Guía 1 – Proposiciones

Matemáticas - Guía 1 – Proposiciones
LOGROS:
1.
2.
3.
4.
5.
Reconoce el concepto e proposición.
Clasifica las proposiciones en simples y compuestas.
Resuelve proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.
Halla el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción, disyunción e implicación.
Construye la tabla de verdad de una proposición compuesta.
PREPARATE:
1.
Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso, x debe reemplazarse por:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
2.
Escribir el signo +, -, x o /, para que las expresiones sean proposiciones verdaderas.
a)
b)
c)
d)
3.
5 ____ 3 = 8
28 ___ 7 = 4
12 ___ 4 = 36
25 ___ 12 = 13
¿Cuáles de los siguientes enunciados puede considerarse como proposiciones?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Un triángulo es un polígono de tres ángulos.
La filosofía es triangular.
Un cuadrado es una figura plana de cuatro lados.
Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectos.
Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos.
Medellín es ciudad de eterna primavera.
Un rectángulo es una figura verde.
Todas las naranjas son amarillas.
Algunas manzanas son rojas.
Área de Matemáticas
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Proposiciones
La lógica es toda una disciplina en la que las recesiones y el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también por la filosofía, pero, aquí
nos referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición. De todo
lo anterior una proposición es una oración con sentido completo de la cual se puede determinar que es cierta o que es falsa. Ejemplo:
1.
2.
3.
4.
5.
“La sal es un compuesto químico”
10 < 14
“13 es un número impar”
“El sol sale de noche”
45 + 5 = 30
Las oraciones 1, 2, 3, 4 y 5. Son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones. A esta propiedad de las
proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad.
Las expresiones: ¿Vendrás a mi casa esta tarde? Y m + 3 = 5 no son proposiciones, pues no se puede decir si son falsas o verdaderas. Las
proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..
Así, la proposición Colombia está ubicada Europa se representa por:
p: Colombia está ubicada Europa
y la proposición 5 + 3 = 8 se representa:
q: 5 + 3 = 8
El valor de verdad de una proposición se determina asignándole los adjetivos Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda.
Proposiciones Simples
Una proposición simple es una afirmación que consta de una sola oración gramatical, es decir no tieie palabras de enlace tales como: y, o,
entonces, si y solo si, entre otras. Por ejemplo, son proposiciones simples
r: 5 es divisor de 30.
s: Marte es el planeta más pequeño.
Negación de las proposiciones simples:
Una proposición simple se niega anteponiéndole la frase no es cierto que… o agregando la palabra no, con el fin de significar lo contrario.
Si p representa una proposición simple, la negación de esta proposición se simboliza ~p; se lee no p y su valor de verdad será contrario al valor
de verdad de la proposición inicial. Por ejemplo:
Proposición
Si p: 5 es divisor de 30. (V).
Negación
~p No es cierto que 5 es divisor
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Si r: Un triangulo tiene cuatro lados (F)
de 30. (F).
~r: No es cierto que un triangulo tiene
cuatro lados (V).
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Proposiciones compuestas y conectivos lógicos
Proposiciones compuestas
Una proposición compuesta es una afirmación que consta de dos o más proposiciones simples unidas por los conectores: y, o, si,… entonces, si y
solo si y no. Por ejemplo las siguientes afirmaciones son proposiciones compuestas:
Bogotá es la capital de Cundinamarca y Neiva es la capital de Huila; la nariz es un órgano de los sentidos o la nariz sirve para oler; si me llamo
Pedro, entonces, mi nombre empieza con p; El equipo clasifica si y solo si gana.
Conectivos lógicos
Se llaman conectivos lógicos a las partículas de enlace usadas para unir dos o más proposiciones simples.
Cada conectivo lógico tiene un símbolo que lo representa y recibe un nombre especial por la función que desempeña dentro de la proposición.
Así en la proposición, Pedro camina y come, el conectivo lógico es la y; en la proposición: si un polígono tiene tres lados, entonces es un
triangulo, el conectivo lógico es si… entonces…
Conectivo lógico
Y
O
Si… entonces
Si y solo si
Negación
Notación
Nombre
Conjunción
Disyunción
Implicación
Equivalencia
Negación
Conjunción
Anteriormente vimos que la unión de proposiciones simples da lugar a proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones
compuestas será la conjunción.
Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y », la proposición compuesta resultante se le llama conjunción.
La conjunción de dos proposiciones p y q se simboliza:
q y se lee p y q
Así p: 5 es un numero primo y q: 16 es un numero compuesto, la conjunción de las proposiciones p y q es:
q: 5 es un numero primo y 16 es un numero compuesto.
Valor de verdad en la Conjunción
El valor de verdad en una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la componen.
Se sabe que una proposición simple puede ser verdadera o falsa. Por esta razón si p y q son dos proposiciones simples, los valores de verdad de
q son cuatro, si se tienen en cuenta las relaciones que se pueden establecer entre esos valores de verdad de las proposiciones simples. Así,
Si p y q son verdaderas, entonces q es verdadera.
Si p es verdadera y q es falsa, entonces q es falsa.
Si p es falsa y q es falsa, entonces q es falsa
Podemos concluir fácilmente que una conjunción es verdadera solo cuando las proposiciones simples que la componen son verdaderas.
Veamos lo anterior en una tabla para comprenderlo más fácilmente:
TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
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p
q
V
V
V
q
V
F
F
V
F
F
F
F
F
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Disyunción
Recibe el nombre de disyunción de dos proposiciones simples p y q, la proposición que se obtiene al enunciar p seguida de q, unidas por la
partícula de enlace o.
La disyunción de dos proposiciones p y q se simboliza:
p q y se lee p o q.
Así, si
P: 3 es un numero par y q: 24 es un numero primo, la disyunción de las proposiciones p y q es:
p q: 3 es un número par o 24 es un número primo.
La disyunción es falsa solo cuando las proposiciones que la componen son falsas.
Veamos la tabla de verdad de la Disyunción para comprenderla más fácilmente:
TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN
p
q
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
Implicación
Se llama implicación de dos proposiciones p y q, a la proposición que se obtiene al enunciar q a continuación de p, unidas por la partícula de
enlace si… entonces. En la implicación, existe una relación de dependencia entre p y q, que perite afirmar que la proposición p implica la
proposición q; o que la proposición q se reduce lógicamente a la proposición p.
La implicación entre las proposiciones p y q se simboliza:
p
q, y se puede lee: p implica q; si p entonces q; q se reduce lógicamente de p.
En la implicación p q, p es condición suficiente para que q suceda; y q es condición necesaria para que p ocurra. Además, p recibe el
nombre de antecedente o hipótesis y q recibe el nombre de consecuente o tesis.
Valor de verdad en la Implicación
Si p y q son dos proposiciones simples, los posibles valores de verdad de p
mejor este concepto.
q son cuatro. Analicemos el siguiente ejemplo para comprender
Juan le dice a su hijo: “Si apruebas el examen, entonces sales a cine”.
1. El hijo aprueba el examen y va al cine. En este caso, aprobar el examen es condición suficiente para ir al cine. La proposición es
verdadera.
P y q son verdaderas, p q es verdadera
2.
El hijo aprueba el examen, pero no va a cine. En este caso, aprobar el examen no es condición suficiente para ir al cine. La
proposición es falsa.
Si p es verdadera y q es falsa, p qes falsa.
3.
El hijo no aprueba el examen, pero el va a cine. En este caso observamos que aprobar el examen era condición suficiente pero
no necesaria para ir a cine. La proposición es verdadera.
Si p es falsa y q es verdadera, p q es verdadera.
4.
El hijo no aprueba el examen y no va al cine. En este caso, no se dá la condición suficiente (aprobar el examen), y, como
consecuencia, el hijo no va a cine. La proposición es verdadera.
Si p es falsa y q es falsa, p q es verdadera.
Área de Matemáticas
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A partir del análisis de la proposición: “Si apruebas el examen,, entonces, sales a cine”, los valores de verdad de la implicación se
pueden escribir en una tabla de verdad.
La implicación es falsa, solo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.
Veamos la tabla de verdad de la Implicación para comprenderla más fácilmente:
TABLA DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Equivalencia
Dos proposiciones p y q son equivalentes, cuando p es condición necesaria y suficiente para q y a su vez, q es condición necesaria y suficiente
para p.
Es decir, p q y q p se cumplen simultáneamente.
La equivalencia de las proposiciones p y q se simboliza:
q q y se lee p si y solo si q.
Por ejemplo:
Se puede formar una equivalencia con las proposiciones:
j: El polígono es un triangulo y r: El polígono tiene tres lados. Así,
r: El polígono es un triangulo, si y solo si tiene tres lados.
En efecto, ser triangulo es condición necesaria y suficiente para tener tres lados, y a su vez, tener tres lados es condición necesaria y
suficiente para ser triangulo.
Valor de verdad de la equivalencia
La equivalencia es verdadera, sólo cuando las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas.
Los posibles valores de verdad de la equivalencia se pueden observar con facilidad, en la tabla de verdad presentada a continuación:
TABLA DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA
Área de Matemáticas
p
q
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
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1.
Repasa la teoría
Responde las siguientes preguntas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
2.
¿Qué son proposiciones?
¿Qué son proposiciones simples?
¿Qué son proposiciones compuestas?
¿Qué es el valor de verdad de una proposición?
¿Cómo se representan las proposiciones simples?
¿Cuáles son los elementos de enlace y para qué sirven?
¿Qué es una tabla de verdad?
¿La proposición compuesta que utiliza el término de enlace “y” es una…?
¿La proposición compuesta que utiliza el término de enlace “no” se llama…?
¿La proposición situada antes del término de enlace en una proposición condicional se llama…?
¿La proposición situada después del término de enlace en una proposición condicional se llama…?
Subraya cuales de las siguientes expresiones son proposiciones.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
Enero es el primer mes del año.
¿Qué día es hoy?
2 + 7 = 10
¡Estoy muy cansado!
Armando está estudiando
Simboliza cada una de las proposiciones y asígnale su valor de verdad:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4.
5 es un número par
4 x 5 = 20
Ocho aumentado en catorce es igual a veintidós
Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos.
El río amazonas no pasa por Colombia
Las ranas no son animales anfibios
Analiza Analiza las proposiciones que aparecen a continuación:
proposición
a)
b)
c)
d)
Área de Matemáticas
p
2 es un número primo
Negación de
la proposición
p
2 no es un número primo
Negación de
la negación
( p)
No es cierto que 2 no es un número
primo
Asigna el valor de verdad a cada una de las proposiciones anteriores.
¿Qué significa negar una proposición?
Compara p con ( p) ¿Qué ocurre cuando niegas una proposición que ya está negada?
Niega las proposiciones del ejercicio anterior y asigna el valor de verdad
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5.
Construye las proposiciones compuestas a partir de las siguientes proposiciones simples:
p: 2 es divisor de 6
q: 6 es múltiplo de 2
r: el producto de 2 y 3 es 6.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6.
p
q
r
q:
r:
p:
p
q:
p q:
(p q) r :
(p q) r :
( p
q)
r:
Completa el valor de verdad en cada una de las siguientes tablas.
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