Momento de inercia rotacional (ecuaciones

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando
más rápido si los contrae.
El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la
inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia
puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada
por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, como por
ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en
rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la
posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento
rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Ecuaciones del momento de inercia
¿Cuál
de
estos
giros
resulta
más
difícil?
momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración
angular.
El
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:
donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma
de
los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje.
Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso
del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en
traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por
ejemplo, la segunda ley de Newton:
tiene como equivalente para la rotación:
donde:
es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es
, mientras que la energía cinética
de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es
, donde I es el momento de inercia con respecto al eje
de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación
del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular .
Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de
simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento
angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con
respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con
respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre
los dos ejes:
donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de
inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los
dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas
relativa al centro de masas C
inmediata:
Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al
centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo
depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el
que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes
.
con respecto a los ejes X e Y. Y
calcular el cdm
de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán
paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje
paralelo,
es
decir,
el
teorema
de
Steiner:
y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:
e
Tensor de inercia de un sólido rígido
Tensor de inercia : El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que
expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:
Donde:
son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.
, es la llamada delta de Kronecker definida como:
A los elementos
se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas
propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas
cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia
siguientes:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:
Donde
y donde
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las
anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje
según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
Deducción de momentos de inercia de algunos cuerpos regulares
Barra delgada uniforme, eje perpendicular a la longitud:
Escogemos como elemento de masa una sección
de longitud dx a una distancia x de O. el cociente de la
dm del elemento y la masa total M de la varilla, es igual
cociente de su longitud dx y la longitud total L.
corta
masa
Despejamos dm y se sustituye en la expresión general del
momento de inercia:
, en:
Con esta expresión podemos calcular el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por cualquier punto
de la varilla. Por ejemplo, si el eje esta en el extremo izquierdo, h=0 y
Calculo del momento de inercia de una varilla alrededor de un eje que pasa por O. el elemento de una masa es
un segmento de longitud dx.
Si el eje esta en el extremo derecho, deberemos obtener el mismo resultado. Haciendo h=L, obtenemos:
Si el eje pasa por el centro, lo usual es girar el bastón,
Cilindro hueco o relleno, que gira sobre el eje de simetría.
Si la longitud es L , el radio interior R , el radio exterior es R´, la masa del
M y la densidad es .
mismo es
Escogemos como elemento de volumen una capa cilíndrica
de radio r, de espesor dr y longitud L, con sus partes prácticamente a la
distancia del eje de giro. Su volumen es casi igual al de una lamina plana
espesor dr, longitud L y ancho 2 (la circunferencia de la capa). Entonces.
delgada
misma
de
El momento de inercia esta dado por:
Como M=V
, entonces el momento de inercia es:
Ahora bien, si el cilindro no es hueco, entonces R´=0. Si designamos al radio exterior solo por R , entonces el
momento
de
inercia
del
cilindro
macizo
estará
dado
por:
Ahora, si se cambia el eje de giro del cilindro y se sitúa en uno de los bordes, se tiene:
I=
R=
Además, si la pared del cilindro es muy delgada. Entonces se puede estimar que
R´,
entonces
el
momento
de
inercia,
se
reduce
a
:
=
,
Podríamos haber predicho este resultado considerando un cilindro de
pared delgada donde toda la masa esta a la misma distancia R del eje de simetría,
entonces:
Observe que el momento de inercia de un cilindro alrededor de su eje de simetría depende de su masa y radios,
pero no de su longitud L. Dos cilindros huecos con los mismos radios exterior e interior, uno de madera y otro de latón,
pero con la misma masa M, tienen momentos de inercia iguales aunque el cilindro de madera es mucho mas largo. El
momento de inercia depende solo de la distribución radial de masa, no de su distribución a lo largo del eje. Por lo tanto
los resultados anteriores también son validos para un cilindro muy corto (una arandela) y un disco delgado (un CD)
Esfera uniforme de radio R, eje que pasa por el centro .
Dividimos la esfera en discos delgados de espesor dx,
momento de inercia conocemos por la deducción anterior. El
del disco r es:
Su volumen es dV=
cuyo
radio
dx=
Y su masa es: dm=
De la deducción del momento de inercia de un cilindro, se tiene que el momento de inercia de un disco de radio
r y masa dm es:
dI=
, para media esfera. Y para el total de la esfera, será:
Integrando, tenemos:
I=
I=
I=
I=
I=
I=
Como la masa de la esfera esta dadas por: M=
Sustituyendo, tenemos:
, entonces:
I=
, finalmente:
Finalmente. El momento de inercia para los cuerpos regulares, se resumen en la tabla:
TABLA MOMENTO DE INERCIA SÓLIDOS - RIGIDOS
Objeto
Eje de giro
Barra uniforme
Por el centro
Por un extremo
Disco uniforme
Por el centro, perpendicular al
disco
Momento de inercia
Por el centro, paralelo al
diámetro
Cilindro macizo
Eje de simetría
Por el centro, paralelo al
diámetro
Esfera uniforme
Por el centro, paralelo al
diámetro
Cascaron esférico uniforme
Por el centro, paralelo al
diámetro
Rectángulo uniforme
Por el centro, perpendicular
al plano
Por el centro, paralelo a uno
de los lados
Cono uniforme
Eje de simetría
Por el vértice, perpendicular
al eje de simetría