ22 I σ12 = ρ12 σ1 σ2 Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Gráfica que muestra la relación de la Desviación Estandar y el Rendimiento Esperado del Portafolio I Las caracterı́sticas del portafolio depende de la correlación de los rendimientos Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo