Transferencia de riesgo en seguros Armando Zarruk Enero 2013 El autor agradece a Diana Carolina Lancheros y a Yennyfer Feo, por sus valiosos aportes y colaboración en este trabajo. Transferencia de riesgo en seguros 1. Introducción Durante la década de los ochenta, en el ámbito internacional, surgieron una serie de contratos de reaseguros que transferían al reasegurador solo una cantidad finita o limitada de riesgo y eran conocidos como “reaseguro finito” o “reaseguro financiero”. Puesto que estos contratos tenían un costo más bajo que el reaseguro tradicional y no era tan clara la transferencia de riesgo, se creía que las compañías aseguradoras los utilizaban para manipular sus estados financieros. Como la esencia del seguro es transferir riesgos, el debate se centró en qué tanto riesgo era transferido efectivamente. Estos cuestionamientos, sumados a una estructura compleja que no era fácil de supervisar, hicieron que los reguladores exigieran requisitos adicionales para el reporte de este tipo de transacciones. Por ejemplo, en los noventa, se estableció en Estados Unidos que las compañías aseguradoras reportaran, junto con sus estados contables, un suplemento de reaseguros en donde se evaluara la transferencia de riesgo de ciertos contratos, entre otros. Recientemente, en el ámbito local, los entes del gobierno han requerido también un mayor análisis de los contratos de reaseguro no proporcional, y en particular de los del ramo de cumplimiento o fianzas. Esto se ha generado quizá con el fin de garantizar que las compañías aseguradoras cuenten con las coberturas de reaseguro apropiadas que les permitan honrar sus obligaciones en caso de verse afectadas por reclamaciones inusuales y significativas, como por ejemplo el pago asociado al incumplimiento en la ejecución de las obras de gran magnitud en materia de infraestructura de transporte. Se han fortalecido algunos de los controles de los entes de regulación y supervisión mediante la solicitud de información detallada de los contratos de reaseguro no proporcional y requiriendo que las compañías aseguradoras presenten un análisis cuantitativo sobre la transferencia de riesgo del contrato. Dado que este era un requerimiento nuevo que involucraba dos temas altamente especializados –ramo de cumplimiento y reaseguros­–, FASECOLDA contrató un estudio con el fin de desarrollar un modelo de industria que le permita a las compañías cumplir con los requerimientos del supervisor. El propósito de esta consultoría fue encontrar un modelo para evaluar la transferencia de riesgo en los contratos de reaseguro no proporcional en el ramo de cumplimiento. Para tal fin, fue necesario modelar tanto el número, como el valor de las reclamaciones en cada una de las coberturas de este ramo, incluyendo Anticipo, Cumplimiento, Salarios y Prestaciones, Calidad y Estabilidad de Obra, Calidad del Servicio, Calidad y Correcto Funcionamiento de los Bienes y otros. Para definir completamente las distribuciones teóricas de frecuencia y severidad se encontraron los parámetros que Minimizaran el Error Absoluto entre los datos históricos y el modelo propuesto, seleccionando de entre los diferentes modelos el que mejor se ajustara. Posteriormente, y con base en la .. 533 .. distribución agregada de las reclamaciones, se evalúo la transferencia de riesgo con base en la métrica Déficit Esperado para el Reasegurador (ERD), recomendada por el consultor. En la Sección 2 se presentan los conceptos generales del reaseguro, explicando su importancia y los diferentes tipos de reaseguro existentes; en la Sección 3 se presentan aspectos matemáticos básicos para la modelación del reaseguro, se describen las distribuciones utilizadas para estimar la frecuencia y la severidad y, adicionalmente, se presenta una breve introducción sobre cómo seleccionar el modelo más adecuado. La Sección 4 contiene los conceptos de transferencia de riesgo y su cuantificación. Finalmente, la sección 5 presenta una aplicación al seguro de cumplimiento, proporciona algunas recomendaciones sobre desarrollos futuros para demostrar la transferencia de riesgo y unas breves conclusiones. 2. Generalidades del reaseguro Así como los individuos transfieren riesgos a una compañía aseguradora mediante la compra de un seguro, las compañías de seguros también pueden transferir (o ceder) parte de los riesgos que asumen en sus pólizas a otras compañías llamadas reaseguradoras. El traslado mediante el reaseguro es una de las herramientas disponibles fundamentales para el manejo del riesgo por parte de las compañías de seguros. 2.1 Importancia del reaseguro En adición a transferir riesgos, dentro de las razones más importantes para la compra de un reaseguro, pueden mencionarse que le permite a la compañía de seguros cedente, entre otros: a. Aumentar su capacidad financiera para suscribir más negocios. b. Protegerse ante potenciales pérdidas catastróficas que puedan afectar su estabilidad financiera. c. Disminuir la volatilidad de las reclamaciones. d. Beneficiarse de la experiencia en suscripción del reasegurador. 2.2 Tipos de reaseguro Aunque no hay una clasificación estándar de los reaseguros, a continuación se presentan algunas de las formas más comunes para clasificar los reaseguros: .. 534 .. Transferencia de riesgo en seguros 2.2.1 Proporcional/no proporcional En un proporcional se define, al momentocada de la uno suscripción, porcentaje o proque la contrato reaseguradora apruebe explícitamente de los el riesgos antes que estos sean porción de las pérdidas (y primas) que le corresponden al reasegurador. En un contrato no reasegurados. que la la reaseguradora reaseguradora apruebe apruebe explícitamente explícitamente cada cada uno uno de de los los riesgos riesgos antes antes que que estos estos que proporcional (o de exceso de pérdida), el asegurador asume el valor de las reclamaciones reasegurados. reasegurados. hasta un monto especificado llamado “prioridad”, y el reasegurador se hace responsable del pago de las reclamaciones que superen la prioridad. 2.2.3 Tradicional/financiero que la reaseguradora apruebe explícitamente cada uno de los riesgos antes que estos sean 2.2.3 Tradicional/financiero Tradicional/financiero 2.2.3 2.2.2 Automático/facultativo reasegurados. En el reaseguro tradicional el objetivo principal es la transferencia de riesgo. En el financiero, En el contrato automático se definen con anticipación las pólizas y condiciones de los Entransferencia el reaseguro reaseguro tradicional elautomática objetivo principal es la la transferencia transferencia de riesgo. riesgo. En En el el finan finan aunque de riesgo, este es un objetivo secundario delEn contrato. En el tradicional el objetivo principal es de negocioshay que serán cedidos de manera a la reaseguradora. los contratos aunque hay transferencia transferencia de riesgo, riesgo, este este es un unexplícitamente objetivo secundario secundario del contrato. aunque hay de es objetivo contrato. facultativos se requiere que la reaseguradora apruebe cadadel uno de los 2.2.3riesgos Tradicional/financiero antes que estos sean reasegurados. 3. Modelación de reclamaciones en seguros 2.2.3 Tradicional/financiero 3. Modelación Modelación de de reclamaciones reclamaciones en en seguros seguros 3. En el reaseguro tradicional el objetivo principal es la transferencia de riesgo. En el financiero, aunque transferencia de riesgo, este es principal un objetivo del contrato. En hay el reaseguro el objetivo es secundario la transferencia de riesgo. En elde finanEn seguros, unatradicional de las variables de mayor interés es la pérdida agregada un portafolio de ciero, aunque hay transferencia de riesgo, estede esmayor un objetivo secundario del contrato. En seguros, una de las variables de mayor interés es la pérdida agregada de un un portafol portafo En seguros, una de las variables interés es la pérdida agregada de pólizas que denotaremos como S. De manera general podemos expresar la pérdida agregada como: pólizas que que denotaremos denotaremos como como S. S. De De manera manera general general podemos podemos expresar expresar la la pérdida pérdida agre agre pólizas 3. Modelación de reclamaciones en seguros como: como: 3. Modelación de reclamaciones en seguros S= ! !!! 𝑋𝑋! !! ! 𝑋𝑋 En seguros, una de las variables de mayor interés es la S= pérdida S= 𝑋𝑋!agregada de un portafolio de !!! !!! !!! ! ! En que seguros, una de lascomo variables de mayor interés es lapodemos pérdida agregada portafolio pólizas denotaremos S. De manera general expresar de la un pérdida agregada de pólizas que denotaremos como S. De manera general podemos expresar la pérdida como: agregadaDonde como:𝑁𝑁 representa el número de reclamaciones en un período de tiempo dado para el Donde 𝑁𝑁 𝑁𝑁 representa representa el el número número de de reclamaciones reclamaciones en en un un período período de de tiempo tiempo dado dado pa p Donde S= la! 𝑋𝑋! portafolio, y 𝑋𝑋 ! representa el monto S= de i-ésima reclamación. Tanto 𝑁𝑁 como 𝑋𝑋 son variables !!! portafolio, yy 𝑋𝑋𝑋𝑋 ! ! ! representa representa el el monto monto de de la la i-ésima i-ésima reclamación. reclamación. Tanto Tanto 𝑁𝑁 𝑁𝑁 como como 𝑋𝑋𝑋𝑋 son son vari var portafolio, aleatorias, cuyos parámetros son obtenidos a partir de la experiencia de la compañía. A aleatorias, cuyos cuyos parámetros parámetros son son obtenidos obtenidos aa partir partir de de la la experiencia experiencia de de la la compañ compañ aleatorias, Donde N representa el número en unmás período de tiempo para elactuarial para continuación, veremos algunas de dereclamaciones las distribuciones utilizadas en ladado literatura continuación, veremos veremos algunas algunas de de las las distribuciones distribuciones más más utilizadas utilizadas en en la la literatura literatura actuarial actuaria continuación, portafolio, y Xi representa el monto de la i-ésima reclamación. Tanto N como X son variaDonde 𝑁𝑁 representa el número de yreclamaciones en un período de tiempo dado para el modelar elmodelar número de reclamaciones el valor de las reclamaciones. el parámetros número de de reclamaciones reclamaciones el valor valor de las reclamaciones. reclamaciones. modelar el número yypartir el las bles aleatorias, cuyos dede la experiencia de la compañía. A portafolio, y 𝑋𝑋 ! representa el monto son de obtenidos la i-ésimaareclamación. Tanto 𝑁𝑁 como 𝑋𝑋 son variables continuación, veremos algunas de las distribuciones más utilizadas en la literatura actuarial para modelar el número de reclamaciones y el valor de las reclamaciones. aleatorias, cuyos parámetros son obtenidos a partir de la experiencia de la compañía. A continuación, veremos algunas de las distribuciones más utilizadas en la literatura actuarial para 3.1 Distribuciones de frecuencia 3.1 Distribuciones Distribuciones de frecuencia frecuencia 3.1 de 3.1 Distribuciones de frecuencia modelar el número de reclamaciones y el valor de las reclamaciones. Dentro deDentro la literatura actuarial, las distribuciones de frecuencia más utilizadas son la son Poisson, la Dentro de la la literatura literatura actuarial, actuarial, las distribuciones distribuciones de frecuencia frecuencia más utilizadas utilizadas son la Poisso Poiss de las de más la Binomial yBinomial la Dentro de la Binomial literatura actuarial,Negativa. las distribuciones de frecuencia más utilizadas son la Binomial laNegativa. Binomial Negativa. yy la Binomial 3.1 Distribuciones de frecuencia Poisson, la Binomial y la Binomial Negativa. Sea 𝑁𝑁 el el de número de posibles posibles eventos. La función función de densidad densidad de probabilidad 𝑁𝑁 número de eventos. La de Sea elSea número posibles eventos. La de función de de densidad de probabilidad de la Sea N el𝑁𝑁número de posibles eventos. La función densidad probabilidad dede la probabilidad Dentro de la literatura actuarial, las distribuciones de frecuencia más utilizadas son la Poisson, la distribución decon Poisson con parámetro parámetro está dada por: por: distribución de Poisson con 𝜆𝜆𝜆𝜆 está dada distribución de parámetro 𝜆𝜆 está estádada dada por: distribución dePoisson Poisson por: Binomial y la Binomial Negativa. !! ! !! !! ! ! !!! !!!! ! ! 𝑛𝑛 = 0,1,2 …Tenemos que 𝐸𝐸 𝑁𝑁 = 𝜆𝜆 !𝑁𝑁 = !𝑛𝑛𝑛𝑛 = = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = = 𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁 𝑛𝑛 = 0,1,2 …Tenemos que = 𝜆𝜆𝑁𝑁yy 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 Tenemos 𝑃𝑃 𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛== 0,1,2 …Tenemos que 𝐸𝐸 𝑁𝑁que = 𝜆𝜆𝐸𝐸 y𝑁𝑁𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = 𝐸𝐸 𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑁𝑁 = =𝐸𝐸𝐸𝐸𝜆𝜆 𝑁𝑁𝑁𝑁 = !! !! Sea 𝑁𝑁 el número de!!!! posibles eventos. La función de densidad de probabilidad de la .. 535 .. distribución de Poisson con parámetro 𝜆𝜆 está dada por: 𝑃𝑃 𝑁𝑁 = 𝑛𝑛 = ! !! !! 𝑛𝑛 = 0,1,2 …Tenemos que 𝐸𝐸 𝑁𝑁 = 𝜆𝜆 y 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑁𝑁 = 𝐸𝐸 𝑁𝑁 = 𝜆𝜆 En el caso binomial, el resultado de cada posible experimento admite sólo dos categorías, éxito y fracaso. Las probabilidades de ambas posibilidades se denotan como p y q. por X ela resultado la variable que mide número deadmite éxitos sólo quedos se categorías, han producido EnSeel designa caso binomial, de cada posibleelexperimento éxito yen los n experimentos de la siguiente manera: fracaso. Las probabilidades de ambas posibilidades se denotan como p y q. Se designa En por a la variableel que mide de el cada número de experimento éxitos que admite se hansólo producido en elXcaso binomial, resultado posible dos categorías, éxito y 𝑛𝑛 !" losEnn el experimentos de la siguiente manera: ! Las !!! binomial, elbinomial, resultado de posible experimento admite dos pcategorías, éxito y de = ambas posibilidades se denotan como y q. dos categorías, 𝑃𝑃 𝑋𝑋 =caso 𝑥𝑥 =fracaso. 𝑝𝑝caso 1− 𝑝𝑝probabilidades donde 𝐸𝐸cada 𝑋𝑋 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = (1 − 𝑝𝑝) sólo En el el resultado de cada posible experimento admite sólo éxito y 𝑥𝑥 fracaso. Las probabilidades de ambas posibilidades se denotan como p y q. En el caso binomial, el resultado de cada posible experimento admite sólo dos catefracaso. Las probabilidades de ambas se denotan como pque y q. se han producido en Se designa por X a la variable queposibilidades mide el número de éxitos gorías, éxito y fracaso. Las probabilidades de ambas posibilidades se denotan como p y q. en 𝑛𝑛 !" Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han ! !!! experimentos manera: Se n𝑝𝑝designa X de a lala que 𝑋𝑋 mide de éxitos queproducido se han producido en 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 = los 1 − 𝑝𝑝 pordonde 𝐸𝐸siguiente 𝑋𝑋variable = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 = el(1número − 𝑝𝑝) 𝑥𝑥 designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido Se los notro experimentos de que la siguiente los n siguientealeatoria manera: tiene una distribución binomial negativa con Por lado seexperimentos dice es de unalamanera: variable en los nkexperimentos de la siguiente parámetros y si 𝑛𝑛 se realiza manera: X número de experimentos de Bernoulli de !" ! !!! 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝 donde 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = (1 − 𝑝𝑝) parámetro 𝑛𝑛independientes hasta la consecución del k-ésimo éxito. La distribución está dada de 𝑥𝑥 !" ! !" Por otro se dice que𝑛𝑛 !!! es una variable tiene= una binomial negativa con 𝑃𝑃 siguiente 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥lado =𝑃𝑃manera 𝐸𝐸 𝑋𝑋donde =aleatoria 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 (1distribución − 𝑋𝑋 =𝑝𝑝 𝑥𝑥 1=− 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ! donde 1 − 𝑝𝑝 !!! 𝐸𝐸 𝑋𝑋 =𝑋𝑋𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 𝑝𝑝)= (1 − 𝑝𝑝) la 𝑥𝑥 parámetros k y si 𝑥𝑥 se realiza X número de experimentos de Bernoulli de 𝑥𝑥 − 1 parámetro independientes hasta la consecución del k-ésimo éxito. La distribución está dada de ! !!! 𝑃𝑃 𝑋𝑋 una = 𝑥𝑥una = variable 𝜃𝜃aleatoria 1 − 𝜃𝜃tiene Por otro otro lado es tiene distribuciónbinomial binomial negativa con lado se dice que variable unauna distribución la siguiente Por manera 𝑘𝑘 − 1aleatoria Por negativa otro lado se dice aleatoria tiene una distribución binomial negativa parámetros kque ysees siyque realiza X número de experimentos de Bernoullicon de Porcon otro lado dice es variable aleatoria tiene una distribución binomial negativa parámetros kuna θvariable sise se una realiza X número de experimentos de Bernoulli de con 𝑥𝑥 la − 1consecución parámetros k y si se realiza X número de experimentos de Bernoulli de parámetro independientes hasta del k-ésimo éxito. La distribución está dada de ! !!! parámetros k y si se realiza X número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes del𝜃𝜃 k-ésimo éxito. La distribución está 𝑃𝑃 𝑋𝑋hasta = 𝑥𝑥 la=consecución 𝜃𝜃 1 − 𝑘𝑘 − 1 del k-ésimo éxito. La distribución está dada de siguiente manera parámetro la independientes hasta la consecución parámetro ! !!! independientes !!! la consecución del k-ésimo éxito. La distribución está dada de dada la=siguiente manera𝑋𝑋 = ! hasta Donde 𝐸𝐸 de 𝑋𝑋lamanera 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 la siguiente siguiente ! manera !! 𝑥𝑥 − 1 ! 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥 = 𝜃𝜃 1 − 𝜃𝜃 !!! 3.2 Distribuciones de severidad 𝑥𝑥 − 1 ! 𝑘𝑘𝑥𝑥 − 11 !!! − 3.2 Distribuciones ! !!! de severidad ! !!! ! !!! Donde 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 𝑃𝑃=𝑋𝑋 =!!𝑥𝑥 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘𝑋𝑋 −= 1𝑥𝑥 𝜃𝜃= 1𝑘𝑘−−𝜃𝜃1 𝜃𝜃 1 − 𝜃𝜃 ! Dentro de las distribuciones de severidad más utilizadas en la literatura actuarial, encontramos la Dentro de las distribuciones de severidad más utilizadas en la literatura actuarial, encontramos la 3.2 Distribuciones de severidad ! !!! ! !!! lognormal y la de Pareto, que presentaremos a continuación: Donde 𝑋𝑋 =que !presentaremos 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 a=continuación: lognormal Donde y la de 𝐸𝐸 Pareto, ! ! !!! ! !!! ! !!! !! !!! Donde 𝐸𝐸 𝑋𝑋 = 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑋𝑋 = Donde 𝐸𝐸! 𝑋𝑋 = de !severidad 𝑦𝑦 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉!más = !! en la literatura actuarial, encontramos la !𝑋𝑋 utilizadas Dentro de las distribuciones 3.2 Distribuciones de severidad 3.2 Distribuciones de severidad lognormal y la de Pareto, que presentaremos a continuación: 3.2 Distribuciones de severidad 3.2 Distribuciones de severidad 3.2.1 Distribución log-normal 3.2. 1 Distribución log-normal Dentro de las distribuciones de severidad más utilizadas en la literatura actuarial, encontramos la Dentro de las distribuciones de severidad más utilizadas en la literatura actuarial, enconDentro de lognormal lasdensidad distribuciones de severidad más utilizadas en la literatura encontramos la Dentro de las distribuciones severidad más utilizadas enestá laactuarial, literatura actuarial, encontramos la y la de Pareto, que presentaremos a continuación: La función de de probabilidad de una distribución log-normal dada por: tramos la log-normal y la de Pareto, que presentaremos a continuación: La función de densidad de probabilidad de una distribución log-normal está dada por: lognormal ylognormal la de Pareto, que presentaremos a continuación: 3.2. 1 Distribución log-normal y la de Pareto, que presentaremos a continuación: !(!"# (!)!!!)! 1 ! ! !! f x = 1 e !!!!(!"# (!)!!!) , 0 < 𝑥𝑥 3.2.1 Distribución log-normal !! f x = σa , 0 < 𝑥𝑥 está dada por: La función de densidad de probabilidad de una log-normal 2a edistribución xσ 2π 3.2. 1 de Distribución de una distribución log-normal está dada por: La función densidad delog-normal probabilidad 1 3.2. 1 Distribución log-normal (!"# (!)!!!)! 1 3.2. 1 Distribución log-normal 1E(X !! !) != exp kxp k ! σ!! !! kxp, 2 k ! σ f x =de probabilidad 0 < 𝑥𝑥 E(Xe ) != exp La función de densidad de una2distribución log-normal está dada por: xσ 2π La función La de función densidad de probabilidad de una distribución log-normal está dada por: de densidad de probabilidad de una distribución log-normal está dada por: !(!"# (!)!!!)! 1 1 !!! ! ! ! E(X f)x= = exp kxp e k! σ ! , 0 < 𝑥𝑥 !(!"# (!)!!!) 2 !(!"# (!)!!!)! 3.2.2 Distribución de Paretof x = 1 e!! xσ 1!2π ! !!, ! < 𝑥𝑥 0 3.2.2 Distribución de Pareto ! f x = e , 0 < 𝑥𝑥 xσ 2π xσ 2π 1 ! ! 3.2.2 Distribución de Pareto ! E(X ) = exp kxp k está σ dada por: La de de de distribución de Pareto Pareto 1 de 21 Pareto Lafunción función de densidad densidad de probabilidad probabilidad de una unadedistribución está dada ! ! función de densidad de probabilidad unakxp distribución de estápor: dada por: ! ! ! E(X ! ) = exp k σ 3.2.2 LaDistribución de Pareto E(X ) = 2 exp kxp 2 k σ ! αλ αλ! , ff xx = > 00 !! , = xxde > La función de densidad de probabilidad de una λa distribución Pareto está dada por: !! λa 3.2.2 Distribución de Pareto 3.2.2 Distribución de Pareto ! Pareto αλ !!!!! 3.2.2 Distribución E de X = para para 𝑘𝑘 entero k entero !!! !!! …, !!! x > 0 f x = La función de densidad de probabilidad λa !! de una distribución de Pareto está dada por: La función La de función densidad probabilidad de una distribución de Pareto está dada por: dede densidad de probabilidad de una distribución de Pareto está dada por: αλ! f x = , x>0 αλ! λa !!! 3.3 Estimación de modelos f x = , = xαλ> 0 , f x x>0 !! λa λa !! Una vez se asume que el número y valor de las.. reclamaciones tienen una forma funcional definida 536 .. o una distribución dada, se deben encontrar los parámetros de las distribuciones de frecuencia y severidad. El criterio definido para la selección de parámetros es minimizar el error absoluto entre Transferencia de riesgo en seguros 3.3 Estimación de modelos Una vez se asume que el número y valor de las reclamaciones tienen una forma funcional definida o una distribución dada, se deben encontrar los parámetros de las distribuciones de frecuencia y severidad. El criterio definido para la selección de parámetros es minimizar el error absoluto entre los datos históricos y los de la distribución teórica ajustada a los datos. Con base en la distribución asumida y los parámetros encontrados, es importante decidir qué tan adecuado es el modelo obtenido. Las pruebas de bondad de ajuste permiten determinar si es o no razonable asumir que una muestra aleatoria proviene de una distribución de probabilidad teórica específica, y constituyen una herramienta importante para la selección y validación de los modelos que se ajustaron a la información disponible. Esto se hace comparando los datos de la muestra con aquellos obtenidos en el modelo ajustado. Usualmente se utilizan comparaciones gráficas y pruebas numéricas. Las pruebas gráficas permiten una comparación visual del ajuste de las observaciones de la muestra y un conjunto teórico que proviene de la distribución utilizada. Mediante este tipo de gráficos se pueden identificar visualmente aspectos básicos de la información, tales como su ubicación, escala, asimetrías, datos atípicos, modas, etc. Con las pruebas gráficas se pueden hacer comparaciones (teórico vs. empírico), por ejemplo, de la función de densidad, la de distribución acumulada, y los cuantiles de la distribución, entre otros. Si bien las comparaciones gráficas permiten una primera visualización de los datos y su cercanía con los modelos teóricos, es necesario utilizar pruebas formales para evaluar de forma cuantitativa el ajuste de las distribuciones de tal forma que se seleccione “el mejor” modelo entre aquellos que razonablemente describen los datos, teniendo en cuenta, entre otros aspectos, el propósito particular para el cual se requiere el modelo. Dentro de las pruebas estadísticas más comunes se encuentran las siguientes: Chi Cuadrado, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, criterio de Información de Akaike, criterio de Información Bayesiano y criterio de la log verosimilitud. 4. El concepto de transferencia de riesgo Las preocupaciones que se generaron internacionalmente a raíz del uso de ciertos contratos de reaseguro en donde la transferencia de riesgo era cuestionable, hicieron que varios reguladores exigieran requisitos adicionales para el reporte contable de este tipo de transacciones. Hemos adoptado como base los estándares para acreditar la transferencia de riesgo en el mercado Norte Americano; en particular, se describen los requerimientos .. 537 .. en Estados Unidos de acuerdo a los Principios de Contabilidad Generalmente Aceptados y a los Principios de Contabilidad Estatutarios (US GAAP y SAP, por sus siglas en inglés). Aunque la contabilidad US GAAP es la más utilizada en las corporaciones, las compañías aseguradoras deben realizar reportes con base en el método SAP1, de acuerdo con los procedimientos establecidos por La Asociación Nacional de Comisionados de Seguros (NAIC). Estos nuevos requerimientos para el reporte de reaseguro quedaron establecidos a mediados de los noventa. Mientras en la contabilidad GAAP se estableció el estándar 113 (FAS 113), la contabilidad SAP aplicaba el estándar 62 (SSAP 62); sin embargo, en sus aspectos fundamentales los dos estándares son similares y por lo tanto, en lo que sigue, nos referiremos indistintamente a ellos. 4.1 Definiendo la transferencia de riesgo En los parágrafos 9-11 de FAS 113 (Reinsurance of Short-Duration Contracts) se establecen las condiciones para que un contrato califique contablemente como un reaseguro. En particular, en la norma FAS 113 (como en la SSAP 62) se deben cumplir las siguientes dos condiciones: a. “El reasegurador asume riesgo de seguro significativo en las partes reaseguradas de los contratos de seguro subyacentes”, (párrafo 9 a). b. “Es razonablemente posible que el reasegurador pueda tener una pérdida significativa a raíz de la transacción”, (párrafo 9 b). Sin embargo, ninguna de las dos normas define o establece una forma clara de interpretar apropiadamente los términos “riesgo de seguro significativo”, “razonablemente posible” y “pérdida significativa”. A raíz de los vacíos que se encontraron al tratar de interpretar la norma mediante la cual se establecían los requisitos para la transferencia de riesgo en el contrato de reaseguros, se crearon comités especializados en las diferentes asociaciones de actuarios con el fin de analizar el alcance de estos estándares. Estos comités buscaban, fundamentalmente, una forma no solo de definir, sino también de demostrar cuándo hay transferencia de riesgo en un contrato de reaseguros, originando así una buena parte de la literatura actuarial sobre este tema. A continuación, se discute el documento emitido por la Academia Americana de Actuarios, Una Nota Práctica Sobre Pruebas de Transferencia de Riesgo, con el que se buscaba dar una guía (no obligatoria), sobre la transferencia de riesgo en una transacción de reaseguros. El reporte define, para efectos de la transferencia de riesgo, las siguientes 3 categorías de contratos: 1 Las compañías de seguros que son sociedades anónimas, también deben reportar con base en GAAP a la Comisión de Bolsa y Valores. .. 538 .. Transferencia de riesgo en seguros 4.1.1 Los contratos exentos En estos, el asegurador puede considerarse exento de los requisitos que prueben la transferencia de riesgos. Entre otros, se incluyeron aquellos contratos anteriores a 1992 (FAS 113 se estableció en 1992 y SSAP 62 en 1994), y los contratos inactivos, sin valor recuperable en los estados financieros de la aseguradora. 4.1.2 Los contratos razonablemente evidentes por sí mismos En estos contratos dada la clase o características particulares del contrato, es evidente que el reasegurador asume riesgo. Estos contratos, que tienen términos y condiciones estándar y potenciales pérdidas mayores que la prima para el reasegurador, incluyen contratos cuota parte sin corredores de pérdida, contratos catastróficos anuales sin provisiones inusuales de reinstalamentos y contratos de exceso de pérdida sin ajustes de prima por experiencia. 4.1.3 Los contratos no razonablemente evidentes por sí mismos Aquí se incluyen todos los demás tipos de contrato en donde la transferencia de riesgo no es razonablemente evidente y se requiere de un análisis adicional para determinar si hay transferencia. Algunas características de este tipo de contratos incluyen que los términos y condiciones contractuales de cobertura no son estándar para el tipo de contrato, o que el contrato incluye condiciones que le permiten al reasegurador recobrar una parte significativa de la pérdida cubierta. Estos tienen términos y condiciones que limitan el riesgo y pueden incluir contratos plurianuales, en donde las primas se ajustan con base en la experiencia de los años anteriores, o contratos con altas primas por los reinstalamentos. Por supuesto, el hecho que un contrato no se pueda clasificar como “razonablemente evidente por sí mismo”, no implica que no transfiera riesgo; significa que se necesita un mayor análisis para evaluar la magnitud de la misma. Aunque estos análisis por lo general incluyen aspectos tanto cualitativos como cuantitativos del contrato, nos concentraremos en los segundos. 4.2 Cuantificando la transferencia de riesgo Para evaluar cuantitativamente la transferencia de riesgo en un contrato de reaseguro, se deben analizar detalladamente las cláusulas y condiciones del contrato, en particular aquellas que limitan la transferencia. Así mismo, es necesario desarrollar modelos de frecuencia y severidad para modelar las pérdidas y proyectar flujos de caja esperados bajo diferentes escenarios, tanto para el reasegurador, como para la compañía cedente, y compararlos en valor presente. Con base en los flujos de caja, que son un estimado de la probabilidad de los resultados que se pueden obtener, se calculan las métricas y se determina si existe una posibilidad razonable de pérdida significativa para el reasegurador. Si la métrica calculada .. 539 .. se desempeña bien con respecto al valor del umbral correspondiente para cada métrica, se concluye que hay transferencia de riesgo. Aunque hay varias métricas o modelos para “cuantificar” la transferencia de riesgo en un contrato de reaseguro, debe ser entendido que aun no hay un consenso en la literatura actuarial sobre cuál es la mejor. A continuación, describiremos e ilustraremos varias de las métricas que se plasman en la literatura, destacando que se pueden encontrar desde enfoques simples, hasta modelos estocásticos altamente sofisticados. 4.2.1 Regla del “10-10” La regla del “10-10” establece que en un contrato de reaseguro se tiene transferencia de riesgo si existe al menos un 10% de probabilidad de que haya una pérdida del 10% o más para el reasegurador. Aunque este método traduce la transferencia del riesgo en una forma fácil de aplicar y se toma como punto de referencia, tiene deficiencias. Por ejemplo, los contratos catastróficos en donde por lo general se asume que hay transferencia del riesgo no pasan la regla del “10-10”. Dado que la frecuencia de grandes catástrofes es tan baja, usualmente puede que no haya una probabilidad del 10% de una pérdida para el reasegurador. Sin embargo, con una probabilidad menor existe la posibilidad de una pérdida mucho mayor al 10%. 4.2.2 Déficit esperado del reasegurador 4.2.2 Déficit esperado del reasegurador El Déficit Esperado para el Reasegurador (ERD, por sus siglas en inglés) se define como: El Déficit Esperado para el Reasegurador (ERD, por sus siglas en inglés) se define como: Donde, Donde, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃 p: es probabilidad pérdida neta para el reasegurador. 𝑝𝑝: es la la probabilidad de de unauna pérdida neta para el reasegurador. T: es la severidad promedio de la pérdida neta cuando ocurre, y 𝑇𝑇: es la la severidad promedio de la pérdida neta cuando ocurre, y P: es prima esperada. 𝑃𝑃: es la prima esperada. El ERD se deriva de la distribución de probabilidad de los resultados netos y compara, en valor presente, la prima que recibe el reasegurador con el producto de la probabilidad El ERD se deriva de la distribución de probabilidad de los resultados netos y compara, en de una pérdida neta y la severidad promedio de la pérdida para el reasegurador. Como valor presente, la prima que recibe el reasegurador con el producto de la probabilidad de una ilustración para el cálculo de algunas de estas métricas utilizaremos el siguiente ejemplo pérdida neta y la severidad promedio de la pérdida para el reasegurador. Como ilustración para el tomado de Ruhm and Brehm, del texto Risk Transfer Testing of Reinsurance Contracts: cálculo de algunas de estas métricas utilizaremos el siguiente ejemplo tomado de Ruhm and Brehm, del•texto Risk of Reinsurance Contracts: Asuma unTransfer contratoTesting de reaseguro con las siguientes características: • 250 millones en exceso de 500 millones. Asuma un contrato de reaseguro con las siguientes características: • • • • • 250 millones en exceso de 500 millones. Tasa de inversión del 4%. .. 540 .. 10 millones de prima. Prima pagada por anticipado y reclamaciones pagadas después de un año. Distribución de la pérdida para los 250 en exceso de 500 dada por: Transferencia de riesgo en seguros • Tasa de inversión del 4%. • 10 millones de prima. • Prima pagada por anticipado y reclamaciones pagadas después de un año. • Distribución de la pérdida para los 250 en exceso de 500 dada por: ▶ Tabla 1: Distribución de la pérdida para los 250 en exceso de 500 Pérdida reasegurador Probabilidad Ganancia neta 0 96% 10.000.000 50.000.000 2% (38.076.923) 150.000.000 1% (134.230.769) 250.000.000 1% (230.384.615) La ganancia neta se calcula como: Ganancia neta=Prima-Pérdida/1.04 Por ejemplo, 38.076.923 = 10.000.000 - 50.000.000 / 1.04 38.076.923 =10.000.000-50.000.000/1.04 38.076.923 =10.000.000-50.000.000/1.04 Ahora, el ERD es calculado de la siguiente manera: Ahora, el ERD es calculado de la siguiente manera: Ahora, el ERD es calculado de la siguiente manera: 𝑝𝑝 = 2% + 1% + 1% = 4% 𝑝𝑝 = 2% + 1% + 1% = 4% 38,076 ∗ 2% + 134,230 ∗ 1% + 230,384 ∗ 1% 𝑇𝑇 = 38,076 ∗ 2% + 134,230 ∗ 1% + 230,384 ∗ 1% = 110,192 4% 𝑇𝑇 = = 110,192 4% Esta fórmula ubica todos los flujos de dinero en la misma base con el valor presente neto. Esta fórmula ubica todos loslos flujos dede dinero enen la la misma Esta fórmula ubica todos flujos dinero mismabase basecon conelelvalor valorpresente presenteneto. Así: Así: neto. Así: 4% 110,192 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = 4% 110,192 = 44.1% 10,000 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = = 44.1% 10,000 Este valor de ERD es relativamente grande, la transferencia de riesgo es de 44 Este valor de ERD es relativamente grande, la transferencia de riesgo es de 44 veces el de un contrato que pasa estrechamente la regla “10-10”. valor deque ERD es estrechamente relativamente la grande, la transferencia de riesgo es de 44 veces el deEste un contrato pasa regla “10-10”. veces el de un contrato que pasa estrechamente la regla “10-10”. 4.2.3 Razón de cobertura de riesgo 4.2.3 Razón de cobertura de riesgo Una medida relacionada al ERD es la Razón de Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, RCR, Una medida relacionada al ERD es la Razón de Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, RCR, en inglés), que mide el retorno esperado relativo .. 541 ..del riesgo, en lugar de la prima. El RCR es en inglés), que mide el retorno esperado relativo del riesgo, en lugar de la prima. El RCR es definido por muchas fórmulas equivalentes, siendo una de estas la siguiente: definido por muchas fórmulas equivalentes, siendo una de estas la siguiente: 𝑝𝑝𝑝𝑝 10,000 Este valor de ERD es relativamente grande, la transferencia de riesgo es de 44 4.2.3 4.2.3 Razón Razón de decobertura coberturade deriesgo riesgo veces el de un contrato que pasa estrechamente la regla “10-10”. Una medida relacionada al ERD es la Razón de Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, RCR, Una medida relacionada al ERD es la Razón de Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, RCR, en inglés), que mide el retorno esperado relativo del riesgo, en lugar de la prima. El RCR es en inglés), que el retorno esperado relativo del riesgo, en lugar de la prima. El RCR es 4.2.3 Razón demide cobertura de riesgo definido por muchas fórmulas equivalentes, siendo una de estas la siguiente: definido por muchas fórmulas equivalentes, 4.2.3 Razón de cobertura de riesgo siendo una de estas la siguiente: Una medida relacionada al ERD es la Razón de Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, RCR, Una medida relacionada al ERD es la Razón de𝑝𝑝𝑝𝑝 Cobertura de Riesgo (Risk Coverage Ratio, 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 en inglés), que mide que el retorno relativo del riesgo, lugar en delugar la prima. El RCR es = 𝐸𝐸(𝐺𝐺) RCR, en inglés), mide elesperado retorno 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 esperado relativo delenriesgo, de la prima. 𝐸𝐸(𝐺𝐺) definido por muchas fórmulas equivalentes, siendo una de estas la siguiente: El RCR es definido por muchas fórmulas equivalentes, siendo una de estas la siguiente: 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = Donde, de Donde, 𝐸𝐸(𝐺𝐺) 𝐸𝐸(𝐺𝐺) es es la la ganancia ganancia esperada esperada dentro dentro de todas todas las las posibilidades, posibilidades, yy 𝑝𝑝 𝑝𝑝 yy 𝑇𝑇 𝑇𝑇 se se definen definen 𝐸𝐸(𝐺𝐺) de la misma forma que en el ERD. de la misma forma que en el ERD. Donde, E(G) es la ganancia esperada dentro de todas las posibilidades, y p y T se El RCR la de ganancia esperada por unidad de riesgo y mide cuántas definen de es la misma forma en el ERD. El RCR es la cantidad cantidad deque ganancia esperada unidadlas deposibilidades, riesgo asumido asumido Donde, 𝐸𝐸(𝐺𝐺) es la ganancia esperada dentro por de todas y 𝑝𝑝yymide 𝑇𝑇 se cuántas definen veces el riesgo de pérdida de dinero es “cubierto” por el retorno esperado. El RCR es la cantidad de ganancia esperada por unidad de riesgo asumido y mide veces el riesgo de pérdida deERD. dinero es “cubierto” por el retorno esperado. de la misma forma que en el cuántas veces el riesgo de pérdida de dinero es “cubierto” por el retorno esperado. Continuando con el anterior, podemos calcular el valor esperado de Continuando concon el ejemplo ejemplo anterior, podemos calcular valor esperado dedeganancia ganancia Continuando eldeejemplo anterior, podemos calcular el valor esperado gaEl RCR es la cantidad ganancia esperada por unidad deelriesgo asumido y mide cuántas como: nancia como: como: el riesgo de pérdida de dinero es “cubierto” por el retorno esperado. veces como: 𝐸𝐸 𝐺𝐺 = ∗ 96% − 38,077 2% − 134,231 ∗ 1% −385 230,385 𝐸𝐸 10,000 𝐺𝐺con = 10.000 ∗ 96%𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 077∗ ∗podemos 2%7𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 231 ∗ 1%1𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 1% ∗ 1%de ganancia Continuando el ejemplo anterior, calcular el valor ∗esperado 𝐸𝐸 𝐸𝐸 𝐺𝐺 𝐺𝐺 = = 5.192.000 5.192.000 Entonces, el dado por: Entonces, el RCR está dado por: 𝐸𝐸 RCR 𝐺𝐺el RCR = está 10.000 ∗dado 96%𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. Entonces, está por:077 ∗ 2%7𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 231 ∗ 1%1𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡. 385 ∗ 1% El RCR también se puede se expresar en forma recíproca como el riesgo por unidad de 𝐸𝐸 𝐺𝐺5.192.000 = 5.192.000 5.192.000 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = = 4% ∗ 110.193.000 = = 1.178 1.178 retorno, lo cual hace más clara la relación el ERD. Esto es, en forma porcentual el RCR está 4% con ∗ 110.193.000 Entonces, el RCR está dado por: dado por: ElElRCR RCRtambién tambiénsesepuede puedeseseexpresar expresarenenforma formarecíproca recíprocacomo comoelelriesgo riesgopor porunidad unidaddede El RCR también se puede se expresar en forma recíproca como el riesgo por unidad 5.192.000 retorno, clara porcentual retorno,lolocual cualhace hacemás claralalarelación relacióncon conelelERD. ERD.Esto Estoes, es,enenforma porcentualelelRCR está de retorno, lo cualmás hace más𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 clara el ERD. Esto es,forma en forma porcentualRCR el está =la relación con = 1.178 𝐸𝐸(𝐺𝐺) 4%𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅% ∗ 110.193.000 = dado por: dado por:está dado por: 𝑝𝑝𝑝𝑝 RCR En este ejemplo 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅% = 84,9% de concentración de riesgo. ! !.!"# En este ejemplo𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅% En este ejemplo En este ejemplo 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅%== ! ! 𝐸𝐸(𝐺𝐺) = 84,9%, lo 𝐸𝐸(𝐺𝐺) que significa que el retorno esperado tiene un 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅% 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅%== 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 , lo que significa elelel retorno esperado tiene ==84,9%, retorno esperado tiene 84,9%,lo loque quesignifica significaque que retorno esperado tieneunun !.!"# !.!"# unde84,9% de concentración de riesgo. 84,9% dederiesgo. 84,9% deconcentración concentración riesgo. 4.2.4 Desviación de la cola derecha 4.2.4 Desviación de la cola derecha La Desviación la Cola Derecha (Right-tailed deviation, RTD, inglés) propuesta por La Desviación de ladeCola Derecha (Right-tailed deviation, RTD, en en inglés) propuesta por Shaun 4.2.4 4.2.4Desviación Desviacióndedelalacola coladerecha derecha Shaun Wang, se define como: Wang, se define como: LaLaDesviación DesviacióndedelalaCola ColaDerecha Derecha(Right-tailed (Right-taileddeviation, deviation,RTD, RTD,eneninglés) inglés)propuesta propuestapor porShaun Shaun 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 − 𝐸𝐸(𝑥𝑥) Wang, Wang,sesedefine definecomo: como: Donde 𝐸𝐸(𝑥𝑥) es la media de la distribución de perdidas 𝐹𝐹 𝑥𝑥 y 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 es la media de una ∗ ∗ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑥𝑥 𝑥𝑥 ==𝐸𝐸por 𝐸𝐸 𝑥𝑥riesgo, 𝑥𝑥−−𝐸𝐸(𝑥𝑥) 𝐸𝐸(𝑥𝑥) distribución transformada que ha sido 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 recargada definida como: Donde Donde𝐸𝐸(𝑥𝑥) 𝐸𝐸(𝑥𝑥)eseslalamedia mediadedelaladistribución distribucióndedeperdidas perdidas𝐹𝐹 𝐹𝐹𝑥𝑥 𝑥𝑥 y y𝐸𝐸 ∗𝐸𝐸 ∗𝑥𝑥 𝑥𝑥 eseslalamedia mediadedeuna una 𝐹𝐹 ∗ 𝑥𝑥 = 1𝑒𝑒 11𝐹𝐹(𝑥𝑥) !.! distribución distribucióntransformada transformadaque quehahasido sidorecargada recargadapor porriesgo, riesgo,definida definidacomo: como: .. 542 .. Entonces la diferencia entre 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 y 𝐸𝐸(𝑥𝑥) es el recargo de riesgo. 𝐹𝐹 ∗𝐹𝐹 ∗𝑥𝑥 𝑥𝑥 ==1𝑒𝑒1𝑒𝑒11𝐹𝐹(𝑥𝑥) 11𝐹𝐹(𝑥𝑥)!.!!.! Tabla 2. 4.2.4 Desviación de la cola derecha La Desviación de la Cola Derecha (Right-tailed deviation, RTD, en inglés) propuesta por Shaun Transferencia de riesgo en seguros Wang, se define como: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 − 𝐸𝐸(𝑥𝑥) Donde 𝐸𝐸(𝑥𝑥) eseslalamedia 𝑥𝑥 yy 𝐸𝐸E∗*(x) 𝑥𝑥 es de una Donde E(x) mediadedelaladistribución distribucióndedeperdidas perdidas𝐹𝐹F(x) es la media de distribución transformada que ha sidoque recargada por riesgo,por definida una distribución transformada ha sido recargada riesgo,como: definida como: 𝐹𝐹 ∗ 𝑥𝑥 = 1 − 1 − 𝐹𝐹(𝑥𝑥) !.! Entonces la diferencia entre 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 y 𝐸𝐸(𝑥𝑥) es el recargo de riesgo. Entonces la diferencia entre E*(x) y E(x) es el recargo de riesgo. Tabla 2. Distribución transforada ▶ Tabla 2: Distribución transformada Siguiendo con el mismo ejemplo, la distribución transformada estaría dada por: Siguiendo con el mismo ejemplo, la distribución transformada estaría dada por: Pérdida probabilidad F(x) F*(x) probabilidad* Reasegurador Pérdida reasegurador Probabilidad F(x) F*(x) Probabilidad* 0 96% 96% 80% 80% 50.000.000 2% 86% 6% 0 96% 96% 80%98% 80% 150.000.000 1% 99% 90% 4% 50.000.000 2% 98% 86% 6% 250.000.000 1% 100% 100% 10% 150.000.000 1% 99% 90% 4% 𝐸𝐸 𝑥𝑥 = 0 ∗ 96% + 1% 50.000 ∗ 2% ∗ 1%10% + 250.000 ∗ 1% = 5.000 250.000.000 100%+ 150.000 100% 𝐸𝐸 ∗ 𝑥𝑥 = 0 ∗ 80% + 50.000 ∗ 6% + 150.000 ∗ 4% + 250.000 ∗ 10% = 34.142 Por lo tanto, el RTD es 29.142.136. Wang propuso una prueba de transferencia de riesgo E(x) = 0*96% + 50.000 * 2% + 150.000 * 1% + 250.000 * 1% = 5.000 llamada “la prima máxima calificada”, la cual es un múltiplo del RTD, 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼(𝑥𝑥). Si dicho valor es mayor que E*(x) la prima del contrato, se puede que* la transferencia riesgo existe. = 0*80% + 50.000 * 6% concluir + 150.000 4% + 250.000 de * 10% = 34.142 Por lo tanto, el RTD es 29.142.136. Wang propuso una prueba de transferencia de riesgo llamada “la prima máxima calificada”, la cual es un múltiplo del RTD, αRTD(x). Si dicho valor es mayor que la prima del contrato, se puede concluir que la transferencia de riesgo existe. Para el ejemplo anterior, si tomamos α = 5 tenemos que αRTD(x)=145.710.678, entonces, para cualquier contrato con prima igual o menor a este valor, se puede concluir que tendrá transferencia de riesgo. 5. Una aplicación al seguro de cumplimiento Con el fin de generar un modelo de industria que permitiera evaluar la transferencia de riesgo del reaseguro no proporcional para el ramo de cumplimiento, FASECOLDA contra- .. 543 .. M C la tó un estudio para determinar tanto la frecuencia, como la severidad, para cada una de las coberturas de este ramo, y así modelar las reclamaciones agregadas y encontrar cuál sería la pérdida para el reasegurador (ERD), que fue la métrica recomendada por el consultor. Esta sección es tomada del documento Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report, presentado por el actuario consultor David Sommer, FCAS. 5.1 Descripción de los datos Se tomó la información proveniente de ocho compañías, tanto para el cálculo de los expuestos, como para el cálculo de los siniestros del ramo de cumplimiento. El período de experiencia corresponde al comprendido entre julio de 2006 y junio de 2011. ▶ Tabla 3: Número de expuestos, número de siniestro y monto de los siniestros para cada semestre Período Expuestos Número de reclamaciones Monto de las reclamaciones 2006S2 122.851 190 15.887.857.149 2007S1 189.663 430 22.215.569.775 2007S2 343.809 1.269 29.577.682.393 2008S1 528.877 1.981 45.293.792.928 2008S2 661.232 2.702 113.419.341.532 2009S1 789.682 3.071 64.599.802.030 2009S2 911.985 3.370 45.881.754.813 2010S1 1.038.607 3.422 68.313.318.420 2010S2 1.116.179 3.669 128.497.691.384 2011S1 970.227 528 6.641.565.566 6.673.116 20.632 540.328.375.993 Total Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. Cifras en pesos colombianos. A pesar que la información con la que se cuenta es de reclamaciones individuales por contrato y que en muchas ocasiones los contratos de reaseguro no proporcional se trabajan por afianzado, para efectos de la medición de la transferencia de riesgo, los resultados .. 544 .. Transferencia de riesgo en seguros obtenidos son más conservadores mediante este enfoque, esto es, si hay transferencia de riesgo por reclamación, también hay transferencia de riesgo por afianzado. Puesto que no se contaba con información suficiente para calcular el IBNR de reclamaciones futuras, se excluyeron del análisis las pólizas que en ese momento se encontraban vigentes. 5.2 Análisis de Frecuencia y de Severidad El análisis inicial de frecuencia y severidad se hizo teniendo en cuenta la información de las diferentes coberturas de los seguros de cumplimiento de acuerdo con la siguiente clasificación: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Anticipo Cumplimiento Salarios y prestaciones sociales Calidad y estabilidad de obra Calidad del servicio Calidad y correcto funcionamiento de los bienes Otros La frecuencia fue definida como el número de reclamaciones ocurridas durante un semestre dividido por el número de años póliza durante el semestre (por año póliza se entiende el porcentaje del año que la póliza estuvo vigente durante el semestre). Por ejemplo, si la póliza estuvo vigente durante todo el semestre, se tendrá en cuenta como 0.5 expuestos; si estuvo vigente durante tres meses en el semestre, se contará como 0.25 expuestos. La severidad se definió como el valor de los siniestros en el semestre sobre el número de siniestros en el mismo. El número de expuestos, de reclamaciones y el monto de los siniestros, así como la frecuencia y la severidad por cobertura se presentan a continuación. .. 545 .. ▶ Tabla 4: Expuestos por cobertura Período 1 2 3 4 5 6 Otros 2006S2 10.177,01 44.025,05 20.388,75 8.000,11 12.923,56 5.869,62 14.588,63 2007S1 15.250,09 63.599,85 37.182,49 11.409,18 20.015,27 8.766,12 17.579,09 2007S2 29.413,93 109.861,85 66.873,01 17.685,25 32.737,29 11.547,37 35.293,45 2008S1 37.611,87 165.626,83 98.617,30 26.823,36 49.292,97 14.140,93 45.061,28 2008S2 35.578,38 181.390,01 107.364,79 32.482,71 59.831,88 15.473,95 58.346,07 2009S1 35.798,01 203.788,17 103.437,32 33.339,53 68.990,27 15.271,75 58.105,22 2009S2 41.921,65 206.227,44 97.271,97 32.239,33 72.004,25 15.032,17 63.627,75 2010S1 44.552,82 224.565,34 81.885,80 27.279,75 74.128,37 13.532,26 62.436,40 2010S2 37.807,23 182.122,77 63.936,40 20.106,33 58.230,31 9.979,31 58.870,36 2011S1 16.758,27 84.219,01 19.904,48 6.869,07 25.233,08 3.723,59 20.456,46 307.869,26 1.465.426,32 696.862,31 216.234,62 473.387,25 113.337,07 434.364,71 Total Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. ▶ Tabla 5: Número de siniestros por cobertura Período 1 2 3 4 5 6 Otros 2006S2 20 131 18 2 2 0 35 2007S1 29 321 28 5 2 5 153 2007S2 51 805 30 8 4 2 527 2008S1 74 1.314 41 19 14 2 593 2008S2 117 1.833 36 30 14 10 763 2009S1 115 1.919 54 43 21 3 910 2009S2 96 2.604 33 47 17 18 429 2010S1 115 3.594 30 61 11 8 139 2010S2 81 2.551 33 55 12 5 145 2011S1 32 234 23 29 3 2 115 730 15.306 326 299 100 55 3.809 Total Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. .. 546 .. Transferencia de riesgo en seguros ▶ Tabla 6: Monto de siniestros por cobertura (MCOP) Período 1 2 3 4 5 6 Otros 2006S2 1.285,26 2.227,87 1.323,93 106,00 104,73 0,00 10.840,07 2007S1 3.950,98 7.072,06 2.243,43 335,54 64,41 193,72 8.355,43 2007S2 6.303,98 14.158,79 3.215,50 63,57 126,24 529,24 5.180,36 2008S1 8.739,35 16.226,28 2.630,20 9.414,42 837,61 118,97 7.326,97 2008S2 10.090,97 77.477,01 6.284,47 2.926,13 3.143,48 3.698,26 9.799,02 2009S1 11.399,26 30.844,52 4.767,04 5.924,95 1.478,57 0,15 10.145,31 2009S2 4.824,38 26.973,19 3.187,12 1.924,84 384,61 406,67 8.180,94 2010S1 14.846,93 42.749,76 4.136,29 1.391,52 81,21 77,18 5.030,42 2010S2 49.427,13 59.747,93 1.005,95 1.124,85 6.922,64 5.184,95 5.084,24 2011S1 1.011,14 2.220,08 201,08 101,80 0,35 0,14 3.106,97 111.879,38 279.697,49 28.995,01 23.353,63 13.143,86 10.209,27 73.049,74 Total Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. ▶ Tabla 7: Frecuencia por cobertura Período 1 2 3 4 5 6 Otros 2006S2 0,19% 0,27% 0,08% 0,04% 0,02% 0,00% 0,21% 2007S1 0,21% 0,41% 0,07% 0,03% 0,01% 0,05% 0,59% 2007S2 0,15% 0,67% 0,04% 0,05% 0,01% 0,03% 1,26% 2008S1 0,18% 0,75% 0,04% 0,05% 0,03% 0,01% 1,33% 2008S2 0,34% 0,96% 0,04% 0,10% 0,02% 0,06% 1,28% 2009S1 0,31% 0,94% 0,05% 0,13% 0,03% 0,02% 1,56% 2009S2 0,21% 1,26% 0,03% 0,14% 0,02% 0,11% 0,89% 2010S1 0,26% 1,36% 0,04% 0,21% 0,02% 0,07% 0,21% 2010S2 0,22% 1,83% 0,06% 0,31% 0,03% 0,05% 0,24% 2011S1 0,27% 0,35% 0,12% 0,48% 0,01% 0,05% 0,61% Total 0,24% 1,05% 0,05% 0,14% 0,02% 0,05% 0,88% 733 15.314 327 300 100 55 3.803 152.632.176 Costo promedio 18.264.169 88.669.747 77.845.420 131.438.623 185.623.110 19.208.451 Núm de reclamo .. 547 .. Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. Debido a que varias coberturas presentaban un comportamiento similar, estas se agruparon, tanto para el cálculo de la frecuencia, como para el cálculo de la severidad. Los criterios que se tuvieron en cuenta para la agrupación fueron el número de reclamaciones y el costo promedio. Las coberturas con menor número de observaciones se reunieron junto con otras que tuvieran características siniestrales similares. De acuerdo con estos criterios, la agrupación que se hizo fue la siguiente, tanto para el análisis de frecuencia, como para el de severidad: Coberturas 1, 5, y 6: Anticipo, Calidad de Servicio y Calidad y Correcto Funcionamiento de los Bienes Cobertura 2: Cumplimiento. Coberturas 3 y 4: Salarios y Prestaciones Sociales y Calidad y Estabilidad de Obra. Cobertura 7: Otros. 5.2.1 Frecuencia por coberturas agrupadas El cálculo de la frecuencia por coberturas agrupadas se presenta a continuación: ▶ Tabla 8: Frecuencia por coberturas agrupadas Período 1+5+6 2 3+4 Otros 2006S2 0,07% 0,27% 0,07% 0,21% 2007S1 0,09% 0,41% 0,06% 0,59% 2007S2 0,07% 0,67% 0,04% 1,26% 2008S1 0,08% 0,75% 0,04% 1,33% 2008S2 0,13% 0,96% 0,05% 1,28% 2009S1 0,12% 0,94% 0,07% 1,56% 2009S2 0,09% 1,26% 0,06% 0,89% 2010S1 0,10% 1,36% 0,09% 0,21% 2010S2 0,10% 1,83% 0,12% 0,24% 2011S1 0,11% 0,35% 0,21% 0,61% Total 0,10% 1,05% 0,07% 0,88% Selección 0,11% 2,33% 0,11% 1,25% 888 15.314 627 3.803 Núm de recl. Fuente: Transfer of Bond Risk Modelling Project – Standard Report. .. 548 .. Transferencia de riesgo en seguros Para las coberturas 1, 5 y 6 agrupadas se seleccionó una frecuencia de 0,11%, teniendo en cuenta los últimos seis semestres, dado que se ha presentado un cambio en el comportamiento de la misma. ▶ Gráfico 1 Frecuencia coberturas 1, 5 y 6 0,14% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,04% 0,02% Selected Total 2011S1 2010S2 2010S1 2009S2 2009S1 2008S2 2008S1 2007S2 2007S1 2006S2 0,00% Para la cobertura 2, se tiene que, salvo en el último semestre, hay una tendencia creciente en la frecuencia de aproximadamente 0,4% por año. Se seleccionó una tasa de 2,33% que tiene en cuenta este aumento esperado. ▶ Gráfico 2 Frecuencia coberturas 2 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% .. 549 .. Selected Total 2011S1 2010S2 2010S1 2009S2 2009S1 2008S2 2008S1 2007S2 2007S1 2006S2 0,00% En las coberturas 3 y 4 también se evidencia una tendencia creciente. Se seleccionó una frecuencia de 0,11% que tiene en cuenta esta tendencia. El último semestre fue excluido del análisis. ▶ Gráfico 3 Frecuencia coberturas 3 y 4 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% Selected Total 2011S1 2010S2 2010S1 2009S2 2009S1 2008S2 2008S1 2007S2 2007S1 2006S2 0,00% Para la cobertura de Otros se tomó la experiencia de 2007 S2 a 2009 S2. pues los últimos semestres presentan una frecuencia muy baja y podían no ser predictivos del futuro. La frecuencia seleccionada fue de 1,25%. .. 550 .. Transferencia de riesgo en seguros ▶ Gráfico 4 Frecuencia cobertura otros 1,80% 1,60% 1,40% 1,20% 1,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% Selected Total 2011S1 2010S2 2010S1 2009S2 2009S1 2008S2 2008S1 2007S2 2007S1 2006S2 0,00% Para todas las agrupaciones se utilizó la distribución de Poisson para modelar la frecuencia de las reclamaciones, puesto que es recomendada en la literatura actuarial para este tipo de casos. Con el fin de encontrar el número de reclamaciones esperado, que sirve como parámetro de la distribución de Poisson, es necesario multiplicar la frecuencia obtenida para cada una de las agrupaciones por el número esperado de pólizas a emitir durante el año. 5.2.2 Severidad por coberturas agrupadas Además de determinar el número de reclamaciones por cobertura, también es importante encontrar la mejor distribución para el monto de las reclamaciones. Para esto, se buscó ajustar una distribución teórica que replique de la mejor manera la información histórica con la que se cuenta. Por ejemplo, si una reclamación histórica para una determinada cobertura tiene una probabilidad del 2% de superar los $1.000.000.000, la distribución que se ajuste debe tener una probabilidad cercana. Para modelar el monto de la severidad en la literatura actuarial es común utilizar distribuciones como la lognormal, la Pareto y la Gamma. Además de ajustar los parámetros para cada distribución, también es necesario realizar pruebas de bondad de ajuste .. 551 .. para escoger el modelo más adecuado. Cabe destacar que por tratarse de la medición de la transferencia de riesgo al reasegurador debe dársele mayor importancia al ajuste de la cola derecha de la distribución. Para todas las agrupaciones, la distribución log-normal fue la que tuvo mejor ajuste, aunque en la categoría “Otros”, la distribución de Pareto fue cercana. Los parámetros para cada agrupación se muestran a continuación: • Coberturas 1 + 5 + 6 ~ LogNormal(15.65, 2.74). • Cobertura 2 ~ LogNormal(14.01, 1.47). • Coberturas 3 + 4 ~ LogNormal(14.99, 2.92). • Otros ~ LogNormal(15.60, 1.25). Para escoger los parámetros de cada distribución y evaluar cuál tenía el mejor ajuste se siguió el siguiente proceso: • Se seleccionaron los parámetros que minimizaran el error absoluto medio entre los datos históricos y la distribución ajustada. Para esto, se utilizaron como parámetros iniciales los estimadores obtenidos a partir del método de momentos. • Después de estimar los parámetros para cada distribución se utilizó un QQ plot para comparar el modelo teórico contra los datos observados. En todos los casos, la distribución log-normal presentó un mejor ajuste especialmente en la cola derecha. ▶ Gráfico 5 Análisis de severidad coberturas 1, 5 y 6. La distribución log-normal se ajusta mejor que la distribución de pareto en todo el rango 120,0% 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% 40.000 50.000 █ Data % - ile 700.005 4.000.000 █ Log-normal 9.000.000 .. 552 .. 27.881.203 Pareto 403.971.715 Transferencia de riesgo en seguros ▶ Gráfico 6 Análisis de severidad cobertura 2. La distribución log-normal se ajusta mejor que la distribución de pareto en todo el rango 120,0% 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% 40.000 50.000 █ Data % - ile ▶ Gráfico 7 700.005 4.000.000 9.000.000 █ Log-normal 27.981.203 403.971.715 Pareto Análisis de severidad coberturas 3 y 4. La distribución log-normal se ajusta mejor que la distribución de pareto en todo el rango 120,0% 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% 40.000 50.000 █ Data % - ile 100.005 4.000.000 9.000.000 █ Log-normal .. 553 .. 27.981.203 Pareto 403.921.775 ▶ Gráfico 8 Análisis de Siniestralidad Cobertura 7. La distribución de Pareto y la distribución log-normal tiene un comportamiento similar, pero el error de la log-normal es 3% menor 120,0% 100,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% 40.000 50.000 █ Data % - ile 700.005 4.000.000 9.000.000 █ Log-normal 27.981.203 403.871.775 Pareto 5.2.3 Otras consideraciones importantes Adicional a los contratos de reaseguro no proporcional, las compañías también suelen tener una parte protegida mediante reaseguro proporcional. A nivel de industria, el porcentaje de cesión mediante reaseguro proporcional está entre el 40% y el 50%, este aspecto debe ser tenido en cuenta a la hora de medir la transferencia de riesgo. 5.3 Herramienta de simulación Una vez se han modelado tanto la frecuencia, como la severidad, es necesario simular el número de reclamaciones para cada una de las coberturas, así como el monto de cada una de estas, para obtener una distribución de las pérdidas agregadas y determinar cuál es la posible pérdida para el reasegurador. Para tal efecto, se construyó una herramienta de simulación que tiene en cuenta las siguientes variables: • Agrupación de coberturas: se refiere a la agrupación de coberturas mencionada en la Sección 5.2. .. 554 .. Transferencia de riesgo en seguros • Porcentaje de reaseguro proporcional: porcentaje de las pérdidas cubiertas por reaseguro proporcional. • Número esperado de pólizas a emitir durante el período de vigencia del contrato no proporcional: con base en este valor y en la frecuencia esperada se obtiene el número esperado de reclamaciones, que se utiliza como parámetro para la distribución de Poisson. • Retención de la compañía: es el valor de la pérdida por debajo del cual la compañía responde en su totalidad. Si el valor de la pérdida es mayor a la retención, la compañía pagará el valor de esta. • Límite individual del reasegurador: valor máximo asumido por el reasegurador en exceso de la retención. Por ejemplo, si la retención de la compañía es de $1.000 millones y el límite del reasegurador es de $2.000 millones, y se tiene una pérdida de $2.500 millones, la compañía tendrá que asumir $1.000 millones y el reasegurador $1.500 millones. • Costo del reaseguro: es el valor pagado por la compañía de seguros al reasegurador, por el reaseguro no proporcional que este le ofrece. Este valor es importante, puesto que para medir la transferencia de riesgo es necesario evaluar la proporción entre las pérdidas asumidas por el reasegurador y el valor que este recibe. • Número de simulaciones: entre mayor sea el número de simulaciones, más precisos serán los resultados obtenidos, puesto que uno de los teoremas básicos de la estadística, conocido como Teorema del Límite Central, establece que a mayor número de observaciones, las estadísticas obtenidas a partir de la muestra se acercan cada vez más a las estadísticas de la población total. 6. Conclusiones Con base en las variables mencionadas anteriormente y con las distribuciones ajustadas para la frecuencia y la severidad por tipo de coberturas, se puede obtener una muestra de las reclamaciones agregadas y del valor que le correspondería al reasegurador. A partir de las estadísticas tomadas de esta muestra, tales como valores esperados condicionados o percentiles, se calculan las medidas de transferencia de riesgo que se mencionan en la Sección 4 del artículo, para determinar si existe o no transferencia de riesgo en un contrato de reaseguro no proporcional. .. 555 .. Mediante esta herramienta se demostró que efectivamente hay transferencia de riesgo en los contratos de reaseguro no proporcional suscritos por las compañías de cumplimiento. Aunque con la herramienta construida para el modelo de la Industria logró demostrarse la transferencia de riesgo del reaseguro no proporcional para el ramo de cumplimiento, es importante que se hagan nuevos desarrollos que tengan en cuenta las diferentes capas que puedan existir dentro de un reaseguro no proporcional y diferentes formas de combinar el reaseguro proporcional y el no proporcional. .. 556 .. REFERENCIAS American Academy of Actuaries (2007). Risk Transfer Testing Practice Note. Boland. J. Philip (2006). Statistical and probabilistic methods in Actuarial science. Chapman & Hall/CRC. New York. Brehm P. and Ruhm D. Risk Transfer Testing of Reinsurance Contracts: A Summary of the Report by the CAS Research Working Party on Risk Transfer Testing. Variance 1:1, 2007, pp. 9-17. Financial Accounting Standards Board (1992). FAS 113. Accounting and Reporting for Reinsurance of Short-Duration and Long-Duration Contracts. Klugman, S. A., H. H. Panjer, and G. E. Willmot (2004). 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