REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006 SOLUCIÓN NUMÉRICA PARA LA TRAYECTORIA EN UN PLANETA ROTANTE D. L. Otálora1 , F. J. Poveda2 Universidad Nacional de Colombia 2 Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (Recibido 07 de Oct.2005; Aceptado 09 de Ene.2006; Publicado 05 de Abr.2006) 1 RESUMEN Una partı́cula se mueve en un planeta esférico rotante con una velocidad angular determinada; la trayectoria de la partı́cula en el sistema inercial, es diferente a la del sistema no inercial que rota con el planeta. Considerando despreciable el efecto de translación del planeta y tomando la acción de las fuerzas ficticias; se implementa un programa en C, para la solución de las ecuaciones diferenciales dinámicas, las cuales solo tienen solución numérica. Mediante gráficas de las trayectorias, se interpreta el comportamiento del sistema de referencia inercial y el sistema rotante. Palabras claves: No tiene ABSTRACT A particle moves in a rotating spheric planet with an angular velocity determined; the path of the particle in the system inercial, is different to that of the system not inercial that broken with the planet. Considering despicable the effect of translación of the planet and taking the action of the fictitious forces; is implemented a program in C, for the solution of the dynamic differential equations, which alone they have numerical solution. By means of graphics of the paths, the behavior of the system of reference is interpreted inercial and the rotating system. Keywords: no tiene 1. Introducción El problema de una partı́cula rotando sobre una superficie esférica es analizado desde un sistema no inercial de referencia. Para solucionar el sistema analı́ticamente, es necesario realizar algunas aproximaciones [1]. Al resolver el problema numéricamente para el sistema no inercial, se obtienen trayectorias curiosas [2], debido a la presencia de fuerzas ficticias, no disipativas, las cuales no aparecen en el sistema inercial. 2. Sistema Inercial y no Inercial Consideremos una partı́cula de masa m moviéndose con una velocidad angular arbitraria ω0 sobre la superficie esférica, en donde la fricción es despreciable [2, 3]. La ecuación dinámica del sistema inercial (Σ) es: r (1) R donde g es la aceleración de la gravedad en el planeta, T es la fuerza de reacción de la superficie sobre la partı́cula en consideración y R es el radio del planeta. F = (−mg + T ) La fuerza no inercial tiene la forma (Σ∗ ) F∗ = F − m [ω0 × (ω0 × r∗ ) + ω0 ×r∗ ] 425 (2) REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006 La partı́cula se encuentra obligada a moverse sobre la superficie del planeta, mediante 2 2 2 la ligadura (x∗1 ) + (x∗2 ) + (x∗3 ) = R2 , tomando el planeta como si fuera una esfera, lo cual es cierto para T > 0. Para reducir cálculos hacemos el radio del planeta, ası́ como la masa de la partı́cula, igual a 1. Al comparar el problema desde el punto de vista de un sistema inercial Σ y otro sistema no inercial Σ∗ que rota con el planeta, ambos con origen de coordenadas en el centro del planeta, se puede apreciar el efecto de las fuerzas ficticias sobre la trayectoria de la partı́cula. Las lagrangianas respectivas son L θ, ϕ, θ̇, ϕ̇ L∗ θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗ = = 1 2 θ̇ + ϕ̇2 sin2 θ 2 1 ∗2 θ̇ + (ϕ̇∗ + ω0 )2 sin2 θ∗ 2 Haciendo uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange se llega que rigen el movimiento de la partı́cula en el sistema Σ∗ ⎛ ∗ ⎞ ⎛ θ θ̇∗ ∗ ⎟ ⎜ d ⎜ ϕ˙∗ ⎜ ϕ ⎟=⎜ ∗ ∗ dt ⎝ θ̇ ⎠ ⎝ (ϕ̇ + ω0 )2 sinθ∗ cosθ∗ ϕ˙∗ −2θ̇∗ (ϕ̇∗ + ω0 )2 cotθ∗ (3) (4) al sistema de ecuaciones ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (5) Esta ecuación es relativamente más simple que la presentada en la referencia [1], en donde se utilizan las ecuaciones comunes de la mecánica vectorial. 3. Resultados Haciendo uso del método numérico para la solución de sistemas de ecuaciones, RungeKutta orden cuarto, implementado en C y usando el programa MATLAB, se obtuvieron las gráficas para las trayectorias sobre la superficie. La trayectoria en el sistema inercial siempre sigue un cı́rculo máximo sobre la esfera, determinada por las condiciones iniciales. En la Figura 1(a) la velocidad inicial en ϕ, para el sistema Σ∗ , es igual a −ω0 , por lo cual el observador inercial observará esta velocidad inicial igual a cero y ambos recorridos son iguales para él. Para cada caso la variación de la velocidad en θ harán totalmente diferentes los recorridos. En el sistema rotante se pueden obtener varios tipos de trayectorias las cuales no solo dependen de las condiciones iniciales si no también del valor de ω0 como se ve en la Figura 1(b). Se puede apreciar el caso para el cual, el valor de la velocidad ϕ̇ = 0, Figura 2(a). En la Figura 2(b) se tiene una trayectoria que no cruza por los polos, este caso se presenta cuando las velocidades en θ y ϕ son iguales a 0,05 Referencias [1] A. Amengual, “Noninertial trajectories on a fast rotating planet”, Am. J. Phys. 68, 1106 (2000). [2] D. H. Mclntyre, “Using great circles to understand motion on a rotating sphere”, Am. J. Phys. 68, 1097 (2000). 426 REFERENCIAS REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006 Figura 1: Trayectoria para la partı́cula con las condiciones iniciales (a) θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗ = π π π π ∗ ∗ ∗ ∗ = 18 , , 1, −1 y (b) θ , ϕ , θ̇ , ϕ̇ , 18 , 1, 10 2 2 Figura 2: Trayectorias para la partı́cula con las condiciones iniciales (a) θ∗ , ϕ∗ , θ̇∗ , ϕ̇∗ = π π π ∗ ∗ ∗ ∗ = π3 , 18 , 0,05, 0,05 18 , 18 , −0,5, 0 y (b) θ , ϕ , θ̇ , ϕ̇ 427 REFERENCIAS REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.38, No.1, 2006 [3] D. Campos, J. Isaza, Prolegómenos a los sistemas dinámicos, Universidad Nacional de Co-lombia (2002). 428