GUÍA Nº1 radianes. Calcule la medida

GUÍA Nº1
1. Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º y 4 radianes. Calcule la medida
del tercer ángulo interior en grados sexagesimales y radianes.
2. Si ABCD es un cuadrado y C está unido con E, que es el punto medio de AD, calcule
todas las relaciones trigonométricas del ángulo ECD.
3. Si sec  277 y  es un ángulo agudo, calcule el valor de las demás relaciones
trigonométricas de  .
2 pq
4. Si tg   p 2  q 2 , exprese cos y cosec en términos de p y q.
5. Si b tg  a , calcule el valor de
a sen   b cos 
.
a sen   b cos 
sen   cos 
demuestre que 2 sen   sen  cos .
sen   cos 
7. El seno de un ángulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno de
dicho ángulo.
8. Si a cos2   b sen 2   c , demuestre que tg2   cbac .
9. Exprese todas las relaciones trigonométricas en términos de cos .
x sen 
y sen 
sen 
x
10. Si tg 
y tg  
, demuestre que sen
  y .
1  x cos 
1  y cos
6. Si tg  
11. Calcule el valor numérico de sen 60º cos30º   sen 60º cos30º  .
2
2
cot g 2 sen 2 (90º  )
12. Demuestre que
 tg(90º  )  cos .
cot g  cos
13. Demuestre las siguientes identidades:
a) tg   cot g  sec  cos ec 
b) (tg cosec ) 2  (sen sec ) 2  1
1
1

 2 sec 2 
c)
1  sen  1  sen 
1
1

1
d)
2
1  sen  1  cos ec 2
e) (sen  cosec ) 2  (cos  sec ) 2  tg2   cot g 2  7
f) sen 4  (3  2 sen 2  )  cos4  (3  2 cos2  )  1
g) cosec 2  cot g 6  1  3 cosec2 cot g 2
2(sen4   cos4  )
h) (tg  cot g )  (tg  cot g ) 
sen 2  cos2 
2
2
i) (sen cos   cos sen  ) 2  (cos cos   sen sen  ) 2  1
j) sec2  cosec2   tg2  cot g 2   sec2  cot g 2   tg2  cosec2   1
14. Exprese cos(90º  )  sen(180º  )  sen(180º  )  sen( ) en términos de sen .
15. Demuestre que tg  tg(180º  )  cot(90º  )  tg(360º  ) .
16. Si  es un ángulo del segundo cuadrante tal que cos   178 , calcule el valor de las
otras relaciones trigonométricas de  .
17. ¿Cuáles son todos los ángulos positivos, menores que 1000º, tales que tg2   1 ?
18. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico de sen 870 º y de cos 1530 º .
tg 205º  tg115º
19. Si tg 25º  a . Exprese en términos de a:
tg 245º  tg335º
20. Si  es un ángulo del segundo cuadrante para el cual tg   23 , demuestre que
tg(90º  )  cos(180º  ) 2  13

sen(270º  )  cot( )
2  13
21. Calcule el valor numérico de sen15º, sen75º y tg36º.
22. Resuelva las siguientes ecuaciones, donde la incógnita es un ángulo agudo:
a) 2 cos2 x  4 sen 2 x  3
b) (tg x  1)(tgx  3)  2 tg x
c) 4 sen 3 x  2 sen 2 x  2 sen x  1  0
d) 2 cos x  2 2  3 sec x
e) tg x  cot x  cos ecx
f) 6 tg x  5 3 sec x  12cot x  0
23. Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura, se observan hacia el oeste dos botes
según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes.
24. Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en
el suelo, a 12 m. Del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de
elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la
altura del edificio y la longitud del asta.
25. Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una
iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se
observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100
m., calcule la altura del campanario.
26. Descendiendo por una colina, inclinada en un ángulo  respecto del plano horizontal,
una persona observa una piedra, situada en el plano, según un ángulo de depresión  .
A mitad del descenso, el ángulo de depresión es  . Demuestre que:
cot  2 cot   cot
27. Demuestre la siguientes identidades:
a) sen  sen(   )  cos  cos(   )  cos
b) cos(   ) cos(   )  cos2   sen 2 
c) cos2 4     sen 2 4     sen 2
d) sen 2   sen 2 (120º )  sen 2 (120º ) 
3
2
sen(   ) sen(   ) sen(   )


0
cos cos  cos  cos cos cos
f) cos 4 cos   sen 4 sen   cos 3 cos 2  sen 3 sen 2
g) cos6   sen 6   cos2 (1  14 sen 2 2 )
e)
h) sen 2 18º cos2 36º  34
n sen  cos 
i) Si tg  
, demuestre que tg(   )  (1  n) tg
1  n sen 2 
sen 2  sen 3
 cot 2
j)
cos 2  cos 3
sen(   )  sen 4 
  3
k)
 tg
cos(   )  cos 4 
2
1
l) cos20º cos40º cos80º  8
m) sen 2  sen 2  sen 2  sen 2(     )  4 sen(   ) sen(   ) sen(   )
n) sen 10º  sen 20º  sen 40º  sen 50º  sen 70º  sen 80º
o) sen 2 5  sen 2 2  sen 7 sen 3
p) tg3  tg 2  tg  tg3 tg 2 tg
1
1
q)

 cot 4
tg3  tg cot 3  cot
sen 23  sen 3
r) Si   19 calcule el valor de
sen 16  sen 4
s) Si        , demuestre que: sen  sen   sen   4 sen 2 sen 2 cos 2
t) Si        , demuestre que: sen 2  sen 2  sen 2  4 cos sen  cos
28. Demuestre las siguientes identidades:
a) cos2  cos2  cos2  4 cos cos  cos  1  0
cos  cos   cos  1
 tg 2 tg 2 .
b)
cos  cos   cos  1
c) sen 2 2  sen 2 2  sen 2 2  1  2 sen 2 sen 2 sen 2 .
d) tg  tg   tg  tg tg  tg .
e) Si       2 , demuestre que: sen 2   sen 2   sen 2   2 sen sen  cos  1
f) Si      demuestre que:
sen(     )  sen(     )  sen(     )  4 sen  cos  cos .
g) Si tg(   )  3 tg demuestre que: sen(2  2 )  sen 2  2 sen 2 .
h) Calcule el valor de sen(arccos53 ) y de cos(arctg125 ) .
i) Demuestre que: arctg14  arctg125  arctg32
43 .
27
j) Demuestre que: arctg53  arctg53  arctg11
.
1
1
k) Demuestre que: 2 arctg8  arctg7  2 arctg15  4 .
29. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
sen(6x  4 )  sen(2x  4 ) .
sen(3x  6 )  cos(x  3 ) .
cos x  cos 3x  cos 5 x  cos 7 x  0 .
cos x  sen x  22 .
e) tg4 x  4 tg2 x  3  0 .
f) sen 4 x  cos4 x  85 .
g) arccosx  arcsen x  arccosx 3 .
h) arctg xx12  arctg xx12  4 .
30. En un triángulo se conocen   45º ,   105º y c  2 . Determine sus lados y sus
ángulos.
31. En un triángulo se conocen a  2 , b  1 3 y   60º . Determine sus lados y sus
ángulos.
32. Dos lados de un paralelógramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º.
¿Cuánto miden las diagonales?
33. Demuestre que el área de un triángulo está dada por: A  12 absen  .
34. Un ángulo de un triángulo mide 45º y otro 58 radianes. Calcule la medida del tercer
ángulo en grados sexagesimales y en radianes.
35. Sea ABCD un cuadrado, y sea E el punto medio de AD. Si se unen C y D, se forma un
ECD. Calcule todas las relaciones trigonométricas de dicho ángulo.
1
36. Demuestre que, si cot   x entonces x   sec  cos ec  .
x
37. Si  es un ángulo del segundo cuadrante tal que sen   53 , determine las otras
relaciones trigonométricas de  .
38. Sin usar calculadora, calcule el valor numérico del seno y el coseno de:
a) 43
b) 74
c) 173
d)  256
tan 4136   tan 2336 
5
39. Si tan 36   a . Exprese en términos de a:
tan 4936   tan3136 
40. Exprese todas las relaciones trigonométricas de  en términos de cos .
41. Calcule el valor numérico de (sen 3  cos 6 ) 2  (sen 3  cos 6 ) 2 .
42. Exprese cos(2   )  sen(   )  sen(   )  sen( ) en términos de sen .
43. Demuestre que tan  tan(   )  ctan( 2   )  tan(2   ) .